10 聚焦补集思想的应用-《中学生数理化》高一数学2024年9月刊

■余晓英 在面对复杂或难以正面突破的数学问题 时,我们可以改变解题策略,不直接处理原问 题,而是分析问题的反面,探索题目中已知条 件与未知条件之间的联系,通过间接途径来 揭示问题的本质,这就是补集思想,这种方法 有助于发现不同的解题路径,从而在看似无 解的僵局中打开新局面。通过关注整体与部 分的关系,补集思想允许我们从更广阔的视 角审视问题,有时甚至能引领我们发现更深 层次的数学结构和规律。 聚焦1:全集和补集的理解中借助韦恩图 例1 (多选题)如图1,全集为U,集合 A,B 是U 的两个子集,则阴影部分可表示为 ( )。 图1 A.(A∩B)∪∁U(A∪B) B.(A∪B)∩∁U(A∩B) C.(A∩B)∪[(∁UA)∩(∁UB)] D.(A∪B)∩[(∁UA)∪(∁UB)] 解:根据图中阴影可知,(A∩B)∪∁U(A ∪B)符合题意。因为∁U(A∪B)=(∁UA)∩ (∁UB),所以(A∩B)∪[(∁UA)∩(∁UB)]也 符合题意。应选AC。 感悟:利用Venn图表示集合间的关系, 体现了数形结合的思想方法,对于较复杂关 系的图形要学会拆解图形,再逐步复合。 聚焦2:交、并、补集运算中借助运算律 ∁U(A∩B)=(∁UA)∪(∁UB),∁U(A∪B)= (∁UA)∩(∁UB) 例2 (1)设集合U={1,2,3,4,5,6,7}, 集合A={2,4,5,7},B={3,4,5},则(∁UA) ∪(∁UB)= 。 (2)设集合U={1,2,3,4},A={1,2}, B={2,4},则(∁UA)∩(∁UB)= 。 解:(1)交集的补集可转化为补集的并 集,补集的并集可转化为交集的补集。因为 (∁UA)∪(∁UB)=∁U(A∩B),又 A∩B= {4,5},所以(∁UA)∪(∁UB)=∁U(A∩B)= {1,2,3,6,7}。 (2)由A∪B={1,2,4},可得∁U(A∪B) ={3},所以(∁UA)∩(∁UB)=∁U(A∪B)= {3}。 感悟:利用并集和交集运算∁U(A∩B) =(∁UA)∪(∁UB),∁U(A∪B)=(∁UA)∩ (∁UB),可使解题过程简单快捷。 聚焦3:补集思想常运用于解决否定型 的问题 例3 (1)若集合P={x|mx+2>m}, 3∉P,则实数m 的取值范围为 。 (2)已知集合P={x|4≤x<5,x∈R}, Q={x|k+1≤x<2k-1,x∈R},当 P∩ Q≠Q 时,求实数k的取值范围。 解:(1)从反面入手,利用元素与集合间 的关系求解。若3∉P,则3∈∁RP。因为 ∁RP= x mx+2≤m ,所以3m+2≤m,可 得m≤-1,即实数 m 的取值范围为(-∞, -1]。 (2)当P∩Q=Q 时,则Q⊆P。当Q= ⌀时,满足Q⊆P,此时k+1≥2k-1,解得 k≤2;当 Q ≠ ⌀ 时,要 使 Q⊆P,需 满 足 k+1<2k-1, k+1≥4, 2k-1<5, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 解得 k>2, k≥3, k<3, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 这时k 的解集为 ⌀。综上可知,当P∩Q=Q 时,k≤2。由补 集思想可知,当P∩Q≠Q 时,k>2,即实数k 的取值范围是(2,+∞)。 感悟:对于(1),由a∉A,可转化为a∈ ∁RA 求解。对于(2),不难发现P∩Q≠Q 的 81 知识结构与拓展 高一数学 2024年9月 反面较为简单,可转换思考方向,通过分析问 题的反面来寻求解题线索。