11 利用基本不等式求最值题型解析&12 侧重教材热点洞察高考本质-《中学生数理化》高一数学2024年9月刊

■张 坤 张付坤 基本不等式反映了两个正数的算术平均 数与它们的几何平均数之间的关系。解题 时,有些问题不能直接应用基本不等式求解, 需要进行恒等变换,构造出基本不等式的适 用背景———“一正、二定、三相等”进行求解。 题型一:配凑法的应用 例1 函数f(x)= x2-x+1 x-1 (x>1)的 最小值为 。 解:由x>1,可得x-1>0,所以f(x) = x2-x+1 x-1 = (x-1)2+x x-1 =x-1+ x x-1= x-1+ x-1+1 x-1 =x-1+ 1 x-1+1≥ 2 (x-1)· 1 x-1+1=3 ,当且仅当x-1= 1 x-1 ,即x=2时取等号,所以函数f(x)的 最小值为3。 评注:配凑法的实质是代数式的灵活变 形,其中配系数、配项是解题的关键。 题型二:常值代换 例2 已知a,b∈R+ 且2a+b=1,则 1 a2 + 4 b2 的最小值是 。 解:1 a2 + 4 b2 = 1 a2 + 4 b2 ·(2a+b)2= 1 a2 + 4 b2 ·(4a2+4ab+b2)=8+4 ba+ 4a b + b 2 a2 + 16a2 b2 。 因为a,b∈R+,所以 b a>0 ,4a b >0 ,所以 b a+ 4a b≥2 b a ·4a b =4 ,当且仅当b a= 4a b , 即 b = 2a 时 取 等 号。 b2 a2 + 16a2 b2 ≥ 2 b2 a2 ·16a 2 b2 =8,当且仅当 b2 a2 = 16a2 b2 ,即b= 2a时取等号。 所以 1 a2 + 4 b2 ≥8+4×4+8=32,当且仅 当b=2a,即a= 1 4 ,b= 1 2 时取等号。故1 a2 + 4 b2 的最小值是32。 评注:两次使用基本不等式,要注意两次 等号成立的条件是否一致。 题型三:和积共存 例3 (1)若正数x,y 满足2x+3y= xy,则3x+2y 的最小值为 。 (2)已知x>0,y>0,且xy+x-2y= 4,则2x+y 的最小值是 。 解:(1)由2x+3y=xy,两边同除以xy 得 2 y + 3 x=1 。因为3x+2y= 2 y+ 3 x (3x +2y)=13+ 6x y + 6y x ,又x,y 都是正数,所 以13+ 6x y + 6y x ≥13+2 6x y ·6y x =25 ,当 且仅当x=y,即x=y=5时取等号。故3x +2y 的最小值为25。 (2)(消元法)已知x>0,y>0,由xy+ x-2y=4,可得(y+1)x=4+2y,所以x= 2y+2+2 y+1 =2+ 2 y+1 。故2x+y=4+ 4 y+1 +(y+1)-1≥3+2 4 y+1 ·(y+1)= 7,当且仅当 4 y+1 =y+1,即y=1,x=3时取 等号。所以2x+y 的最小值为7。 (因式分解法)因为xy+x-2y=4,所 以(x-2)(y+1)=2。因为y>0,所以y+ 1>0,所以x-2>0。 故2x+y=2(x-2)+(y+1)+3≥ 2 2(x-2)(y+1)+3=7,当且仅当2(x- 2)=y+1,即y=1,x=3时等号成立。所以 2x+y 的最小值为7。 评注:求和积共存型的最值,要注意条件 式中是否有常数。若无常数,可转化为常值代 换型来处理;若有常数,可利用消元法来处理。 作者单位:河南省光山县第二高级中学 (责任编辑 郭正华) 02 知识结构与拓展 高一数学 2024年9月 ———探究集合间的基本关系 ■叶 雨 集合间的基本关系是高中数学的重点内 容,也是每年高考的必考内容,高考常以选择 题的形式进行考查。下面就这部分常见的解 题技巧与方法进行剖析。 一、判断两个集合的包含关系 两个集合之间的包含关系是指集合 A 中的所有元素都在集合B 中,也就是说“集合 A 包含于集合B”或“集合B 包含集合A”,这 种关系类似于代数中的“小于或等于”。 例1 (1)已知集合 M={x|x=1+a2, a∈N*},P={x|x=a2-4a+5,a∈N*},则 M 与P 的关系为( )。 A.M=P B.M⊆P C.P⊆M D.M⫋P (2)已知集合 P={x|x=m2+1,m∈ N*},Q={y|y=n2-6n+10,n∈N*},则集 合P 与Q 的关系为( )。 A.P=Q B.P⫋Q C.Q⫋P D.P⊆Q 且Q⊆P 解:(1)①对于任意的x∈M,则x=1+ a2=(a+2)2-4(a+2)+5。因为a∈N*,所 以a+2∈N*,所以x∈P。由子集定义知 M⊆P。②当1∈P 时,由a2-4a+5=1,可 得a=2,而1+a2=1在a∈N*上无解,所以 1∉M。由①②可得,M⫋P。应选D。 (2)由题意可知集合 P={2,5,10,17, 26,37,50,65,82,101,122,145,…},Q={1, 2,5,10,17,26,37,50,65,82,101,122, 145,…},所以∀x∈P,都有x∈Q。而1∈ Q,1∉P,所以P⫋Q。应选B。 评注:集合之间的包含关系是根据集合 中元素的关系来判断的。 二、确定集合的子集与真子集 子集和真子集是集合中两个非常重要的 概念,子集强调包含关系,而真子集相对于子 集来说,强调包含关系和不相等关系,真子集 是子集的一种特殊情况。 