精品解析：重庆市第八中学校2024-2025学年九年级上学期9月月考数学试题

九年级数学试题 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出代号为的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧确答案所对应的方框涂黑． 1. 下列式子中，是分式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了分式的定义，熟练掌握形如（其中为整式，且分母中含有字母）的式子叫做分式是解题的关键. 根据分式的定义，逐项判断即可求解． 【详解】解：A、不是分式，故不符合题意； B、不是分式，故不符合题意； C、不是分式，故不符合题意； D、是分式，故符合题意， 故选：D． 2. 在以下节水、节能、回收、绿色食品四个标志中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形，根据轴对称图形的定义：如果一个图形沿着一条直线折叠，直线两边的部分互相重合，那么这个图形是轴对称图形，即可判断，掌握轴对称图形的定义是解题的关键． 【详解】解：、是轴对称图形，符合题意； 、不是轴对称图形，不符合题意； 、不是轴对称图形，不符合题意； 、不是轴对称图形，不符合题意； 故选：． 3. 反比例函数的图象一定经过的点是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特点，根据反比例函数的定义，只要点的横纵坐标之积等于即可判断该点在函数图象上，据此求解即可，掌握反比例函数图象上点的坐标特点是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴反比例函数的图象一定经过的点是， 故选：． 4. 估计的值应该在（ ） A. 7和8之间 B. 8和9之间 C. 9和10之间 D. 10和11之间 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的运算，无理数的估算，不等式的性质，熟练掌握知识点是解题的关键．先计算得到结果为，再估算结果的大小即可． 【详解】解： ， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 5. 如图，和是以点O为位似中心的位似图形，，若，则为（ ） A. 6 B. 3 C. 4 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是位似变换，相似三角形的判定与性质，根据位似图形的概念得到，，得到，根据相似三角形的性质求出，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵与是以点O为位似中心的位似图形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 6. 如图，已知直线，直线与直线分别交于点，交直线于点．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了垂直的定义，直角三角形的性质，平行线的性质，由垂直可得，即得，再根据平行线的性质即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：． 7. 如图，直角三角形中，，分别以为直径向上作半圆．若，则图中阴影部分的面积为（ ） A. 9 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查勾股定理．先求出，，，再根据进行计算即可． 【详解】解：直角三角形中，，， ∴，，， ∴， ∴ ， 故选：A． 8. 如图，下列图形均是由完全相同的小圆点按照一定规律所组成的，第①个图形中一共有个小圆点，第②个图形中一共有个小圆点，第③个图形中一共有个小圆点，，按此规律排列下去，第⑩个图形中小圆点的个数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了图形的变化规律，根据图形可得第个图形有个圆点，据此即可求解，找到图形的变化规律是解题的关键． 【详解】解：第①个图形中一共有个小圆点， 第②个图形中一共有个小圆点， 第③个图形中一共有个小圆点， 第④个图形中一共有个小圆点， ， ∴第个图形一共有个小圆点， ∴当时，第⑩个图形中小圆点的个数是， 故选：． 9. 如图，在正方形中，点E是对角线上的一点，连结，过点E作，交于点F，以为邻边作矩形，连结，若F恰为的中点，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】过点分别作的垂线，垂足为，过点作直线的垂线，垂足为点，则，可证明，，由为等腰直角三角形，设，则，可得，则为等腰直角三角形，由勾股定理得，由，得到，解得，故． 