这种逆向思维往 往能够简化解题过程,并有助于直接得出肯 定的结论。 聚焦4:补集思想常运用于解决至多或 至少型的问题 例4 (1)若集合 M⫋{1,2,3,4,5,6, 7},且 M 中至少含有两个奇数,则满足条件 的集合 M 的个数是 。 (2)已知集合A={x|ax2-2x+1=0} 中至多含有一个元素,则实数a 的取值范围 是( )。 A.(-∞,1] B.[1,+∞) C.(-∞,1]∪{0} D.[1,+∞)∪{0} 解:(1)利用补集思想考虑问题,即考虑 其反面有两种情况。 若 M 中不含有奇数,则集合 M 的个数 等于集合{2,4,6}的子集的个数,即为23=8。 若 M 中只含有一个奇数,则有4种可能 情况,这时集合 M 的个数等于集合{2,4,6} 的子集的个数的4倍,即23×4=32。因为不 考虑奇数时,集合 M 的个数为27-1=127, 所以满足条件的集合 M 的个数为127-8- 32=87。 (2)(方法1)用补集思想考虑问题,可知 A={x|ax2-2x+1=0}中含有2个元素,即 方程ax2-2x+1=0有两个根。当a=0 时,由-2x+1=0,解得x= 1 2 ,此时不符合 题意;当a≠0时,ax2-2x+1=0为一元二 次方程,由Δ=4-4a>0,可得a<1,所以 a<1且a≠0。故集合 A={x|ax2-2x+ 1=0}中至多含有一个元素,a 的取值范围为 [1,+∞)∪{0}。应选D。 (方法2)原问题可转化为方程ax2- 2x+1=0至多有一个根。当a=0时,由 -2x+1=0,解得x= 1 2 ,此时符合题意;当 a≠0时,ax2-2x+1=0为一元二次方程, 由Δ=4-4a≤0,解得a≥1。 综上 可 得,实 数 a 的 取 值 范 围 为[1, +∞)∪{0}。应选D。 感悟:当要求的问题的反面情况较少,且 比较容易求解时,可以考虑使用补集思想求 解。 聚焦5:补集思想常运用于正面较复杂 的情况 例5 已知集合 A={x|-2≤x≤4}, B={x|x>a}。 (1)若 A∩B≠⌀,求实数a 的取值范 围。 (2)若A∩B≠A,求实数a的取值范围。 (3)若A∩B≠⌀且A∩B≠A,求实数 a的取值范围。 解:利用补集思想,从问题的反面考虑, 解答就简单多了。 (1)当A∩B=⌀时,可得a≥4,所以当 A∩B≠⌀时,可得a<4,即a∈(-∞,4)。 (2)当A∩B=A,即A⊆B 时,可得a< -2,所以当A∩B≠A 时,可得a≥-2,即 a∈[-2,+∞)。 (3)当A∩B≠⌀且A∩B≠A 时,可得 a<4且a≥-2,所以当 A∩B≠⌀且 A∩ B≠A 时,可得-2≤a<4,即a∈[-2,4)。 感悟:对于难以从正面解决的问题,可以 采用补集思想,转换方向,从问题的反面出 发,寻找已知条件与未知条件之间的联系。 这样常常能简化复杂问题,使隐藏的逻辑变 得明晰,从而顺利地解决问题。 设集合 A={x|x2-5x+4<0},B= {x|x2-2ax+a+2>0},若 A∩B≠⌀,求 实数a的取值范围。 提示:易得 A=(1,4)。若 A∩B=⌀, 则在区间(1,4)上,不等式x2-2ax+a+2≤ 0恒成立。由y=x2-2ax+a+2的图像开 口向上可得,当x=1和x=4时,都有y≤0, 所以 1-2a+a+2≤0, 16-8a+a+2≤0, 解得a≥3,所以当 A∩B≠⌀时,实数a的取值范围为a<3。 作者单位:陕西省榆林市第二中学 (责任编辑 郭正华) 91 知识结构与拓展 高一数学 2024年9月