15 集合与常用逻辑用语综合演练-《中学生数理化》高一数学2024年9月刊

■王国平(特级教师) 一、选择题 1.若集合 A={1,m2},B={3,9},则 “m=3”是“A∩B={9}”的( )。 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 2.已知a∈R,若集合 M={0,a},N= {0,1,2},则“a=1”是“M⊆N”的( )。 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3.对于集合 M,N,定义 M-N={x| x∈M,且x∉N},M􀱇N=(M-N)∪(N- M),设A= yy≥- 9 24 ,B={y|y<0},则 A􀱇B 等于( )。 A.y - 9 24<y≤0 B.y - 9 24≤y<0 C.y y<- 9 24 或y≥0 D.yy<- 9 24 或y>0 4.定义A*B={Z|Z=xy+1,x∈A, y∈B},设集合 A={0,1},集合 B={1,2, 3},则A*B 集合中真子集的个数是( )。 A.14 B.15 C.16 D.17 5.已知集合A={0,1,2,3,4},B={x| x>m},若A∩(∁RB)有三个元素,则实数m 的取值范围是( )。 A.[3,4) B.[1,2) C.[2,3) D.(2,3] 6.(多选题)设集合S={x|-2≤x≤ 8},T={x|0<x<4},若集合P⊆(∁RT)∩ S,则P 可以是( )。 A.{x|-2≤x≤0} B.{x|5≤x≤7} C.{x|-2≤x≤8} D.{x|1≤x≤5} 7.(多选题)下列“若p,则q”形式的命题 中,p 是q的必要条件的是( )。 A.若x,y 是偶数,则x+y 是偶数 B.若a<2,则方程x2-2x+a=0有实 根 C.若四边形的对角线互相垂直,则这个 四边形是菱形 D.若ab=0,则a=0 8.(多选题)若p:x2+x-6=0是q: ax+1=0的必要不充分条件,则实数a的值 为( )。 A.2 B.- 1 2 C. 1 3 D.3 9.(多选题)定义集合运算:A⊗B={z| z=(x+y)×(x-y),x∈A,y∈B},设A= {2,3},B={1,2},则( )。 A.当x= 2,y= 2时,z=1 B.x 可取两个值,y 可取两个值,z= (x+y)×(x-y)对应4个式子 C.A⊗B 中有4个元素 62 核心考点演练 高一数学 2024年9月 D.A⊗B 的真子集有7个 10.(多选题)已知p:4x-m<0,q:1≤ 3-x≤4,若p 是q的一个必要不充分条件, 则实数m 的值可能是( )。 A.-8 B.8 C.10 D.20 11.(多选题)给定数集 M,若对于任意 a,b∈M,有a+b∈M,且a-b∈M,则称集 合 M 为 闭 集 合,下 列 说 法 中 不 正 确 的 是( )。 A.集合 M={-2,-1,0,1,2}为闭集合 B.整数集是闭集合 C.集合 M={n|n=2k,k∈Z}为闭集合 D.若集合A1,A2 为闭集合,则A1∪A2 为闭集合 12.(多选题)定义:若集合A 非空,且是 集合B 的真子集,则称集合A 是集合B 的孙 子集。下列集合是集合B={1,2,3}的孙子 集的是( )。 A.⌀ B.{1} C.{1,2} D.{1,2,3} 二、填空题 13.已知集合A={x|-1<x<2},B= {x|-1<x<m+1},若x∈A 是x∈B 成立 的一个充分不必要条件,则实数m 的取值范 围是 。 14.若x∈A,则 1 x∈A ,就称A 是“伙伴 关系”集合,集合 M= -1,0, 1 2 ,2,3 的所 有非空子集中具有伙伴关系的集合的个数是 。 15.已知集合 A={x|0≤x≤a},集合 B={x|m2+3≤x≤m2+4},若命题“∃m∈ R,A∩B≠⌀”为假命题,则实数a 的取值范 围是 。 16.设n∈N*,一元二次方程x2-4x+ n=0有整数根的充要条件是n= 。 三、解答题 17.用符号“∀”与“∃”表示下面含有量 词的命题,并判断真假。 (1)对所有的实数a,b,方程ax+b=0 恰有唯一解。 (2)存在实数x,使得 1 |x+1|+1=2 。 18.在①A∩B={1},②A=B,③B⫋A 这三个条件中任选一个,补充在下面问题中。 若问题中的集合存在,求实数a的值;若问题 中的集合不存在,说明理由。 问题:是否存在集合 A,B,满足集 合 A={x|x2-3x+2=0},集合B={x|6x2+ 6ax+a2-a=0}且B≠⌀,使得 成立? (说明:如果选择多个条件分别解答,按第一 个解答计分) 19.