16 一元二次函数，方程和不等式核心考点综合演练-《中学生数理化》高一数学2024年9月刊

■刘中亮(特级教师) 一、选择题 1.设x∈R,则“|x|<1”是“x2-x-2< 0”的( )。 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 2.若两个正实数x,y 满足 1 x+ 4 y =1, 且不等式x+y4<m 2-3m 有解,则实数 m 的取值范围是( )。 A.{m|-1<m<4} B.{m|m<0或m>3} C.{m|-4<m<1} D.{m|m<-1或m>4} 3.已知不等式-2x2+bx+c>0的解集 是{x|-1<x<3},若对于任意x∈{x|-1 ≤x≤0},不等式-2x2+bx+c+t≤4恒成 立,则t的取值范围是( )。 A.{t|t≤2} B.{t|t≤-2} C.{t|t≤-4} D.{t|t≤4} 4.(多选题)已知实数a,b,c 满足a< b<c,且a+b+c=0,则下列不等关系正确 的是( )。 A.ac<bc B. 1 ab> 1 bc C.ab2<cb2 D. c-a c-b>1 5.(多选题)若正实数a,b 满足a+b= 2,则下列说法正确的是( )。 A.ab有最大值1 B.a+ b有最大值 2 C. 1 a+ 1 b 有最小值2 D.a2+b2 有最大值 1 2 6.(多选题)已知关于x 的不等式t(x+ 1)(x-2)-1>0的解集是{x|x1<x<x2}, 其 中 x1 <x2,则 下 列 结 论 中 正 确 的 是( )。 A.x1+x2-1=0 B.-1<x1<x2<2 C.|x1-x2|>3 D.x1x2+2>0 7.(多选题)下列关于不等式x2-(a+ 1)x+a>0的解集讨论正确的是( )。 A.当a=1时,x2-(a+1)x+a>0的 解集为⌀ B.当a>1时,x2-(a+1)x+a>0的 解集为(a,+∞) C.当a<1时,x2-(a+1)x+a>0的 解集为{x|x<a或x>1} D.无论a取何值,x2-(a+1)x+a>0 的解集均不为空集 二、填空题 8.关于x 的不等式 mx-1 x-2 >0 ,若此不 等式的解集为 x 1 m<x<2 ,则 m 的取值 范围是 。 9.若关于x 的不等式ax2+2ax-1<0 的解集为R,则a的取值范围是 。 10.已 知 关 于 x 的 一 元 二 次 不 等 式 ax2+bx+c<0的解集为{x|1<x<3},则 cx2-bx+a>0的解集是 。 三、解答题 11.已知y=mx2+2x+1(m∈R)。 (1)若y>0的解集为{x|n<x<1},求 实数m,n的值。 (2)求关于x 的不等式y<(m+2)x2- mx+m+1的解集。 12.设命题p:方程x2+(2m-4)x+ m=0有两个不相等的实数根;命题q:对所 03 核心考点演练 高一数学 2024年9月 有的2≤x≤3,不等式x2-4x+13≥m2 恒 成立。 (1)若命题p 为真命题,求实数 m 的取 值范围。 (2)若命题p,q 一真一假,求实数 m 的 取值范围。 13.已知a,b,c均为正数,且a,b,c不全 相等。若abc=1,证明:a+ b+c< 1 a+ 1 b+ 1 c 。 14.设函数f(x)=x2+(a-4)x+4- 2a。 (1)解关于x 的不等式f(x)>0。 (2)若对任意的x∈[-1,1],不等式 f(x)>0恒成立,求a的取值范围。 15.已知关于x 的不等式ax2+2ax+ 1≥0对于∀x∈R恒成立。 (1)求a的取值范围。 (2)在(1)的条件下,解关于x 的不等式 x2-x-a2+a<0。 16.已知关于x 的不等式ax2-3x+2> 0的解集为{x|x<1或x>b}。 (1)求a,b的值。 (2)当x>0,y>0,且满足ay+bx- xy=0时,有2x+y≥k2-1恒成立,求k 的 取值范围。 17.已知不等式mx2+2x-m+2<0。 (1)当m=3时,求不等式的解集。 (2)是否存在实数m 对所有的实数x 使 不等式恒成立? 若存在,求出 m 的取值范 围;若不存在,请说明理由。 一、选择题 1.提示:由|x|<1得-1<x<1,由 x2-x-2<0得-1<x<2。因为{x|-1< x<1}⫋{x|-1<x<2},所以“|x|<1”是 “x2-x-2<0”的充分不必要条件。应选A。 2.提示:因为正实数x,y 满足 1 x+ 4 y = 1,所 以 x+y4 = 1 x+ 4 y x+y4 =2+ 4x y +y4x≥2+2 4x y ·y 4x=4 ,当且仅当y= 8,x=2时,x+y4 取得最小值4。由x+y4< m2-3m 有解,可得 m2-3m>4,解得 m< -1或m>4。故实数 m 的取值范围是{m| m<-1或m>4}。应选D。 3.