07 例说分类讨论思想在集合中的应用&08 与二次不等式有关的二恒虚立问题”的求解策略-《中学生数理化》高一数学2024年9月刊

■李 萍 分类讨论思想是解题的一种逻辑方法, 也是一种数学思想,分类讨论思想的本质是 “化整为零,积零为整”的处理方法。 一、讨论元素的互异性 例1 已知集合 A={12,a2+4a,a- 2},且-3∈A,则a= 。 解:因为-3∈A,所以-3=a2+4a 或 -3=a-2。 由-3=a2+4a,解得a=-1或a= -3。当a=-1时,a2+4a=a-2=-3,不 满足集合元素的互异性,舍去;当a=-3时, 集合A={12,-3,-5},满足题意。 由-3=a-2,解得a=-1,由上讨论 知,不满足题意,舍去。 综上所述,a=-3。 集合元素的互异性指的 是对于一个给定的集合,集合 中的元素一定是不同的。 二、讨论元素的个数 例2 (1)已知集合A={0,1,2,3,4}, B={(x,y)|x∈A,y∈A,x-y∈A},则B 中所含元素的个数为( )。 A.5 B.6 C.10 D.15 (2)设U={1,2,3,4},A 与B 是U 的两 个子集,若A∩B={3,4},则称(A,B)为一 个“理想配集”,那么符合此条件的“理想配 集”(规定:(A,B)与(B,A)是两个不同的“理 想配集”)的个数是( )。 A.7 B.8 C.9 D.10 解:(1)因为x∈A,y∈A,x-y∈A,所 以分以下5种情况讨论求解。 ①当x-y=1时,有4个元素,即(2, 1),(3,2),(4,3),(1,0);②当x-y=2时, 有3个元素,即(3,1),(4,2),(2,0);③当 x-y=3时,有2个元素,即(4,1),(3,0); ④当x-y=4时,有1个元素,即(4,0); ⑤当x-y=0时,有5个元素,即(0,0),(1, 1),(2,2),(3,3),(4,4)。综上可得,B 中所 含元素的个数为15。应选D。 (2)对子集A 进行分类讨论求解。 当A 是二元集{3,4}时,集合B 可以为 {1,2,3,4},{1,3,4},{2,3,4},{3,4},共4种 结果;当A 是三元集{1,3,4}时,集合B 可以 为{2,3,4},{3,4},共2种结果;当A 是三元 集{2,3,4}时,集合 B 可以为{1,3,4},{3, 4},共2种结果;当 A 是四元集{1,2,3,4} 时,集合B 取{3,4},有1种结果。 由上可得“理想配集”的个数为4+2+ 2+1=9。应选C。 集合中元素的三个属性: 确定性、互异性、无序性。 三、讨论集合为空集的特殊情况 例3 若集合A={x|2a≤x≤4a-3}, B= x|5≤x≤16 ,则能使 A⊆B 成立的a 的取值集合为 。 解:当4a-3<2a,即a< 3 2 时,A=⌀, 满足A⊆B;当4a-3≥2a,即a≥ 3 2 时,A≠ ⌀,要 使 A⊆B,需 满 足 4a-3≤16, 2a≥5, 解 得 5 2≤a≤ 19 4 。 综上可知,能使A⊆B 成立的a 的取值 集合为 aa< 3 2 或 5 2≤a≤ 19 4 。 空集是特殊的集合,空集 中没有元素,空集是任何集合 的子集,是任何非空集合的真子集。 四、讨论参数的取值 例4 设集合M={x|x∈Z},集合N= 31 知识结构与拓展 高一数学 2024年9月 x x= n 2 ,n∈Z ,集合 P= x x=n+12, n∈Z ,则下列关系正确的是( )。 A.N⊆M B.N=M∪P C.N⊆P D.N=M∩P 解:对于集合 N,当n 为偶数时,设n= 2k,k∈Z,则x= n 2=k ,k∈Z;当n 为奇数 时,设n=2k+1,k∈Z,则x= n 2= 2k+1 2 = k+ 1 2 ,k∈Z。据此可得,N=M∪P。应选 B。 解题的关键是对整数n 分奇偶数进行讨论。 五、讨论补集 例5 设全集U={2,3,a2+2a-3},集 合A={|2a-1|,2},∁UA={5},则实数a的 值为 。 解:因为∁UA={5},所以5∈U,且5∉ A,所以a2+2a-3=5,解得a=2或a= -4。 当a=2时,|2a-1|=3≠5,集合 A= {3,2},U={2,3,5},符合题意;当a=-4 时,|2a-1|=9,集合A={9,2},U={2,3, 5},不满足条件∁UA={5},即a=-4不符合 题意,舍去。 综上可得,实数a=2。 符号∁UA 有三层含义:A 是U 的子集,即 A⊆U;∁UA 表示一个集合,且(∁UA)⊆U;∁UA 是U 中不 属于A 的所有元素组成的集合,即∁UA= {x|x∈U,且x∉A}。 六、讨论集合间的关系 例6 已知集合A={x||x-a|=4},集 合B={1,2,b}。 (1)是否存在实数a,使得对于任意实数 b都有A⊆B? 若存在,求出相应的a 值;若 不存在,请说明理由。 (2)若 A⊆B 成立,求出相应的实数对 (a,b)。 解:(1)不存在。理由如下。 