03 聚焦集合与常用逻辑用语中的参数问题-《中学生数理化》高一数学2024年9月刊

■潘家鹏 集合与常用逻辑用语中的参数问题是每 年高考的常考点,下面就这类问题的五个核 心考点进行举例分析,供同学们学习与提高。 考点1:根据元素与集合的关系求参数 例1 (多选题)已知集合 A={a-2, 2a2+5a,1+2a},-3∈A,则 a 的 值 为( )。 A.-1 B.- 3 2 C.1 D.-2 解:因为集合 A={a-2,2a2+5a,1+ 2a},又-3∈A,所以-3=a-2或-3= 2a2+5a或-3=1+2a,解得a=-1或a= - 3 2 或a=-2。 当a=-1时,a-2=-3,2a2+5a= -3,不符合集合中元素的互异性,则a=-1 舍去;当a=- 3 2 时,a-2=- 7 2 ,2a2+5a= -3,1+2a=-2,满足题意;当a=-2时, a-2=-4,2a2+5a=-2,1+2a=-3,满 足题意。应选BD。 评注:根据元素与集合的关系求参数的 关键是对所求的结果进行检验,即检验是否 满足集合元素的互异性。 考点2:根据集合的包含关系求参数的 取值范围 例2 已知集合 A={x|x2-3x+2= 0},B={x|x2-4x+a=0},若B⊆A,求实 数a的取值范围。 解:易得集合A={x|x2-3x+2=0}= {1,2}。要使B⊆A,需对集合B 进行分类讨 论。 当B=⌀时,由 Δ=16-4a<0,解得 a>4;当B={1}时,由 Δ=0, 1-4+a=0, 可知a 无实数解;当B={2}时,由 Δ=0, 4-8+a=0, 解 得a=4;当B={1,2}时,由 Δ>0, 1-4+a=0, 4-8+a=0, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 可 知a无实数解。 综上可得,a≥4,即满足B⊆A 的实数a 的取值范围是{a|a≥4}。 评注:由集合包含关系求参数的取值范 围问题的关键是不能忽视空集的情况,否则 容易产生漏解。 考点3:根据集合的交集、并集与补集求 参数的取值范围 例3 已 知 全 集 为 R,函 数 f(x)= 1 x-1 的定义域为集合A,集合B={x|x≤ -1或x≥2}。 (1)求A∩B。 (2)若集合C={x|1-m<x<m},C∪ (∁RB)=C,求实数m 的取值范围。 解:(1)要使函数f(x)= 1 x-1 有意 义,需满足x-1>0,解得x>1,所以集合 A={x|x>1}。又集合B={x|x≤-1或 x≥2},所以A∩B={x|x≥2}。 (2)因 为 C∪ (∁RB)=C,所 以 C⊆ (∁RB),即C⊆{x|-1<x<2}。 当C=⌀时,由1-m≥m,解得m≤ 1 2 ; 当C≠⌀时,由 1-m<m, m≤2, 1-m≥-1, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 解得 1 2<m≤2 。 综上所述,- 1 2<m≤2 ,即实数m 的取 值范围是 - 1 2 ,2 。 评注:利用集合运算求参数的取值范 围,可借助集合的关系列出关于参数的不 等式求解,但求解后要代入检验是否符合 题意。 6 知识结构与拓展 高一数学 2024年9月 考点4:根据充分条件与必要条件求参 数的取值范围 例4 在①A∪B=B,②“x∈A”是 “x∈B”的充分条件,③A∩B=⌀这三个条 件中任选一个,补充到本题(2)问的横线处, 并求解。 已知集合 A={x|a-1≤x≤a+1}, B={x|-1≤x≤3}。 (1)当a=2时,求A∩B。 (2)若 ,求实数a的取值范围。 解:(1)当a=2时,A={x|1≤x≤3}, 所以A∩B={x|1≤x≤3}∩{x|-1≤x≤ 3}={x|1≤x≤3}。 (2)选①A∪B=B。由A∪B=B,可得 A⊆B。 由已知得A≠⌀,所以 a-1≥-1, a+1≤3, 解得 0≤a≤2,即实数a的取值范围是[0,2]。 选②“x∈A”是“x∈B”的充分条件,可 知A⊆B。 由已知得A≠⌀,所以 a-1≥-1, a+1≤3, 解得 0≤a≤2,即实数a的取值范围是[0,2]。 选③A∩B=⌀。由已知得A≠⌀,所以 a+1<-1或a-1>3,解得a<-2或a> 4,即实数a 的取值范围是(-∞,-2)∪(4, +∞)。 评注:根据充分条件与必要条件求参数 取值范围的关键是把充分条件与必要条件转 化为集合之间的关系。 考点5:根据命题的真假求参数的取值 范围 例5 (1)若∀x∈R,ax2-ax+1>0, 求实数a的取值范围。 (2)若∃a∈[-2,-1],ax2-ax+1> 0,求实数x 的取值范围。 解:(1)∀x∈R,ax2-ax+1>0恒成 立。当a=0时,不等式1>0对∀x∈R成 立,符合题意;当a≠0时,若不等式ax2- ax+ 1 > 0 对 ∀x ∈ R 恒 成 立,则 a>0, Δ=a2-4a<0, 解得0<a<4。 综上可得,实数a的取值范围是[0,4)。 (2)∃a∈[-2,-1],ax2-ax+1>0, 即∃a∈[-2,-1],x2-x<- 1 a ,所以x2- x< - 1 a max。因为函数y=-1x 在x∈ [-2,-1]上单调递增,所以ymax=1,所以 x2-x<1,解得 1- 5 2 <x< 1+ 5 2 。故实数 x 的取值范围是 1- 5 2 ,1+ 5 2 。 评注:根据命题的真假求参数的取值范 围的关键是等价转化的应用。 1.已知命题p:任意x∈[1,2],x2-a≥ 0,命题q:存在x0∈R,x20+2ax0+2-a=0, 若“p 且q”是假命题,则实数a的取值范围是 ( )。 A.(-∞,-2] B.(-∞,1] C.(-∞,-2]∪{1} D.(-2,1)∪(1,+∞) 提示:命题p 为真时a≤x2 恒成立,x∈ [1,2],即a≤(x2)min,所以a≤1。命题q 为 真时Δ≥0,即4a2-4(2-a)≥0,解得a≤ -2或a≥1。命题“p 且q”是真命题时,取交 集部分,可得a≤-2或a=1,所以命题“p 且q”是假命题时,a>-2且a≠1。应选D。 2.设p:-m≤x≤m(m>0),q:-1≤ x≤4,若p 是q的充分条件,则m 的最大值 为 ,若p 是q 的必要条件,则 m 的最小 值为 。 提示:设A=[-m,m],B=[-1,4],若 p 是 q 的 充 分 条 件,则 A ⊆B,所 以 -m≥-1, m≤4, 解得0<m≤1,所以m 的最大值为 1。若 p 是q 的必要条件,则 B⊆A,所 以 -m≤-1, m≥4, 解得m≥4,所以m 的最小值为4。 作者单位:江苏省苏州市吴中区苏苑高 级中学 (责任编辑 郭正华) 7 知识结构与拓展 高一数学 2024年9月