提示:不等式-2x2+bx+c>0的解 集是{x|-1<x<3},所以3和-1是方程 -2x2+bx+c=0的解,所以3-1= b 2 , -1×3=- c 2 ,解得b=4,c=6。故任意x∈ {x|-1≤x≤0},-2x2+bx+c+t≤4恒成 立可化为任意x∈{x|-1≤x≤0},-2x2+ 4x+6+t≤4恒成立,即任意x∈{x|-1≤ x≤0},t≤(2x2-4x-2)min。对于y=2x2- 4x-2=2(x-1)2-4在x∈[-1,0]内,当 x=0时取得最小值-2,所以t的取值范围 是{t|t≤-2}。应选B。 4.提示:因为a<b<c,且a+b+c=0, 所以a<0,c>0。因为a<b,c>0,所以 ac<bc,A正确。因为a<0,c>0,所以 1 a< 1 c 且b的符号未知,则不能得到 1 ab> 1 bc ,B不 正确。由a<0,c>0,可得a<c,因为b可能 为0,所以不能得到ab2<cb2,C不正确。因 为a<b<c,所以c-a>c-b>0,可得 c-a c-b >1,D正确。应选AD。 5.提示:ab≤ a+b2 2 =1,当且仅当a= b=1时等号成立,A 正确。 a+ b 2= a+b+2 ab≤a+b+a+b=4,故 a+ b≤2,当且仅当a=b=1时等号成立,B错 误。因为1 a+ 1 b= 1 2 1 a+ 1 b (a+b)=1+ 1 2 b a+ a b ≥1+ ba·ab =2,当 且 仅 当 a=b=1时等号成立,所以 1 a+ 1 b 有最小值 2,C正确。(a+b)2=4=a2+2ab+b2≤ a2+(a2+b2)+b2,即a2+b2≥2,当且仅当 13 核心考点演练 高一数学 2024年9月 a=b=1时等号成立,故a2+b2 有最小值2, D错误。应选AC。 6.提示:由t(x+1)(x-2)-1>0,即 tx2-tx-2t-1>0的解集为{x|x1<x< x2},可知t<0,且x1+x2=1,所以 x1+ x2-1=0,x1x2=- 2t+1 t =-2- 1 t>-2 , 即x1x2 +2>0,AD 正 确。x2 -x1 = (x1+x2)2-4x1x2 = 1+8+ 4 t <3 ,即 |x1-x2|<3,C错误。方程t(x+1)(x- 2)=0的解是-1和2,不等式t(x+1)(x- 2)-1>0的解集为(x1,x2),此时-1<x1< x2<2,B正确。应选ABD。 7.提示:当a=1时,不等式x2-(a+ 1)x+a>0可化为(x-1)2>0,解得x≠1, 所以不等式的解集为{x|x≠1},A错误。当 a>1时,不等式x2-(a+1)x+a>0可化 为(x-a)(x-1)>0,解得x<1或x>a,所 以不等式的解集为(-∞,1)∪(a,+∞),B 错误。当a<1时,不等式x2-(a+1)x+ a>0可化为(x-a)(x-1)>0,解得x<a 或x>1,所以不等式的解集为{x|x<a 或 x>1},C正确。由选项ABC知,无论a取何 值,不等式x2-(a+1)x+a>0的解集均不 为空集,D正确。应选CD。 二、填空题 8.提示:由 mx-1 x-2 >0 得(mx-1)(x- 2)>0。由题意知不等式(mx-1)(x-2)>0 的 解 集 为 x 1 m<x<2 ,所 以 m<0, 1 m<2 , 即 m<0,所以m 的取值范围是{m|m<0}。 9.提 示:当 a=0 时,不 等 式 ax2+ 2ax-1<0可化为-1<0,这时解集为 R, 符合题意;当a≠0时,不等式ax2+2ax- 1 < 0 的 解 集 为 R, 应 满 足 a<0, Δ=4a2-4a×(-1)<0, 解得-1<a<0。 综上可得,实数a∈{a|-1<a≤0}。 10.提 示:因 为 x 的 一 元 二 次 不 等 式 ax2+bx+c<0的解集为{x|1<x<3},所以 a>0, - b a=4 , c a=3 , 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁􀪁 􀪁 􀪁􀪁 解得 b=-4a, c=3a, 所以不等式cx2- bx+a>0可化为3x2+4x+1>0,所以x< -1或x>- 1 3 ,即所求的解集为(-∞,-1) ∪ - 1 3 ,+∞ 。 三、解答题 11.提示:(1)由y>0的解集为{x|n< x<1},可得1和n 是方程mx2+2x+1=0 的两个实数根,所以1+n=- 2 m ,1×n= 1 m , 解得m=-3,n=- 1 3 。 (2)关于x 的不等式y<(m+2)x2- mx+m+1,即mx2+2x+1<(m+2)x2- mx+m+1,也即2x2-(m+2)x+m>0,所 以(2x-m)(x-1)>0。 当m=2时,由2(x-1)2>0,可得不等式 y<(m+2)x2-mx+m+1的解集为{x|x≠ 1};当m>2时,可得不等式y<(m+2)x2- mx+m+1的解集为 x x<1或x> m 2 ;当 m<2时,可得不等式y<(m+2)x2-mx+ m+1的解集为 x x< m 2 或x>1 。 