专题3.3 轴对称-最短路径问题（4个考点）（题型专练+易错精练）-2024-2025学年八年级数学上册《知识解读•题型专练》（北师大版）

专题3.3 轴对称-最短路径问题（4个考点） 【考点1：两定一动-作图】 【考点2：两定一动-求周长/线段和最小值/角度】 【考点3：一定两动-求线段和/周长/角度最小】 【考点4：一定两动-求角度】 【考点1：两定一动-作图】 1．白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．诗中隐含着一个有趣的数学问题：诗中将军在观望烽火之后从山脚上的A点出发，奔向小河旁边的点饮马，饮马后再到点宿营，若到水平直线（表示小河）的距离分别是2，1，两点之间水平距离是4，则最小值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 2．如图，在平面直角坐标系中，点是轴上一点，为直角三角形，其中，，，点、均在轴上且在轴上左右移动，则移动过程中的周长最小值为 ．      【考点2：两定一动-求周长/线段和最小值/角度】 3．已知点，点，点为轴上任意一点，则的最小值为（　　） A． B． C． D． 4．如图，长方形，E是的中点，点F在上，且，，G是的中点，H为上的动点，连接，，若，，则周长的最小值是（     ） A． B． C． D． 5．如图，在中，，是的平分线．若P，Q分别是和上的动点，则的最小值是（    ） A． B． C．2 D． 6．如图，在中，，，是边的中点，是边上一动点，连接，，则的最小值是（    ）    A． B． C． D． 6．如图，正方形的面积为4，是等边三角形，点在正方形内，在对角线上有一点，使的和最小，则这个最小值为（    ） A． B． C． D． 7.如图所示，在边长为2的等边三角形中，为的中点，为的中点，过点作交于，交于，是线段上一个动点，连接，，则的周长的最小值是 ． 8．如图，在直角坐标系中，点A，B的坐标分别为和，点C是y轴上的一个动点，且A，B，C三点不在同一条直线上，则的周长的最小值是 ．    9．如图，在平面直角坐标系中，直线l是一、三象限的角平分线，点P是直线l上的一个动点，，是x轴上的两个点，则的最小值为 ． 10．如图，为坐标原点，中的两个顶点为，，点在边上，点在边上，且，点为边上的动点，则的最小值为 ．    11．如图，点P是长方形内部的一个动点，已知， ，若的面积等于30，则点P到B，C两点距离之和的最小值是 ． 12．如图，正方形的边长为6，线段在边上左右滑动，若，则的最小值为 ．    13．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，点C、D分别在y轴、上运动，连接，则的最小值为 ．    【考点3：一定两动-求线段和/周长/角度最小】 14．如图，在中，，是的平分线．若分别是和上的动点，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 15．已知在平面直角坐标系中，点的坐标为，点与点分别是直线及轴上的动点，则周长的最小值为（    ） A．6 B．8 C．10 D． 16．如图，在锐角三角形中，，， 的平分线交于点D，点M、N分别是和上的动点，则的最小值为（     ） A． B． C．6 D．5 17．已知在△ABC中，D为BC的中点，AD＝6，BD＝2.5，AB＝6.5，点P为AD边上的动点．点E为AB边上的动点，则PE＋PB的最小值是（    ） A．5 B．6 C． D． 18．如图，已知∠B＝30°，线段BC＝2，点E，F分别是线段BC和射线BA上的动点，则CF＋EF的最小值是（    ） A．1 B．2 C． D． 19．如图，点P为△ABC内一点，∠ABC=45°，点D，E分别是AB，BC上的动点，连接DP，EP，DE，BP．若BP=6，则△DEP周长的最小值为 ． 20．如图，在锐角三角形中，，的面积为，的平分线交于点，，分别是和上的动点，则的最小值是 ．    21．如图，在锐角中，，，的平分线交于点D，M、N分别是上的动点，则的最小值是 ． 22．如图，中，，，，平分，如果、分别为、上的动点，那么的最小值是 ．    23．如图，中，，，，，平分，如果点P，点G分别为，上的动点，那么的最小值是 . 24．