设集合 A={x|-1≤x≤2},集合 B={x|2m<x<1}。 (1)若B≠⌀,且“x∈A”是“x∈B”的必 要不充分条件,求实数m 的取值范围。 (2)若B∩(∁RA)中只有一个整数,求实 数m 的取值范围。 20.从①A∩B=A,②A∩(∁RB)=⌀, ③“x∈A”是“x∈B”的充分条件,这三个条 件中选择一个,补充到本题(2)问的横线处, 求解下列问题。 问题:已知集合A={x|a-1≤x≤a+ 1},B={x|-1≤x≤2}。 (1)当a=2时,求A∪B。 (2)若 ,求实数a的取值范围。 21.已知集合 A={x|x2-ax+a2- 19=0},集合B={x|x2-5x+6=0},集合 C={x|x2+2x-8=0}。 (1)若A∩B={2},求实数a的值。 (2)若A∩B≠⌀,A∩C=⌀,求实数a 的值。 一、选择题 1.提示:若m=3,则A={1,9},B={3, 9},A∩B={9},所以“m=3”是“A∩B= {9}”的充分条件。若 A∩B={9},则 m2= 9,即m=±3,所以A∩B={9}⇒/ m=3,所 以“m=3”是“A∩B={9}”的充分不必要条 件。应选A。 2.提示:当a=1时,集合 M={1,0}, N={0,1,2},可得M⊆N,满足充分性;若M⊆ 72 核心考点演练 高一数学 2024年9月 N,则a=1或a=2,不满足必要性。故“a=1” 是“M⊆N”的充分不必要条件。应选A。 3.提示:因为 A= yy≥- 9 24 ,B= {y|y<0},所以A-B={y|y≥0},B-A= yy<- 9 24 。所以 A􀱇B=(A-B)∪ (B-A)={y|y≥0}∪ y y<- 9 24 = yy<- 9 24 或y≥0 。应选C。 4.提示:因为 A={0,1},B={1,2,3}, 所以A*B={Z|Z=xy+1,x∈A,y∈B} ={1,2,3,4},则A*B 集合中真子集的个数 是24-1=15。应选B。 5.提示:因为集合 A={0,1,2,3,4}, B={x|x>m},所以∁RB={x|x≤m}。若 A∩(∁RB)有三个元素,则2≤m<3,即实数 m 的取值范围是[2,3)。应选C。 6.提 示:由 题 意 得(∁RT)∩S={x| -2≤x≤0或4≤x≤8}。应选AB。 7.提示:x+y 是偶数不一定能推出x,y 是偶数,因为x,y 可以是奇数,A不符合题 意。当方程 x2-2x+a=0有实根时,则 (-2)2-4a≥0,可得a≤1,显然能推出a< 2,B符合题意。菱形对角线互相垂直,由四 边形是菱形能推出四边形的对角线互相垂 直,C符合题意。显然由a=0能推出ab= 0,D符合题意。应选BCD。 8.提示:由x2+x-6=0,可得x=2或 x=-3,即p:x=2或x=3。对于ax+1= 0,当a=0时,方程无解;当a≠0时,x= - 1 a ,由题意知p⇒/ q,q⇒p,则只有a≠0,此 时- 1 a=2 或- 1 a=-3 ,解得a=- 1 2 或 a= 1 3 。综上可得,a=- 1 2 或a= 1 3 。应选 BC。 9.提示:当x= 2,y= 2时,z=(2+ 2)×(2- 2)=0,A错误。x 可取 2,3, y 可取1,2,则z可取(2+1)×(2-1)= 1,(2+ 2)×(2- 2)=0,(3+1)× (3-1)=2,(3+ 2)×(3- 2)=1,共4 个式子,B正确。A⊗B={0,1,2},共3个元 素,C错误。A⊗B 的真子集的个数为23- 1=7,D正确。应选BD。 10.提示:由4x-m<0,解得x< m 4 。由 1≤3-x≤4,解得-1≤x≤2。因为p 是q 的一个必要不充分条件,所以m 4>2 ,解得 m>8。应选CD。 11.提示:显然当a=-2,b=2时,a- b=-4∉M,则集合 M 不是闭集合,A不正 确。因为任意两个整数相减或相加都是整 数,所以整数集是闭集合,B正确。若a= 2k,b=2(k+l)且k,l∈Z,则a+b=2(2k+ l)∈M,a-b=-2l∈M,所以集合 M 为闭 集合,C正确。若 A1={x|x=2k,k∈Z}, A2={x|x=3k,k∈Z},显然2+3=5∉ A1∪A2,则A1∪A2 不是闭集合,D不正确。 应选AD。 12.提示:由题意知集合B={1,2,3}的 孙子集有{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3}。 应选BC。 二、填空题 13.提示:由x∈A 是x∈B 成立的一个 充分 不 必 要 条 件,可 得 A ⫋ B,所 以 m+1>-1, m+1>2, 解得m>1,即实数 m 的取值 范围是{m|m>1}。 