精品解析：湖南省邵阳市新邵广益世才学校2023-2024学年八年级上学期期中考试数学试题

2023年八年级（上）期中学情质量监测数学 考试时量：120分钟 满分：120分 一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意，请在答题卡中填涂符合题意的选项。本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 1. 下列运算正确的是（ ）． A. B. C. D. ' 2. 下列各式①，②，③，④中，是分式的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 3. 下列长度的三根小木棒，能构成三角形的是 A. 2cm，5cm，7cm B. 6cm，10cm，17cm C. 5cm，5cm，12cm D. 12cm，15cm，20cm 4. 盖房子时，木工师傅常常先在窗框上斜钉一根木条，利用的几何原理是（     ） A. 三角形的稳定性 B. 两点之间线段最短 C. 两点确定一条直线 D. 垂线段最短 5. 如图，已知∠1＝∠2，∠3＝∠4，要证BC＝CD，证明中判定两个三角形全等的依据是（　　） A. 角角角 B. 角边角 C. 边角边 D. 角角边 6. 甲、乙两人同时分别从A，B两地沿同一条公路骑自行车到C地．已知A，C两地间的距离为110千米，B，C两地间的距离为100千米．甲骑自行车的平均速度比乙快2千米/时．结果两人同时到达C地．求两人的平均速度，为解决此问题，设乙骑自行车的平均速度为x千米/时．由题意列出方程．其中正确的是（　　） A. B. C. D. 7. 将分式中x、y的值同时扩大为原来的2倍，则分式的值（） A. 扩大为原来的2倍 B. 缩小为原来的 C. 不变 D. 扩大为原来的4倍 8. 下列命题中是真命题的是（ ） A. 三角形的任意两边之和小于第三边 B. 三角形的一个外角等于任意两个内角的和 C. 两直线平行，同旁内角相等 D. 平行于同一条直线的两条直线平行 9. 如图所示，在 中， 为 边的中点， 为线段 中点， 为线段 中点，若 的面积为4，则 的面积为(　　) A. 2 B. 1 C. 1.5 D. 0.5 10. 等腰三角形的周长是18cm，其中一边长为4cm，则腰长为（ ） A. 4cm B. 7cm C. 4cm或7cm D. 无法确定 二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分） 11. 如果分式有意义，那么 的取值范围是______． 12. 日本地震中发生核泄漏，科学家发现某放射性物的长度约为0.0000041mm，用科学记数法表示的结果为_____________________mm 13. 若，，则=_____________． 14. 分式、的最简公分母是______． 15. 在 中，，则______，______． 16. 请把命题“有两条边相等的三角形是等腰三角形”改写成“如果···，那么···”的表述形式：_______ 17. 分式方程的解为______． 18. 如图，在 中， 和 的平分线相交于点 ，过点 作 交 ， 于点 ， ，若，则_____． 三、解答题（本大题共8个小题，第19-25每题8分，第26题10分，共66分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 计算： （1） （2） 20. 化简求值：，其中． 21. 如图，点A，F，C，D在同一直线上，， ， ．求证：． 22. 如图，在 ABC中，∠B＝40°，∠C＝60°，AD⊥BC于点D． （1）若AE是∠BAC的平分线，求∠DAE的度数； （2）若AE是BC边上的中线， ABC的面积为12，CE＝3，求AD的长． 23. 某扶贫干部决定引进改良的中药种子帮助贫困户脱贫．他先花8000元购买了桔梗种子，又花6000元购买了白术种子，已知他购买的这两种种子质量相等，且桔梗种子比白术种子每千克多20元，求白术种子每千克多少元？ 24. 如图，已知AB＝AC，∠A＝40°，AB的垂直平分线MN交AC于点D. (1)求∠DBC的度数. (2)若△DBC的周长为14cm，BC＝5cm，求AB的长. 25. 在△ABC中，∠ABC的平分线与在∠ACE的平分线相交于点D．已知∠ABC=70°，∠ACB=30°，求∠A和∠D的度数． 26. 观察以下等式： 第1个等式：， 第2－个等式： ， 第3个等式：， 第4个等式： ， …… 按照以上规律，解决下列问题： （1）写出第5个等式：__________________； （2）写出你猜想的第 个等式（用含 的等式表示），并证明． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023年八年级（上）期中学情质量监测数学 考试时量：120分钟 满分：120分 一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意，请在答题卡中填涂符合题意的选项。本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 1. 下列运算正确的是（ ）． A. B. C. D. ' 【答案】C 【解析】 【分析】由同底数幂乘法、同底数幂除法、幂的乘方、积的乘方，分别进行判断，即可得到答案． 