如图，，点A、点B分别为、上的定点，且，，点C、点D分别是射线、上的动点，则的最小值为 ． 25．如图，在中，，，，是是的平分线，是线段上一点，是线段上一点，则的最小值为 ． 26．如图，在中，平分分别为边上的动点，，则的最小值是 ．    27．如图，在中，，，的平分线交于点D，若点P、Q分别是和上的动点，则的最小值是 ． 【考点4：一定两动-求角度】 28．如图，已知的大小为，是内部的一个定点，且，点，分别是、上的动点，若周长的最小值等于，则的大小为（    ） A． B． C． D． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题3.3 轴对称-最短路径问题（4个考点） 【考点1：两定一动-作图】 【考点2：两定一动-求周长/线段和最小值/角度】 【考点3：一定两动-求线段和/周长/角度最小】 【考点4：一定两动-求角度】 【考点1：两定一动-作图】 1．白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．诗中隐含着一个有趣的数学问题：诗中将军在观望烽火之后从山脚上的A点出发，奔向小河旁边的点饮马，饮马后再到点宿营，若到水平直线（表示小河）的距离分别是2，1，两点之间水平距离是4，则最小值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】本题考查了轴对称-最短路径问题以及勾股定理．首先作A关于直线l的对称点，连接交直线l于点P，此时最小；然后可得的最小值，再利用勾股定理求解，即可求得答案． 【详解】解：作A关于直线l的对称点，连接交直线l于点P，此时最小； 则， ∴， 过点B作于点C， 则， ∴， ∴， ∴最小值． 故选：C． 2．如图，在平面直角坐标系中，点是轴上一点，为直角三角形，其中，，，点、均在轴上且在轴上左右移动，则移动过程中的周长最小值为 ．      【答案】/ 【分析】先利用勾股定理求出，作点A关于直线的对称点D，过点D作轴，过点B作于E，连接，证明三点共线，则可求出，利用对称性得到，则由勾股定理得到，由三角形周长公式推出当三点共线时，有最小值，即此时的周长有最小值，据此可得答案． 【详解】解：在中，，，， ∴， 如图所示，作点A关于直线的对称点D，过点D作轴，过点B作于E，连接， ∴点D在直线上，轴， 又∵， ∴，即轴， ∴三点共线， ∴， ∴， 由对称性可知，， ∴， ∵的周长， ∴的周长， ∵， ∴当三点共线时，有最小值，即此时的周长有最小值，最小值为， 故答案为：．    【点睛】本题主要考查了坐标与图形，勾股定理，轴对称最短路径问题，平移的性质，正确利用对称性把求线段之和的最小值转换为两动点到一定点的距离之和的最小值是解题的关键． 【考点2：两定一动-求周长/线段和最小值/角度】 3．已知点，点，点为轴上任意一点，则的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了轴对称最短线段问题，作点关于轴的对称点，连接交轴于点，则，可得，可知此时的值最小，最小值即为的长，利用两点间距离公式求出即可求解，利用轴对称的性质找出点的位置是解题的关键． 【详解】解：作点关于轴的对称点，连接交轴于点，则， ∴， 根据两点之间，线段最短，可得此时的值最小，最小值即为的长， ∵， ∴, ∴， ∴的最小值为， 故选：． 4．如图，长方形，E是的中点，点F在上，且，，G是的中点，H为上的动点，连接，，若，，则周长的最小值是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了轴对称的性质，全等三角形的判定和性质，三角形三边关系，解决问题的关键是作辅助线，利用两边之和大于第三边解决问题； 取的中点M，连接、，可得首先证明和得，根据，当E，H，M三点共线时，的值最小，再根据G是的中点，M是的中点，得，即可得出周长的最小值。 【详解】取的中点M，连接、 ，在和中 ， ， 在和中， ， , ， 四边形是长方形，E是的中点，M是的中点， 四边形是长方形，， .， 当E，H，M三点共线时，的值最小， 最小值为， G是的中点，M是的中点，， , 周长的最小值是， 故选：D. 5．如图，在中，，是的平分线．