05 一元二次不等式恒(能)成立问题剖析&06 例析与一元二次不等式有关的经典题型-《中学生数理化》高一数学2024年9月刊

■吴 荣 含参数的一元二次不等式恒(能)成立问 题,涉及二次函数的图像与性质,渗透着换 元、化归、数形结合、函数与方程等思想方法, 有利于考查同学们的综合能力。 题型一:实数集R上的不等式恒成立问题 例1 (1)∀x∈R,不等式ax2+4x- 1<0恒成立,则a的取值范围为( )。 A.a<-4 B.a<-4或a=0 C.a≤-4 D.-4<a<0 (2)若命题“∃x∈R,使得不等式mx2+ (m2-3)x+m<0”成立,则实数m 的取值集 合是( )。 A.(-3,-1) B.(-∞,1)∪(3,+∞) C.(-∞,0] D.(-3,-1)∪(1,3) 解:二次不等式恒成立或能成立问题,可 借助对应的二次函数的图像与性质求解,也 可分离参数构建新函数求取值范围。 (1)∀x∈R,不等式ax2+4x-1<0恒 成立,当a=0时,显然不等式不恒成立;当 a≠0 时,结 合 对 应 二 次 函 数 的 图 像 得 a<0, Δ=16+4a<0, 解得a<-4。应选A。 (2)命题“∃x∈R,使得不等式 mx2+ (m2-3)x+m<0”成立,当m=0时,不等式 为-3x<0,显然不等式成立;当m<0时,对 应图像的开口向下,显然∃x∈R,使得不等 式mx2+(m2-3)x+m<0成立;当 m>0 时,由 Δ>0,即(m2-3)2-4m2>0,可 得 m2>9或 m2<1,所以0<m<1或 m>3。 综上可得,m<1或m>3。应选B。 感悟:一元二次不等式在实数集 R上的 恒成立问题,可对最高项系数与0进行分类 讨论,利用判别式,结合图像的开口方向、与 x 轴的交点个数进行分析与求解。 变式1:若不等式ax2+(a-1)x+a>0 对任意x∈R恒成立,则实数a 的取值范围 是 。 提示:当a=0时,可得x<0,这时不符 合题意;当a≠0时,由题意得a>0且Δ= (a-1)2-4a2<0,解得a> 1 3 。综上可得, a> 1 3 ,即a∈ 13 ,+∞ 。 题型二:给定区间上的一元二次不等式 恒成立问题 例2 (1)若关于x 的不等式x2+2ax+ 1≥0在[0,+∞)上恒成立,则实数a 的取值 范围为 。 (2)若关于x 的不等式2x2-5x-1- m>0在[1,3]上有解,则实数m 的取值范围 为 。 解:对于不等式在区间上恒成立或能成 立问题,可合理分类,分离参数,转化为函数 的值域问题求解。 (1)当x=0时,不等式1≥0恒成立。 当x>0时,则-2a≤x+ 1 x 恒成立。因 为函数f(x)=x+ 1 x≥2 x ·1 x =2 ,当且 仅当x=1时取等号,所以-2a≤2,解得a≥ -1。 综上可得,a的取值范围是[-1,+∞)。 (2)依题意得2x2-5x-1>m。令函数 y=2x2-5x-1,则原问题可转化为求函数 y=2x2-5x-1在[1,3]上的最大值。因为二 次函数y=2x2-5x-1的对称轴为x= 5 4 ,且 1- 5 4 < 3- 5 4 ,所以ymax=2×9-5×3- 1=2,所以m<2,即m∈(-∞,2)。 感悟:解决含参数的一元二次不等式在 给定区间上的恒成立问题,可转化为函数的 最值问题求解,也可利用分离参数法,求出参 01 知识结构与拓展 高一数学 2024年9月 数的取值范围。∀x∈D,a≤f(x)⇔a≤ f(x)min;∀x∈D,a≥f(x)⇔a≥f(x)max; ∃x∈D,a≤f(x)⇔a≤f(x)max;∃x∈D, a≥f(x)⇔a≥f(x)min。 变式2:(1)设函数f(x)=x2+ax-b。 当a+b=3时,f(x)≥0在x∈[0,1]上恒成 立,则实数a的取值范围为 。 (2)已知关于x 的不等式ax2-2x+a< 0在(0,+∞)上有解,则实数a 的取值范围 为 。 提示:(1)当a+b=3时,b=3-a,则 f(x)=x2+ax-(3-a)=x2+ax+a-3≥ 0在x∈[0,1]上恒成立,所以a≥ 3-x2 x+1 。令 g(x)= 3-x2 x+1 ,x∈[0,1],则a≥g(x)max。 令t=x+1,t∈[1,2],则x=t-1,函数 y= 3-(t-1)2 t = -t2+2t+2 t =-t+ 2 t+2 。 因为y=-t,y= 2 t 均为(0,+∞)上的减函 数,所以y=-t+ 2 t+2 在[1,2]上为减函 数,所以当t=1时,y=-t+ 2 t+2 取最大 值,且最大值为3,所以g(x)max=3,所以a≥ 3,即实数a的取值范围为[3,+∞)。 (2)由x∈(0,+∞),ax2-2x+a<0, 可得a< 2x x2+1 在(0,+∞)上有解。令f(x) = 2x x2+1 ,则f(x)= 2 x+ 1 x ≤ 2 2 x· 1 x =1, 当且仅当x=1时取等号,所以a<1,即实数 a的取值范围为(-∞,1)。 题型三:已知参数取值范围的一元二次 不等式恒成立问题 例3 若不等式x2-ax≥16-3x-4a 对任意a∈[-2,4]成立,则x 的取值范围 为( )。 A.