第3章：位置与坐标章末重点题型复习-【上好课】2024-2025学年八年级数学上册同步精品课堂（北师大版）

（北师大版）八年级上册 第3章：位置与坐标章末重点题型复习 题型一 确定位置 1．（2023秋•江北区期末）以下能够准确表示我校地理位置的是（　　） A．离宁波市主城区10千米 B．在江北区西北角 C．在海曙以北 D．东经120.5°，北纬29.8° 2．（2023•苏州模拟）点A的位置如图所示，则关于点A的位置下列说法中正确的是（　　） A．距点O4km处 B．北偏东40°方向上4km处 C．在点O北偏东50°方向上4km处 D．在点O北偏东40°方向上4km处 3．（2023秋•霍邱县校级月考）如图是小明和小红在教室座位的相对位置，如果用（2，1）表示小明的位置，则小红的位置可表示为 　 　． 4．（2023春•东城区期末）如图，雷达探测器探测到三艘船A，B，C，按照目标表示方法的规定，船A，B的位置分别表示为A（5，30°），B（6，300°），船C的位置应表示为 　 　． 5．（2023春•新乐市校级月考）如图，我们把杜甫的《绝句》整齐排列放在平面直角坐标系中． （1）“岭”和“船”的坐标依次是 　 　； （2）将第2行与第3行对调，再将第3列与第7列对调，“雪”由开始的坐标依次变换 为 　 　和 　 　； （3）“泊”开始的坐标是（2，1），使它的坐标变换到（5，3），应该哪两行对调，同时哪两列对调？ 题型二 象限内点的坐标 1．（2023秋•大观区校级期末）下列各点中，在第四象限的点是（　　） A．（5，3） B．（5，﹣3） C．（﹣5，﹣3） D．（﹣5，3） 2．（2024秋•揭西县期中）在平面直角坐标系中，点P（﹣2，a）在第二象限，则a的值可能为（　　） A．﹣2 B．3 C．0 D． 3．（2024秋•碑林区校级月考）坐标平面内点A（m，n）在第二象限，则点B（m，﹣n）在（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 4．（2023秋•宁阳县期末）已知点P（a，b），ab＞0，a+b＜0，则点P在第 　象限． 5．（2023秋•埇桥区期中）已知当m、n都是实数，且满足2m＝6+n，则称点为“智慧点”． （1）判断点P（4，10）是否为“智慧点”，并说明理由． （2）若点M（a，1﹣2a）是“智慧点”．请判断点M在第几象限？并说明理由． 题型三 坐标轴上的点的坐标 1．（2023•顺德区校级一模）已知点Q（a﹣1，a+2）在x轴上，那么Q点的坐标为（　　） A．（﹣3，0） B．（3，0） C．（0，3） D．（0，﹣3） 2．（2023秋•东港市期末）在平面直角坐标系中，点A（a+2，a﹣1）在y轴上，则点A的坐标为（　　） A．（﹣3，0） B．（0，﹣3） C．（3，0） D．（0，3） 3．（2023春•满洲里市期末）点A（1﹣m，m﹣3）在y轴上，则m＝　 　． 4．（2023春•昭化区期末）若点P（m+4，2m+4）在x轴上，则点P的坐标是 　 　． 5．（2024秋•碑林区校级月考）已知点P（a﹣1，2a+6），分别根据下列条件求出点P的坐标． （1）点P在x轴上； （2）点P在y轴上； （3）点Q的坐标为（1，5），直线PQ∥y轴． 题型四 坐标系中一些特殊点的坐标 1．（2024•香洲区校级模拟）点P（m+1，2m﹣7）在第二、四象限角平分线上，则点P的坐标为（　　） A．（2，﹣2） B．（﹣2，﹣2） C．（3，﹣3） D．（﹣3，﹣3） 2．（2023春•曲阜市校级期末）已知点P（3m﹣6，m+1），点P在过点A（﹣1，2），且与x轴平行的直线上,则点P的坐标是 ． 3．（2023秋•通州区月考）在平面直角坐标系中，点A（x，y）的坐标满足方程3x﹣y＝4，当点A在第四象限，且OA是两坐标轴的角平分线，点A的坐标为 　 　． 4．（2023秋•泗洪县期末）已知点P（2x﹣3，3﹣x），点Q（3，2），若PQ∥x轴，则线段PQ的长为 　 　． 5．（2024秋•萍乡期中）已知点A（3，﹣4）、B（a，a+2），且直线AB平行于x轴，则a的值为　 　． 6．（2024春•江源区期末）已知点P（2m﹣6，m+2）是平面直角坐标系中的点． （1）若点P在y轴上，则点P的坐标为 　 　； （2）若点P在第一、三象限的角平分线上，则点P的坐标为 　 　； （3）已知点Q（5，3），且PQ∥x轴，求点P的坐标． 题型五 点的坐标与点到坐标轴的距离 1．（2023秋•西安期末）已知点P在第四象限内，到x轴的距离等于3，到y轴的距离等于4，则点P坐标是（　　） A．（3，﹣4） B．（3，4） C．（﹣4，3） D．（4，﹣3） 2．（2024秋•莲湖区月考）已知点A（a﹣5，6）到x轴的距离是到y轴的距离的3倍，则a的值是（　　） A．7 B．17 C．7或3 D．17或﹣7 3．（2024秋•英德市期中）如图，在平面直角坐标系中，PA垂直x轴，PB垂直y轴，且PA＝3，PB＝2，则点P的坐标为（　　） A．（3，2） B．（2，3） C．（3，﹣2） D．（2，﹣3） 4．（2024秋•鼓楼区校级月考）在平面直角坐标系中，已知点P（2m﹣4，3m+1）． （1）当点P在y轴上时，求出点P的坐标； （2）当直线PA平行于x轴，且A（﹣4，﹣2），求出点P的坐标； （3）若点P到x轴，y轴距离相等，求m的值． 5．（2023•苏州模拟）在平面直角坐标系中，点P的坐标为（2m+5，3m+3）． （1）若点P在x轴上时，求点P的坐标； （2）若点P在过点A（﹣5，1）且与y轴平行的直线上时，求点P的坐标； （3）将点P向右平移2个单位，再向上平移3个单位后得到点M，若点M在第三象限，且点M到y轴的距离为7，求点M的坐标． 题型六 图形在坐标系中的平移 1．（2023春•宜丰县校级期中）在平面直角坐标系中，将点M（﹣2021，﹣2021）向右平移2022个单位后得点N，则点N所在的象限是（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．（2023春•三元区期中）在平面直角坐标系中，将M（2，5）先向下平移1个单位，再向左平移3个单位，则移动后的点的坐标是（　　） A．（﹣1，6） B．（5，6） C．（﹣1，4） D．（5，4） 3．（2023春•忠县校级期中）在平面直角坐标系中，已知线段AB的两个端点分别是A（﹣4，﹣1），B（1，1）将线段AB平移后得到线段A′B′，若点A′的坐标为（﹣2，2），则点B′的坐标为（　　） A．（ 3，4 ） B．（ 4，3 ） C．（﹣l，﹣2 ） D．（﹣2，﹣1） 4．（2023春•章贡区期末）长方形ABCD的边AB＝4，BC＝6，若将该长方形放在平面直角坐标系中，使点A的坐标为（−1，2），且AB∥x轴，试求点C的坐标为 　 　． 5．如图，长方形ABCD各顶点分别为A（﹣2，2），B（﹣2，﹣1），C（3，﹣1），D（3，2），如果长方形A′B′C′D′先向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，恰能与长方形ABCD完全重合． （1）求长方形A′B′C′D′各顶点的坐标； （2）如果线段AB与线段B′C′交于点E，线段AD与线段C′D′交于点F，求点E，F的坐标． 题型七 巧用坐标求图形的面积 1．已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（2，﹣1）、B（1，3）、C（﹣4，﹣2），求△ABC的面积． 2．如图，三角形ABC沿x轴正方向平移2个单位长度，再沿y轴负方向平移1个单位长度得到三角形EFG． （1）写出三角形EFG的三个顶点坐标； （2）求三角形EFG的面积． 3．如图，若△A1B1C1是由△ABC平移后得到的，且△ABC中任意一点P（x，y）经过平移后的对应点为P1（x﹣5，y+2）． （1）求点A1、B1、C1的坐标． （2）求△A1B1C1的面积． 4．如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD四个顶点坐标分别为A（0，0），B（9，0），C（7，5），D（2，7），试确定这个四边形的面积． 5．在边长1个单位长度的小正方形组成的网格中建立如图所示的平面直角坐标系，四边形ABCD是格点四边形（顶点为网格线的交点）． （1）写出点A，B，C，D的坐标； （2）求四边形ABCD的面积． 题型八 利用图形面积求点的坐标 1．（2023秋•郁南县期中）在直角坐标系中，A（﹣4，0），B（2，0），C（0，6）． （1）求：S△ABC； （2）点P是位于x轴上的点，且，求出P点坐标． 2．已知：A（0，1），B（1，0），C（3，2）． （1）求△ABC的面积； （2）设点P在坐标轴上，且△ABP与△ABC的面积相等，直接写出点P的坐标． 3．