09 基本不等式的六个作用-《中学生数理化》高一数学2024年9月刊

■李晓萍 如果a>0,b>0,那么 ab≤ a+b 2 ,当且 仅当a=b时等号成立。基本不等式是高中 数学的重要内容,也是每年高考考查的重点, 常见的考题类型有求最值、比较大小、求参数 的取值范围、证明不等式。 作用一:求最大值 例1 已知x>0,y>0,且2x+y=3, 则xy 的最大值为 。 解:因 为 xy = 2xy 2 = 1 2 ×2xy ≤ 1 2 2x+y 2 2 = 9 8 ,当且仅当2x=y= 3 2 时等 号成立,所以xy 的最大值为 9 8 。 感悟:已知x,y 都是正数,若x+y 等于 定值S,则当x=y 时,xy 有最大值 1 4S 2。 作用二:求最小值 例2 已知x>0,y>0,且 1 x+ 9 y =1, 则x+y 的最小值为 。 解:(1的代换法)因为 1 x+ 9 y =1,所以 x+y=(x+y)· 1 x+ 9 y =10+yx+9xy 。 因为 x>0,y>0,所 以 y x + 9x y ≥ 2 yx ·9x y =6,当且仅当yx= 9x y ,即y=3x 时取等号。由1 x+ 9 y =1,结合y=3x,解得 x=4,y=12。故当x=4,y=12时,x+y 的 最小值是16。 (消元法)由1 x+ 9 y =1,可得x= y y-9 。 因为x>0,y>0,所以y>9。所以x+y= y y-9 +y=y+ y-9+9 y-9 =y+ 9 y-9 +1= (y-9)+ 9 y-9 +10。因为y>9,所以y- 9>0,所 以 (y - 9)+ 9 y-9 +10 ≥ 2 (y-9)· 9 y-9 +10=16,当且仅当y- 9= 9 y-9 ,即y=12时取等号,此时x=4。 所以当x=4,y=12时,x+y 的最小值是 16。 (构造定值法)因为x>0,y>0,且 1 x+ 9 y =1,所以x>1,y>9。由 1 x+ 9 y =1,可得 y+9x=xy,所以xy-9x-y+9-9=0,即 (x-1)(y-9)=9(定值)。所以x+y= (x-1)+(y-9)+10≥2 (x-1)(y-9) +10=2×3+10=16,当且仅当x-1=y- 9=3,即x=4,y=12时等号成立。所以x+ y 的最小值是16。 感悟:已知x,y 都是正数,若xy 等于定 值P,则当x=y 时,x+y 有最小值2 P。 作用三:比较大小 例3 已知a>0,b>0,且a+b=2, 则( )。 A.0<a≤1 B.0<ab≤1 C.a2+b2>2 D.1<b<2 解:对于A,由b=2-a>0,可得a<2, 即0<a<2,A错误。对于B,由a>0,b>0, 可得ab>0,且ab≤ a+b2 2 =1,当且仅当 a=b=1时等号成立,所以0<ab≤1,B正 确。对于 C,由a+b=2,可得 a+b 2= a2+b2+2ab=4,即a2+b2=4-2ab,结合0 <ab≤1,可得2≤a2+b2<4,C错误。对于 D,由a=2-b>0,可得b<2,即0<b<2,D 错误。应选B。 感悟:基本不等式可以正用、逆用,还可 以变形应用。 作用四:求参数的值 例4 当x>a 时,2x+ 8 x-a 的最小值 为10,则a= 。 解:因为 x>a,所以 x-a>0,所 以 2x+ 8 x-a=2 (x -a)+ 8 x-a +2a≥ 61 知识结构与拓展 高一数学 2024年9月 2 2(x-a)· 8 x-a+2a=8+2a ,所以8+ 2a=10,可得a=1。 感悟:先凑项,结合基本不等式求最小 值,再根据最小值为10,求出实数a的值。 作用五:求参数的取值范围 例5 若正实数x,y 满足x+y=1,且 不等式 4 x+1+ 1 y <m2+ 3 2m 有解,则实数m 的取值范围是 。 解:已知正实数x,y 满足x+y=1,则 (x+1)+y=2,所以 4 x+1+ 1 y = 1 2 [(x+1) +y]· 4 x+1+ 1 y =12 5+4yx+1+x+1y ≥ 1 2 5+2 4y x+1 ·x+1 y = 92,当 且 仅 当 x+1=2y, x+y=1, 即 x= 1 3 , y= 2 3 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 时 等 号 成 立,所 以 4 x+1+ 1 y 的最小值为 9 2 。 因为不等式 4 x+1+ 1 y <m2+ 3 2m 有解, 所以m2+ 3 2m> 9 2 ,即2m2+3m-9>0,可 得(2m-3)(m+3)>0,解得m<-3或m> 3 2 ,故实数m∈(-∞,-3)∪ 32 ,+∞ 。 感悟:不等式 4 x+1+ 1 y <m2+ 3 2m 有 解,则 4 x+1+ 1 y min<m2+32m。注意本题 不是恒成立问题。 作用六:证明不等式 例6 设a,b,c 都是正数,求证: bc a + ac b+ ab c≥a+b+c 。 证明:已知a,b,c 都是正数,则 bc a ,ca b , ab c 都是正数。 bc a+ ac b ≥2c ,当且仅当a=b 时等号成 立;ac b + ab c ≥2a ,当且仅当b=c 时等号成 立;bc a+ ab c≥2b ,当且仅当a=c时等号成立。 由上可得2bca+ ca b+ ab c ≥2(a+b+c),即 bc a+ ac b + ab c ≥a+b+c ,当且仅当a=b=c 时等号成立。 感悟:多次运用基本不等式时,应注意取 等号的条件的一致性。 某商店预备在一个月内分批购入每张价 值为20元的书桌共36张,每批都购入x 张 (x 是正整数),且每批均需付运费4元,储存 购入的书桌一个月所付的保管费与每批购入 书桌的总价值(不含运费)成正比,若每批购 入4张,则该月需用去运费和保管费共52 元,现在全月只有48元资金可以用于支付运 费和保管费。 (1)求该月需用去的运费和保管费的总 费用f(x)。 (2)能否恰当地安排每批进货的数量,使 资金够用? 写出你的结论,并说明理由。 提示:(1)设题中比例系数为k,若每批 购入x 张书桌,则共需分 36 x 批,每批价值为 20x 元。由题意得f(x)= 36 x ·4+k·20x。 由x=4,f(x)=52,可得k= 16 80= 1 5 。所以 f(x)= 144 x +4x (0<x≤36,x∈N*)。 (2)由(1)知f(x)= 144 x +4x (0<x≤ 36,x∈N*),所以 f(x)≥2 144 x ·4x= 48(元),当且仅当 144 x =4x ,即x=6时等号 成立。故只需每批购入6张书桌,可以使资 金够用。 作者单位:湖北省巴东县第三高级中学 (责任编辑 郭正华) 71 知识结构与拓展 高一数学 2024年9月