【详解】解：过点分别作的垂线，垂足为，过点作直线的垂线，垂足为点，则， ∵四边形是正方形， ∴平分，， ∴，四边形为矩形， ∴，， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 同上可证明：， ∴， ∵平分， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴设，则， ∵点为中点，， ∴， ∴, ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， 由勾股定理得， ∵， ∴， 解得， ∴ ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查了正方形的性质，矩形的判定与性质，勾股定理，角平分线的性质定理，全等三角形的判定与性质，正确构造全等是解题的关键． 10. 有如下的一列等式： ，，其中为正整数，的各项系数均不为．交换任意两项的系数得到的新多项式称为“友好多项式”那么以下说法正确的有（ ） ①多项式有个不同的“友好多项式”； ②求多项式所有不同的“友好多项式”之和，其中的系数为：； ③若，那么的所有系数之和为； ④若，那么当时，． A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了多项式乘法中的规律探索，整式的加减计算，根据“友好多项式”的定义求出多项式的“友好多项式”即可判断①；根据①所求把所得的6个多项式的“友好多项式”中的的系数相加即可判断②；令，可得，据此可判断③；令得到，则，令得到，则，据此可判断④． 【详解】解：由“友好多项式”的定义可得，多项式的“友好多项式”有：，，，，，，共个，故①正确； 多项式所有不同的“友好多项式”之和的的系数为：，故②错误； ∵（n为偶数），（n为奇数）， ∴当时，（n为偶数）， （n为奇数）， 又∵当时，， ∴若，那么的所有系数之和为，故③正确； 当时，①， 当时，②， ∴得， ∴，故④正确； ∴正确的有3个， 故选：D． 二、填空题：（本大题8个小题，每小题4分，共32分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 计算：_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了特殊角的锐角函数值的计算，二次根式的混合运算，熟练掌握知识点是解题的关键． 先化简每一个锐角函数值，再进行二次根式的计算即可． 【详解】解：原式 ． 故答案为：． 12. 若正多边形的每一个内角等于140°，则这个正多边形的边数是_______． 【答案】9 【解析】 【分析】此题主要考查了多边形的外角与内角，做此类题目，首先求出正多边形的外角度数，再利用外角和定理求出求边数．首先根据求出外角度数，再利用外角和定理求出边数． 【详解】∵正多边形的一个内角是140°， ∴它的一个外角是：180°-140°=40°， ∵多边形的外角和为360°， ∴这个正多边形的边数是：360°÷40°=9． 故答案为：9． 13. 一个不透明的口袋中有个黄色球和个红色球，这些球除颜色外其余均相同，从中随机摸出一个球，记下颜色后放回，搅匀后再从中随机摸出一个球，则两次都摸出红球的概率是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了用树状图或列表法求概率，画出树状图，再根据树状图即可求解，掌握树状图或列表法是解题的关键． 【详解】解：设黄球用表示，红球用表示，画树状图如下： 由树状图可知，共有种等结果，其中两次都摸出红球的结果有种， ∴两次都摸出红球的概率是， 故答案为：． 14. 已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流（单位：）与电阻（单位：）是反比例函数关系，它的图象如图所示．若蓄电池电流为时，电阻为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的图形和性质，设该反比函数解析式为，利用待定系数法求出反比例函数解析式，再把代入所得解析式计算即可求解，利用待定系数法求出反比例函数解析式是解题的关键． 【详解】解：设该反比函数解析式为，把代入得，， ∴， ∴， 把代入得，， ∴， 故答案为：． 15. 若是关于x的二次函数，则m的值为_______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的定义以及解一元二次方程，熟练掌握知识点是解题的关键．由题意得，，解方程即可． 【详解】解：由题意得，， 解得：， 故答案为：2． 16. 