(-∞,-8]∪[3,+∞) B.(-∞,0)∪[1,+∞) C.[-8,6] D.(0,3] 解:由题意得不等式(x-4)a-x2- 3x+16≤0对任意a∈[-2,4]成立,这是关 于a的一次函数在区间上恒成立问题。 注意其图像为区间上的线段,要使不等式 成立,需满足 (x-4)(-2)-x2-3x+16≤0, (x-4)×4-x2-3x+16≤0。 由上可得 -x2-5x+24≤0, -x2+x≤0, 解得x≥3 或x≤-8,即x(-∞,-8]∪[3,+∞)。应 选A。 感悟:已知参数取值范围的一元二次 不等式恒成立问题,可转化为关于已知参 数的函数问题,利用函数的单调性和值域 求解。 变式3:不等式ax2+5x-7a>3-2x2 对一切a∈(-1,0)恒成立,则实数x 的取值 范围是 。 提示:令函数f(a)=ax2+5x-7a- (3-2x2)=a(x2-7)+5x-3+2x2,则 f(a)>0对一切a∈(-1,0)恒成立,所以 x2-7>0, f(-1)=-(x2-7)+5x-3+2x2≥0 或 x2-7<0, f(0)=5x-3+2x2≥0 或 x2-7=0, 5x-3+2x2≥0, 解得x≤-4或x> 7或 1 2≤x< 7 或x= 7。综上可得,实数x 的 取值范围是x≤-4或x≥ 1 2 。 已知命题“∃x0∈R,4x20+(a-2)x0+ 1 4≤0 ”是真命题,则实数a 的取值范围是 。 提示:命题“∃x0∈R,4x20+(a-2)x0+ 1 4≤0 ”是真命题,所以 Δ=(a-2)2-4= a2-4a≥0,解得a≥4或a≤0,即实数a 的 取值范围是(-∞,0]∪[4,+∞)。 作者单位:江苏省如皋市第二中学 (责任编辑 郭正华) 11 知识结构与拓展 高一数学 2024年9月 ■赵娴静 与一元二次不等式有关的经典题型主要 有四种:含参数的一元二次不等式、三个“二 次”之间的关系、不等式恒成立问题和新定义 问题。 题型一:含参数的一元二次不等式 例1 解关于x 的不等式(1-ax)2<1。 解析:由(1-ax)2<1,可 得 a2x2- 2ax<0,即ax(ax-2)<0。当a=0时,x∈ ⌀;当a>0时,由ax(ax-2)<0,可 得 a2x x- 2 a <0,即0<x<2a;当a<0时, 可得 2 a<x<0 。 综上所述,当a=0时,不等式的解集为 ⌀;当 a > 0 时,不 等 式 的 解 集 为 x 0<x< 2 a ;当a<0时,不等式的解集为 x 2 a<x<0 。 评注:解含参数的一元二次不等式的三 个步骤:对参数等于0,小于0,大于0这三种 情况进行讨论,将不等式转化为二次项系数 为正的形式;判断方程根的个数,讨论判别式 Δ 与0的关系;确定无根时,可直接写出解集 为⌀,确定方程有两个根时,要讨论两根的大 小关系,确定解集形式。 题型二:三个“二次”之间的关系 例2 若关于x 的不等式x2-2ax- 8a2<0(a>0)的解集为{x|x1<x<x2},且 x2-x1=15,则a的值为 。 解析:由题意知x1,x2 是一元二次方程 x2-2ax-8a2=0(a>0)的实数根,所以 Δ=4a2+32a2=36a2>0,且x1+x2=2a, x1x2=-8a2。因为x2-x1=15,所以152= (x1+x2)2-4x1x2=4a2+32a2=36a2。又 a>0,所以a= 5 2 。 评注:一元二次不等式与其对应的函数、 方程之间存在密切的联系,若给出了一元二 次不等式的解集,则可得到不等式的二次项 系数的符号和相应一元二次方程的根。在解 决具体问题时,要注意三者之间的相互联系, 并在一定条件下相互转换。 题型三:不等式恒成立问题 例3 已知当x≥-1时,x2+2≥2ax 恒成立,则a的取值范围为 。 解析:设函数y=x2-2ax+2=(x- a)2+2-a2,则二次函数图像的对称轴为 x=a。 当a<-1时,y=(x-a)2+2-a2 在 x≥-1上单调递增,可得ymin=2a+3,要使 y≥0恒成立,只需ymin≥0,即2a+3≥0,解 得- 3 2≤a<-1 ;当a≥-1时,ymin=2-a2, 由2-a2≥0,解得- 2≤a≤ 2。 综上所述,a∈ - 3 2 ,- 2 。 评注:不等式ax2+bx+c>0的解是全 体实数(或恒成立)的条件:当a=0时,b=0, c>0;当a≠0时, a>0, Δ<0。 不等式ax2+bx+ c<0的解是全体实数(或恒成立)的条件:当 a=0时,b=0,c<0;当a≠0时, a<0, Δ<0。 题型四:新定义问题 例4 在R上定义运算⊗:a⊗b=ab+ 2a+b,则满足x⊗(x-2)<0的实数x 的取 值范围为 。 解析:由定义运算a⊗b=ab+2a+b,可 得x⊗(x-2)=x(x-2)+2x+x-2<0,所 以x2+x-2<0,解得-2<x<1,即实数x的 取值范围为(-2,1)。 评注:解答新定义问题,先要对新定义进 行信息提取,明确新定义符号的含义,再将新 定义转化为熟悉的知识进行求解。 作者单位:福建省泉州外国语学校 (责任编辑 郭正华) 21 知识结构与拓展 高一数学 2024年9月