04 三个“二次”的联系与转化-《中学生数理化》高一数学2024年9月刊

■朱 宁 三个“二次”包括二次函数、一元二次方 程和一元二次不等式,三个“二次”是高考的 常考点,高考常把三个“二次”融合在一起进 行考查,凸显了数学学科的内在联系和知识 的综合运用。 一、一元二次方程的转化 例1 已知一元二次方程x2+2(m-1)x +m+2=0(m∈R),试问: (1)m 为何值时,该方程有一正根、一负 根? (2)m 为何值时,该方程有一根大于1、 另一根小于1? (3)m 为何值时,该方程有两个正根? (4)m 为何值时,该方程仅有一实根在区 间[3,4]内? 分析:利用二次函数的图像与性质、判别 式的符号、一元二次方程的根与系数的关系、 对称轴的范围等进行分析与求解。 解:(1)设方程的一正根为x1,一负根为 x2,显然x1x2<0。根据韦达定理得m+2< 0,解得m<-2,即m∈(-∞,-2)。 (2)设两根为x1,x2,且x1<1,x2>1,则 x1-1<0,x2-1>0,所以只需满足(x1-1)· (x2-1)<0,即x1x2-(x1+x2)+1<0。结 合韦达定理得(m+2)+2(m-1)+1<0,解 得m<- 1 3 ,即m∈ -∞,- 1 3 。 (3)设两根为x1>0,x2>0,则x1+x2> 0且x1x2>0,所以应满足 Δ>0, x1+x2>0, x1x2>0。 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 利 用 判 别 式,结 合 韦 达 定 理 得 4(m-1)2-4(m+2)>0, -2(m-1)>0, m+2>0, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 解 得 -2<m < 3- 13 2 ,即m∈ -2, 3- 13 2 。 (4)结合一元二次方程对应的二次函数 的图像与性质知方程f(x)=x2+2(m-1)x +m+2=0在区间[3,4]内仅有一实根,需满 足f(3)·f(4)<0,即[9+6(m-1)+m+ 2]·[16+8(m-1)+m+2]<0,所以(7m+ 5)(9m+10)<0,解得- 10 9<m<- 5 7 ,即 m∈ - 10 9 ,- 5 7 。 评析:求解一元二次方程的根的分布问 题,应用二次函数的图像与性质,可转化为关 于判别式Δ、区间端点的函数值的符号、韦达 定理、对称轴的范围等相关不等式问题,在进 行转化时,要保证转化的等价性。 二、二次函数的转化 例2 已知函数f(x)=(x-a)(x-b) -2(a<b),m,n(m<n)是方程f(x)=0的 两个根,试判断实数a,b,m,n的大小关系。 分析:直接讨论实数a,b,m,n的大小关 系,确实无从下手,而通过转化,引入函数 g(x)=(x-a)(x-b),结合函数的图像特 征及对应图像的平移进行分析,即可顺利 获解。 解:设函数g(x)=(x-a)(x-b)(a< b),则函数g(x)=(x-a)(x-b)的图像与 x 轴交点的横坐标分别为a,b(a<b),如图1 所示。 图1 8 知识结构与拓展 高一数学 2024年9月 显然,函数f(x)=(x-a)(x-b)-2 的图像是由函数g(x)=(x-a)(x-b)的图 像向下平移2个单位得到的。因为 m,n (m<n)是方程f(x)=0的两个根,所以函 数f(x)=(x-a)(x-b)-2的图像与x 轴 交点的横坐标分别为m,n(m<n)。结合图 像可知,m<a<b<n。 评析:把函数的图像转化为方程根的分 布问题,利用数形结合思想,通过函数之间的 相互关系,进行图像的平移变换,即可达到求 解的目的。 三、一元二次不等式的转化 例3 若不等式4x4+4(a+2)x2+(a+ 1)2>0对任意实数x 均成立,求实数a 的取 值范围。 分析:对于一元二次不等式问题,可以转 化为对应的函数,结合函数的性质来解决,但 要注意未知数隐含的取值范围。 解:令x2=t。由x∈R,可得t≥0。 所求问题等价于 不 等 式4t2+4(a+ 2)t+(a+1)2>0对一切t≥0均成立,即函 数f(t)=4t2+4(a+2)t+(a+1)2 在[0, +∞)上恒取正值,所以 Δ=16(a+2)2- 16(a+1)2<0或 f(0)=(a+1)2>0, - 4(a+2) 8 ≤0 , 解得 a<- 3 2 或a≥-2且a≠-1。 故所求实数a 的取值范围是{a|a∈R 且a≠-1}。 评析:对于题设条件中隐含的未知数的 取值范围的讨论,千万不能出现遗漏,否则容 易造成漏解。 四、非二次问题的转化 例4 已知x,y,z∈R,求证:x2+y2+ z2≥- 2xy+2yz+ 2zx。 分析:利用二次函数的性质证明不等式, 关键是把要证的不等式的各项移到不等号的 同一边,把它整理成关于某个未知元的二次 三项式进行分析与处理。 证明:令函数 f(x)=x2+y2+z2+ 2xy-2yz- 2zx=x2+ 2(y-z)x+ y2+z2-2yz。 因为Δ=[2(y-z)]2-4×1×(y2+ z2-2yz)=-2(y-z)2≤0,又二次项系数 a=1>0,所以f(x)≥0恒成立,即f(x)= x2+y2+z2+ 2xy-2yz- 2zx≥0,所以 x2+y2+z2≥- 2xy+2yz+ 2zx 成立。 评析:对于某些非二次函数、二次方程或 二次不等式问题,可以通过换元、构造等手 段,将原问题转化为“二次问题”来解决,这是 一种重要的解题策略。 五、三者的相互转化 例5 若关于x 的函数f(x)=x4+ ax2+a+1的图像与x 轴有交点,则实数a 的取值范围是( )。 A.(-∞,-1) B.(-∞,-1] C.(-1,+∞) D.[-1,+∞) 分析:关于x 的函数f(x)=x4+ax2+ a+1的图像与 x 轴有交点,即方程 x4+ ax2+a+1=0有实根,所以可把函数问题转 化为方程问题,再根据求根公式结合不等式 进行分析,求出实数a的取值范围。 解:关于x 的函数f(x)=x4+ax2+ a+1的图像与 x 轴有交点,即方程 x4+ ax2+a+1=0有实根。 令x2=t,由x∈R,可得t≥0,则原函数 等价于方程t2+at+a+1=0有实根,可得 方程的根为t= -a± a2-4(a+1) 2 。 因为此方程在t∈[0,+∞)上有实根, 所以方程的较大根也必须大于或等于零, 即 -a+ a2-4(a+1) 2 ≥0 ,解得a≤-1。 故实数a 的取值范围为(-∞,-1]。应 选B。 评析:二次函数、一元二次方程和一元二 次不等式这三者之间的相互转化与应用,需 要同学们加以重视。 作者单位:郑州市第102高级中学 (责任编辑 郭正华) 9 知识结构与拓展 高一数学 2024年9月