若关于的不等式组无解，且关于的分式方程有整数解，则满足条件的所有整数的和为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了由不等式组的解集情况求参数的取值范围，由分式方程的解的情况求参数，先解不等式组，根据不等式组无解确定的取值范围，即确定的取值范围，再解分式方程，求出分式方程的解，根据分式方程的整数解确定的值，进而即可求解，解题的关键是根据不等式组无解确定的取值范围，进而由分式方程的整数解确定出的值． 【详解】解：， 由①得，， 由②得，， ∵不等式组无解， ∴， ∴， 解分式方程得，， ∵分式方程有整数解，且, ∴，，，， 又∵， ∴，，， ∴满足条件的所有整数的和为， 故答案为：． 17. 如图，四边形为矩形，，，点为边上一点，将沿翻折，点的对应点为点，过点作交于点，若，则的长为___________________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查相似三角形的性质与判定，勾股定理，等腰三角形的性质与判定，折叠的性质等相关知识．设与的交点为，可得和是等腰三角形，设，则，在中，根据勾股定理可建立方程，求出的值，表达和的值，进而可得的长；再根据勾股定理可得的长，由平行可得，根据相似比可得最终结果． 【详解】解：设与的交点为， 在矩形中，，，， ， 由折叠可知，，，， ， ， ∵， ， ，， ，， ，， ，， ， 设，则； ，， 在中，， 由勾股定理可得， 即， 解得， ，， ， ． 故答案为：． 18. 对于一个三位自然数m，将各个数位上的数字分别乘以3后，取其个位数字，得到三个新的数字，我们对自然数m规定一个运算：，例如：，其各个数位上的数字分别乘以3后，再取其个位数字分别是：，则．则_______；若已知两个三位数（为整数，且），若能被7整除，则的最大值是_______． 【答案】 ①. 121 ②. 144 【解析】 【分析】本题考查了数的十进制，数的整除，根据新定义计算，可得的值；先用、的解析式表示，再根据整除的性质列出关于、的关系式从而求得、的值，最后根据的定义求出结果，关键在于数的代数表达式，明白三位数的表达式为即可根据定义运算． 【详解】解：的各个数位上的数字分别3倍后再取个位数字分别是：2，9，6， ； ∵，， ∴ ∵能被7整除， ∴是7的倍数 ∵为整数，且， ∴， ∴或， ∴或， ∵均为整数， ∴或 ∴或， ∴或， ∴当，， 当，， 的最大值为144． 故答案为：121，144． 三、解答题：（本大题8个小题，第19题8分，其余每小题8分，共78分）解答时年小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 19. 计算 （1）； （2）． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】（）利用完全平方公式和整式的乘法运算法则展开，再合并即可求解； （）利用分式的性质和运算法则进行计算即可求解； 本题考查了整式和分式的混合运算，掌握整式和分式的运算法则是解题的关键． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ， ． 20. 当前，电信网络诈骗犯罪形势严峻，某中学组织了关于防诈安全知识的专题讲座，并进行了防诈安全知识测评，现从该校初中、高中两个学段中各随机抽取20名学生的测试成绩（120分制）进行整理和分析（成绩得分用x表示，共分成四组：A．，B．，C．，D．，下面给出了部分信息： 初中20名学生的测试成绩是：， 高中20名学生的测成绩在C组中的数据是：． 初中、高中抽取的学生测试成绩统计表 学段 平均数 中位数 众数 方差 初中 100.5 103 a 119.3 高中 102 b 112 72.6 根据上述信息，解答下列问题： （1）直接写出上述图表中的值； （2）该校哪个学段学生掌握防诈安全知识更好？请说明理由．（写出一条理由即可） （3）该校初中4400名学生，高中560名学生，估计两个学段测试成绩优秀的学生共有多少名？ 【答案】（1），，， （2）高中学生的成绩较好；理由见解析 （3）该校初中4400名学生，高中560名学生，估计两个学段测试成绩优秀的学生共有名． 【解析】 【分析】（1）根据众数、中位数的定义可求出a、b的值，再根据各组百分比之和为，可求出m的值； （2）根据中位数、众数的大小可得答案； （3）求出样本中初中、高中优秀所占的百分比，进而估计总体中优秀所占的百分比，进而求出相应的人数． 【小问1详解】 解：初中20名学生的测试成绩出现次数最多的是106分，共出现4次， 因此众数是106分，即； 由扇形图可得高中抽查的20名学生成绩A组2人，B组4人，C组6人，D组人， 将20名学生成绩从小到大排列，处在中间位置的两个数为，， ∴中位数为， ， ∴， 答：； 【小问2详解】 解：高中学生的成绩较好，理由： 高中学生的测试成绩的中位数、众数均比初中学生成绩的中位数、众数要高， 所以高中学生的成绩较好； 【小问3详解】 解：（人）， ∴该校初中4400名学生，高中560名学生，估计两个学段测试成绩优秀的学生共有名． 