01 一道好题带你巩固“集合”&02 集合中含参数问题的常见考法归类-《中学生数理化》高一数学2024年9月刊

■吴爱国 下面以一道题为主线,串起集合中的方 法、技巧和题型,通过这道好题巩固集合的概 念、基本关系和运算,提高同学们学习数学的 信心和兴趣。 题目 设a∈R,t∈R,集合P={x|(x -1)(x-a)=0},T={x|2+t<x<2t+ 1},M={x|0≤x≤5},S={x|x2-4x=0}。 问题1:下列选项正确的是( )。 A.1∉M B.{1}∈M C.⌀∈M D.{1}⊆M 解:因为 M={x|0≤x≤5},所以1∈ M,{1}⊆M,⌀⊆M。应选D。 问题2:已知集合U={x|x∈M∩Z}, A∩S={0},(∁UA)∩(∁US)={2,5},则集合 A= 。 解:由题意得U={0,1,2,3,4,5},S= {0,4},∁US={1,2,3,5},借助 Venn图(图 略),可得集合A={0,1,3}。 问题3:求P∩S 和P∪S。 解:已知P={x|(x-1)(x-a)=0}, S={0,4}。当a=0时,P={0,1},则 P∩ S={0},P∪S={0,1,4};当a=1时,P= {1},则P∩S=⌀,P∪S={0,1,4};当a=4 时,P={1,4},则P∩S={4},P∪S={0,1, 4};当a≠0,1,4时,P={1,a},则P∩S= ⌀,P∪S={0,1,4,a}。 问题4:设集合B={1,a2+a+2,a},且 B∩S={4},求a的值。 解:因为B={1,a2+a+2,a},S={0, 4},B∩S={4},所以4∈B,所以a=4或 a2+a+2=4。当a=4时,B={1,22,4},符 合题意;当a2+a+2=4时,可得a=-2或 a=1,当a=-2时,B={1,4,-2},符合题 意,当a=1时,不满足互异性,舍去。故a= -2或a=4。 问题5:若集合C={x|mx+1=0},C⊆ S,求m 的值。 解:已知C={x|mx+1=0},S={0, 4},C⊆S。当C=⌀,即m=0时,C⊆S,符 合题意;当C≠⌀,即m≠0时,C= - 1 m , 可得- 1 m=4 ,解得 m=- 1 4 。综上可得, m=0或m=- 1 4 。 问题6:若 M∩T=⌀,求实数t的取值 范围。 解:已知T={x|2+t<x<2t+1},M= {x|0≤x≤5},M∩T=⌀。当2+t≥2t+1, 即t≤1时,T=⌀,满足 M∩T=⌀;当2+ t<2t+1,即t>1时,由2t+1≤0(舍去)或 2+t≥5,解得t≥3。故满足 M∩T=⌀的实 数t的取值范围是t≤1或t≥3。 问题7:设集合 D={x|x2-2(a+1)x +a2-1=0}。若 D∪S=S,求a 的取值范 围;若D∩S=S,求a的值。 解:由D∪S=S,可得 D⊆S。由x2- 2(a+1)x+a2-1=0,可得Δ=8a+8。 当Δ=8a+8<0,即a<-1时,D=⌀, 满足D⊆S;当Δ=8a+8=0,即a=-1时, D={0},满足 D⊆S;当Δ=8a+8>0,即 a>-1时,集合 D 有两个元素,由 D⊆S, S={0,4},可得D={0,4},则0和4是方程 x2-2(a+1)x+a2-1=0的两个根,由韦达 定理得 2a+2=4, a2-1=0, 解得a=1。 综上所述,若D∪S=S,则a 的取值范 围为a≤-1或a=1,即a∈(-∞,-1]∪ {1}。 由D∩S=S,可得S⊆D。显然集合D 最多有两个元素,则D=S={0,4}。 由韦达定理得 2a+2=4, a2-1=0, 解得a=1,即 所求的a=1。 作者单位:武汉市第十四中学 (责任编辑 郭正华) 3 知识结构与拓展 高一数学 2024年9月 ■柴国琳 集合中的含参数问题是同学们学习的一 个难点,也是一个易错点。其学习要点在于 正确判断端点值能否取到,注意考虑空集的 情况。高考关于集合中含参数问题的考查, 往往与集合元素的性质、函数、解不等式等相 结合,考查的题型主要以小题形式出现,有时 渗透于解答题之中。 类型一:元素与集合关系中的含参数问题 例 1 设 集 合 A = 2,3,a2-3a, a+ 2 a+7 ,集合B={|a-2|,3},已知4∈ A 且4∉B,则a的取值集合为 。 解:根据元素与集合的关系及元素的互 异性即 可 求 出 结 果。因 为4∈A,即4∈ 2,3,a2-3a,a+ 2 a+7 ,所以a2-3a=4 或a+ 2 a+7=4 。 若a2-3a=4,则a=-1或a=4;若 a+ 2 a+7=4 ,即a2+3a+2=0,则a=-1 或a=-2。 由a2-3a 与a+ 2 a+7 互异,可得a≠ -1,所以a=-2或a=4。 因为4∉B,即4∉{|a-2|,3},所以 |a-2|≠4,解得a≠-2且a≠6。 综上所述,a=4,即a的取值集合为{4}。 评析:已知元素属于或不属于某集合,求 参数的取值范围要注意两点:一是合理确定 分类标准,做到不重不漏;二是要将求得的参 数值代入集合进行检验。 类型二:集合中元素个数的含参数问题 例2 已知集合 A={x∈R|(a-1)x2 -2x+1=0},a为实数。 (1)若集合 A 是空集,求实数a 的取值 范围。 (2)若集合 A 是单元素集,求实数a 的 值。 (3)若集合 A 中元素的个数为偶数,求 实数a的取值范围。 解:(1)若集合A 是空集,则需要满足二 次方程(a-1)x2-2x+1=0无解,所以 a-1≠0, Δ=(-2)2-4(a-1)<0, 解得a>2,故实 数a的取值范围为{a|a>2}。 (2)若集合 A 是单元素集,则方程(a- 1)x2-2x+1=0为一次方程或二次方程。 已知集合A 是单元素集,当a-1=0,即 a=1时,A={x∈R|-2x+1=0}= 12 , 满足题意;当a-1≠0,即a≠1时,由Δ= (-2)2-4(a-1)=0,解得a=2,此时A= {x∈R|x2-2x+1=0}={1},满足题意。 综上所述,a=1或a=2。 (3)若集合A 中元素的个数为偶数,则 A 中有0个或2个元素,即二次方程(a- 1)x2-2x+1=0无解或有两个不相同的 解。 当集合 A 中 有0个 元 素 时,由(1)知 a>2;当 集 合 A 中 有 2 个 元 素 时,由 a-1≠0, Δ=(-2)2-4(a-1)>0, 解 得 a<2 且 a≠1。 综上所述,实数a 的取值范围为{a|a≠ 2且a≠1}。 评析:解题时要注意两点:一是解集可能 为空集的情况;二是若以一元二次方程为载 4 知识结构与拓展 高一数学 2024年9月 体,要注意二次项系数是否为0。 类型三:集合基本关系中的含参数问题 例3 已知集合 A={x|x2-2x-8= 0},B={x|x2+ax+a2-12=0}。 (1)若A⊆B,求实数a的值。 (2)若B⊆A,求实数a的取值范围。 解:(1)先求集合A,再利用条件A⊆B, 求出a 的值。由方程x2-2x-8=0,解得 x=-2或x=4,所以A={-2,4}。 因为A⊆B,B={x|x2+ax+a2-12= 0},所以B={-2,4},即方程x2+ax+a2- 12=0的两根为x1=-2,x2=4。利用韦达 定理得-2+4=-a,即a=-2。 (2)对集合B 进行分类讨论(B=⌀和 B≠⌀),再利用集合与集合的包含关系求出 a的取值范围。由已知得A= -2,4 。 已知B⊆A,当 B=⌀时,则Δ=a2- 4(a2-12)<0,即a2-16>0,解得a>4或 a<-4。 当B≠⌀时,若B 中仅有一个元素,则 Δ=a2-4(a2-12)=0,即a2-16=0,解得 a=±4。当a=4时,B={-2},满足条件, 当a=-4时,B={2},不满足条件。 当B≠⌀时,若B 中有两个元素,则B= A。由韦达定理得 -2+4=-a, (-2)×4=a2-12, 解得 a=-2,满足条件。 综上可得,实数a的取值范围是a≥4或 a<-4或a=-2。 评析:解答这类问题应注意三点:弄清两 个集合之间的关系,即谁是谁的子集;看集合 中是否含有参数,若 A⊆B 且A 中含有参 数,则应考虑参数使该集合为空集的情形;利 用集合间的包含关系列出方程或不等式,求 出参数的值或参数的取值范围。 类型四:集合基本运算中的含参数问题 例4 设集合A={x|2x-5≤1},集合 B={x|x>1-a}。 (1)当a=2时,求A∩B。 (2)若A∩B≠⌀,求a的取值范围。 解:(1)易得集合A={x|2x-5≤1}= {x|x≤3}。 当a=2时,集合 B={x|x>-1},则 A∩B={x|x≤3}∩{x|x>-1}={x|-1 <x≤3}。 (2)由(1)知集合A={x|x≤3}。因为 A∩B≠⌀,所以1-a<3,解得a>-2,即a 的取值范围是(-2,+∞)。 评析:求解集合基本运算中的含参数问 题,一般先通过观察得到两个集合间元素之 间的关系,再列出方程或不等式求解。 1.已知集合 A={x∈Z|-1<x<3}, B={x|3x-a<0},且A∩(∁RB)={1,2}, 则实数a的取值范围为 。 提示:易得A={x∈Z|-1<x<3}= {0,1,2}。由集合 B={x|3x-a<0}= x x< a 3 ,可得∁RB= x x≥a3 。因 为 A∩(∁RB)={1,2},所以0< a 3≤1 ,解得0< a≤3,所以实数a的取值范围是(0,3]。 2.已知全集U=R,集合 A={x|-2≤ x≤7},B={x|m+1≤x≤2m-1},则使 A⊆∁UB 成立的实数m 的取值范围是 。 提示:当B=⌀时,则m+1>2m-1,解 得 m<2,此时∁UB=R,所以当 m<2时, A⊆∁UB 成立。 当B≠⌀,即m+1≤2m-1,也即m≥2 时,∁UB={x|x<m+1或x>2m-1}。因 为A⊆∁UB,所以m+1>7或2m-1<-2, 解得m>6或m<- 1 2 。又因为m≥2,所以 m>6。 综上可得,使A⊆∁UB 成立的实数m 的 取值范围是{m|m<2或m>6}。 说明:本文为甘肃省教育科学“十四五” 规划2023年度一般课题“‘双减’背景下优化 作业 设 计 促 课 堂 教 学 提 质 增 效 的 实 践 研 究———以康县农村初中数学‘函数’主 题 为 例”(课题立项号:GS[2023]GHB0764)的阶 段性研究成果。 作者单位:甘肃省陇南市康县第一中学 (责任编辑 郭正华) 5 知识结构与拓展 高一数学 2024年9月