12.提示:(1)若命题p 为真命题,即方程 x2+(2m-4)x+m=0有两个不相等的实数 根,则Δ=(2m-4)2-4m=4m2-20m+ 16>0,解得m<1或m>4,即实数m 的取值 范围为{m|m<1或m>4}。 (2)若命题q为真命题,则对所有的2≤ x≤3,不等式x2-4x+13≥m2 恒成立。设 y=x2-4x+13,只需2≤x≤3时,m2≤ymin 即可。因为y=x2-4x+13=(x-2)2+9, 且2≤x≤3,所以ymin=9,所以m2≤9,解得 -3≤m≤3,所以当命题q为真命题时,实数 m 的取值范围为{m|-3≤m≤3}。 已知命题p,q一真一假,若命题p 为真 命 题,命 题 q 为 假 命 题,则 满 足 23 核心考点演练 高一数学 2024年9月 m<1或m>4, m<-3或m>3, 解得m<-3或m>4;若 命题p 为假命题,命题q 为真命题,则满足 1≤m≤4, -3≤m≤3, 解得1≤m≤3。 综上所述,当命题p,q 一真一假时,实 数m 的取值范围为{m|m<-3或1≤m≤3 或m>4}。 13.提示:因为a,b,c 是不全相等的正 数,且abc=1,所以 a+ b+ c= a abc+ b abc+ c abc= 1 bc+ 1 ac+ 1 ab 。2 1 bc ≤ 1 b+ 1 c ,当且仅当b=c时取等号;2 1 ab ≤ 1 a+ 1 b ,当且仅当a=b时取等号;2 1 ac ≤ 1 a+ 1 c ,当且仅当a=c时取等号。上述三 个不等式中至少有一个等号不成立,所以 2 1 bc+2 1 ab+2 1 ac<2 1 a+ 1 b+ 1 c , 整理得 a+ b+c< 1 a+ 1 b+ 1 c 。 14.提示:(1)x2+(a-4)x+4-2a>0可 化为(x-2)[x-(2-a)]>0。当a>0时,不等 式的解集为{x|x>2或x<2-a};当a=0时, 不等式的解集为{x|x≠2};当a<0时,不等式 的解集为{x|x>2-a或x<2}。 (2)由题意得a(x-2)>-(x-2)2 恒 成立。因为x∈[-1,1],所以x-2∈[-3, -1],所以a<-x+2恒成立。 易知(-x+2)min=1,所以a的取值范围 为a<1,即a∈(-∞,1)。 15.提示:(1)当a=0时,不等式ax2+ 2ax+1=1>0恒成立;当a≠0时,若不等式 ax2+2ax+1≥0对于∀x∈R 恒成立,则 a>0, 4a2-4a≤0, 解得0<a≤1。 综上可得,a的取值范围为[0,1]。 (2)因为x2-x-a2+a<0,且0≤a≤ 1,所以(x-a)[x-(1-a)]<0。 已知0≤a≤1,①当1-a>a,即0≤a< 1 2 时,可得a<x<1-a,②当1-a=a,即 a= 1 2 时,可得 a- 1 2 2 <0,这时无解,③当 1-a<a,即 1 2<a≤1 时,可得1-a<x<a。 综上所述,当0≤a< 1 2 时,解集为{x| a<x<1-a};当a= 1 2 时,解集为⌀;当 1 2< a≤1时,解集为{x|1-a<x<a}。 16.提示:(1)因为不等式ax2-3x+2> 0的解集为{x|x<1或x>b},所以1和b是 方程ax2-3x+2=0的两个实数根,且a> 0,所以 1+b= 3 a , b= 2 a , 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 解得a=1,b=2。 (2)由(1)知y+2x-xy=0。因为x>0,y >0,所 以2x+y=xy= 1 2×2xy≤ 1 2× 2x+y 2 2 。记2x+y=t(t>0),则t2-8t≥0, 解得t≥8,当且仅当 2x=y, 2x+y=xy, 即 x=2 , y=4 时 取等号,所以2x+y的最小值为8。 当ay+bx-xy=0时,有2x+y≥k2- 1恒成立,所以k2-1≤8,解得-3≤k≤3,所 以k的取值范围是{k|-3≤x≤3}。 17.提 示:(1)当 m=3时,不 等 式 为 3x2+2x-1<0,则解集为x∈ -1, 1 3 。 (2)不等式 mx2+2x-m+2<0恒成 立,即函数y=mx2+2x-m+2的图像在x 轴下方。当m=0时,可得2+2x<0,即x< -1,不满足题意;当m≠0时,函数y=mx2 +2x-m+2为二次函数,其图像需满足开 口 向 下 且 与 x 轴 没 有 公 共 点,所 以 m<0, Δ=4-4m(2-m)<0, 此不等式组的解集 为空集,即 m 不存在。综上可得,不存在这 样的实数m 使不等式恒成立。 作者单位:河南省开封市第十中学 (责任编辑 郭正华) 33 核心考点演练 高一数学 2024年9月