【点睛】本题考查中位数、众数、平均数以及样本估计总体，掌握平均数、中位数、众数的意义以及计算方法是正确解答的前提． 21. 如图，等腰直角三角形，，点是的中点，连接，点是上的一点，． （1）用直尺和圆规完成以下基本操作：过点作的角平分线，交和分别于点和点（保留作图痕迹，不写作法） （2）求证：． 证明：在中，，点是的中点， ， ， 平分， _______， ， 又， ， ______________， 在和中，， ， ， _______． 【答案】（1）作图见解析 （2），，， 【解析】 【分析】（）根据角平分线的作图方法作图即可； （）由等腰直角三角形的性质可得，即得，再根据等腰三角形的性质可得，进而由三角形内角和定理得，即可证明，得到，进而可得． 【小问1详解】 解：如图所示，射线即为所求； 【小问2详解】 证明：在中，，点是的中点， ， ， 平分， ， ， 又， ， ， 在和中，， ， ， ， 故答案为：，，，． 【点睛】本题考查了角平分线的作法和性质，等腰直角三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，全等三角形的判定和性质，正确画出图形是解题的关键． 22. 喷灌和滴灌是目前较常用的两种节水灌溉方式，去年，某专家小组用两块相同大小的试验田分别采用喷灌和滴灌的方式，滴灌总用水吨，喷灌总用水吨，据测算，喷灌时每亩用水量比滴灌时每亩用水量多吨． （1）求喷灌和滴灌每亩用水量分别是多少； （2）今年，专家小组计划将滴灌和喷灌试验田面积分别增加，同时，通过改进灌溉输水管道，使喷灌的每亩用水量减少了，滴灌的用水量不变，据测算，今年的灌溉用水量比去年的用水量增加了，求的值． 【答案】（1）滴灌每亩用水量为吨，喷灌每亩用水量为吨； （2） 【解析】 【分析】（）设试验田面积为亩，根据题意列出分式方程求出，进而即可求解； （）根据题意列出一元二次方程即可求解； 本题考查了分式方程和一元二次方程的应用，根据题意正确列出方程是解题的关键． 【小问1详解】 解：设试验田面积为亩， 由题意得，， 解答， ∴滴灌每亩用水量为吨，喷灌每亩用水量为吨； 【小问2详解】 解：由题意可得，， 解得（不合，舍去），， ∴的值为． 23. 如图，在直角梯形中，，现有一动点Q从C点出发沿的方向移动到A点（含端点C和点A），当它到A时停止．设Q点经过的路程为，线段围成的封闭图形面积为． （1）直接写出与x的函数关系式，并注明x的取值范围； （2）在x的取值范围内画出的图象，写出函数的一条性质：______________； （3）结合函数图象，当直线与的函数图象有两个交点时，直接写出常数m的取值范围．（结果保留一位小数，误差不超过0.2）． 【答案】（1） （2）作图见详解，性质：当时，随着x的增大而减小（答案不唯一） （3） 【解析】 【分析】（1）分类讨论，由题意得四边形是矩形，由求得，则，在中，由勾股定理求得，当点Q在上时，即时，当点在上时，即，过点作于点，，，，则综上，； （2）作出图像，根据图像作答即可； （3）找出两个临界点，一个是经过点=原点时符合题意，当经过时不符合题意，中间段中的图像的m值均符合题意，即可求解． 【小问1详解】 解：过点作于点，则， 由题意得，， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，由勾股定理求得， 当点Q在上时，即时， 当点在上时，即，过点作于点， 由可设， 则由勾股定理得， ∴， ∴， ∴， ， ∴ 综上，； 【小问2详解】 解：函数图像如图示： 一条性质为：当时，随着x的增大而减小（答案不唯一） 【小问3详解】 解：直线经过原点时，符合题意，此时，如图： 联立， 解得， 当直线经过点，此时有1个交点，如图： 则， ∴， ∴． 【点睛】此题考查了动点问题，画函数图象，矩形的判定与性质，勾股定理，解直角三角形，求一次函数的解析式，正确理解动点问题求出函数解析式是解题的关键： 24. 如图，四边形是某公园的游览步道（步道可以骑行），把四个景点连接起来，为了方便，在景点的正东方设置了休息区，其中休息区在景点的南偏西方向米处，景点在景点的北偏东方向，景点和休息区两地相距米，景点分别在休息区、景点的正东方向和正南方向．（参考数据：） （1）求步道的长度； （2）周末小明和小宏相约一起去公园游玩，他们在景点一起向正东出发，不久到达休息区，他们发现有两条路线到达景点，于是小宏想比赛看谁先到达景点．他们分别租了一辆共享单车，两人同时在点出发，小明选择①路线，速度为每分钟米；小宏选择②路线，速度为每分钟米，其中两人在各个景点停留的时间不计．