14.提示:具有伙伴关系的元素组是-1, 1 2 ,2,所以具有伙伴关系的集合有3个,即 {-1},12 ,2 ,-1,12,2 。 15.提 示:由 题 意 得 该 命 题 的 否 定 “∀m∈R,A∩B=⌀”为真命题。当a<0 时,集合 A=⌀,符合 A∩B=⌀。当a≥0 时,因为m2+3>0,所以a<m2+3对于任 意m∈R 恒成立。又 m2+3≥3,所以0≤ a<3。综上可得,a<3,即实数a 的取值范 围为{a|a<3}。 16.提示:由题意得x= 4± 16-4n 2 = 82 核心考点演练 高一数学 2024年9月 2± 4-n。因为x 是整数,即2± 4-n为 整数,所以 4-n为整数,且n≤4。又因为 n∈N*,取n=1或2或3或4,验证可知n= 3或4符合题意;反之,当n=3或4时,可推 出一元二次方程x2-4x+n=0有整数根。 故n=3或n=4。 三、解答题 17.提示:(1)∀a∈R,b∈R,方程ax+ b=0恰有唯一解。该命题是假命题,如当 a=0,b=1时,方程无解。 (2)∃x∈R,使得 1 |x+1|+1=2 。该命 题是假 命 题,因 为|x+1|+1≥1,所 以 1 |x+1|+1≤1 ,所 以 不 存 在 x∈R,使 得 1 |x+1|+1=2 。 18.提示:由条件可得A={1,2}。 选条件①,要使A∩B={1},需满足1∈ B,2∉B,所以6+6a+a2-a=0,且6×4+ 6a×2+a2-a≠0,解得a=-2。 选条 件②,A=B={1,2},则6x2+ 6ax+a2-a=0的两根为1,2。由根与系数 的关系可得 1+2= -6a 6 , 1×2= a2-a 6 , 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁 􀪁􀪁 解得a=-3。 选条件③,由 B⫋A,可得 B={1}或 B={2}。当B={1}时,由 1+1= -6a 6 , 1×1= a2-a 6 , 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁 􀪁􀪁 解 得 a = -2; 当 B = {2} 时, 由 2+2= -6a 6 , 2×2= a2-a 6 , 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁 􀪁􀪁 解得 a=-4, a2-a-24=0, 此时无 解。综上可得,a=-2。 19.提示:(1)因为B≠⌀,所以2m<1, 解得m< 1 2 。又“x∈A”是“x∈B”的必要不 充分条件,所以B⫋A,则满足2m≥-1,即 m≥- 1 2 。综上所述,实数m 的取值范围是 - 1 2≤m< 1 2 。 (2)因为A={x|-1≤x≤2},所以∁RA ={x|x<-1或x>2}。 ①当 B ≠⌀时,可得 m< 1 2 。若 B∩ (∁RA)中只有一个整数,则-3≤2m<-2, 解得- 3 2≤m<-1 ;②当 B=⌀时,可得 m≥ 1 2 ,不符合题意。 综上所述,实数m 的取值范围是- 3 2≤ m<-1。 20.提示:(1)当a=2时,A={x|1≤ x≤3},B={x|-1≤x≤2},所以 A∪B= {x|-1≤x≤3}。 (2)若选择①,A∩B=A,则A⊆B。因 为A={x|a-1≤x≤a+1},所以 A≠⌀。 又B={x|-1≤x≤2},所以 a-1≥-1, a+1≤2, 解 得0≤a≤1,所以实数a 的取值范围是0≤ a≤1。 若选择②,A∩(∁RB)=⌀,则 A⊆B。 解法同选择①(略)。 若选择③,“x∈A”是“x∈B”的充分条 件,则A⊆B。解法同选择①(略)。 21.提示:(1)由题意得B={2,3}。因为 2∈A,所以4-2a+a2-19=0,即a2-2a- 15=0,解得a=-3或a=5。当a=-3时, A={x|x2+3x-10=0}={-5,2},A∩ B={2},符合题意;当a=5时,A={x|x2- 5x+6=0}={2,3},A∩B={2,3},不符合 题意。综上可得,实数a的值为-3。 (2)由题意得B={2,3},C={-4,2}。 由A∩B≠⌀,A∩C=⌀,可得3∈A,所以 9-3a+a2-19=0,即a2-3a-10=0,解得 a=-2或a=5。当a=-2时,A={x|x2 +2x-15=0}={-5,3},满足题意;当a=5 时,A={x|x2-5x+6=0}={2,3},不满足 题意。综上可得,实数a的值为-2。 作者单位:河南省开封高中 (责任编辑 郭正华) 92 核心考点演练 高一数学 2024年9月