如图，平面直角坐标系中，A（﹣3，﹣2）、B（﹣1，﹣4） （1）直接写出：S△OAB＝　 ； （2）延长AB交y轴于P点，求P点坐标； （3）Q点在y轴上，以A、B、O、Q为顶点的四边形面积为6，求Q点坐标． 4．（2023秋•太平区校级期末）如图，在直角坐标平面内，已知点A的坐标为（3，3），点B的坐标为（﹣4，3），点P为直线AB上任意一点（不与A、B重合），点Q是点P关于y轴的对称点． （1）请求出△ABO的面积． （2）设点P的横坐标为a，那么点Q的坐标为 　 　． （3）设△OPA和△OPQ的面积相等，且点P在点Q的右侧，请求出此时P点坐标． （4）如果△OPA的面积是△OPQ的面积的2倍，请直接写出此时点P的坐标 　 ． 5．（2024春•兴宁区校级期中）如图，在平面直角坐标系中，已知A（a，0），B（b，0），其中a，b满足|a+2|+（b﹣4）2＝0． （1）求a、b的值． （2）如果在第三象限内有一点M（﹣3，m），请用含m的式子表示三角形ABM的面积． （3）在（2）条件下，当m＝﹣4时，在y轴上是否存在点P，使得三角形ABP的面积与三角形ABM的面积相等？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 题型九 关于坐标轴对称的点的坐标规律的应用 1．（2024秋•大冶市期中）已知点A（a，b）与点B（3，2）关于x轴对称，则a+b＝（　　） A．1 B．﹣1 C．﹣2 D．4 2．在平面直角坐标系xOy中，点A（2，4+m）与点B（m，n）关于y轴对称，则m+n的值为（　　） A．0 B．1 C．2 D．﹣1 3．（2023秋•滕州市期中）若A（m，2﹣n）关于x轴对称的点是A1（4，5），则P（m，n）的坐标是（　　） A．（﹣4，﹣3） B．（4，7） C．（﹣4，7） D．（5，﹣4） 4．（2024秋•盘山县期末）若点A（a，4）、点B（3，b）关于x轴对称，则（a+b）200的值为（　　） A．0 B．﹣1 C．1 D．7201 5．（2024秋•舞阳县期中）已知点P（2a，﹣3）与点P′（8，b+2）． （1）若点P与点P′关于x轴对称，求a，b的值； （2）若点P与点P′关于y轴对称，求a，b的值． 题型十 平面直角坐标系中的轴对称作图 1．（2023秋•庆安县期末）如图，在直角坐标系中，A（﹣1，5），B（﹣3，0），C（﹣4，3）． （1）在图中作出△ABC关于y轴对称的图形△A1B1C1． （2）写出点C1的坐标． 2．（2023秋•鹰潭期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（﹣4，4），点B的坐标为（﹣2，0），点C的坐标为（﹣1，2）． （1）请画出△ABC关于y轴的对称图形△A1B1C1； （2）直接写出A1，B1，C1三点的坐标； （3）求△ABC的面积． 3．（2023秋•桓台县期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（﹣4，1）；B（1，1），C（﹣3，3）． （1）判断△ABC的形状，并说明理由； （2）若点C关于直线AB的对称点为点D，则点D的坐标为 　 　； （3）连接CD，BD，则△BCD的周长为 　 　． 4．（2023秋•梅县区期末）在平面直角坐标系中，△ABC的位置如图所示，已知点A的坐标是（﹣4，3）． （1）点B的坐标为（　 　，　 　），点C的坐标为（　 ，　 　）． （2）△ABC的面积是　 　． （3）作点C关于y轴的对称点C'，那么A、C'两点之间的距离是　 　． 题型十一 点的坐标规律探究 1．（2023秋•平果市期中）如图，已知A1（1，2），A2（2，2），A3（3，0），A4（4，﹣2），A5（5，﹣2），A6（6，0），…，按这样的规律，则点A2023的坐标为（　　） A．（2021，﹣2） B．（2023，2） C．（2023，﹣2） D．（2024，﹣2） 2．（2024春•东莞市校级月考）如图，在平面直角坐标系中，从点P1（﹣1，0），P2（﹣1，﹣1），P3（1，﹣1），P4（1，1），P5（﹣2，1），P6（﹣2，﹣2），…．依次扩展下去，则P2021的坐标为（　　） A．（505，505） B．（﹣505，505） C．（﹣505，﹣506） D．（﹣506，505） 3．（2023秋•慈溪市月考）如图，在平面直角坐标系中，△A1A2A3，△A3A4A5，△A5A6A7，⋯都是斜边在x轴上，斜边长分别为2，4，6，⋯的等腰直角三角形，若△A1A2A3的顶点坐标分别为A1（2，0），A2（1，1），A3（0，0），则依图中所示规律，A2023的坐标为（　　） A．（﹣1010，0） B．（﹣1008，0） C．（2，﹣505） D．（1，506） 4．（2023秋•崂山区期中）如图，动点M按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点（2，2），第2次运动到点（4，0），第3次运动到点（6，4），…，按这样的规律运动，则第2023次运动到点（　　） A．（2023，2） B．（4046，0） C．（2023，4） D．（4046，4） 5．（2024春•自贡期中）如图，平面直角坐标系中长方形ABCD的四个顶点坐标分别为A（﹣1，2），B（﹣1，﹣1），C（1，﹣1），D（1，2），点P从点A出发，沿长方形的边顺时针运动，速度为每秒2个长度单位，点Q从点A出发，沿长方形的边逆时针运动，速度为每秒3个长度单位，记P，Q在长方形边上第1次相遇时的点为M1，第二次相遇时的点为M2，第三次相遇时的点为M3，……，则点M2024的坐标为（　　） A．（1，0） B．（﹣1，0） C．（1，2） D．（0，﹣1） 题型十二 平面坐标系与动点运动问题 1．（2023•苏州模拟）如图，长方形OABC中，O为平面直角坐标系的原点，A点的坐标为（4，0），C点的坐标为（0，6），点B在第一象限内，点P从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着O﹣C﹣B﹣A﹣O的路线移动（即：沿着长方形移动一周）． （1）写出B点的坐标（　 　）； （2）当点P移动了4秒时，描出此时P点的位置，并写出点P的坐标． （3）在移动过程中，当点P到x轴距离为5个单位长度时，求点P移动的时间． 2．如图，已知A（1，0），点B在y轴上，将△OAB沿x轴负方向平移，平移后的图形为△DEC，且点C的坐标为（﹣2，3） （1）直接写出点E的坐标 （2）点P是线段CE上一动点，写出∠CBP，∠PAD，∠APB之间的数量关系，并证明你的结论（提示；过点P作PN∥CB） 3．（2023春•公安县期末）如图1，已知，点A（1，a），AH⊥x轴，垂足为H，将线段AO平移至线段BC，点B（b，0），其中点A与点B对应，点O与点C对应，a、b满足． （1）填空：①直接写出A、B、C三点的坐标A（ 　 　）、B（ 　 　）、C（ 　 　）； ②直接写出三角形AOH的面积 　 　． （2）如图1，若点D（m，n）在线段OA上，证明：4m＝n． （3）如图2，连OC，动点P从点B开始在x轴上以每秒2个单位的速度向左运动，同时点Q从点O开始在y轴上以每秒1个单位的速度向下运动．若经过t秒，三角形AOP与三角形COQ的面积相等，试求t的值及点P的坐标． 4．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（a，0）点B（b，b），点C（0，b），且满足（a+8）20，点P从点A出发沿x轴正方向以每秒2个单位长度的速度匀速运动，点Q从点O出发沿y轴负方向以每秒1个单位长度的速度匀速运动，且点P、Q同时出发，设运动时间为t秒． （1）直接写出点A和点B的坐标； （2）点P、Q在运动过程中，当0＜t＜4时，试探究∠OPQ、∠PQB与∠QBC三者的数量关系，并证明你的结论； （3）在点P、Q的运动过程中，连接PB、QB，若S△PAB＝4S△QBC，求此时点P的坐标． 5．（2023春•惠州期末）如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（3，5），（3，0）．将线段AB向下平移2个单位长度，再向左平移4个单位长度，得到线段CD，连接AC，BD； （1）直接写出坐标：点C（ 　 　），点D（ 　 　）． （2）M，N分别是线段AB，CD上的动点，点M从点A出发向点B运动，速度为每秒1个单位长度，点N从点D出发向点C运动，速度为每秒0.5个单位长度，若两点同时出发，求几秒后MN∥x轴？ （3）点P是直线BD上一个动点，连接PC、PA，当点P在直线BD上运动时，请直接写出∠CPA与∠PCD，∠PAB的数量关系． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ （北师大版）八年级上册 第3章：位置与坐标章末重点题型复习 题型一 确定位置 1．（2023秋•江北区期末）以下能够准确表示我校地理位置的是（　　） A．