请你通过计算说明，小明和小宏谁先到达景点呢？ 【答案】（1）米 （2）小宏先到达景点 【解析】 【分析】（）由题意得，，，，米，米，即得，过点作于，可得为等腰直角三角形，即得米，利用勾股定理可得米，进而即可求解； （）解直角可得米，米，再分别求出路程①和②的路程，进而求出小明和小宏到达景点的时间即可判断求解； 本题考查了解直角三角形的应用方向角问题，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质，正确作出辅助线是解题的关键． 【小问1详解】 解：由题意得，，，，米，米， ∴， 过点作于，则， ∴为等腰直角三角形， ∴米， ∴米， ∴米； 【小问2详解】 解：∵，，， ∴米，米， ∴路线②的路程为米， ∴小宏到达景点的时间为分钟， ∵路线①的路程为米， ∴小明到达景点的时间为分钟， ∵， ∴小宏先到达景点． 25. 如图，一次函数与反比例函数的图象相交于点，与x轴交于点B，与y轴交于点C，已知． （1）求反比例函数与一次函数的解析式； （2）将点B沿x轴负半轴平移5个单位长度得到点E，连接，交反比例函数图象于点D，连接．若在y轴上有一动点F，直线上有一动点P．当最小时，求周长的最小值以及点F的坐标； （3）如图2，将线段以D为圆心，逆时针旋转，得到线段，连接，在反比例函数上是否存在一点Q，使得？直接写出点Q的坐标． 【答案】（1）反比例函数解析式为，一次函数解析式为 （2）周长最小值为， （3）或 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式即可； （2）过点作轴的垂线，垂足为，过作轴于点交于点，可求直线表达式为：，联立直线表达式和反比例函数解析式，求得，则，,故，则，当点三点共线时取得最小值，此时的点即为点，同上可求直线的表达式为：，因此，则由两点距离公式求得过点作轴的对称点记为，则，因为，即求的最小值，因此，当三点共线时，取得最小值为，故周长最小值为，同上可求直线的表达式为：，即可得到； （3）过点作轴的垂线，过点作垂线的垂线交于点，可证明，求得，记直线与直线交于点R，导角得到，则，过点作于点，则，则，可求直线表达式为：，则，可求直线表达式为：，联立直线表达式和反比例函数解析式，即可求解． 【小问1详解】 解：∵ ∴， ∴， 将代入， 得：， 解得：， ∴一次函数解析式为：， 将代入 得，， ∴， 将代入 得，， ∴反比例函数解析式为：; 【小问2详解】 解：过点作轴的垂线，垂足为，过作轴于点交于点， 由题意得，， 设直线表达式为：， 代入点得：， 解得：， ∴设直线表达式为：， 联立直线表达式和反比例函数解析式 得：， 解得：或（舍）， ∴，则 ∴在中，由勾股定理得， ∴, ∴， ∴，当点三点共线时取得最小值， 此时的点即为点， 同上可求直线的表达式为：， ∴， ∴ 过点作轴的对称点记为，则， ∵， ∴即求的最小值， ∴， 当三点共线时，取得最小值为， ∴周长最小值为， 同上可求直线的表达式为：， 当时，， ∴． 【小问3详解】 解：过点作轴的垂线，过点作垂线的垂线交于点， 由题意得，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 记直线与直线交于点R， ∵，， ∴， ∴， 过点作于点， 则，则， 由，同上可求直线表达式为： ∴， 由，同上可求直线表达式为：， 联立直线表达式和反比例函数解析式 得，， 解得： ∴或． 【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的综合，涉及待定系数法求函数解析式，解直角三角形，两点之间距离公式，等腰三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握“胡不归”以及“将军饮马”是解题的关键． 26. 如图，等腰直角三角形中，，点D是线段中点，以D为直角顶点作等腰直角三角形在N的左侧． （1）如图1，若点M与点A重合，连接，求的长度； （2）如图2，若点M在左侧，且时，过点D作交于点E，连接，在线段上取一点F且满足，求证：； （3）如图3，若点M在左侧，且时，将和分别沿翻折得到和，连接，若，请直接写出的值． 【答案】（1） （2）证明见详解 （3） 【解析】 【分析】（1）如图，过点作交延长线于点，则，证明，则，，故，对中运用勾股定理即可求解； （2）过点作的垂线与的延长线交于点，连接，由平行线分线段成比例得点为中点，可证明四点共圆，则，故为等腰直角三角形，，为等腰直角三角形，可证明，同理可得为等腰直角三角形，为等腰直角三角形，同理可证明：，导角，显然，则，在等腰中，由勾股定理得，故，由，得，即； （3）连接，延长交于点，过点作，则，先证明三点共线，可得则，，得到，设，则，由勾股定理得，由，得到，证明，则，，在中，由勾股定理得，在中，，由勾股定理得，即可求出比值． 