例2 (1)满足条件{1,2}⊆M⫋{1,2, 3,4,5,6,7}的所有集合 M 的个数是 。 (2)已知集合 M={x∈N|2x-3<2}, 则集合 M 的非空子集的个数是 。 解:(1)由集合 M 满足条件{1,2}⊆M⫋ {1,2,3,4,5,6,7},可得集合 M 至少含元素 1,2,将1,2看成一个整体用a 来表示,则上 述集合关系即为{a}⊆M⫋{a,3,4,5,6,7}, 则此时集合 M 为集合{3,4,5,6,7}的真子 集。所求问题可转化为求集合{3,4,5,6,7} 的真子集的个数。因为25-1=31,所以满足 题意的集合 M 的个数是31。 (2)因为集合 M={x∈N|2x-3<2}= x∈N x< 5 2 ={0,1,2},即集合 M 中有3 个元素,所以集合 M 的非空子集的个数是 23-1=7。 评注:子集实际上比真子集的范围要大 一些,子集中允许包含全集这种情况,而真子 集不包含全集这种情况,要注意两者之间的 内在联系。 三、利用集合相等求参数 利用集合相等求参数时,要理解题设中 两个集合不同的语言表达方式,要注意两个 集合元素的有关性质,关键是集合相等的性 质的灵活应用。 例3 (1)已知集合 A={1,a,b},B= {-1,a2,b2},若A=B,则a·b=( )。 A.1 B.0 C.-1 D.无法确定 (2)已知集合A={a,a+b,a+2b},B= 12 知识结构与拓展 高一数学 2024年9月 {a,ac,ac2},若A=B,则c的值为 。 解:(1)由A={1,a,b},可知a≠1,b≠ 1。因为A=B,所以a2=1或b2=1。 当a2=1时,可得a=-1或a=1(舍 去),由b=b2,解得b=0或b=1(舍去),此 时A={1,-1,0},B={-1,1,0},符合题 意,所以a·b=(-1)×0=0。 当b2=1时,可得b=-1或b=1(舍 去),由a=a2,解得a=0或a=1(舍去),此 时A={1,0,-1},B={-1,0,1},符合题 意,所以a·b=0×(-1)=0。 综上所述,a·b=0。应选B。 (2)① 由 a+b=ac, a+2b=ac2, 消 去 b 得a+ ac2-2ac=0。当a=0时,集合B 中的三个 元素相同,不满足集合中元素的互异性,则 a≠0,所以c2-2c+1=0,可得c=1,此时集 合B 中的三个元素也相同,所以c=1舍去, 所以此时无解。②由 a+b=ac2, a+2b=ac, 消去b 得 2ac2-ac-a=0,同理a≠0,所以2c2-c- 1=0,可得c=- 1 2 或c=1(舍去),经检验 c=- 1 2 满足题意。综上所述,c=- 1 2 。 评注:利用集合相等的性质解题时,要注 意集合元素的互异性的检验。 四、空集的性质及应用 空集是不含任何元素的集合,空集是任 意集合的子集,是任意非空集合的真子集。 因为空集的性质比较独特,所以在解题中占 有特殊的位置。解题时,如果忽视空集的存 在性,就会造成漏解或错解。 例4 已知集合 A={x|-1<x<3}, B={x|-m<x<m},若B⊆A,则m 的取 值范围为 。 解:已知A={x|-1<x<3},B={x| -m<x<m},若B⊆A,则集合A 应含有集 合B 的所有元素。下面对集合B 进行分类 讨论求解。 ①当B=⌀时,由-m≥m,可得m≤0。 ②当B≠⌀时,由B⊆A,可得集合B 的 端点需满足-m<m,-1≤-m,m≤3这三 个条件同时成立,解得0<m≤1。 综上可得,实数m 的取值范围为m≤1, 即m∈(-∞,1]。 评注:空集是不含任何元素的集合,在解 题时很容易被忽视,因此要重视空集的存在。 五、利用集合的包含关系求参数 利用集合的包含关系求参数是集合中 的一类重要题型,解答这类问题,可利用数 形结合思想求解,但要注意区间端点值的 取舍。 例5 已知集合 A={x|x2+3x-4≥ 0},集合B= x x-2 2x ≤0 。 (1)求集合A,B。 (2)若集合C={x|2a<x<1+a},且 C⊆(A∩B),求实数a的取值范围。 解:(1)由x2+3x-4≥0,可得(x+4)· (x-1)≥0,解得x≤-4或x≥1,所以集合 A={x|x≤-4或x≥1}。 由 x-2 2x ≤0 ,可得2x(x-2)≤0且x≠ 0,解得0<x≤2,所以集合B={x|0<x≤ 2}。 (2)由(1)得A∩B={x|1≤x≤2}。 已知C⊆(A∩B),下面对集合C 分情 况讨论求解。 当C=⌀时,由2a≥1+a,解得a≥1; 当C ≠ ⌀时,由 2a<1+a, 2a≥1, 1+a≤2, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 解得 1 2≤ a<1。 综上可得,实数a 的取值范围为a≥ 1 2 , 即a∈ 12 ,+∞ 。 评注:由集合的包含关系求参数时,先确 定集合之间的包含关系,在数轴上画出两集 合之间的关系,这样就可以将集合的关系转 化为不等式的关系,再利用解不等式求出参 数的值或范围。 作者单位:安徽省利辛县第二完全中学 (责任编辑 郭正华) 22 知识结构与拓展 高一数学 2024年9月