若对任意的实数b都有A⊆B,则当且仅 当1和2也是A 中的元素时才有可能成立。 因为A={x||x-a|=4}={a-4,a+ 4},所以 a-4=1, a+4=2 或 a-4=2 , a+4=1, 显然这都不 可能成立,所以这样的实数a不存在。 (2)结合(1)可知,当且仅当 a-4=1, a+4=b 或 a-4=2, a+4=b 或 a-4=b , a+4=1 或 a-4=b , a+4=2 时,A⊆ B 成立,解得 a=5, b=9 或 a=6 , b=10 或 a=-3 , b=-7 或 a=-2, b=-6。 所以所求的实数对为(5,9),(6,10), (-3,-7),(-2,-6)。 研究集合问题,首先要明 确构成集合的元素是数集、点 集(数对),还是其他集合,然后看集合的构成 元素满足的限制条件,从而准确把握集合的 含义。 已知集合 M = x x=m+ 1 6 ,m∈Z , N= xx= n 2- 1 3 ,n∈Z ,P= xx=p2+ 1 6 ,p∈Z ,请判断集合 M、N、P 之间的关 系。 提示:集合 M= xx=m+ 1 6 ,m∈Z = xx= 6m+1 6 ,m∈Z ,N = xx=n2-13, n∈Z = xx=3n-26 ,n∈Z ,P= xx= p 2+ 1 6 ,p∈Z = xx=3p+16 ,p∈Z 。因 为3n-2=3(n-1)+1,n∈Z,所以3n-2, 3p+1都是3的整数倍加1,所以 N=P。而 6m+1=3×2m+1是3的偶数倍加1,所以 M⫋N,M⫋P。故M⫋N=P。 作者单位:江苏省怀仁中学 (责任编辑 郭正华) 41 知识结构与拓展 高一数学 2024年9月 ■潘 东 策略一:判别式法 例1 若不等式kx2+(k-6)x+2>0 的解为全体实数,则实数k 的取值范围是 。 解:当k=0时,则-6x+2>0,显然不 符合题意;当k≠0时,由kx2+(k-6)x+ 2> 0 的 解 为 全 体 实 数, 可 得 k>0, Δ=(k-6)2-8k<0, 解得2<k<18。综上 可得,实数k的取值范围是2<k<18。 评注:一元二次不等式ax2+bx+c>0 (或 ≥0)对 于 一 切 x ∈ R 恒 成 立,则 a>0, Δ=b2-4ac<0(或≤0)。 一 元 二 次 不 等 式 ax2+bx+c<0(或≤0)对于一切x∈R恒成 立,则 a<0, Δ=b2-4ac<0(或≤0)。 策略二:二次函数性质法 例2 若命题“∃x∈[-1,2],使x2+ 1>m”是 假 命 题,则 实 数 m 的 取 值 范 围 是 。 解:因为命题“∃x∈[-1,2],使x2+ 1>m”是假命题,所以“∀x∈[-1,2],x2+ 1≤m”是真命题,所以 m<(x2+1)min=1+ 1=2,当且仅当x=-1时,(x2+1)min=2。 故实数m 的取值范围是(-∞,2)。 评注:当x∈[m,n]时,f(x)=ax2+ bx+c≥0恒成立,只需f(x)min≥0即可;当 x∈[m,n]时,f(x)=ax2+bx+c≤0恒成 立,只需f(x)max≤0即可。 策略三:一次函数性质法 例3 若|a|≤1,则不等式x2+(a- 6)x+9-3a>0恒成立的x 的取值范围为 。 解:将原不等式整理得(x-3)a+x2- 6x+9>0。令f(a)=(x-3)a+x2-6x+ 9。所以f(a)>0在a∈[-1,1]上恒成立。 当x=3时,则f(a)=0,不符合题意,舍去; 当x ≠3 时,由 一 次 函 数 的 单 调 性,可 得 f(-1)>0, f(1)>0, 即 x 2-7x+12>0, x2-5x+6>0, 解得x<2 或x>4。综上可得,实数x 的取值范围为 (-∞,2)∪(4,+∞)。 评注:解答本题的关键是变换主元。一 般地,知道谁的范围,就选谁当主元,求谁的 范围,谁就是参数。 策略四:基本不等式法 例4 已知二次函数y=ax2+bx+c, 对任意x∈R,若a<b且不等式y≥0恒成 立,则a+2b+4c b-a 的最小值为 。 解:由y=ax2+bx+c≥0恒成立,可得 a>0, b2-4ac≤0, 所以4c≥b 2 a 。因为0<a<b, 所以 a+2b+4c≥a+2b+ b2 a ,所 以 a+2b+4c b-a ≥ a+2b+ b2 a b-a = 1+ 2b a+ b a 2 b a-1 。 设 b a=t ,因为0<a<b,所以t>1。 所 以 1+ 2b a+ b a 2 b a-1 = 1+2t+t2 t-1 = (t-1)2+4(t-1)+4 t-1 =t-1+ 4 t-1+4≥ 2 (t-1)· 4 t-1+4=8 ,当且仅当t-1= 4 t-1 ,即t=3时取等号,也即当b=3a,c= 9a 4 时取等号。所以a+2b+4c b-a 的最小值为8。 评注:解答本题的关键是利用基本不等 式,结合换元法求得最小值。 作者单位:湖北省巴东县教育科学研究中心 (责任编辑 郭正华) 51 知识结构与拓展 高一数学 2024年9月