【小问1详解】 解：如图，过点作交延长线于点，则 ∵， ∴由勾股定理得， ∴， ∵点为中点， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴在中，由勾股定理得； 【小问2详解】 解：过点作的垂线与的延长线交于点，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点为中点， ∵ ∴， ∴ ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴四点共圆， ∴， ∴为等腰直角三角形，， ∴，， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∵同理可得为等腰直角三角形， ∴， ∵为等腰直角三角形， 同理可证明：， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴，则， 在等腰中，由勾股定理得， ∴ ∵， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：连接，延长交于点，过点作，则， 由翻折得，，，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴三点共线， ∴ ∵， ∴ ∴， 而， ∴， 设，则，由勾股定理得， 由， 得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ， ∴在中，由勾股定理得， 在中，，由勾股定理得， ∴． 【点睛】本题考查了翻折变换，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，圆周角定理，勾股定理，熟练构造基本全等模型是解决本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学试题 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出代号为的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧确答案所对应的方框涂黑． 1. 下列式子中，是分式的是（ ） A. B. C. D. 2. 在以下节水、节能、回收、绿色食品四个标志中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 反比例函数的图象一定经过的点是（ ） A. B. C. D. 4. 估计的值应该在（ ） A. 7和8之间 B. 8和9之间 C. 9和10之间 D. 10和11之间 5. 如图，和是以点O为位似中心的位似图形，，若，则为（ ） A. 6 B. 3 C. 4 D. 8 6. 如图，已知直线，直线与直线分别交于点，交直线于点．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，直角三角形中，，分别以为直径向上作半圆．若，则图中阴影部分的面积为（ ） A. 9 B. C. D. 8. 如图，下列图形均是由完全相同的小圆点按照一定规律所组成的，第①个图形中一共有个小圆点，第②个图形中一共有个小圆点，第③个图形中一共有个小圆点，，按此规律排列下去，第⑩个图形中小圆点的个数是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在正方形中，点E是对角线上的一点，连结，过点E作，交于点F，以为邻边作矩形，连结，若F恰为的中点，则的长为（ ） A. B. C. D. 10. 有如下的一列等式： ，，其中为正整数，的各项系数均不为．交换任意两项的系数得到的新多项式称为“友好多项式”那么以下说法正确的有（ ） ①多项式有个不同的“友好多项式”； ②求多项式所有不同的“友好多项式”之和，其中的系数为：； ③若，那么的所有系数之和为； ④若，那么当时，． A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 二、填空题：（本大题8个小题，每小题4分，共32分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 计算：_______． 12. 若正多边形的每一个内角等于140°，则这个正多边形的边数是_______． 13. 一个不透明的口袋中有个黄色球和个红色球，这些球除颜色外其余均相同，从中随机摸出一个球，记下颜色后放回，搅匀后再从中随机摸出一个球，则两次都摸出红球的概率是______． 14. 已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流（单位：）与电阻（单位：）是反比例函数关系，它的图象如图所示．