13 集合问题求解中的“核心素养”&14 探究充分必要条件落实核心素养-《中学生数理化》高一数学2024年9月刊

■王 兴 借助集合概念的形成和集合工具性的应 用,可以培养同学们的数学抽象、逻辑推理、 数学运算、直观想象等核心素养。 一、集合的基本概念形成中的“素养” 例1 已知集合 A= x x∈Z,且 3 2-x ∈Z ,则集合A 中的元素个数为 。 解:因为 3 2-x∈Z ,所以2-x 的取值为 -3,-1,1,3。又因为x∈Z,所以x的值分别 为5,3,1,-1。故集合A 中的元素个数为4。 素养:研究一个集合时,首先要看集合中 的代表元素的属性,然后看元素的限制条件。 二、集合基本关系探究中的“素养” 例2 已知集合A={x|x2-3x+2=0, x∈R},B={x|0<x<5,x∈N},则满足条 件A⊆C⊆B 的集合C 的个数为 。 解:由题意得集合A={1,2},B={1,2, 3,4}。因为A⊆C⊆B,所以C={1,2},C= {1,2,3},C={1,2,4}或C={1,2,3,4}。答 案为4。 素养:判断集合间的关系,先要对集合进 行化简,然后进行判断。注意在描述集合的 基本关系时,要尽量精确。 三、集合运算求解中的“素养” 例3 已知集合U={1,2,3,4,5,6,7}, A={2,3,4,5},B={2,3,6,7},则B∩∁UA =( )。 A.{1,6} B.{1,7} C.{6,7} D.{1,6,7} 解:依题意得∁UA={1,6,7},所以B∩ ∁UA={6,7}。应选C。 素养:集合的交、并、补集的运算,要从集 合中元素的构成入手,先化简集合再进行运 算,有时借助数轴、坐标系或 Venn图,可使 问题简单化。 四、利用集合概念及运算求参数中的“素 养” 例4 已知集合 A={x|x2≥4},集合 B={m}。若A∪B=A,则m 的取值范围为 。 解:因为 A∪B=A,所以 B⊆A,所以 m∈A,所以m2≥4,解得m≥2或m≤-2, 所以 m 的取值范 围 为(-∞,-2]∪[2, +∞)。 素养:利用集合的运算求参数的两个注 意点:与不等式有关的集合,一般利用数轴解 决,要注意端点值能否取到;若集合能一一列 举,则一般先用观察法得到不同集合中元素 之间的关系,再列方程(组)求解。在求出参 数后,注意结果的验证(满足互异性)。 五、集合新定义求解中的“素养” 例5 集合 A 满足:若x∈A,则-x∈ A,那么就称集合A 为“对称集合”。已知集 合A={2x,0,x2+x},且A 是对称集合,集 合B 是自然数集,则A∩B= 。 解:由题意得-2x=x2+x,所以x=0 或x=-3。当x=0时,不符合元素的互异 性,舍去。当x=-3时,A={-6,0,6}。所 以A∩B=A∩N={0,6}。 素养:对于新定义的集合问题,要认真阅 读题意,利用新定义将集合问题转化为集合 间的关系或集合的有关运算,或直接利用新 定义对问题进行求解。 集合A={x|-1<x<3},集合B={x| m<x<-m},若B⊆A,则m 的取值范围为 。 提示:当m≥0时,B=⌀,显然B⊆A。 当m<0时,要使B⊆A,结合数轴(图略)得 m≥-1, -m≤3, m<-m, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 所以-1≤m<0。综上可得,m 的 取值范围为[-1,+∞)。 作者单位:江苏省靖江市刘国钧中学 (责任编辑 郭正华) 32 数学文化与赏析 高一数学 2024年9月 ■丁 杰 命题是数学中的重要构成形式,其中的充 分必要条件是数学中的一个重要概念,判断充 分必要条件问题是每年高考的必考内容。下 面结合具体例题,就判断充分必要条件的常 见解题技巧与方法进行剖析,帮助同学们学 好这部分知识,进一步提高同学们数学思维 的灵活性,提高同学们的数学核心素养。 一、特值法 例1 (1)“a2 >b2”是 “a<b<0” 的( )。 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 (2)“x 为 整 数”是 “2x+1 为 整 数” 的( )。 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解:(1)由a2-b2=(a+b)(a-b),a< b<0,可得a2-b2>0,即a2>b2 成立;反之, 由a2>b2 不一定得到a<b<0,如a=-3, b=-2,满足a<b<0,但不满足a2>b2。故 “a2>b2”是“a<b<0”的必要不充分条件。 应选B。 (2)当x 为整数时,2x+1必为整数;当 2x+1为整数时,x 不一定为整数,如当2x+ 1=2时,x= 1 2 。所以“x为整数”是“2x+1为 整数”的充分不必要条件。应选A。 