【详解】解：A、，故A错误； B、，故B错误； C、，故C正确； D、，故D错误； 故选：C． 【点睛】本题考查了同底数幂乘法、同底数幂除法、幂的乘方、积的乘方，解题的关键是掌握运算法则进行判断． 2. 下列各式①，②，③，④中，是分式的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】根据分式的定义对上式逐个进行判断，得出正确答案． 【详解】①，③这2个式子分母中含有字母，因此是分式，其它式子分母中均不含有字母，是整式，而不是分式． 故选：B． 【点睛】本题主要考查分式的概念，分式与整式的区别主要在于：分母中是否含有字母． 3. 下列长度的三根小木棒，能构成三角形的是 A. 2cm，5cm，7cm B. 6cm，10cm，17cm C. 5cm，5cm，12cm D. 12cm，15cm，20cm 【答案】D 【解析】 【分析】根据三角形任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边即可求解. 【详解】解：A、2+5=7，所以A选项错误； B、6+10=16＜17，所以B选项错误； C、5+5=10＜12，所以C选项错误； D选项正确. 故选D. 【点睛】本题主要考查三角形的三边关系. 4. 盖房子时，木工师傅常常先在窗框上斜钉一根木条，利用的几何原理是（     ） A. 三角形的稳定性 B. 两点之间线段最短 C. 两点确定一条直线 D. 垂线段最短 【答案】A 【解析】 【分析】在窗框上斜钉一根木条，构成三角形，故可用三角形的稳定性解释． 【详解】解：盖房子时，在窗框未安装好之前，木工师傅常常先在窗框上斜钉一根木条，这样就构成了三角形，故这样做的数学道理是三角形的稳定性． 故选：A． 【点睛】本题考查三角形稳定性的实际应用，三角形的稳定性在实际生活中有着广泛的应用，要使一些图形具有稳定的结构，往往通过连接辅助线转化为三角形而获得． 5. 如图，已知∠1＝∠2，∠3＝∠4，要证BC＝CD，证明中判定两个三角形全等的依据是（　　） A. 角角角 B. 角边角 C. 边角边 D. 角角边 【答案】B 【解析】 【分析】根据已知条件，直接利用ASA进行证明即可求解． 【详解】解：在△ABC与△ADC中， ， 则△ABC≌△ADC（ASA）． ∴BC＝CD． 故选：B． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 6. 甲、乙两人同时分别从A，B两地沿同一条公路骑自行车到C地．已知A，C两地间的距离为110千米，B，C两地间的距离为100千米．甲骑自行车的平均速度比乙快2千米/时．结果两人同时到达C地．求两人的平均速度，为解决此问题，设乙骑自行车的平均速度为x千米/时．由题意列出方程．其中正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】设乙骑自行车的平均速度为x千米/时，则甲骑自行车的平均速度为（x+2）千米/时，根据题意可得等量关系：甲骑110千米所用时间=乙骑100千米所用时间，根据等量关系可列出方程即可． 解：设乙骑自行车的平均速度为x千米/时，由题意得： =， 故选A． 7. 将分式中x、y的值同时扩大为原来的2倍，则分式的值（） A. 扩大为原来的2倍 B. 缩小为原来的 C. 不变 D. 扩大为原来的4倍 【答案】A 【解析】 【分析】根据分式的基本性质，进行计算即可解答． 【详解】解：由题意得： 将分式中的x、y的值同时扩大为原来的2倍，则分式的值扩大为原来的2倍， 故选∶A． 【点睛】本题考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键． 8. 下列命题中是真命题的是（ ） A. 三角形的任意两边之和小于第三边 B. 三角形的一个外角等于任意两个内角的和 C. 两直线平行，同旁内角相等 D. 平行于同一条直线的两条直线平行 【答案】D 【解析】 【分析】根据三角形的三边关系、三角形的外角性质、平行线的性质、平行公理判断即可． 【详解】解：A、三角形的任意两边之和大于第三边，本选项说法是假命题； B、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，本选项说法是假命题； C、两直线平行，同旁内角互补，本选项说法是假命题； D、平行于同一条直线的两条直线平行，本选项说法是真命题； 故选：D． 【点睛】本题主要考查真假命题，掌握三角形的三边关系、三角形的外角性质、平行线的性质、平行公理是解题的关键． 9. 如图所示，在 中， 为 边的中点， 为线段 中点， 为线段 中点，若 的面积为4，则 的面积为(　　) A. 2 B. 1 C. 1.5 D. 0.5 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角形中线的性质即可得出答案. 【详解】∵D为AC的中点 ∴ 又E为BD的中点 ∴ 又∵F是CE的中点 ∴ 故答案选择B. 【点睛】本题考查的是三角形中线的性质：三角形的中线将三角形平分成面积相等的两个部分. 10. 等腰三角形的周长是18cm，其中一边长为4cm，则腰长为（ ） A. 4cm B. 7cm C. 4cm或7cm D. 无法确定 【答案】B 【解析】 【详解】分两种情况考虑： ①当4是腰时，则底边长是18-8=10，此时4，4，10不能组成三角形，应舍去； ②当4是底边时，腰长是（18-4）×=7，4，7，7能够组成三角形．此时腰长是7． 故选B． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；在没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，进行分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形，这点非常重要，也是解题的关键． 二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分） 11. 如果分式有意义，那么 的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据分式有意义的条件：分母不等于0，即可进行解答． 【详解】解：∵分式有意义， ∴，解得． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了分式有意义的条件，解题的关键是熟练掌握分式有意义的条件：分母不等于0． 12. 日本地震中发生核泄漏，科学家发现某放射性物的长度约为0.0000041mm，用科学记数法表示的结果为_____________________mm 【答案】4.1 10-6 【解析】 【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10-n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【详解】∵0.0000041第一个不为零的数字4前面有6个0， ∴0.0000041=4.1 10-6， 故答案为4.1 10-6 【点睛】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10-n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 13. 若，，则=_____________． 【答案】3 【解析】 【分析】逆用同底数幂的除法法则进行计算即可得到答案． 【详解】∵，， ∴． 故答案为：3． 【点睛】此题主要考查了同底数幂的除法，逆用同底数幂的除法法则是解答此题的关键． 14. 分式、的最简公分母是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据最简公分母的定义即可求解. 【详解】∵分式的分母为、 ∴最简公分母是=. 故填：. 【点睛】此题主要考查找最简公分母，解题的关键是熟知找公分母的方法. 15. 在 中，，则______，______． 【答案】 ①. ##40度 ②. ##80度 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形的内角和定理，设参数，利用方程来解决问题是解题的关键． 设，利用三角形的内角和等于 列方程求解即可． 【详解】解：设，则，， ， ， 即， 解得：， ， ， ， 故答案为： ，． 16. 请把命题“有两条边相等的三角形是等腰三角形”改写成“如果···，那么···”的表述形式：_______ 【答案】如果一个三角形中有两条边相等，那么这个三角形是等腰三角形 【解析】 【分析】找到这个命题的条件即为题设，用如果引起，再找到这个命题的结论，改写成“如果···，那么···”即可． 【详解】解：把命题“有两条边相等的三角形是等腰三角形”改写成“如果···，那么···”的表述形式： 如果一个三角形中有两条边相等，那么这个三角形是等腰三角形． 故答案为: 如果一个三角形中有两条边相等，那么这个三角形是等腰三角形． 【点睛】本题考查了命题，掌握命题的结构是解题的关键． 17. 分式方程的解为______． 【答案】-5 【解析】 【分析】由题意直接根据解分式方程的步骤进行解答即可得出答案． 【详解】解：方程的两边同时乘（x+1）（x-1）得：2（x-1）=3（x+1）， 去括号得：2x-2=3x+3， 解得x=-5， 经检验，x=-5是原方程的解． 故答案为：-5． 【点睛】本题主要考查解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤是解答本题的关键． 18. 如图，在 中， 和 的平分线相交于点 ，过点 作 交 ， 于点 ， ，若，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质以及角平分线的定义和等腰三角形的判定及性质问题，由平行线的性质可得内错角，，再由角平分线的定义可得，，即，，进而可求 的长． 【详解】解：， ，， 、 分别平分 与 ， ，， ，， 即，， ． 故答案为： ． 三、解答题（本大题共8个小题，第19-25每题8分，第26题10分，共66分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）首先根据乘方运算法则、零指数幂运算法则、绝对值的性质、负整数指数幂运算法则进行计算，再相加减即可； （2）首先根据积的乘方运算法则、单项式除以单项式法则、单项式乘以单项式法则进行计算即可． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ． 【点睛】本题主要考查了实数混合运算以及整式运算，理解并掌握相关运算法则是解题关键． 20. 化简求值：，其中． 【答案】x-2；． 【解析】 【分析】先根据同分母分式的加减法法则计算括号内的分式，再根据分式除法法则化简出最简分式，最后代入求值即可． 【详解】 = = =x-2， 当x=时，原式=x-2=． 【点睛】本题考查分式的运算——化简求值，熟练掌握分式的运算法则是解题关键． 21. 如图，点A，F，C，D在同一直线上，， ， ．求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】根据平行线的性质可得，再由，可得 ，再根据全等三角形的判定即可得出结论． 【详解】证明：， ， ， ， 在 和 中， ． 【点睛】本题考查平行线的性质和全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键． 22. 如图，在 ABC中，∠B＝40°，∠C＝60°，AD⊥BC于点D． （1）若AE是∠BAC的平分线，求∠DAE的度数； （2）若AE是BC边上的中线， ABC的面积为12，CE＝3，求AD的长． 【答案】（1）；（2）4 【解析】 【分析】（1）根据三角形的内角和定理及角平分线的性质求解即可； （2）根据中线的性质求出BC的长，再根据三角形面积公式即可求出AD的长． 【详解】解：（1）∵ 则 又∵ 平分 则 在中， ∴ （2）∵ 为 的中点 ∴ 【点睛】此题考查的是三角形的内角和定理及角平分线的性质，掌握三角形的内角和等于180°是解决问题的关键． 23. 某扶贫干部决定引进改良的中药种子帮助贫困户脱贫．他先花8000元购买了桔梗种子，又花6000元购买了白术种子，已知他购买的这两种种子质量相等，且桔梗种子比白术种子每千克多20元，求白术种子每千克多少元？ 【答案】白术种子每千克60元 【解析】 【分析】解设白术种子每千克x元，抓住等量关系以(x+20)元单价花8000元购买桔梗种子质量，以每千克x元单价花6000元购买白术种子质量相等，列方程解之即可． 【详解】解：设白术种子每千克x元，根据题意，得， ， 解得． 经检验，是原方程的解且符合题意． 答：白术种子每千克60元． 【点睛】本题考查分式方程解应用题，掌握列分式方程解应用题的方法与步骤，抓住等量关系列方程是解题关键． 24. 如图，已知AB＝AC，∠A＝40°，AB的垂直平分线MN交AC于点D. (1)求∠DBC的度数. (2)若△DBC的周长为14cm，BC＝5cm，求AB的长. 【答案】(1)∠DBC=30°；(2)AB=9cm. 【解析】 【分析】(1)根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理得到∠ABC＝∠ACB＝70°，根据线段垂直平分线的性质得到DA＝DB，根据等腰三角形的性质计算即可； (2)根据线段垂直平分线的性质得到DA＝DB，根据三角形的周长公式计算，得到答案. 【详解】解：(1)∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB， ∵∠A＝40°， ∴∠ABC＝∠ACB＝70°， ∵MN是AB的垂直平分线， ∴DA＝DB， ∴∠A＝∠ABD＝40°， ∴∠DBC＝∠ABC﹣∠ABD＝70﹣40°＝30°； (2)∵MN是AB的垂直平分线， ∴BD＝AD， ∵△DBC的周长为14cm， ∴BD+BC+CD＝14cm， ∵BC＝5cm， ∴BD+CD＝AD+CD＝AC＝9cm， ∵AB＝AC， ∴AB＝9cm. 【点睛】本题考查了线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． 25. 在△ABC中，∠ABC的平分线与在∠ACE的平分线相交于点D．已知∠ABC=70°，∠ACB=30°，求∠A和∠D的度数． 【答案】∠A=80°，∠D=40°. 【解析】 【分析】根据三角形内角和定理，已知∠ABC=70°，∠ACB=30°，易求∠A，根据角平分线定义和外角的性质即可求得∠D度数． 【详解】解：在△ABC中，∠ABC=70°，∠ACB=30°， ∴∠A=180°﹣∠ABC﹣∠ACB=80°， ∵BD为∠ABC，CD为∠ACE的角平分线， ∴∠DBC= ∠ABC= ×70°=35°， ∴∠ACD= （180°﹣∠ACB）= ×150°=75°， ∴∠D=180°﹣∠DBC﹣∠ACB﹣∠ACD=180°﹣35°﹣30°﹣75°=40°， ∴∠A=80°，∠D=40°． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理以及角平分线定义，外角的性质，熟练掌握三角形的内角和和外角的性质是解题的关键． 26. 观察以下等式： 第1个等式：， 第2－个等式： ， 第3个等式：， 第4个等式： ， …… 按照以上规律，解决下列问题： （1）写出第5个等式：__________________； （2）写出你猜想的第 个等式（用含 的等式表示），并证明． 【答案】（1） （2）， 证明：左边 右边 ∴左边 右边． 【解析】 【分析】（1）根据前4个等式得出第五个等式即可； （2）通过观察减号后面的数字规律，再结合每个式子找到规律，最后写出即可． 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 略 【点睛】本题主要考查数字类变化规律，仔细观察每个式子中对应位置的数字，并找到相关系数关系是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $