专题01 分式（考题猜想，易错必刷51题10种题型）-2024-2025学年八年级数学上学期期中考点大串讲（湘教版）

专题01 分式（易错必刷58题12种题型专项训练） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 · 分式的定义 · 分式的基本性质 · 小数的科学记数法 · 整数指数幂的运算法则 · 分式混合运算 · 分式的化简求值 · 解分式方程 · 分式方程无解问题 · 分式方程的应用 · 分式创新题型 一．分式的定义（共6小题） 1．下列判断错误的是（    ） A．代数式是分式 B．当时，分式的值为 C．当时，分式有意义 D． 2．下列各式①，②，③，④中，是分式的有（   ） A．①④ B．①③④ C．①③ D．①②③④ 3．对于分式  ，下列说法错误的是（    ） A．不论x 取何值，分式都有意义 B．分式的值大于0 C．不论x 取何值，分式的值都不为0 D．当或时，分式无意义 4．若分式无意义，则x的值为（　　） A．2或 B．0 C．2 D． 5．已知非零实数x，y满足，则的值等于 ． 6．若分式的值为负数，则x的取值范围是 ． 二．分式的基本性质（共9小题） 7．下列各式从左到右的变形正确的是（    ） A． B． C． D． 8．下列说法正确的是（    ） A．代数式是分式 B．分式中x，y都扩大3倍，分式的值不变 C．分式是最简分式 D．分式有意义 9．若把分式的x和y都扩大2倍，则分式的值（    ） A．扩大2倍 B．不变 C．缩小2倍 D．缩小4倍 10．下列分式中，属于最简分式的是（　　） A． B． C． D． 11．若成立，则的取值范围是 ． 12．利用分式基本性质变形可得，则整式 ． 13．化简：（1） ；（2） ． 14．不改变分式的值，使分子、分母中次数最高的项的系数都化为正数． (1)； (2)； (3)． 15．不改变分式的值，把分子、分母的系数化为整数． 三．小数的科学记数法（共3小题） 16．长度单位 ，新冠病毒的直径约为60--140，其中140用科学记数法表示是   （    ） A． B． C． D． 17．世界最大的单口径球面射电望远镜被誉为“中国天眼”，在其新发现的脉冲星中有一颗毫秒脉冲星的自转周期为秒．数据用科学记数法可以表示为（   ） A． B． C． D． 18. 某种细胞的直径米，用科学记数法表示为 ． 四．整数指数幂的运算法则（共5小题） 19．下列计算正确的是（ ） A． B． C． D． 20．已知，，，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 21．若，则的值为 ． 22．已知，则 ． 23．计算： (1) (2) (3) 五．分式混合运算（共5小题） 24．计算：的结果为（   ） A．1 B． C． D． 25．已知，， 则P与Q 的大小关系是（   ） A． B． C． D．无法确定 26．化简． (1)； (2) 27．计算 (1) (2) (3) (4) 28．解答下列各题． (1)求的值． (2)求的值． (3)______． 六．分式的化简求值（共6小题） 29．已知，则的值等于（    ） A． B． C． D． 30．若，，则 ． 31．先化简，再求值：，其中． 32．先化简，再求值：，其中，． 33．先化简，并从，，，中选择一个合适的数字代入求值． 34．先化简，再求值：，其中x满足 七．解分式方程（共3小题） 35．下列关于的方程中，不是分式方程的是（   ） A． B． C． D． 36．解方程： (1) (2) 37．解方程：． 八．分式方程无解问题（共3小题） 38．若分式方程 有增根，则k的值是（     ） A． B．3 C．6 D．9 39．若关于的分式方程无解，则的值是（ ） A． B． C． D． 40．若关于x 的分式方程 无解，则m 的值是 ． 九．分式方程的应用（共7小题） 41．在物理学中，压强p等于物体所受压力F的大小与受力面积S之比，即．小明将底面积为、重100N的均匀长方体铁块A和底面积为、重150N的均匀长方体铁块B放置在水平桌面上，A、B两个铁块对桌面的压强之比为，求底面积S为多少？则可列方程（    ） A． B． C． D． 42．小明和爸爸周末进行体育锻炼，已知爸爸绕跑道跑一圈需要秒，小明绕跑道跑一圈需要秒，若小明和爸爸同时从起点同向出发，秒后爸爸正好比小明多跑了一圈，则下列等式成立的是（     ） A． B． C． D． 43．车间准备加工个零件，在加工了个零件后，引进了新工艺，每天的工作效率提高为原来的倍，结果共用天完成了任务．若设该车间原来每天加工个零件，则由题意可列出方程（    ） A． B． C． D． 44．某项工作，甲单独作完成的天数为乙、丙合作完成天数的倍，乙单独作完成的天数为甲、丙合作完成天数的倍，丙单独作完成的天数为甲、乙合作完成天数的倍，则 ． 45．从赤峰到沈阳路程约为480千米．已知高铁平均速度是客车平均速度的3倍，乘坐高铁比乘坐客车所用时间少4小时． (1)求高铁的平均速度； (2)某日，陈老师要从赤峰乘高铁出发，去另一城市参加14：30召开的培训会，两高铁站相距360千米．如果他买到当日11：20从赤峰市至该城市的高铁票，陈老师到达该城市高铁站后，乘车到会议地点最多需要1.5小时．请通过计算，判定在高铁准点到达的情况下，他能在开会之前到达会议地点吗？ 46．荷花文化节前夕，我市对观光路工程招标时，接到甲、乙两个工程队的投标书，甲、乙施工一天的工程费用分别为万元和万元，市政局根据甲乙两队的投标书测算，应有三种施工方案： ①甲队单独做这项工程刚好如期完成． ②乙队单独做这项工程，要比规定日期多5天． ③若甲、乙两队合作4天后，余下的工程由乙队单独做，也正好如期完成．求： (1)甲乙单独完成这项工程各需多少天？ (2)在确保如期完成的情况下，你认为哪种方案最节省工程款，通过计算说明理由． 47．2022年12月26日上午，常益长高铁正式开通运营， 自此，三湘大地形成高铁大环线，串起湖南“金色”大通道．若从常德市到长沙市乘坐高速列车的路程为150千米，乘坐普通列车的路程为168千米，高速列车的平均速度是普通列车的平均速度的2.5倍，且高速列车的乘车时间比普通列车的乘车时间缩短了1.8小时．问高速列车的平均速度是多少千米/时？ 一十．分式创新题型（共4小题） 48．已知有序代数式串：x，，（，1）对其进行如下操作： 第1次操作：用第二个式子除以第一个式子得到一个新代数式，将得到的代数式作为新代数式串的最后一项，即得到新的代数式串：x，，； 第2次操作：用第三个式子除以第二个式子得到一个新代数式，将得到的代数式作为新代数式串的最后一项，即得到新的代数式串：x，，，； 依次进行上述操作，下列说法： ①第3次操作后得到的代数式串为：x，，，，； ②第10次操作后得到的新代数式与第20次操作后得到的新代数式相同； ③第2024次操作后得到的代数式串之积为； 其中正确的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 49．若一个四位数的千位与百位之差等于2，十位与个位之差等于4，称这个四位数是“差2倍数”，若四位数的千位与百位之差等于3，十位与个位之差等于6，称这个四位数是“差3倍数”，则最小的“差2倍数”为 ，若数，分别为“差2倍数”和“差3倍数”，它们的个位数字均为3，，的各数位数字之和分别记为和，，若为整数，此时的最大值为 ． 50．若一个各数位上的数字均不为0且互不相同的三位正整数，满足百位数字与个位数字之和等于十位数字的2倍，则称该三位数为“2倍数”，交换的百位数字和个位数字，得到三位正整数，记，．若是“2倍数”且，则的各个数位上的数字之和为 ；若三位正整数（为整数且，，）是“2倍数”，且与其各个数位上的数字之和是7的整数倍，则的最小值是 ． 51．阅读下面的材料：把一个分式写成两个分式的和叫作把这个分式表示成“部分分式”．例：将分式表示成部分分式．解：设，将等式右边通分，得，依据题意，得，解得，所以请你运用上面所学到的方法，解决下面的问题： (1)（，为常数），则 ， ； (2)一个容器装有水，按照如下要求把水倒出：第次倒出，第次倒出的水量是的，第次倒出的水量是的，第次倒出的水量是的……第次倒出的水量是的……按照这种倒水的方法，请说明这的水是否能倒完？如果能，多少次才能倒完？如果不能，请说明理由； (3)按照（2）的条件，现在重新开始实验，按照如下要求把水倒出：第次倒出，第次倒出的水量是，第次倒出的水量是，第次倒出的水量是，请问经过多少次操作后，杯内剩余水量能否变成原来水量的？试说明理由． $$专题01 分式（易错必刷58题12种题型专项训练） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 · 分式的定义 · 分式的基本性质 · 小数的科学记数法 · 整数指数幂的运算法则 · 分式混合运算 · 分式的化简求值 · 解分式方程 · 分式方程无解问题 · 分式方程的应用 · 分式创新题型 一．分式的定义（共6小题） 1．下列判断错误的是（    ） A．代数式是分式 B．当时，分式的值为 C．当时，分式有意义 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了分式的定义，分式的值为零的条件，分式有意义的条件，分式的基本性质等知识点，熟练掌握分式的性质是解题的关键． 根据分式的定义，分式的值为零的条件，分式有意义的条件，分式的基本性质逐项判断即可． 【详解】解：A. 代数式是分式，正确，故选项不符合题意； B. 当时，分式没有意义，错误，故选项符合题意； C. 当时，分式有意义，正确，故选项不符合题意； D. ，正确，故选项不符合题意； 故选：． 2．下列各式①，②，③，④中，是分式的有（   ） A．①④ B．①③④ C．①③ D．①②③④ 【答案】A 【分析】本题主要考查了分式定义，关键是掌握分式的分母必须含有字母，而分子可以含字母，也可以不含字母．注意是实数不是字母. 根据分式定义：一般地，如果表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式，据此进行分析即可． 【详解】解：根据分式的定义，①，④，是分式； ②，③中，分母中不含字母，不是分式； 故选：A. 3．对于分式  ，下列说法错误的是（    ） A．不论x 取何值，分式都有意义 B．分式的值大于0 C．不论x 取何值，分式的值都不为0 D．当或时，分式无意义 【答案】D 【分析】本题考查分式有意义的条件以及分式值为零的条件，解题的关键是熟知分式有意义的条件是分母不为零．根据分式有意义的条件判断即可求解． 【详解】∵，， 无论x取何值，、都为正数， 故无论x取何值，分式都有意义，且分式的值为正数，不为0， 故A、B、C说法正确，D说法错误， 故选：D． 4．若分式无意义，则x的值为（　　） A．2或 B．0 C．2 D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了分式无意义的条件，根据分式无意义的条件是分母为0进行求解即可． 【详解】解：∵分式无意义， ∴， ∴， 故选：D． 5．已知非零实数x，y满足，则的值等于 ． 【答案】5 【分析】本题考查分式的求值，根据，得到，整体代入法求出分式的值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴； 故答案为：5． 6．若分式的值为负数，则x的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查分式的值，根据分式的值为负数，绝对值为非负数，得到且，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴且， ∴； 故答案为：． 二．分式的基本性质（共9小题） 7．下列各式从左到右的变形正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了分式的基本性质，根据分式的基本性质逐项计算即可判断求解，掌握分式的基本性质是解题的关键． 【详解】解：、原变形错误，该项不符合题意； 、原变形错误，该选项不符合题意； 、原变形错误，该选项不符合题意； 、原式 原变形正确，该选项符合题意； 故选：． 8．下列说法正确的是（    ） A．代数式是分式 B．分式中x，y都扩大3倍，分式的值不变 C．分式是最简分式 D．分式有意义 【答案】C 【分析】此题主要考查分式的定义、性质、最简分式以及分式有意义的条件．根据分式的定义及性质依次判断即可求解． 【详解】解：A、代数式是整式，不是分式，故本选项不符合题意； B、分式中，都扩大3倍后为，分式的值扩大3倍，故本选项不符合题意； C、分式是最简分式，故本选项符合题意； D、当时，分式有意义，故本选项不符合题意； 故选：C． 9．若把分式的x和y都扩大2倍，则分式的值（    ） A．扩大2倍 B．不变 C．缩小2倍 D．缩小4倍 【答案】C 【分析】本题主要考查分式的基本性质，根据题意要求将和都扩大2倍，然后将得出来的结果与原分式进行比较即可得出答案． 【详解】解：把分式的x和y都扩大2倍， 即， ∴把分式的x和y都扩大2倍，则分式的值缩小2倍， 故选：C． 10．下列分式中，属于最简分式的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查最简分式定义，根据最简分式的定义逐项验证即可得到答案，熟记最简分式定义：分式的分子与分母除1以外再没有其他公因式，是解决问题的关键． 【详解】解：A、，故不是最简分式，不符合题意； B、，故不是最简分式，不符合题意； C、，故不是最简分式，不符合题意； D、是最简分式，符合题意； 故选：D． 11．若成立，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的基本性质，根据分式的分子和分母同时乘（或除以）一个不等零的整式，分式的值不变，即可得出，求解即可得出答案． 【详解】解：由题意得：当时，即时， ， 故答案为：． 12．利用分式基本性质变形可得，则整式 ． 【答案】 【分析】本题考查分式的基本性质，根据分子分母同时乘以一个不为0的数，分式的值不变求解即可． 【详解】解：， ∴， 故答案为：． 13．化简：（1） ；（2） ． 【答案】 【分析】本题主要考查了约分的知识，熟练掌握相关知识是解题关键． （1）分子和分母同时除以，即可获得答案； （2）将原式整理为，然后分子和分母同时除以，即可获得答案． 【详解】解：（1）； （2）． 故答案为：（1）；（2）． 14．不改变分式的值，使分子、分母中次数最高的项的系数都化为正数． (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）改变分子的符号和整个分式的符号，分式的值不变计算即可； （2）改变分子的符号和整个分式的符号，分式的值不变计算即可； （3）同时改变分子，分母的符号，分式的值不变． 本题考查了分式的基本性质，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】（1）． （2）． （3）． 15．不改变分式的值，把分子、分母的系数化为整数． 【答案】 【分析】本题考查了分式的性质，解题的关键是掌握分式的分子分母同时乘以或除以同一个不为0的整式，分式值不变．根据分式的性质，将原式分子分母同时乘以10，即可解答． 【详解】解：． 三．小数的科学记数法（共3小题） 16．长度单位 ，新冠病毒的直径约为60--140，其中140用科学记数法表示是   （    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表现形式为，其中，n为整数，解题的关键是要正确确定a的值以及n的值． 先将140转化为，再按照科学记数法的表示方法表示即可． 【详解】解： 故选： A． 17．世界最大的单口径球面射电望远镜被誉为“中国天眼”，在其新发现的脉冲星中有一颗毫秒脉冲星的自转周期为秒．数据用科学记数法可以表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定，据此解答即可． 【详解】解：， 故选：A． 18. 某种细胞的直径米，用科学记数法表示为 ． 【答案】 【分析】根据科学记数法的定义解答，科学记数法的表示形式为的形式，其中为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数． 本题考查了科学记数法，熟悉科学记数法概念是解题的关键． 【详解】解：用科学记数法表示是 故答案为：． 四．整数指数幂的运算法则（共5小题） 19．下列计算正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了合并同类项、积的乘方、完全平方公式、同底数幂的除法等知识，根据运算法则计算后即可得到答案. 【详解】解：A. 和不是同类项，不能进行合并，故选项错误，不符合题意； B. ，故选项错误，不符合题意； C. ，故选项正确，符合题意；     D. ，故选项错误，不符合题意； 故选：C 20．已知，，，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的知识点是整数指数幂的运算、有理数的大小比较，解题关键是熟练掌握整数指数幂中正整数指数幂、零指数幂、负整数指数幂的运算． 先根据正整数指数幂、零指数幂、负整数指数幂的运算法则分别求出、、的值，再进行比较即可求解． 【详解】解：， ， ， ， 即． 故选：． 21．若，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了单项式乘单项式，整数指数幂的运算，负指数幂，解二元一次方程组等，熟练掌握运算法则是解题的关键． 根据单项式乘法法则及整数指数幂的法则分别计算等式左右两边，即可求得m、n的值，再代入所求式子计算即可． 【详解】解：∵，， ， 解得： ， 故答案为：． 22．已知，则 ． 【答案】 【分析】本题考查的是整数指数幂的运算，负整数指数幂的含义，由，再代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴； 故答案为： 23．计算： (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了整式的乘法运算和幂的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）先算幂的乘方，再算同底数乘除即可； （2）先算积的乘方，再算单项式乘以多项式即可； （3）直接计算多项式乘以多项式即可． 【详解】（1）原式 ； （2）原式 ； （3）原式 ． 五．分式混合运算（共5小题） 24．计算：的结果为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了分式的混合运算，掌握分式混合运算的运算法则是解题的关键．原式利用除法法则变形，计算分式乘法，再计算加法即可得到结果． 【详解】解：原式 ， 故选：A． 25．已知，， 则P与Q 的大小关系是（   ） A． B． C． D．无法确定 【答案】D 【分析】本题主要考查了分式的混合运算，先利用分式的运算法则化简、，再计算与的差，最后分类讨论得结论． 【详解】解析：， ， ∵， ∴时，， 即； 当且时，， 即． 故无法确定P 与 Q的大小关系， 故选：D． 26．化简． (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】此题主要考查了单项式乘多项式的运算方法，完全平方公式的应用，以及分式的混合运算，解答此题的关键是要明确：分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序；先乘方，再乘除，然后加减，有括号的先算括号里面的运算． （1）首先计算乘方，然后计算乘法，最后合并同类项即可； （2）首先计算小括号里面的减法和加法，然后计算小括号外面的除法即可． 【详解】（1） ． （2） ． 27．计算 (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查分式的混合运算，熟练掌握分式的相关运算法则是解答的关键． （1）根据分式的乘除法运算法则求解即可； （2）根据分式的乘除法运算法则，结合完全平方公式和平方差公式求解即可； （3）根据分式的加减运算法则求解即可； （4）先根据分式的除法运算法则，结合乘法公式化简，再利用分式加法运算法则求解即可； 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 28．解答下列各题． (1)求的值． (2)求的值． (3)______． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了分式的混合运算的应用，主要考查学生的理解能力和阅读能力，题目是一道比较好的题目，有一定的难度． （1）根据已知先求出，再相减，即可得出答案； （2）根据已知先求出，再相减，即可得出答案； （3）由题意得原式，仿照（1）（2）即可求得答案． 【详解】（1）解：设①， 则②， ，得：， ∴； （2）解：设①， 则， ，得：， ∴； （3）解：原式， 设①， 则②， ，得：， ∴， ∴原式， 故答案为：． 六．分式的化简求值（共6小题） 29．已知，则的值等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了分式的化简求值，整体代入是解题的关键． 由已知可以得到，把这个式子代入所要求的式子，化简就得到所求式子的值． 【详解】解：已知，可以得到， 即， 则原式， 故选：D． 30．若，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查分式的化简求值，原式通分并利用同分母分式的加法法则计算，再利用完全平方公式变形，把已知等式代入计算即可求出值．熟练掌握相应的运算法则是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， 即． 故答案为：． 31．先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查了整数指数幂的混合运算，涉及积的乘方，幂的乘方，同底数幂的乘除法，负整数指数幂；先利用积的乘方，再利用幂的乘方、同底数幂的乘除法计算，最后代入求值即可． 【详解】解：原式 ． 当时，原式． 32．先化简，再求值：，其中，． 【答案】 【分析】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式的化简求值方法是本题的关键． 先通分括号内的式子，同时将括号外的除法转化为乘法，然后约分，再将、的值代入化简后的式子计算即可． 【详解】解： ∵，， ∴原式 33．先化简，并从，，，中选择一个合适的数字代入求值． 【答案】， 【分析】本题考查分式的化简求值，解题的关键：先根据分式混合运算顺序和运算法则将原式化简得到最简分式或整式，然后把满足条件的字母的值代入计算得到对应的分式的值即可．也考查了分式有意义的条件． 【详解】解： ， ∵且， ∴， ∴原式． 34．先化简，再求值：，其中x满足 【答案】，1． 【分析】本题考查分式的化简求值，先将小括号内的式子进行通分计算，然后再算括号外面的，最后利用整体思想代入求值，掌握分式混合运算的运算顺序和计算法则是解题关键． 【详解】解：原式 ， ， ∴原式． 七．解分式方程（共3小题） 35．下列关于的方程中，不是分式方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了分式方程的识别．根据分式方程的定义：分母里含有未知数的方程叫做分式方程判断． 【详解】解：A、B、C项分母中都含未知数，是分式方程， D项中的方程分母中不含未知数，故不是分式方程． 故选：D． 36．解方程： (1) (2) 【答案】(1) (2)原分式方程无解 【分析】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根． （1）两边同时乘以去分母，然后再整理成一元一次方程进行计算即可； （2）两边同时乘以去分母，然后再整理成一元一次方程进行计算即可． 【详解】（1）解： 方程两边都乘以， 得． 解这个一元一次方程，得． 检验：当，． 所以，原分式方程的解是； （2）解： 方程两边都乘以，得． 解这个一元一次方程，得． 检验：当时，． 因此，是原分式方程的增根， 所以，原分式方程无解． 37．解方程：． 【答案】无解 【分析】本题考查了解分式方程，分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解． 【详解】解：去分母得：， 去括号得：， 移项、合并同类项得：， 解得：， 检验：把代入得：， 是增根，分式方程无解． 八．分式方程无解问题（共3小题） 38．若分式方程 有增根，则k的值是（     ） A． B．3 C．6 D．9 【答案】D 【分析】本题考查解分式方程，增根是分式方程化为整式方程后产生的使分式方程的分母为0的根．本题的增根是，把增根代入化为整式方程的方程即可求出的值． 【详解】解：方程两边都乘，得 ， 增根为 ． 故选：D． 39．若关于的分式方程无解，则的值是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了分式方程的增根，先令分母求增根，在把分式方程化为整式方程，最后把增根代入整式方程求出k． 【详解】解：∵分式方程无解， ∴ 解得 原方程化为：， ， 将代入得， 解得，， 故选：B． 40．若关于x 的分式方程 无解，则m 的值是 ． 【答案】3 【分析】本题考查了分式方程的无解问题，先把分式方程化为整式方程得到，由于关于的分式方程无解，则最简公分母，求得x，进而可求得m． 【详解】解：去分母，得， ． 关于的分式方程无解， 最简公分母， ， 当时，得， 即的值为3． 故答案为：3． 九．分式方程的应用（共7小题） 41．在物理学中，压强p等于物体所受压力F的大小与受力面积S之比，即．小明将底面积为、重100N的均匀长方体铁块A和底面积为、重150N的均匀长方体铁块B放置在水平桌面上，A、B两个铁块对桌面的压强之比为，求底面积S为多少？则可列方程（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查分式方程的实际应用，根据，结合A、B两个铁块对桌面的压强之比为，列出方程即可． 【详解】解：由题意，得：， 整理，得：； 故选A． 42．小明和爸爸周末进行体育锻炼，已知爸爸绕跑道跑一圈需要秒，小明绕跑道跑一圈需要秒，若小明和爸爸同时从起点同向出发，秒后爸爸正好比小明多跑了一圈，则下列等式成立的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了分式方程的应用．解题关键是把跑道的一圈长度看作单位“”，表示出两人的速度．解题时，根据题意，用“爸爸秒钟的行程小明秒钟的行程一圈”作等量关系列方程即可． 【详解】解：把跑道的一圈长度看作单位“”，则爸爸的速度是，小明的速度是， 根据题意得：． 故选B． 43．车间准备加工个零件，在加工了个零件后，引进了新工艺，每天的工作效率提高为原来的倍，结果共用天完成了任务．若设该车间原来每天加工个零件，则由题意可列出方程（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了由实际问题抽象出分式方程，分析题意，找到关键描述语，得到合适的等量关系是解决问题的关键．根据共用天完成任务，等量关系为：先加工的个零件用的时间引进后新工艺后加工的个零件用的时间，即可列出方程． 【详解】解：设该车间原来每天加工个零件， 根据题意得：， 故选：D． 44．某项工作，甲单独作完成的天数为乙、丙合作完成天数的倍，乙单独作完成的天数为甲、丙合作完成天数的倍，丙单独作完成的天数为甲、乙合作完成天数的倍，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式方程的应用，代数式求值，解题的关键是灵活运用相关知识．设甲、乙、丙单独工作分别需天、天、天，根据“甲单独作完成的天数为乙、丙合作完成天数的倍”，可得，运用比例的基本性质、等式的性质及分式的基本性质可得；同理，根据“乙单独作完成的天数为甲、丙合作完成天数的倍”，可得；根据“丙单独作完成的天数为甲、乙合作完成天数的倍”，可得，将它们分别代入所求代数式，即可得出结果． 【详解】设甲、乙、丙单独工作分别需天、天、天． 由题意有：①，②，③． 由①得， ， ，即， 同理，由②得； 由③得， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 45．从赤峰到沈阳路程约为480千米．已知高铁平均速度是客车平均速度的3倍，乘坐高铁比乘坐客车所用时间少4小时． (1)求高铁的平均速度； (2)某日，陈老师要从赤峰乘高铁出发，去另一城市参加14：30召开的培训会，两高铁站相距360千米．如果他买到当日11：20从赤峰市至该城市的高铁票，陈老师到达该城市高铁站后，乘车到会议地点最多需要1.5小时．请通过计算，判定在高铁准点到达的情况下，他能在开会之前到达会议地点吗？ 【答案】(1)高铁的平均速度是每小时240千米 (2)能，理由见解析 【分析】本题考查了分式方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程求解，注意检验． （1）设客车平均每小时的行驶x千米，则高铁列车平均每小时行驶3x千米，根据题意可得，乘坐高铁比乘坐客车所用时间少4小时，据此列方程求解； （2）求出陈老师所用的时间，然后进行判断． 【详解】（1）解：设客车平均每小时的行驶x千米，则高铁列车平均每小时行驶3x千米 根据题意列方程得 解方程得                     经检验是原分式方程的解， 高铁的平均速度： 答：高铁的平均速度是每小时240千米 （2）能，（小时） 小时，从11点20分开始3个小时后是14点20分． 答：他能在开会之前到达 46．荷花文化节前夕，我市对观光路工程招标时，接到甲、乙两个工程队的投标书，甲、乙施工一天的工程费用分别为万元和万元，市政局根据甲乙两队的投标书测算，应有三种施工方案： ①甲队单独做这项工程刚好如期完成． ②乙队单独做这项工程，要比规定日期多5天． ③若甲、乙两队合作4天后，余下的工程由乙队单独做，也正好如期完成．求： (1)甲乙单独完成这项工程各需多少天？ (2)在确保如期完成的情况下，你认为哪种方案最节省工程款，通过计算说明理由． 【答案】(1)甲队单独完成需要20天，，乙队单独完成需要25天； (2)方案③最省钱 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，有理数乘法的实际应用： （1）设工程期为x天，则甲队单独完成用x天，乙队单独完成用天，把工作总量看做单位1，根据甲、乙两队合作4天后，余下的工程由乙队单独做，也正好如期完成列出方程求解即可； （2）根据（1）所求分别求出对应方案的费用，比较即可得到结论． 【详解】（1）解：设工程期为x天，则甲队单独完成用x天，乙队单独完成用天， 由题意得，， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴， 答：甲队单独完成需要20天，乙队单独完成需要25天； （2）解：方案①的费用为万元， 方案②的费用为万元，但是此种方案耽误工期，不符合题意； 方案③的费用为万元， ∵， ∴方案③最省钱． 47．2022年12月26日上午，常益长高铁正式开通运营， 自此，三湘大地形成高铁大环线，串起湖南“金色”大通道．若从常德市到长沙市乘坐高速列车的路程为150千米，乘坐普通列车的路程为168千米，高速列车的平均速度是普通列车的平均速度的2.5倍，且高速列车的乘车时间比普通列车的乘车时间缩短了1.8小时．问高速列车的平均速度是多少千米/时？ 【答案】高速列车的平均速度是150千米/时 【分析】此题考查的是分式方程的应用，掌握用列表法分析等量关系并列方程是解决此题的关键. 设普通列车平均速度是每小时x千米，则高速列车的平均速度是每小时3x千米， 列表如下： 普通列车 高速列车 路程 168 150 速度 x 时间 然后再根据“高速列车的乘车时间比普通列车的乘车时间缩短了1.8小时”，列方程并解方程即可（注：分式方程要验根）. 【详解】解：设普通列车平均速度是每小时x千米，则高速列车的平均速度是每小时千米 由题意可知： 解得： 经检验：是原方程的解， ∴高速列车的平均速度是每小时千米. 答：高速列车的平均速度是每小时150千米. 一十．分式创新题型（共4小题） 48．已知有序代数式串：x，，（，1）对其进行如下操作： 第1次操作：用第二个式子除以第一个式子得到一个新代数式，将得到的代数式作为新代数式串的最后一项，即得到新的代数式串：x，，； 第2次操作：用第三个式子除以第二个式子得到一个新代数式，将得到的代数式作为新代数式串的最后一项，即得到新的代数式串：x，，，； 依次进行上述操作，下列说法： ①第3次操作后得到的代数式串为：x，，，，； ②第10次操作后得到的新代数式与第20次操作后得到的新代数式相同； ③第2024次操作后得到的代数式串之积为； 其中正确的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】本题考查规律类探索、分式的除法，根据所给操作规则找出所得代数式串的变化规律，利用规律逐项判断即可． 【详解】解：由题意知，第3次操作时，用第四个式子除以第三个式子得到新代数式， ，将得到的代数式作为新代数式串的最后一项，即得到新的代数式串：x，，，，，故①正确； 依次类推，第4次操作后得到新的代数式串：x，，，，，， 第5次操作后得到新的代数式串：x，，，，，，x， 第6次操作后得到新的代数式串：x，，，，，，x，， 第7次操作后得到新的代数式串：x，，，，，，x，，， …… 观察可知，从第7次操作开始，第n次操作与第次操作后得到的新代数式相同，因此第10次操作后得到的新代数式与第16次、第22次操作后得到的新代数式相同，与第20次操作后得到的新代数式不同，故②错误； 观察可知，从第5次操作开始，新代数式串按照x，，，，，的顺序循环，每个循环的积为1， 第2024次操作后所得新代数式串有2026个代数式，，因此前2022个代数式的积为1，第2023至2026个代数式的积为：， 第2024次操作后得到的代数式串之积为，故③错误； 综上可知，正确的个数是1， 故选B． 49．若一个四位数的千位与百位之差等于2，十位与个位之差等于4，称这个四位数是“差2倍数”，若四位数的千位与百位之差等于3，十位与个位之差等于6，称这个四位数是“差3倍数”，则最小的“差2倍数”为 ，若数，分别为“差2倍数”和“差3倍数”，它们的个位数字均为3，，的各数位数字之和分别记为和，，若为整数，此时的最大值为 ． 【答案】 2040 【分析】依据题意，由已知，根据“差2倍数”和“差3倍数”的定义求解即可． 【详解】解：根据“差2倍数”的定义可得最小的“差2倍数”为2040； 设数的百位数字分别为， 则数的千位数字分别为，数的十位数字分别为7，9， ，， ， ∵为整数，都是整数， ∴或， ， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， ∴时，存在最大值， 满足条件的有或或或或， 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，， 其中最大， ∴的最大值为． 故答案为：2040；． 【点睛】本题考查新定义运算，数的整除、分式的化简，整式的加减运算等，有一定难度，解题的关键是理解“差2倍数”和“差3倍数”的定义． 50．若一个各数位上的数字均不为0且互不相同的三位正整数，满足百位数字与个位数字之和等于十位数字的2倍，则称该三位数为“2倍数”，交换的百位数字和个位数字，得到三位正整数，记，．若是“2倍数”且，则的各个数位上的数字之和为 ；若三位正整数（为整数且，，）是“2倍数”，且与其各个数位上的数字之和是7的整数倍，则的最小值是 ． 【答案】 18 【分析】本题考查了因式分解的应用，分式的运算，整式的运算，新定义等知识． 设M的百位数字、十位数字与个位数字分别为a、b与c，则由题意得，可分别表示出M、、，则由可求得b的值，从而求得；由题意易求得，与其各个数位上的数字之和是7的整数倍，即是7的整数倍，从而也是7的整数倍，由此确定a与c的值，即可求得的最小值． 【详解】解：设M的百位数字、十位数字与个位数字分别为a、b与c， ∵是“2倍数”， ∴； ∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∴； ∵，且N是是“2倍数”， ∴，即； ∵， ∴，， ∴； ∵与其各个数位上的数字之和是7的整数倍， ∴是7的整数倍， 即也是7的整数倍； ∵， ∴当，时；当，时；当，时；都是7的整数倍； 当，时，； 当，时，； 当，时，； ∴的最小值为； 故答案为：18；． 51．阅读下面的材料：把一个分式写成两个分式的和叫作把这个分式表示成“部分分式”．例：将分式表示成部分分式．解：设，将等式右边通分，得，依据题意，得，解得，所以请你运用上面所学到的方法，解决下面的问题： (1)（，为常数），则 ， ； (2)一个容器装有水，按照如下要求把水倒出：第次倒出，第次倒出的水量是的，第次倒出的水量是的，第次倒出的水量是的……第次倒出的水量是的……按照这种倒水的方法，请说明这的水是否能倒完？如果能，多少次才能倒完？如果不能，请说明理由； (3)按照（2）的条件，现在重新开始实验，按照如下要求把水倒出：第次倒出，第次倒出的水量是，第次倒出的水量是，第次倒出的水量是，请问经过多少次操作后，杯内剩余水量能否变成原来水量的？试说明理由． 【答案】(1)，； (2)这的水不能倒完，理由见解析； (3)经过次操作之后能达到． 【分析】（1）模仿阅读材料可得答案； （2）根据题意先列式表示倒出的水，再求和，根据结果即可判断； （3）先列式表示剩余水量，再建立方程求解即可． 【详解】（1）解：∵ ∴， ∴， ∴ 故答案为：，． （2）解：∵ ， ∴这的水不能倒完； （3）解：由题意可得，倒了次后剩余的水量为 ， ∴， 解得， 经检验是原方程的解， ∴经过次操作之后能达到． 【点睛】本题考查分式的混合运算，分式方程的应用，异分母分式的加减法以及代数式的规律，解题的关键是读懂题意，能把一个分式化为部分分式． $$