若P，Q分别是和上的动点，则的最小值是（    ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【分析】本题考查轴对称求最短距离，熟练掌握角平分线的性质，找到点关于的对称点，再由垂线段最短是求解的关键．作点关于的对称点，连接，，过点作于点．利用垂线段最短解决问题即可． 【详解】解：如图，作点关于的对称点，连接，，过点作于点． 是的角平分线，与关于对称， 点在上，， ，，， ∴， ， ， 的最小值为． 故选：B． 6．如图，在中，，，是边的中点，是边上一动点，连接，，则的最小值是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】作点关于的对称点，连接交于点，连接交于点，连接得出当点与点重合时，取得最小值，在中，勾股定理即可求解． 【详解】解：∵在中，，， ∴ 如图所示，作点关于的对称点，连接交于点，连接交于点，连接    ∴，， ， 当点与点重合时，取得最小值，， ∵ 在中， 即的最小值是 故选：C． 【点睛】本题考查了勾股定理，二次根式的性质化简，轴对称求线段的和的最值问题，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键． 6．如图，正方形的面积为4，是等边三角形，点在正方形内，在对角线上有一点，使的和最小，则这个最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由于点B与D关于AC对称，所以连接BE，与AC的交点即为P点．此时PD+PE=BE最小，而BE是等边△ABE的边，BE=AB，由正方形A BCD的面积为4，可求出AB的长，从而得出结果． 【详解】解：连接BD，与AC交于点F． ∵点B与D关于AC对称， ∴PD= PB， ∴PD+ PE= PB+ PE= BE最小， ∵正方形ABCD的面积为4， ∴AB= 2 又∵ △ABE是等边三角形， ∴BE= AB=2， 所求的最小值为2． 故选：D 【点睛】本题考查了两点之间线段最短．利用对称性求最小值，找到点P 是解题的关键． 7.如图所示，在边长为2的等边三角形中，为的中点，为的中点，过点作交于，交于，是线段上一个动点，连接，，则的周长的最小值是 ． 【答案】3 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，线段垂直平分线的性质，轴对称最短路线问题，熟练掌握将军饮马基本模型是解题的关键．连接，首先证明是的垂直平分线，得，则的周长为，当、、共线时，的最小值为2，从而得出答案． 【详解】解：连接， 点是的中点，是等边三角形， ， ， ， 点为的中点， 是的垂直平分线， ， 的周长为， 当、、共线时，的最小值为2， 的周长最小值为3， 故答案为：3 8．如图，在直角坐标系中，点A，B的坐标分别为和，点C是y轴上的一个动点，且A，B，C三点不在同一条直线上，则的周长的最小值是 ．    【答案】 【分析】作点关于轴的对称点，连接交轴于，此时的周长最小，作轴于，再利用勾股定理分别求出和的长，进而解决问题． 【详解】解：作点关于轴的对称点，连接交轴于，此时的周长最小， 作轴于，    ， ， ，， ， ，， ， 的周长最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了轴对称最短路线问题，勾股定理等知识，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键． 9．如图，在平面直角坐标系中，直线l是一、三象限的角平分线，点P是直线l上的一个动点，，是x轴上的两个点，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查的是最短线路问题，勾股定理，根据图形特点作辅助线，将问题转化为两点之间线段最短是解答此题的关键．首先作出点A关于直线l的对称点，从而得到，故此，由两点之间线段最短可知即为所求． 【详解】解：取在y轴上点使，连接，    ∴点的坐标为． ∴点与点A关于直线l对称． ∴． ∴． 由两点之间线段最短可知：当点、P、B在一条直线上时，有最小值， 在中，， 故答案为：． 10．如图，为坐标原点，中的两个顶点为，，点在边上，点在边上，且，点为边上的动点，则的最小值为 ．    【答案】 【分析】过点作交轴于点，交于点 ，得矩形，正方形，点E是点C关于对称的对称点，此时 的值最小． 【详解】∵ ，， ∴，轴， ∴，， ∴ 如图，过点作交轴于点，交 于点，连接，    则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，轴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴四边形是矩形， 同理可得四边形是矩形， ∵， ∴, ∴四边形是正方形， ∴点E是点C关于对称的对称点，的值最小， ∵, ∴, ∴， 此时 的值最小，为， 故答案为：． 【点睛】此题考查了轴对称一最短路线问题，坐标与图形性质，解题的关键是掌握轴对称的性质. 11．如图，点P是长方形内部的一个动点，已知， ，若的面积等于30，则点P到B，C两点距离之和的最小值是 ． 【答案】17 【分析】首先证明动点P在与平行且与的距离是4的直线l上，过点B作直线l的对称点，连接交直线l于点P，的长就是所求的最短距离． 【详解】设中边上的高是． ∵，， ∴， ∴， ∴动点在与平行且与的距离是4的直线l上． 如图，过点作直线的对称点，连接交直线l于点P，的长就是所求的最短距离． ∵点B与点关于直线对称， ∴． ∵四边形是长方形， ∴． ∵，， ∴， 即的最小值是17． 故答案为：17． 【点睛】本题考查了轴对称——最短路线问题、三角形的面积、勾股定理、两点之间线段最短等知识，得出动点P所在的位置是解题的关键． 12．如图，正方形的边长为6，线段在边上左右滑动，若，则的最小值为 ．    【答案】13 【分析】如图，作A于对称点,则，在上截取，然后连接，当三点共线时，有值最小，然后利用勾股定理即可解答． 【详解】解：如图，作A于对称点， ∴，, 在上截取，然后连接， ∵ ∴四边形是平行四边形， ∴, ∴， ∴当三点共线时，有值最小， ∵， ∴， ∴， 由勾股定理得:，即最小值为13． 故答案为13．    【点睛】本题主要考查了利用轴对称求最短路径问题、勾股定理等知识点，根据题意确定最小时E，F位置是解题关键． 13．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，点C、D分别在y轴、上运动，连接，则的最小值为 ．    【答案】/4.8/ 【分析】先找出线段关于y轴的对称线段，再过点B作这条对称线段的垂线段，这条垂线段的长度即位的最小值． 【详解】解：如下图所示，先找出点B关于y轴对称的对称点，截取 ，此时点D与点关于y轴对称，从而可知．    再根据垂线段最短可知，当是线段的垂线段，与y轴交于点C时，即有最小值．    ∵点A的坐标为，点B的坐标为 ∴点的坐标为， =6． =5，4， ∴ 即 ∴ ∴的最小值为 故答案为：． 【考点3：一定两动-求线段和/周长/角度最小】 14．如图，在中，，是的平分线．若分别是和上的动点，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意可以把关于对称到的点，如此的最小值问题即变为与线段上某一点的最短距离问题，最后根据垂线段最短的原理得解． 【详解】解：如图，作关于的对称点，则，连接，过点作于点，所以、、三点共线时，，此时有可能取得最小值， 当垂直于即移到位置时，的长度最小， 的最小值即为的长度， ， ，即的最小值为． 故选：B． 【点睛】本题考查了轴对称最短路径问题，垂线段最短，通过轴对称把线段和最小的问题转化为线段外一点到线段某点连线段最短问题是解题关键． 15．已知在平面直角坐标系中，点的坐标为，点与点分别是直线及轴上的动点，则周长的最小值为（    ） A．6 B．8 C．10 D． 【答案】D 【分析】本题考查了轴对称的性质、勾股定理，作点关于轴的对称点，关于直线的对称点，连接，交直线于点，交轴于点，则，，当点、、、在同一直线上时，的周长最小，最小值为的长，根据点，可知点在直线上运动，据此解答即可，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：如图，作点关于轴的对称点，关于直线的对称点，连接，交直线于点，交轴于点， ， 则，， 的周长， 当点、、、在同一直线上时，的周长最小， 周长的最小值为的长， 点， 点在直线上运动， 令直线于轴交于点，交轴于，连接， 在中，当时，，当时，，解得， ，， ， 是等腰直角三角形， ， 由轴对称的性质可得：，， ， ， ， ，，， ，， ， 故选：D． 16．如图，在锐角三角形中，，， 的平分线交于点D，点M、N分别是和上的动点，则的最小值为（     ） A． B． C．6 D．5 【答案】D 【分析】如图（见解析），先根据三角形全等的判定定理与性质可得，再根据两点之间线段最短可得的最小值为，然后根据垂线段最短可得当时，取得最小值，最后利用三角形的面积公式即可得． 【详解】解：如图，在上取一点E，使，连接， 是的平分线， ， 在和中，， ， ， ， 由两点之间线段最短得：当点共线时，取最小值，最小值为， 又由垂线段最短得：当时，取得最小值， ， ， 解得， 即的最小值为5， 故选D． 【点睛】本题考查了角平分线的定义、三角形全等的判定定理与性质、两点之间线段最短、垂线段最短等知识点，正确找出取得最小值时的位置是解题关键． 17．已知在△ABC中，D为BC的中点，AD＝6，BD＝2.5，AB＝6.5，点P为AD边上的动点．点E为AB边上的动点，则PE＋PB的最小值是（    ） A．5 B．6 C． D． 【答案】C 【分析】根据勾股定理的逆定理得到∠ADB=90°，得到点B，点C关于直线AD对称，过C作CE⊥AB交AD于P，则此时PE+PB=CE的值最小，根据三角形的面积公式即可得到结论． 【详解】解：∵AD=6，BD=2.5，AB=6.5， ∴AB2=AD2+BD2， ∴∠ADB=90°， ∵D为BC的中点，BD=CD， ∴AD垂直平分BC， ∴点B，点C关于直线AD对称， ∴PB=PC， 要求PB+EP最小，即求PC+EP最小， 过C作CE⊥AB交AD于P，则此时PE+PB=CE的值最小， ∵S△ABC=AB•CE=BC•AD， ∴6.5•CE=5×6， ∴CE=， ∴PE+PB的最小值为， 故选：C． 【点睛】这是一道根据轴对称求最短路线的问题，考查了勾股定理的逆定理，线段垂直平分线的性质，垂线段最短，三角形的面积公式等，根据轴对称确定最小值是解题的关键． 18．如图，已知∠B＝30°，线段BC＝2，点E，F分别是线段BC和射线BA上的动点，则CF＋EF的最小值是（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】C 【分析】作点C关于直线BA的对称点C’，连接BC’，作C’E’⊥BC，则C’E’的长就是CF＋EF的最小值，然后根据含30度的直角三角形的性质结合勾股定理求出C’E’即可. 【详解】解：作点C关于直线BA的对称点C’，连接BC’，作C’E’⊥BC，则C’E’的长就是CF＋EF的最小值， ∵BC＝2，∠ABC＝30°， ∴BC’＝2，∠ABC’ ＝30°， ∴∠CBC’ ＝60°， ∴BE’=， ∴C’E’=，即CF＋EF的最小值是， 故选C. 【点睛】本题考查了轴对称－最短路径问题，根据题意得到C’E’的长就是CF＋EF的最小值是解题关键. 19．如图，点P为△ABC内一点，∠ABC=45°，点D，E分别是AB，BC上的动点，连接DP，EP，DE，BP．若BP=6，则△DEP周长的最小值为 ． 【答案】6 【解析】略 20．如图，在锐角三角形中，，的面积为，的平分线交于点，，分别是和上的动点，则的最小值是 ．    【答案】 【分析】本题考查轴对称的最短问题、垂线段最短等知识，作关于的对称点，连接 ，作 于交于．因为，所以当与，与重合时，最小，求出即可解决问题． 【详解】如图，作关于的对称点，连接 ，作 于交于．    ， 当与，与重合时，最小， ，， ， 的最小值为， 故答案为． 21．如图，在锐角中，，，的平分线交于点D，M、N分别是上的动点，则的最小值是 ． 【答案】3 【分析】如图：在上取一点N'，使，连接，过点B作于点H，推出的最小值是，再求出的长即可． 【详解】解：如图：在上取一点N'，使，连接，过点B作于点H， ∵平分， ∴是的对称轴， ∴， ∴， ∴的最小值是， 在中，， ∴， ∵， ∴由勾股定理可得，即， ∴（负值已舍）， ∴的最小值是3． 故答案为：3． 【点睛】本题主要考查了轴对称﹣最短路线问题、两点之间线段最短、垂线段最短、含45°角直角三角形的性质等知识点，能将两线段和的最小值用一条线段表示是解题的关键． 22．如图，中，，，，平分，如果、分别为、上的动点，那么的最小值是 ．    【答案】 【分析】本题考查了轴对称最短路线问题，勾股定理；过点作于点，交于点，过点作 于，则即为的最小值，再根据三角形的面积公式求出的长，即为的最小值． 【详解】解：，，， 过点作于点，交于点，过点作 于，    平分，， ， ， ，此时取最小值． ， ， 即 ． 即的最小值为． 故答案为：． 23．如图，中，，，，，平分，如果点P，点G分别为，上的动点，那么的最小值是 . 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的性质，直角三角形的等面积法求斜边上的高，作点关于的对称点，作，首先根据角平分线的对称性得到，然后利用面积法求出，进而求解即可． 【详解】解：如图所示，作点关于的对称点，作， ∵平分， ∴点在线段上， ∴， ∴的最小值为的长度， ∵， ∴，即， ∴解得， ∴的最小值是． 故答案为：． 24．如图，，点A、点B分别为、上的定点，且，，点C、点D分别是射线、上的动点，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】根据轴对称，分别作点关于的对称点，作点关于的对称点，连接即为所求． 【详解】解：如图，作点关于的对称点，作点关于的对称点，连接交于点，交于点，连接，则即为的最小值， 由轴对称可得：，，，， 在中， 故答案为： 【点睛】本题考查了轴对称的性质，两点之间线段最短等知识点，熟记轴对称的性质是解题关键． 25．如图，在中，，，，是是的平分线，是线段上一点，是线段上一点，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了轴对称—最短路线问题，勾股定理；作关于的对称点，则，当时，取得最小值，过点作于点，则的长，即为的最小值，勾股定理求得斜边长，然后根据等面积法，即可求解． 【详解】解：如图所示，作关于的对称点， ∵是是的平分线， ∴在上， ∴， 当时，取得最小值， 过点作于点，则的长，即为的最小值， ∵在中，，，， ∴， ∵ ∴， 故答案为：． 26．如图，在中，平分分别为边上的动点，，则的最小值是 ．    【答案】 【分析】本题考查了轴对称-最短路线问题，过点A作于点，在上取一点，使，即可根据平分得到，得到，则当三点共线且垂直时最小，即为的最小值，根据求解即可． 【详解】过点A作于点，在上取一点，使，    ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当三点共线且垂直时最小，即为的最小值， ∵， ∴， ∴的最小值是． 27．如图，在中，，，的平分线交于点D，若点P、Q分别是和上的动点，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】作点P关于直线的对称点，连接交于点Q，则 ，利用轴对称的性质及两点之间线段最短得出当时，线段最短，再由勾股定理及斜边上的中线的性质即可求解． 【详解】解：如图，作点P关于直线的对称点，连接交于点Q，则 ． ∵根据对称的性质知， ∴． 又∵是的平分线，点P在边上，点Q在直线上， ∴， ∴， ∴点在边上． ∵当时，线段最短． ∵在中，，， ∴，且当点是斜边的中点时，， 此时， 即的最小值是． 【点睛】题目主要考查轴对称的性质及两点之间线段最短，勾股定理解三角形等，理解题意，作出相应图形是解题关键． 【考点4：一定两动-求角度】 28．如图，已知的大小为，是内部的一个定点，且，点，分别是、上的动点，若周长的最小值等于，则的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】作P点关于OA的对称点C，关于OB的对称点D，当点E、F在CD上时，△PEF的周长最小，根据CD=2可求出的度数． 【详解】解：如图作P点关于OA的对称点C，关于OB的对称点D，连接CD，交OA于点E，交OB于点F，此时，△PEF的周长最小； 连接OC，OD，PE，PF ∵点P与点C关于OA对称， ∴OA垂直平分PC，，PE=CE，OC=OP， 同理可得， ∴， ∴ ∵△PEF的周长为， ∴△OCD是等边三角形， ∴ 故本题最后选择A． 【点睛】本题找到点E、F的位置是解题的关键，要使△PEF的周长最小，通常是把三边的和转化为一条线段进行解答． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$