利用特值法判断充分必 要条件具有一定的片面性和 局限性,这种方法只能用来判断推不出来的 情况,这时举个反例即可,而对于命题成立的 时候就不能用这种方法进行判断了。 二、定义法 例2 (1)设x∈R,则“x=2”是“x2=4” 的( )。 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 (2)x=-1是|x|=1的( )。 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解:(1)当x=2时,可得x2=4,即充分 性成立;由x2=4,可得x=2或x=-2,即 必要性不成立。 故“x=2”是“x2=4”的充分不必要条 件。应选A。 (2)若x=-1,则|x|=1,所以“x= -1”是“|x|=1”的充分条件。若|x|=1,则 x=±1,不一定推出x=-1,所以“x=-1” 是“|x|=1”的不必要条件。故“x=-1”是 “|x|=1”的充分不必要条件。应选A。 利用定义法判断充分必 要条件的核心是判断两个命 题之间的推出关系,根据充分条件、必要条件 的定义直接判断即可。 三、集合法 例3 (1)若x∈R,则“x≥4”是“|x-2| ≥2”的( )。 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 (2)定义二阶行列式 a c b d =ad-bc, 则“x 2x 1 x >|x|”是 “x2 -3x >0” 的( )。 42 数学文化与赏析 高一数学 2024年9月 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解:(1)不等式|x-2|≥2可化为x≥4 或x≤0,所以由“x≥4”可推出“|x-2|≥ 2”,所以“x≥4”是“|x-2|≥2”的充分条件。 显然由“|x-2|≥2”不一定推出“x≥4”,所 以“x≥4”不是“|x-2|≥2”的必要条件。故 “x≥4”是“|x-2|≥2”的充分不必要条件。 应选A。 (2)由 x 2x 1 x >|x|,可得x2-2x> |x|。当x≥0时,可得 x2-2x>x,解得 x>3;当x<0时,可得x2-2x>-x,解得 x<0。所以 x 2x 1 x >|x|的解集为(-∞, 0)∪(3,+∞)。 由x2-3x>0,即x(x-3)>0,解得 x>3或x<0,即不等式x2-3x>0的解集 为(-∞,0)∪(3,+∞)。 所以“x 2x 1 x >|x|”是“x2-3x>0” 的充要条件。应选C。 当题目给出的条件和结 论都可以转化为集合的形式 时,可以考虑使用集合法来判断充分必要条 件,这种方法主要用来解决有关集合中的包 含或相等方面的问题。 四、传递法 例4 (1)2022年11月1日凌晨4点27 分,梦天实验舱与天和核心舱成功实现“太空 握手”。对接时,只有空间站组合体与梦天实 验舱处于同一轨道高度,且空间站组合体前 向对接口朝向了梦天实验舱赶上来的方向, 才能实现“太空握手”。根据以上信息,可知 “梦天实验舱与天和核心舱成功实现‘太空握 手’”是“空间站组合体与梦天实验舱处于同 一轨道高度”的( )。 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 (2)在如图1,图2,图3,图4所示的电路 中,下列说法正确的是 。(填序号) ①如图1,开关A 闭合是灯泡B 亮的充 分不必要条件; ②如图2,开关A 闭合是灯泡B 亮的必 要不充分条件; ③如图3,开关A 闭合是灯泡B 亮的充 要条件; ④如图4,开关A 闭合是灯泡B 亮的必 要不充分条件。 解:(1)由题意知,“太空握手”⇒“空间站 组合体与梦天实验舱处于同一轨道高度”; “空间站组合体与梦天实验舱处于同一轨道 高度”⇒/ “太空握手”。故“梦天实验舱与天和 核心舱成功实现‘太空握手’”是“空间站组合 体与梦天实验舱处于同一轨道高度”的充分 不必要条件。应选A。 (2)①开关A 闭合,灯泡B 亮,当灯泡B 亮时,开关A 不一定闭合,所以开关A 闭合 是灯泡B 亮的充分不必要条件,①正 确。 ②开关A 闭合,灯泡B 不一定亮,当灯泡B 亮时,开关A 必须闭合,所以开关A 闭合是 灯泡B 亮的必要不充分条件,②正确。③开 关A 闭合,灯泡B 亮,当灯泡B 亮时,开关 A 必须闭合,所以开关A 闭合是灯泡B 亮的 充要条件,③正确。④开关 A 闭合,灯泡B 不一定亮,当灯泡B 亮时,开关A 不一定闭 合,所以开关A 闭合是灯泡B 亮的既不充分 也不必要条件,④错误。答案为①②③。 传递法判断充分必要条 件时,要准确构建命题之间的 关联,采取层层递进的方法进行推理,推理过 程中要注意前后命题之间的等价性。 作者单位:安徽省临泉田家炳实验中学 (责任编辑 郭正华) 52 数学文化与赏析 高一数学 2024年9月