离宁波市主城区10千米 B．在江北区西北角 C．在海曙以北 D．东经120.5°，北纬29.8° 【分析】根据点的坐标的定义，确定一个位置需要两个数据解答即可． 【解答】解：能够准确表示渠县地理位置的是东经120.5°，北纬29.8°． 故选：D． 【点评】本题考查了坐标确定位置，是基础题，理解坐标的定义是解题的关键． 2．（2023•苏州模拟）点A的位置如图所示，则关于点A的位置下列说法中正确的是（　　） A．距点O4km处 B．北偏东40°方向上4km处 C．在点O北偏东50°方向上4km处 D．在点O北偏东40°方向上4km处 【分析】根据点的位置确定应该有方向以及距离，进而利用图象得出即可． 【解答】解：如图所示：点A在点O北偏东40°方向上4km处． 故选：D． 【点评】此题主要考查了点的坐标确定位置，注意方向角的确定方法． 3．（2023秋•霍邱县校级月考）如图是小明和小红在教室座位的相对位置，如果用（2，1）表示小明的位置，则小红的位置可表示为 　 　． 【分析】根据小明的位置向左2个单位，向下1个单位为坐标原点建立平面直角坐标系，然后写出小红的位置即可． 【解答】 解：建立平面直角坐标系如图所示， 小红的位置可表示为（﹣1，﹣1）． 故答案为：（﹣1，﹣1）． 【点评】本题考查了坐标确定位置，确定出坐标原点的位置是解题的关键． 4．（2023春•东城区期末）如图，雷达探测器探测到三艘船A，B，C，按照目标表示方法的规定，船A，B的位置分别表示为A（5，30°），B（6，300°），船C的位置应表示为 　 　． 【分析】直接利用坐标的意义得出C点坐标即可． 【解答】解：如图所示：船C的位置应表示为（4，240°）． 故答案为：（4，240°）． 【点评】此题主要考查了坐标确定位置，正确理解坐标的意义是解题关键． 5．（2023春•新乐市校级月考）如图，我们把杜甫的《绝句》整齐排列放在平面直角坐标系中． （1）“岭”和“船”的坐标依次是 　 　； （2）将第2行与第3行对调，再将第3列与第7列对调，“雪”由开始的坐标依次变换 为 　 　和 　 　； （3）“泊”开始的坐标是（2，1），使它的坐标变换到（5，3），应该哪两行对调，同时哪两列对调？ 【分析】（1）根据平面直角坐标系内点的坐标是：前横后纵，中间逗号隔开，可得答案； （2）根据行对调，纵坐标变化，列对调，横坐标变化，可得答案； （3）根据行对调，纵坐标变化，列对调，横坐标变化，可得答案． 【解答】解：（1）“岭”和“船”的坐标依次是：（4，2）和（7，1）． 故答案为：（4，2）和（7，1）； （2）将第2行与第3行对调，再将第3列与第7列对调， “雪”由开始的坐标（7，2）依次变换到：（7，3）和（3，3）． 故答案为：（7，3），（3，3）； （3）“泊”开始的坐标是（2，1），使它的坐标到（5，3）， 应该第1行与第3行对调，同时第2列与第5列对调． 【点评】本题考查了坐标确定位置，点的坐标是前横后纵，中间逗号隔开，注意行对调，纵坐标变化，列对调，横坐标变化． 题型二 象限内点的坐标 1．（2023秋•大观区校级期末）下列各点中，在第四象限的点是（　　） A．（5，3） B．（5，﹣3） C．（﹣5，﹣3） D．（﹣5，3） 【分析】根据各象限内点的坐标特征对各选项分析判断即可得解． 【解答】解：A．（5，3）在第一象限，故本选项不合题意； B．（5，﹣3）在第四象限，故本选项符合题意； C．（﹣5，﹣3）在第三象限，故本选项不合题意； D．（﹣5，3）在第二象限，故本选项不合题意． 故选：B． 【点评】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（﹣，+）；第三象限（﹣，﹣）；第四象限（+，﹣）． 2．（2024秋•揭西县期中）在平面直角坐标系中，点P（﹣2，a）在第二象限，则a的值可能为（　　） A．﹣2 B．3 C．0 D． 【分析】直接根据第二象限的点的坐标特征：横坐标为负，纵坐标为正，即可得到答案． 【解答】解：∵点P（﹣2，a）在第二象限，第二象限点的坐标特征是（﹣，+）， ∴a的值可能为3， 故选：B． 【点评】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+），第二象限（﹣，+），第三象限（﹣，﹣），第四象限（+，﹣），熟练掌握各象限内点的坐标的符号特征是解题的关键． 3．（2024秋•碑林区校级月考）坐标平面内点A（m，n）在第二象限，则点B（m，﹣n）在（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【分析】根据A（m，n）在第二象限得到m＜0，n＞0，从而得到﹣n＜0，结合各象限内点的坐标特征即可得到答案． 【解答】解：∵A（m，n）在第二象限， ∴m＜0，n＞0， ∴﹣n＜0， ∵第三象限内各点的横纵坐标均小于0， ∴B（m，﹣n）在第三象限， 故选：C． 【点评】本题考查点的坐标，熟知各象限内点的坐标特点是解题的关键． 4．（2023秋•宁阳县期末）已知点P（a，b），ab＞0，a+b＜0，则点P在第 　象限． 【分析】根据有理数的乘法、有理数的加法，可得a、b的符号，根据第一象限内点的横坐标大于零，纵坐标大于零，可得答案． 【解答】解：因为ab＞0，a+b＜0， 所以a＜0，b＜0， 点P（a，b）在第三象限， 故答案为：三． 【点评】本题考查了点的坐标，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（﹣，+）；第三象限（﹣，﹣）；第四象限（+，﹣）． 5．（2023秋•埇桥区期中）已知当m、n都是实数，且满足2m＝6+n，则称点为“智慧点”． （1）判断点P（4，10）是否为“智慧点”，并说明理由． （2）若点M（a，1﹣2a）是“智慧点”．请判断点M在第几象限？并说明理由． 【分析】（1）根据P点坐标，代入中，求出m和n的值，然后代入2m，6+n检验等号是否成立即可； （2）直接利用“智慧点”的定义得出a的值进而得出答案． 【解答】解：（1）点P不是“智慧点”， 由题意得：， ∴m＝5，n＝20， ∴2m＝2×5＝10， 6+n＝6+20＝26， ∴2m≠6+n， ∴点P（4，10）不是“智慧点”； （2）点M在第四象限， 理由：∵点M（a，1﹣2a）是“智慧点”， ∴， ∴m＝a+1，n＝2﹣4a， ∵2n＝6+n， ∴2（a+1）＝6+2﹣4a， 解得a＝1， ∴点M（1，﹣1）， ∴点M在第四象限． 【点评】本题考查了点的坐标，掌握“智慧点”的定义是关键． 题型三 坐标轴上的点的坐标 1．（2023•顺德区校级一模）已知点Q（a﹣1，a+2）在x轴上，那么Q点的坐标为（　　） A．（﹣3，0） B．（3，0） C．（0，3） D．（0，﹣3） 【分析】根据x轴上点的纵坐标为0列方程求出a的值，再求解即可． 【解答】解：∵点Q（a﹣1，a+2）在x轴上， ∴a+2＝0， 解得a＝﹣2， ∴a﹣1＝﹣2﹣1＝﹣3， ∴点A的坐标为（﹣3，0）． 故选：A． 【点评】本题考查了点的坐标，熟记x轴上点的纵坐标为0是解题的关键． 2．（2023秋•东港市期末）在平面直角坐标系中，点A（a+2，a﹣1）在y轴上，则点A的坐标为（　　） A．（﹣3，0） B．（0，﹣3） C．（3，0） D．（0，3） 【分析】首先由已知点A（a+2，a﹣1）在y轴上，则横坐标为0，即a+2＝0，求出a，再代入a﹣1，求出纵坐标． 【解答】解：已知点A（a+2，a﹣1）在y轴上， ∴a+2＝0， 解得a＝﹣2， ∴a﹣1＝﹣2﹣1＝﹣3， 所以点A的坐标为（0，﹣3）． 故选：B． 【点评】此题考查的知识点是点的坐标，解题的关键是由已知明确横坐标为0，求出a，再求出纵坐标． 3．（2023春•满洲里市期末）点A（1﹣m，m﹣3）在y轴上，则m＝　 　． 【分析】根据y轴上点的横坐标为0列方程求出m的值，然后求解即可． 【解答】解：∵点A（1﹣m，m﹣3）在y轴上， ∴1﹣m＝0， 解得m＝1． 故答案为：1． 【点评】本题考查了点的坐标，是基础题，熟记y轴上点的横坐标为0是解题的关键． 4．（2023春•昭化区期末）若点P（m+4，2m+4）在x轴上，则点P的坐标是 　 　． 【分析】直接利用x轴上点的坐标特点得出m的值，进而得出答案． 【解答】解：∵点P（m+4，2m+4）在x轴上， ∴2m+4＝0， 解得：m＝﹣2， ∴m+4＝2， ∴点P的坐标是（2，0）． 故答案为：（2，0）． 【点评】此题主要考查了点的坐标．明确x轴上点的坐标特点，能够正确得出m的值是解题的关键． 5．（2024秋•碑林区校级月考）已知点P（a﹣1，2a+6），分别根据下列条件求出点P的坐标． （1）点P在x轴上； （2）点P在y轴上； （3）点Q的坐标为（1，5），直线PQ∥y轴． 【分析】（1）根据在x轴上的点的纵坐标为0，可以求得点P的坐标； （2）根据在y轴上的点的横坐标为0，可以求得点P的坐标； （3）根据与y轴平行的直线上点的横坐标相同，可以求得点P的坐标． 【解答】解：（1）∵点P（a﹣1，2a+6）在x轴上， ∴2a+6＝0， 解得a＝﹣3， ∴a﹣1＝﹣4， 点P的坐标为（﹣4，0）； （2）∵点P（a﹣1，2a+6）在y轴上， ∴a﹣1＝0， 解得a＝1， ∴2a+6＝8， ∴点P的坐标为（0，8）； （3）∵点P（a﹣1，2a+6），点Q的坐标为（1，5），直线PQ∥y轴， ∴a﹣1＝1， ∴a＝2， ∴2a+6＝2×2+6＝10， ∴点P的坐标为（1，10）． 【点评】本题主要考查了坐标与图形，熟知在坐标轴上点的坐标特征是解题的关键． 题型四 坐标系中一些特殊点的坐标 1．（2024•香洲区校级模拟）点P（m+1，2m﹣7）在第二、四象限角平分线上，则点P的坐标为（　　） A．（2，﹣2） B．（﹣2，﹣2） C．（3，﹣3） D．（﹣3，﹣3） 【分析】根据第二、第四象限坐标轴夹角平分线上的点，横纵坐标互为相反数，由此就可以得到关于m的方程，解出m的值，即可求得P点的坐标． 【解答】解：∵点P（m+1，2m﹣7）在第二、四象限的角平分线上， ∴m+1+2m﹣7＝0， 解得：m＝2， ∴P（3，﹣3）． 故选：C． 【点评】本题考查了点的坐标的知识．解题的关键是掌握以下知识点：第二、四象限的夹角角平分线上的点的横纵坐标互为相反数． 2．（2023春•曲阜市校级期末）已知点P（3m﹣6，m+1），点P在过点A（﹣1，2），且与x轴平行的直线上,则点P的坐标是 ． 【分析】根据平行于x轴的直线上的点的纵坐标相同列方程求出m的值，再求解即可． 【解答】解：∵点P（3m﹣6，m+1）在过点A（﹣1，2）且与x轴平行的直线上， ∴m+1＝2， 解得m＝1， ∴3m﹣6＝3×1﹣6＝﹣3， m+1＝1+1＝2， ∴点P的坐标为（﹣3，2）． 故答案为：（﹣3，2）． 【点评】本题考查了点的坐标，熟练掌握平行于坐标轴的直线上的点的坐标特征是解题的关键． 3．（2023秋•通州区月考）在平面直角坐标系中，点A（x，y）的坐标满足方程3x﹣y＝4，当点A在第四象限，且OA是两坐标轴的角平分线，点A的坐标为 　 　． 【分析】直接利用第四象限内点的坐标特点结合角平分线的性质得出等式求出答案． 【解答】解：∵当点A在第四象限，且OA是两坐标轴的角平分线， ∴x＝﹣y， ∵3x﹣y＝4， ∴﹣3y﹣y＝4， 解得：y＝﹣1， 故x＝1， 则点A的坐标为（1，﹣1）． 故答案为：（1，﹣1）． 【点评】此题主要考查了点的坐标，正确掌握第四象限内点的坐标特点是解题关键． 4．（2023秋•泗洪县期末）已知点P（2x﹣3，3﹣x），点Q（3，2），若PQ∥x轴，则线段PQ的长为 　 　． 【分析】根据平行于x轴的直线上点的特征可得点P与点Q的纵坐标相等，求得x＝1，P（﹣1，2），即可求解． 【解答】解：∵PQ∥x， ∴点P与点Q的纵坐标相等， ∴3﹣x＝2， 解得：x＝1， ∴P（﹣1，2）， ∴PQ＝3﹣（﹣1）＝4， 故答案为：4． 【点评】本题考查了两点间的距离公式，点的坐标特征，熟练运用平行于x轴的直线上点的特征求得点P的坐标是解题的关键． 5．（2024秋•萍乡期中）已知点A（3，﹣4）、B（a，a+2），且直线AB平行于x轴，则a的值为　 　． 【分析】根据平行于x轴上的直线上的点的纵坐标相等列出方程求解． 【解答】解：∵线段AB平行于x轴， ∴a+2＝﹣4， 解得a＝﹣6， 故答案为：﹣6． 【点评】本题考查了坐标与图形性质，主要利用了平行于x轴上的直线上的点的纵坐标相等的性质． 6．（2024春•江源区期末）已知点P（2m﹣6，m+2）是平面直角坐标系中的点． （1）若点P在y轴上，则点P的坐标为 　 　； （2）若点P在第一、三象限的角平分线上，则点P的坐标为 　 　； （3）已知点Q（5，3），且PQ∥x轴，求点P的坐标． 【分析】（1）根据y轴上点的坐标特征即可解决问题． （2）根据第一、三象限的角平分线上点的坐标特征即可解决问题． （3）根据平行于x轴的直线上点的坐标特征即可解决问题． 【解答】解：（1）因为点P在y轴上， 所以2m﹣6＝0， 解得m＝3， 所以m+2＝5， 所以点P的坐标为（0，5）． 故答案为：（0，5）． （2）因为点P在第一、三象限的角平分线上， 所以2m﹣6＝m+2， 解得m＝8， 所以2m﹣6＝10，m+2＝10， 所以点P的坐标为（10，10）． 故答案为：（10，10）． （3）因为PQ∥x轴，且点Q坐标为（5，3）， 所以m+2＝3， 解得m＝1， 所以2m﹣6＝﹣4， 所以点P的坐标为（﹣4，3）． 【点评】本题主要考查了坐标与图形性质，熟知坐标轴上、第一、三象限的角平分线上及平行于x轴的直线上点的坐标特征是解题的关键． 题型五 点的坐标与点到坐标轴的距离 1．（2023秋•西安期末）已知点P在第四象限内，到x轴的距离等于3，到y轴的距离等于4，则点P坐标是（　　） A．（3，﹣4） B．（3，4） C．（﹣4，3） D．（4，﹣3） 【分析】先判断出点P的横纵坐标的符号，进而根据到坐标轴的距离判断点的具体坐标． 【解答】解：∵点P在第四象限内， ∴点P的横坐标大于0，纵坐标小于0， ∵点P到x轴的距离是3，到y轴的距离是4， ∴点P的横坐标是4，纵坐标是﹣3，即点P的坐标为（4，﹣3）． 故选：D． 【点评】本题主要考查了点的坐标的几何意义，横坐标的绝对值就是到y轴的距离，纵坐标的绝对值就是到x轴的距离． 2．（2024秋•莲湖区月考）已知点A（a﹣5，6）到x轴的距离是到y轴的距离的3倍，则a的值是（　　） A．7 B．17 C．7或3 D．17或﹣7 【分析】列关于a的绝对值方程并求解即可． 【解答】解：根据题意，得3|a﹣5|＝6， 解得a＝7或3． 故选：C． 【点评】本题考查点的坐标，考虑a﹣5的正负是解题的关键． 3．（2024秋•英德市期中）如图，在平面直角坐标系中，PA垂直x轴，PB垂直y轴，且PA＝3，PB＝2，则点P的坐标为（　　） A．（3，2） B．（2，3） C．（3，﹣2） D．（2，﹣3） 【分析】根据平面直角坐标系中点的坐标的特点作答即可． 【解答】解：∵PA垂直x轴，PB垂直y轴， ∴四边形OAPB是矩形， ∴OA＝PB＝2，OB＝PA＝3， ∴点P的坐标为（2，﹣3）． 故选：D． 【点评】本题考查点的坐标，掌握平面直角坐标系中点的坐标的特点是解题的关键． 4．（2024秋•鼓楼区校级月考）在平面直角坐标系中，已知点P（2m﹣4，3m+1）． （1）当点P在y轴上时，求出点P的坐标； （2）当直线PA平行于x轴，且A（﹣4，﹣2），求出点P的坐标； （3）若点P到x轴，y轴距离相等，求m的值． 【分析】（1）根据点P（2m﹣4，3m+1）在y轴上，可知点P的横坐标为0，然后求出m的值，进而可以求得点P的坐标； （2）根据直线PA平行于x轴，且A（﹣4，﹣2），点P（2m﹣4，3m+1），可知点A和点P的纵坐标相等，从而可以求得m的值，进而求得点P的坐标； （3）根据点P（2m﹣4，3m+1）到x轴，y轴距离相等，可以得到|2m﹣4|＝|3m+1|，从而可以求得m的值，进而求得点P的坐标． 【解答】解：（1）当点P（2m﹣4，3m+1）在y轴上时， 2m﹣4＝0， 解得m＝2， ∴3m+1＝7， ∴点P的坐标为（0，7）； （2）当直线PA平行于x轴，且A（﹣4，﹣2），点P（2m﹣4，3m+1）， 则3m+1＝﹣2， 解得m＝﹣1， ∴2m﹣4＝2×（﹣1）﹣4＝﹣6， ∴点P的坐标为（﹣6，﹣2）； （3）∵点P（2m﹣4，3m+1）到x轴，y轴距离相等， ∴|2m﹣4|＝|3m+1|， 解得m＝﹣5或m， ∴点P的坐标为（﹣14，﹣14）或（，）． 【点评】本题考查坐标与图形的性质，解答本题的关键是明确题意，求出相应的点P的坐标． 5．（2023•苏州模拟）在平面直角坐标系中，点P的坐标为（2m+5，3m+3）． （1）若点P在x轴上时，求点P的坐标； （2）若点P在过点A（﹣5，1）且与y轴平行的直线上时，求点P的坐标； （3）将点P向右平移2个单位，再向上平移3个单位后得到点M，若点M在第三象限，且点M到y轴的距离为7，求点M的坐标． 【分析】（1）因为点P在x轴上，所以纵坐标为0，解得m值并代入横坐标的代数式中即可得到答案； （2）因为点P在过点A（﹣5，1）且与y轴平行的直线上，所以A、P两点的横坐标相同，令P点横坐标为﹣5，解得m值并代入纵坐标的代数式中，求值即可得到答案； （3）根据题意用含m的代数式表示点M的坐标，根据点M的位置特征，解得m的值并代入点P的坐标中，即可得到答案． 【解答】解：（1）∵点P在x轴上， ∴P点的纵坐标为0， ∴3m+3＝0， 解得m＝﹣1， 把m＝﹣1代入2m+5中得2m+5＝3， ∴P点坐标为（3，0）； （2）∵P点在过点A（﹣5，1）且与y轴平行的直线上， ∴P点的横坐标为﹣5， ∴2m+5＝﹣5， 解得m＝﹣5， 把m等于﹣5代入3m+3，3m+3＝﹣12， ∴P点坐标为（﹣5，﹣12）； （3）由题意知M的坐标为（2m+5+2，3m+3+3）， ∵M在第三象限，且M到y轴的距离为7， ∴点M的横坐标为﹣7， ∴2m+5+2＝﹣7， 解得m＝﹣7， 将m＝﹣7代入P（2m+5，3m+3）中得，P（﹣9，﹣18）． 【点评】本题考查了平面直角坐标系中点的坐标，掌握相关知识并熟练使用，同时注意在解题过程中需注意的相关事项是本题的解题关键． 题型六 图形在坐标系中的平移 1．（2023春•宜丰县校级期中）在平面直角坐标系中，将点M（﹣2021，﹣2021）向右平移2022个单位后得点N，则点N所在的象限是（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【分析】根据平移规律求出N点的坐标，即可得到结论． 【解答】解：∵点M（﹣2021，﹣2021）向右平移2022个单位后得点N， ∴N（（﹣2021+2022，﹣2021）， 即N（1，﹣2021）， ∴N在第四象限． 故选：D． 【点评】本题考查坐标与图形变化﹣平移，解题的关键是掌握平移规律． 2．（2023春•三元区期中）在平面直角坐标系中，将M（2，5）先向下平移1个单位，再向左平移3个单位，则移动后的点的坐标是（　　） A．（﹣1，6） B．（5，6） C．（﹣1，4） D．（5，4） 【分析】根据横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减可得答案． 【解答】解：平移后的坐标为（2﹣3，5﹣1），即坐标为（﹣1，4）， 故选：C． 【点评】此题主要考查了坐标与图形的变化﹣平移，关键是掌握平移规律． 3．（2023春•忠县校级期中）在平面直角坐标系中，已知线段AB的两个端点分别是A（﹣4，﹣1），B（1，1）将线段AB平移后得到线段A′B′，若点A′的坐标为（﹣2，2），则点B′的坐标为（　　） A．（ 3，4 ） B．（ 4，3 ） C．（﹣l，﹣2 ） D．（﹣2，﹣1） 【分析】先利用点A和点A′的坐标得到线段平移的规律，然后利用点的坐标平移规律写出点B的对应点B′的坐标． 【解答】解：∵A（﹣4，﹣1）的对应点A′的坐标为（﹣2，2）， ∴各对应点之间的关系是横坐标加2，纵坐标加3， ∵B（1，1）， ∴点B′的横坐标为1+2＝3；纵坐标为1+3＝4； 即所求点B′的坐标为（3，4）． 故选：A． 【点评】本题考查了坐标系中点、线段的平移规律，在平面直角坐标系中，图形的平移与图形上某点的平移相同．平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减． 4．（2023春•章贡区期末）长方形ABCD的边AB＝4，BC＝6，若将该长方形放在平面直角坐标系中，使点A的坐标为（−1，2），且AB∥x轴，试求点C的坐标为 　 　． 【分析】分类讨论：由AB∥x轴可得到B点坐标为（3，2）或（﹣5，2），然后根据矩形的性质确定C点坐标． 【解答】解：∵点A的坐标为（﹣1，2），且AB∥x轴，AB＝4， ∴B点坐标为（3，2）或（﹣5，2），如图， ∵四边形ABCD为矩形，BC＝3， ∴C点坐标为（3，﹣4）或（3，8）或（﹣5，﹣4）或（﹣5，8）． 故答案为：（3，﹣4）或（3，8）或（﹣5，﹣4）或（﹣5，8）． 【点评】本题考查了坐标与图形性质：利用点的坐标特征计算相应的线段长和判断线段与坐标轴的位置关系；记住各象限内点的坐标特征和坐标上点的坐标特征． 5．如图，长方形ABCD各顶点分别为A（﹣2，2），B（﹣2，﹣1），C（3，﹣1），D（3，2），如果长方形A′B′C′D′先向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，恰能与长方形ABCD完全重合． （1）求长方形A′B′C′D′各顶点的坐标； （2）如果线段AB与线段B′C′交于点E，线段AD与线段C′D′交于点F，求点E，F的坐标． 【分析】（1）长方形ABCD先向左平移1个单位长度时，点A的横坐标减少1，向上平移2个单位长度加2； （2）根据平行于两坐标轴的点的坐标的特点解答即可． 【解答】解：（1）由题意可知，长方形ABCD先向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度后得到长方形A′B′C′D′，则A′（﹣3，4），B′（﹣3，1），C′（2，1），D′（2，4）． （2）∵AE∥y轴， ∴点A，E的横坐标相等． ∵EC′∥x轴， ∴点E，C′的纵坐标相等，即点E（﹣2，1）， ∵C′F∥x轴， ∴点C′，F的横坐标相等． ∵AF∥x轴， ∴点A，F的纵坐标相等，即点F（2，2）． 【点评】此题是四边形的综合问题，考查了坐标与图形变化﹣平移、矩形的性质以及动点问题．注意平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减． 题型七 巧用坐标求图形的面积 1．已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（2，﹣1）、B（1，3）、C（﹣4，﹣2），求△ABC的面积． 【分析】利用△ABC所在的矩形的面积减去四周三个直角三角形的面积列式计算即可得解． 【解答】解：△ABC的面积＝6×55×51×61×4， ＝30﹣12.5﹣3﹣2， ＝30﹣17.5， ＝12.5． 【点评】本题考查了坐标与图形性质，三角形的面积，熟练掌握网结构中三角形的面积的求解方法是解题的关键． 2．如图，三角形ABC沿x轴正方向平移2个单位长度，再沿y轴负方向平移1个单位长度得到三角形EFG． （1）写出三角形EFG的三个顶点坐标； （2）求三角形EFG的面积． 【分析】（1）首先确定A、B、C三点平移后的对应点位置，然后再连接即可； （2）利用矩形的面积减去周围多余三角形的面积即可． 【解答】解：（1）如图： E（4，1），F（0，﹣2），G（5，﹣3）． （2）S△EFG＝4×5﹣3×41×54×120﹣6﹣2.5﹣2＝9.5． 【点评】此题主要考查了坐标与图形的变化﹣﹣平移，关键是正确确定组成图形的关键点平移后的对应点位置． 3．如图，若△A1B1C1是由△ABC平移后得到的，且△ABC中任意一点P（x，y）经过平移后的对应点为P1（x﹣5，y+2）． （1）求点A1、B1、C1的坐标． （2）求△A1B1C1的面积． 【分析】（1）由△ABC中任意一点P（x，y）经平移后对应点为P1（x﹣5，y+2）可得△ABC的平移规律为：向左平移5个单位，向上平移2个单位，由此得到点A、B、C的对应点A1、B1、C1的坐标． （2）利用矩形的面积减去三个顶点上三角形的面积即可． 【解答】解：（1）∵△ABC中任意一点P（x，y）经平移后对应点为P1（x﹣5，y+2）， ∴△ABC的平移规律为：向左平移5个单位，再向上平移2个单位， ∵A（4，3），B（3，1），C（1，2）， ∴点A1的坐标为（﹣1，5），点B1的坐标为（﹣2，3），点C1的坐标为（﹣4，4）． （2）如图所示， △A1B1C1的面积＝3×21×31×21×2． 【点评】本题考查的是作图﹣平移变换，熟知图形平移不变性的性质是解答此题的关键． 4．如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD四个顶点坐标分别为A（0，0），B（9，0），C（7，5），D（2，7），试确定这个四边形的面积． 【分析】过点D点，C点分别作DE，CF垂直x轴，则四边形的面积的可以看作是△ADE，△CBF和梯形EFCD的面积和，据此即可解答此题． 【解答】解：如图，过点D点，C点分别作DE，CF垂直于x轴于E，F两点， 则四边形的面积的可以看作是△ADE，△CBF和梯形EFCD的面积和， 即S四边形ABCD2×7（9﹣7）×5（5+7）×（7﹣2）＝7+5+30＝42． 【点评】本题考查了坐标和图形的性质及三角形面积的计算，难度不大，关键要将四边形的面积的可以看作是△ADE，△CBF和梯形EFCD的面积和来进行计算． 5．在边长1个单位长度的小正方形组成的网格中建立如图所示的平面直角坐标系，四边形ABCD是格点四边形（顶点为网格线的交点）． （1）写出点A，B，C，D的坐标； （2）求四边形ABCD的面积． 【分析】（1）根据各点所在的象限，对应的横坐标、纵坐标，分别写出点的坐标． （2）利用割补法求解可得． 【解答】解：（1）由图可知点A（4，1）、B（0，0）、C（﹣2，3）、D（2，4）； （2）四边形ABCD的面积＝4×62×31×42×31×4＝14． 【点评】本题考查了坐标与图形的性质，正确把握横纵坐标对应数字及割补法求四边形的面积是解题关键． 题型八 利用图形面积求点的坐标 1．（2023秋•郁南县期中）在直角坐标系中，A（﹣4，0），B（2，0），C（0，6）． （1）求：S△ABC； （2）点P是位于x轴上的点，且，求出P点坐标． 【分析】（1）分别表示出AB和OC长度，再用三角形面积公式解答； （2）先求出三角形APC的面积和AP的长，再分两种情况解答． 【解答】解：（1）2﹣（﹣4）＝6， S△ABC＝6×6÷2＝18． （2）18＝9， 9×2÷6＝3， P点在A点的右边时，﹣4+3＝﹣1，坐标：（﹣1，0）； P点在A点的左边时，﹣4﹣3＝﹣7，坐标：（﹣7，0）， ∴P点坐标：（﹣1，0）或（﹣7，0）． 【点评】本题考查了三角形在坐标系中的应用，关键取三角形各边长度为正数． 2．已知：A（0，1），B（1，0），C（3，2）． （1）求△ABC的面积； （2）设点P在坐标轴上，且△ABP与△ABC的面积相等，直接写出点P的坐标． 【分析】（1）根据图形的面积的和差计算即可． （2）分点P在x轴上和点P在y轴上两种情况讨论可得符合条件的点P的坐标． 【解答】解：（1）S△ABC＝2×31×32×21×1＝2； （2）∵点P在坐标轴上，△ABP与△ABC的面积相等， ∴P1（﹣3，0）、P2（5，0）、P3（0，5）、P4（0，﹣3）． 【点评】本题考查了坐标与图形性质以及图形的面积的计算，不规则图形的面积等于规则图形的面积的和或差． 3．如图，平面直角坐标系中，A（﹣3，﹣2）、B（﹣1，﹣4） （1）直接写出：S△OAB＝　 ； （2）延长AB交y轴于P点，求P点坐标； （3）Q点在y轴上，以A、B、O、Q为顶点的四边形面积为6，求Q点坐标． 【分析】（1）用一个矩形的面积分别减去三个直角三角形的面积去计算S△OAB即可； （2）设P（0，t），利用面积法得到（﹣t）×3（﹣t）×1＝5，然后解方程求出t，从而得到P点的坐标； （3）分类讨论：当Q在y轴的正半轴上时，利用S四边形ABOQ＝S△AOB+S△AOQ得到S△AOQ＝1，再根据三角形面积公式求出OQ．从而得到Q点坐标；当Q在y轴的负半轴上时，利用S四边形ABOQ＝S△AOB+S△BOQ得到S△BOQ＝1，再根据三角形面积公式求出OQ．从而得到Q点坐标． 【解答】解：（1）S△OAB＝3×44×13×22×2＝5； 故答案为5； （2）设P（0，t）， ∵S△OAP﹣S△OBP＝S△OAB， ∴（﹣t）×3（﹣t）×1＝5， 解得t＝﹣5， ∴P点的坐标为（0，﹣5）； （3）当Q在y轴的正半轴上时， ∵S四边形ABOQ＝S△AOB+S△AOQ， ∴S△AOQ＝6﹣5＝1， ∴3×OQ＝1， 解得OQ． 则此时Q点的坐标为（0，）； 当Q在y轴的负半轴上时， ∵S四边形ABQO＝S△AOB+S△BOQ， ∴S△BOQ＝1， ∴S△AOQ＝6﹣5＝1， ∴1×OQ＝1， 解得OQ＝2， 则此时Q点的坐标为（0，﹣2）， 即Q点坐标为（0，）或（0，﹣2）． 【点评】本题考查了坐标与图形性质：利用点的坐标求相应线段的长和判断线段与坐标轴的位置关系．也考查了三角形面积公式．第（3）问要分类讨论． 4．（2023秋•太平区校级期末）如图，在直角坐标平面内，已知点A的坐标为（3，3），点B的坐标为（﹣4，3），点P为直线AB上任意一点（不与A、B重合），点Q是点P关于y轴的对称点． （1）请求出△ABO的面积． （2）设点P的横坐标为a，那么点Q的坐标为 　 　． （3）设△OPA和△OPQ的面积相等，且点P在点Q的右侧，请求出此时P点坐标． （4）如果△OPA的面积是△OPQ的面积的2倍，请直接写出此时点P的坐标 　 ． 【分析】（1）根据三角形面积公式计算即可； （2）关于y轴对称的纵坐标相等，横坐标互为相反数，计算即可； （3）根据等底同高的两个三角形面积相等，计算即可求出P的坐标； （4）分类讨论：当点P在原点左侧和右侧，根据△OPA的面积是△OPQ的面积的2倍确定出P坐标即可． 【解答】解：（1）∵A的坐标为（3，3），点B的坐标为（﹣4，3）， ∴AB＝3﹣（﹣4）＝3+4＝7， ∴S△ABO7×3＝10.5； （2）∵P为直线AB上任意一点，点P的横坐标为a，点Q是点P关于y轴的对称点， ∴P（a，3）， 则点Q的坐标为（﹣a，3）； 故答案为：（﹣a，3）； （3）∵△OPA和△OPQ面积相等，点O到直线AB的距离都是3， ∴AP＝PQ， 设此时P的坐标为（n，3），则点Q坐标为（﹣n，3）， 则有3﹣n＝n﹣（﹣n）， 解得：n＝1， 则P坐标为（1，3）； （4）当点P在原点左侧时，P（﹣1，3）； 当点P在原点右侧时，设点P坐标为（m，3）， 则有3﹣m＝2×2m， 解得：m，此时P（，3）， 综上所示，点P的坐标为（﹣1，3）或（，3）． 故答案为：（﹣1，3）或（，3）． 【点评】此题考查了关于x轴，y轴对称的点的坐标，以及三角形面积，熟练掌握关于x轴，y轴对称点的特征是解本题的关键． 5．（2024春•兴宁区校级期中）如图，在平面直角坐标系中，已知A（a，0），B（b，0），其中a，b满足|a+2|+（b﹣4）2＝0． （1）求a、b的值． （2）如果在第三象限内有一点M（﹣3，m），请用含m的式子表示三角形ABM的面积． （3）在（2）条件下，当m＝﹣4时，在y轴上是否存在点P，使得三角形ABP的面积与三角形ABM的面积相等？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）根据非负数性质可得a、b的值； （2）根据三角形面积公式列式整理即可； （3）根据（2）的结论得出S△ABM＝﹣3×（﹣4）＝12，设P（0，a），则OP＝|a|，根据三角形面积公式列出方程，解方程即可求解． 【解答】解：（1）∵|a+2|+（b﹣4）2＝0， ∴a+2＝0，b﹣4＝0， ∴a＝﹣2，b＝4； （2）如图1所示， 过M作ME⊥x轴于E， ∵A（﹣2，0），B（4，0）， ∴OA＝2，OB＝4， ∴AB＝6， ∵在第三象限内有一点M（﹣3，m）， ∴ME＝|m|＝﹣m， ∴． （3）m＝﹣4时，S△ABM＝﹣3×（﹣4）＝12， 设P（0，a），则OP＝|a|， ∴， ∴3|a|＝12， 解得a＝±4， ∴P（0，4）或（0，﹣4）． 【点评】本题主要考查坐标与图形性质，非负数的性质：绝对值，非负数的性质：偶次方，解答本题的关键要注意点的坐标转化为点到坐标轴的距离时的符号问题． 题型九 关于坐标轴对称的点的坐标规律的应用 1．（2024秋•大冶市期中）已知点A（a，b）与点B（3，2）关于x轴对称，则a+b＝（　　） A．1 B．﹣1 C．﹣2 D．4 【分析】关于x轴对称的两个点的横坐标相同，纵坐标互为相反数，据此求出a、b的值即可得到答案． 【解答】解：由条件可知a＝3，b＝﹣2， ∴a+b＝3+（﹣2）＝1， 故选：A． 【点评】本题主要考查了坐标与图形变化—轴对称，关于x轴对称的两个点的横坐标相同，纵坐标互为相反数是关键． 2．在平面直角坐标系xOy中，点A（2，4+m）与点B（m，n）关于y轴对称，则m+n的值为（　　） A．0 B．1 C．2 D．﹣1 【分析】直接利用关于y轴对称点的性质得出m，n的值，进而得出答案． 【解答】解：∵点A（2，4+m）与点B（m，n）关于y轴对称， ∴m＝﹣2，4+m＝n， 解得：n＝2， 则m+n的值为：﹣2+2＝0． 故选：A． 【点评】此题主要考查了关于y轴对称点的性质，正确记忆横纵坐标符号关系是解题关键． 3．（2023秋•滕州市期中）若A（m，2﹣n）关于x轴对称的点是A1（4，5），则P（m，n）的坐标是（　　） A．（﹣4，﹣3） B．（4，7） C．（﹣4，7） D．（5，﹣4） 【分析】根据关于x轴对称点的坐标特征：横坐标不变，纵坐标互为相反数可得m＝4，2﹣n＝﹣5，从而得解． 【解答】解：∵点A（m，2﹣n）关于x轴对称的点是A1（4，5）， ∴m＝4，2﹣n＝﹣5， 解得：m＝4，n＝7， ∴P（m，n）的坐标是P（4，7）． 故选：B． 【点评】此题主要考查了关于x轴对称点的坐标特点，关键是掌握点的坐标的变化规律． 4．（2024秋•盘山县期末）若点A（a，4）、点B（3，b）关于x轴对称，则（a+b）200的值为（　　） A．0 B．﹣1 C．1 D．7201 【分析】根据关于关于x轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数，可得a、b的值，进而得到答案． 【解答】解：∵点A（a，4）、点B（3，b）关于x轴对称， ∴a＝3，b＝﹣4， ∴（a+b）2010＝1， 故选：C． 【点评】此题主要考查了关于x轴对称点的坐标特点，关键是掌握关于x轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数． 5．（2024秋•舞阳县期中）已知点P（2a，﹣3）与点P′（8，b+2）． （1）若点P与点P′关于x轴对称，求a，b的值； （2）若点P与点P′关于y轴对称，求a，b的值． 【分析】（1）根据关于x轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数可得方程组，再解即可； （2）根据关于y轴对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变可得方程组，再解即可． 【解答】解：（1）∵点P与点P′关于x轴对称， ∴， 解得； （2）∵点P与点P′关于y轴对称， ∴， 解得． 【点评】此题主要考查了关于x、y轴对称点的坐标特点，关键是掌握点的坐标的变化规律． 题型十 平面直角坐标系中的轴对称作图 1．（2023秋•庆安县期末）如图，在直角坐标系中，A（﹣1，5），B（﹣3，0），C（﹣4，3）． （1）在图中作出△ABC关于y轴对称的图形△A1B1C1． （2）写出点C1的坐标． 【分析】（1）根据轴对称的定义直接画出． （2）由点位置直接写出坐标． 【解答】解：（1）如图所示： （2）点C1的坐标为：（4，3）． 【点评】此题主要考查平面坐标系有关知识、轴对称变换、要求会画对称图形、由点正确写出点的坐标，正确理解题意是解题的关键． 2．（2023秋•鹰潭期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（﹣4，4），点B的坐标为（﹣2，0），点C的坐标为（﹣1，2）． （1）请画出△ABC关于y轴的对称图形△A1B1C1； （2）直接写出A1，B1，C1三点的坐标； （3）求△ABC的面积． 【分析】（1）关于y轴对称的点，横坐标互为相反数，纵坐标不变；根据轴对称的性质作图即可； （2）由（1）可得答案； （3）利用割补法求三角形的面积即可． 【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求． （2）由（1）得A1（4，4），B1（2，0），C1（1，2）； （3）△ABC的面积为3×44． 【点评】本题考查作图﹣轴对称变换、三角形的面积，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键． 3．（2023秋•桓台县期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（﹣4，1）；B（1，1），C（﹣3，3）． （1）判断△ABC的形状，并说明理由； （2）若点C关于直线AB的对称点为点D，则点D的坐标为 　 　； （3）连接CD，BD，则△BCD的周长为 　 　． 【分析】（1）求出各线段长，利用勾股定理逆定理可得答案； （2）根据对称的性质得出点D即可； （3）根据勾股定理和二次根式的计算解答即可． 【解答】解：（1）∵AC2＝5，BC2＝20，AB2＝25， ∴AC2+BC2＝AB2， ∴△ACB是直角三角形； （2）如图所示： 点D坐标为（﹣3，﹣1）； 故答案为：（﹣3，﹣1）； （3）DC＝4，BC＝BD＝2，△BCD的周长为44， 故答案为：44． 【点评】此题主要考查了作图﹣﹣轴对称变换，以及勾股定理逆定理，关键是正确画出图形． 4．（2023秋•梅县区期末）在平面直角坐标系中，△ABC的位置如图所示，已知点A的坐标是（﹣4，3）． （1）点B的坐标为（　 　，　 　），点C的坐标为（　 ，　 　）． （2）△ABC的面积是　 　． （3）作点C关于y轴的对称点C'，那么A、C'两点之间的距离是　 　． 【分析】（1）根据坐标系写出答案即可； （2）利用矩形面积减去周围多余三角形的面积可得△ABC的面积； （3）首先确定C'位置，然后再利用勾股定理计算即可． 【解答】解：（1）点B的坐标为（3，0），点C的坐标为（﹣2，5）， 故答案为：3；0；﹣2；5； （2））△ABC的面积是：7×53×72×25×5＝35﹣10.5﹣2﹣12.5＝10， 故答案为：10； （3）A、C'两点之间的距离是：2， 故答案为：2． 【点评】此题主要考查了关于y轴对称、三角形面积，以及勾股定理的应用，关键是正确确定C′点位置． 题型十一 点的坐标规律探究 1．（2023秋•平果市期中）如图，已知A1（1，2），A2（2，2），A3（3，0），A4（4，﹣2），A5（5，﹣2），A6（6，0），…，按这样的规律，则点A2023的坐标为（　　） A．（2021，﹣2） B．（2023，2） C．（2023，﹣2） D．（2024，﹣2） 【分析】由A1（1，2），A2（2，2），A3（3，0），A4（4，﹣2），A5（5，﹣2），A6（6，0），可知6个点坐标的纵坐标为一个循环，An的横坐标为n，由2023÷6＝337×6+1，可求A2023的坐标． 【解答】解：∵A1（1，2），A2（2，2），A3（3，0），A4（4，﹣2），A5（5，﹣2），A6（6，0）…， ∴可知6个点坐标的纵坐标为一个循环，An的横坐标为n， ∵2023÷6＝337×6+1， ∴A2023的坐标为（2023，2）， 故选：B． 【点评】本题考查了平面直角坐标系中的点的规律问题，发现题中的规律并正确计算出点A2023所处的循环组是解题的关键． 2．（2024春•东莞市校级月考）如图，在平面直角坐标系中，从点P1（﹣1，0），P2（﹣1，﹣1），P3（1，﹣1），P4（1，1），P5（﹣2，1），P6（﹣2，﹣2），…．依次扩展下去，则P2021的坐标为（　　） A．（505，505） B．（﹣505，505） C．（﹣505，﹣506） D．（﹣506，505） 【分析】根据各个点的位置关系，可得出下标为4的倍数的点在第一象限，被4除余1的点在第二象限，被4除余2的点在第三象限，被4除余3的点在第四象限，点P2021的在第二象限，再根据第二项象限点的规律即可得出结论． 【解答】解：由规律可得，2021÷4＝505……1， ∴点P2021的在第二象限， ∵点P1（﹣1，0），点P5（﹣2，1），点P9（﹣3，2）， ∴点P2021（﹣506，505）． 故选：D． 【点评】本题考查规律型：点的坐标，解答此题的关键是首先确定点所在的象限，该象限内点的规律，然后就可以进一步推出点的坐标． 3．（2023秋•慈溪市月考）如图，在平面直角坐标系中，△A1A2A3，△A3A4A5，△A5A6A7，⋯都是斜边在x轴上，斜边长分别为2，4，6，⋯的等腰直角三角形，若△A1A2A3的顶点坐标分别为A1（2，0），A2（1，1），A3（0，0），则依图中所示规律，A2023的坐标为（　　） A．（﹣1010，0） B．（﹣1008，0） C．（2，﹣505） D．（1，506） 【分析】观察图形可以看出A1～A4；A5～A8……每4个为一组，由于2023÷4＝505余3，A2023在x轴负半轴，纵坐标为0，再根据横坐标变化找到规律即可解答． 【解答】解：观察图形可以看出A1～A4；A5～A8……每4个为一组， ∵2023÷4＝505⋯⋯3， ∴A2021在x轴负半轴，纵坐标为0， ∵A3、A7、A11的横坐标分别为0，﹣2，﹣4， 则A4n+3的横坐标为﹣2n， ∴A2023的横坐标为﹣2×505＝﹣1010， ∴A2023的坐标为（﹣1010，0）． 故选：A． 【点评】本题考查了规律型：点的坐标，找到每4个点一循环点的坐标变化规律是解题的关键． 4．（2023秋•崂山区期中）如图，动点M按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点（2，2），第2次运动到点（4，0），第3次运动到点（6，4），…，按这样的规律运动，则第2023次运动到点（　　） A．（2023，2） B．（4046，0） C．（2023，4） D．（4046，4） 【分析】根据已知点的坐标可以推出动点M的横坐标为2n，纵坐标按照2，0，4，0四个为一组进行循环，进行求解即可． 【解答】解：∵第1次从原点运动到点（2，2），第2次运动到点（4，0），第3次运动到点（6，4），第4次从原点运动到点（8，0），第5次运动到点（10，2）……， ∴动点M的横坐标为2n，纵坐标按照2，0，4，0四个为一组进行循环， ∵2023÷4＝505……3， ∴第2023次运动到点（2×2023，4），即：（4046，4）； 故选：D． 【点评】本题考查点的坐标规律探究，解题的关键是根据已知点的坐标，确定点的坐标规律． 5．（2024春•自贡期中）如图，平面直角坐标系中长方形ABCD的四个顶点坐标分别为A（﹣1，2），B（﹣1，﹣1），C（1，﹣1），D（1，2），点P从点A出发，沿长方形的边顺时针运动，速度为每秒2个长度单位，点Q从点A出发，沿长方形的边逆时针运动，速度为每秒3个长度单位，记P，Q在长方形边上第1次相遇时的点为M1，第二次相遇时的点为M2，第三次相遇时的点为M3，……，则点M2024的坐标为（　　） A．（1，0） B．（﹣1，0） C．（1，2） D．（0，﹣1） 【分析】根据点坐标计算长方形ABCD的周长为（3+2）×2＝10，设经过t秒P，Q第一次相遇，则P点走的路程为2t，Q点走的路程为3t，根据题意列方程，即可求出经过2秒第一次相遇，进一步求出第一次、第二次、第三次……相遇点的坐标，直到找出五次相遇一循环，再用2024÷5的余数即可求出第2024次相遇点的坐标． 【解答】解：长方形ABCD的周长为（3+2）×2＝10， 设经过t秒P，Q第一次相遇，则P点走的路程为2t，Q点走的路程为3t， 根据题意得2t+3t＝10， 解得t＝2， ∴当t＝2时，P、Q第一次相遇，此时相遇点M1坐标为（1，0）， 当t＝4时，P、Q第二次相遇，此时相遇点M2坐标为（﹣1，0）， 当t＝6时，P、Q第三次相遇，此时相遇点M3坐标为（1，2）， 当t＝8时，P、Q第四次相遇，此时相遇点M4坐标为（0，﹣1）， 当t＝10时，P、Q第五次相遇，此时相遇点M5坐标为（﹣1，2）， 当t＝12时，P、Q第六次相遇，此时相遇点M6坐标为（1，0）， ∴五次相遇一循环， ∵2024÷5＝404⋯⋯4， ∴M2024的坐标为（0，﹣1）． 故选：D． 【点评】本题主要考查了规律型：点的坐标，解答本题的关键是熟练掌握平面直角坐标系中点的坐标变换规律． 题型十二 平面坐标系与动点运动问题 1．（2023•苏州模拟）如图，长方形OABC中，O为平面直角坐标系的原点，A点的坐标为（4，0），C点的坐标为（0，6），点B在第一象限内，点P从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着O﹣C﹣B﹣A﹣O的路线移动（即：沿着长方形移动一周）． （1）写出B点的坐标（　 　）； （2）当点P移动了4秒时，描出此时P点的位置，并写出点P的坐标． （3）在移动过程中，当点P到x轴距离为5个单位长度时，求点P移动的时间． 【分析】（1）根据矩形的性质以及点的坐标的定义写出即可； （2）先求得点P运动的距离，从而可得到点P的坐标； （3）根据矩形的性质以及点到x轴的距离等于纵坐标的长度求出OP，再根据时间＝路程÷速度列式计算即可得解． 【解答】解：（1）∵A点的坐标为（4，0），C点的坐标为（0，6）， ∴OA＝4，OC＝6， ∴点B（4，6）； 故答案为：4，6． （2）如图所示， ∵点P移动了4秒时的距离是2×4＝8， ∴点P的坐标为（2，6）； （3）点P到x轴距离为5个单位长度时，点P的纵坐标为5， 若点P在OC上，则OP＝5， t＝5÷2＝2.5秒， 若点P在AB上，则OP＝OC+BC+BP＝6+4+（6﹣5）＝11， t＝11÷2＝5.5秒， 综上所述，点P移动的时间为2.5秒或5.5秒． 【点评】本题考查了坐标与图形性质，动点问题，主要利用了矩形的性质和点的坐标的确定，难点在于（3）要分情况讨论． 2．如图，已知A（1，0），点B在y轴上，将△OAB沿x轴负方向平移，平移后的图形为△DEC，且点C的坐标为（﹣2，3） （1）直接写出点E的坐标 （2）点P是线段CE上一动点，写出∠CBP，∠PAD，∠APB之间的数量关系，并证明你的结论（提示；过点P作PN∥CB） 【分析】（1）由平移的性质可知BC＝AE＝2，由此即可解决问题． （2）结论：∠CBP+∠PAD＝∠APB．过点P作PN∥CB，利用平行线的性质解决问题即可． 【解答】解：（1）∵BC∥AE，BC＝AE，C（﹣2，3）， ∴AE＝BC＝2， ∵A（1，0）， ∴OA＝1，OE＝1 ∴E（﹣1，0）． （2）解：结论：∠CBP+∠PAD＝∠APB． 理由：过点P作PN∥CB． ∴∠CBP＝∠BPN， 又∵BC∥AE， ∴PN∥AE， ∴∠PAD＝∠APN， ∴∠CBP+∠PAD＝∠BPN+∠APN＝∠APB． 【点评】本题考查坐标与图形的变化﹣平移，平行线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 3．（2023春•公安县期末）如图1，已知，点A（1，a），AH⊥x轴，垂足为H，将线段AO平移至线段BC，点B（b，0），其中点A与点B对应，点O与点C对应，a、b满足． （1）填空：①直接写出A、B、C三点的坐标A（ 　 　）、B（ 　 　）、C（ 　 　）； ②直接写出三角形AOH的面积 　 　． （2）如图1，若点D（m，n）在线段OA上，证明：4m＝n． （3）如图2，连OC，动点P从点B开始在x轴上以每秒2个单位的速度向左运动，同时点Q从点O开始在y轴上以每秒1个单位的速度向下运动．若经过t秒，三角形AOP与三角形COQ的面积相等，试求t的值及点P的坐标． 【分析】（1）①利用非负数的性质求出a，b的值，可得结论． ②利用三角形面积公式求解即可． （2）连接DH，根据△ODH的面积+△ADH的面积＝△OAH的面积，构建关系式，可得结论． （3）分两种情形：①当点P在线段OB上，②当点P在BO的延长线上时，分别利用面积关系，构建方程，可得结论． 【解答】（1）解：①∵， 又∵0，（b﹣3）2≥0， ∴a＝4，b＝3， ∴A（1，4），B（3，0），C（（2，﹣4）， 故答案为：1，4；3，0；2，﹣4． ②△AOH的面积1×4＝2， 故答案为：2． （2）证明：如图，连接DH． ∵△ODH的面积+△ADH的面积＝△OAH的面积， ∴1×n4×（1﹣m）＝2， ∴4m＝n． （3）解：①当点P在线段OB上，（3﹣2t）×42t， 解得t＝1.2． 此时P（0.6，0）． ②当点P在BO的延长线上时，（2t﹣3）×42×t， 解得t＝2， 此时P（﹣1，0）， 综上所述，t＝1.2时，P（0.6，0），t＝2时，P（﹣1，0）． 【点评】本题考查坐标与图形变化﹣平移，非负数的性质，三角形的面积等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题． 4．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（a，0）点B（b，b），点C（0，b），且满足（a+8）20，点P从点A出发沿x轴正方向以每秒2个单位长度的速度匀速运动，点Q从点O出发沿y轴负方向以每秒1个单位长度的速度匀速运动，且点P、Q同时出发，设运动时间为t秒． （1）直接写出点A和点B的坐标； （2）点P、Q在运动过程中，当0＜t＜4时，试探究∠OPQ、∠PQB与∠QBC三者的数量关系，并证明你的结论； （3）在点P、Q的运动过程中，连接PB、QB，若S△PAB＝4S△QBC，求此时点P的坐标． 【分析】（1）根据非负数的性质可得a+8＝0，b+4＝0即可； （2）过点Q作QE∥x轴，根据两直线平行，内错角相等，得∠OPQ＝∠PQE，∠CBQ＝∠BQE，两式相加即可； （3）根据S△PAB＝4S△QBC，得AP＝4CQ，则有2t＝4×|4﹣t|，分别解方程即可得出t，从而得出答案． 【解答】解：（1）∵（a+8）20， ∴a+8＝0，b+4＝0， ∴a＝﹣8，b＝﹣4， ∴A（﹣8，0），B（﹣4，﹣4）； （2）过点Q作QE∥x轴， ∵B（﹣4，﹣4），C（0，﹣4）， ∴BC∥x轴， ∴BC∥QE， ∴∠OPQ＝∠PQE，∠CBQ＝∠BQE， ∴∠OPQ+∠QBC＝∠PQB； （3）∵S△PAB＝4S△QBC， ∴4AP＝4×CQ×4， ∴AP＝4CQ， ∴2t＝4×|4﹣t|， ∴t或t＝8， 当t时，﹣8+2t， ∴P（，0）， 当t＝8时，﹣8+2t＝8， ∴P（8，0）， 综上：P（，0）或P（8，0）． 【点评】本题主要考查了坐标与图形的性质、非负数的性质、平行线的性质等知识，注意动点问题中线段长度的表示是解题的关键． 5．（2023春•惠州期末）如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（3，5），（3，0）．将线段AB向下平移2个单位长度，再向左平移4个单位长度，得到线段CD，连接AC，BD； （1）直接写出坐标：点C（ 　 　），点D（ 　 　）． （2）M，N分别是线段AB，CD上的动点，点M从点A出发向点B运动，速度为每秒1个单位长度，点N从点D出发向点C运动，速度为每秒0.5个单位长度，若两点同时出发，求几秒后MN∥x轴？ （3）点P是直线BD上一个动点，连接PC、PA，当点P在直线BD上运动时，请直接写出∠CPA与∠PCD，∠PAB的数量关系． 【分析】（1）利用平移变换的性质求解； （2）设t秒后MN∥x轴，构建方程求解； （3）分三种情形：①如图1中，当点P在直线AC的左侧时，②如图2中，当点P在直线AC的左侧或直线AC上且在直线AB的右侧时，③如图3中，当点P在直线AB的右侧时，分别求解即可． 【解答】解：（1）由题意C（﹣1，3），D（﹣1，﹣2）， 故答案为：﹣1，3，﹣1，﹣2； （2）设t秒后MN∥x轴， ∴5﹣t＝0.5t﹣2， 解得t， ∴t时，MN∥x轴； （3）①如图1中，当点P在线段BD上时，∠APC＝∠PCD+∠PAB． ②如图2中，当点P在BD的延长线上时，∠PAB＝∠PCD+∠APC． ③如图3中，当点P在DB的延长线上时，∠PCD＝∠PAB+∠APC． 【点评】本题考查坐标与图形变化﹣平移，解题的关键是掌握平移变换的性质，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$