若蓄电池电流为时，电阻为______． 15. 若是关于x的二次函数，则m的值为_______． 16. 若关于的不等式组无解，且关于的分式方程有整数解，则满足条件的所有整数的和为______． 17. 如图，四边形为矩形，，，点为边上一点，将沿翻折，点的对应点为点，过点作交于点，若，则的长为___________________． 18. 对于一个三位自然数m，将各个数位上的数字分别乘以3后，取其个位数字，得到三个新的数字，我们对自然数m规定一个运算：，例如：，其各个数位上的数字分别乘以3后，再取其个位数字分别是：，则．则_______；若已知两个三位数（为整数，且），若能被7整除，则的最大值是_______． 三、解答题：（本大题8个小题，第19题8分，其余每小题8分，共78分）解答时年小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 19. 计算 （1）； （2）． 20. 当前，电信网络诈骗犯罪形势严峻，某中学组织了关于防诈安全知识的专题讲座，并进行了防诈安全知识测评，现从该校初中、高中两个学段中各随机抽取20名学生的测试成绩（120分制）进行整理和分析（成绩得分用x表示，共分成四组：A．，B．，C．，D．，下面给出了部分信息： 初中20名学生的测试成绩是：， 高中20名学生的测成绩在C组中的数据是：． 初中、高中抽取的学生测试成绩统计表 学段 平均数 中位数 众数 方差 初中 100.5 103 a 119.3 高中 102 b 112 72.6 根据上述信息，解答下列问题： （1）直接写出上述图表中的值； （2）该校哪个学段学生掌握防诈安全知识更好？请说明理由．（写出一条理由即可） （3）该校初中4400名学生，高中560名学生，估计两个学段测试成绩优秀的学生共有多少名？ 21. 如图，等腰直角三角形，，点是的中点，连接，点是上的一点，． （1）用直尺和圆规完成以下基本操作：过点作的角平分线，交和分别于点和点（保留作图痕迹，不写作法） （2）求证：． 证明：在中，，点是的中点， ， ， 平分， _______， ， 又， ， ______________， 在和中，， ， ， _______． 22. 喷灌和滴灌是目前较常用的两种节水灌溉方式，去年，某专家小组用两块相同大小的试验田分别采用喷灌和滴灌的方式，滴灌总用水吨，喷灌总用水吨，据测算，喷灌时每亩用水量比滴灌时每亩用水量多吨． （1）求喷灌和滴灌每亩用水量分别是多少； （2）今年，专家小组计划将滴灌和喷灌试验田面积分别增加，同时，通过改进灌溉输水管道，使喷灌的每亩用水量减少了，滴灌的用水量不变，据测算，今年的灌溉用水量比去年的用水量增加了，求的值． 23. 如图，在直角梯形中，，现有一动点Q从C点出发沿的方向移动到A点（含端点C和点A），当它到A时停止．设Q点经过的路程为，线段围成的封闭图形面积为． （1）直接写出与x的函数关系式，并注明x的取值范围； （2）在x的取值范围内画出的图象，写出函数的一条性质：______________； （3）结合函数图象，当直线与的函数图象有两个交点时，直接写出常数m的取值范围．（结果保留一位小数，误差不超过0.2）． 24. 如图，四边形是某公园的游览步道（步道可以骑行），把四个景点连接起来，为了方便，在景点的正东方设置了休息区，其中休息区在景点的南偏西方向米处，景点在景点的北偏东方向，景点和休息区两地相距米，景点分别在休息区、景点的正东方向和正南方向．（参考数据：） （1）求步道的长度； （2）周末小明和小宏相约一起去公园游玩，他们在景点一起向正东出发，不久到达休息区，他们发现有两条路线到达景点，于是小宏想比赛看谁先到达景点．他们分别租了一辆共享单车，两人同时在点出发，小明选择①路线，速度为每分钟米；小宏选择②路线，速度为每分钟米，其中两人在各个景点停留的时间不计．请你通过计算说明，小明和小宏谁先到达景点呢？ 25. 如图，一次函数与反比例函数的图象相交于点，与x轴交于点B，与y轴交于点C，已知． （1）求反比例函数与一次函数的解析式； （2）将点B沿x轴负半轴平移5个单位长度得到点E，连接，交反比例函数图象于点D，连接．若在y轴上有一动点F，直线上有一动点P．当最小时，求周长的最小值以及点F的坐标； （3）如图2，将线段以D为圆心，逆时针旋转，得到线段，连接，在反比例函数上是否存在一点Q，使得？直接写出点Q的坐标． 26. 如图，等腰直角三角形中，，点D是线段中点，以D为直角顶点作等腰直角三角形在N的左侧． （1）如图1，若点M与点A重合，连接，求的长度； （2）如图2，若点M在左侧，且时，过点D作交于点E，连接，在线段上取一点F且满足，求证：； （3）如图3，若点M在左侧，且时，将和分别沿翻折得到和，连接，若，请直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $