专题21.17 一元二次方程（中考真题11大考点分类专题）（考点梳理与题型分类讲解）-2024-2025学年九年级数学上册基础知识专项突破讲与练（人教版）

专题21.17 一元二次方程（中考真题11大考点分类专题）（考点梳理与题型分类讲解） 第一部分【考点目录】 中考真题有着很多其他复习资料不能比拟的特点,历年真题充分体现该题命题思路和意图,通过分析题目的关键要点,了解相关内容的意义,学会从命题者的角度分析问题,寻找切入点,培养题感。运用好真题可以获得事半功倍的效果,本专题汇集了近三年来本章节的考点，供大家参考使用. 一、选择题与填空题 【考点1】求代数式的值（3个题）...........................................1; 【考点2】配方法及其应用（3个题）.........................................2; 【考点3】因式分解法及其应用（4个题）.....................................2; 【考点4】直接开平方法及其应用（4个题）...................................3; 【考点5】根的判别式及应用（3个题）.......................................3; 【考点6】根与系数关系（3个题）...........................................4; 【考点7】一元二次方程的实际应用（4个题）.................................4; 2、 解答题 【考点8】解一元二次方程（4个题）.........................................5; 【考点9】利用根的判断式求值或证明（4个题）...............................5; 【考点10】根与系数关系与根的判别式综合（4个题）..........................5; 【考点11】一元二次方程的实际应用（4个题）................................6. 第二部分【考点展示与方法点拨】 一、选择题与填空题 【考点1】求代数式的值 【1-1】（2024·四川成都·中考真题）若，是一元二次方程的两个实数根，则的值为 ． 【1-2】（2023·山东枣庄·中考真题）若是关x的方程的解，则的值为 ． 【1-3】（2022·四川遂宁·中考真题）已知m为方程的根，那么的值为（    ） A． B．0 C．2022 D．4044 【考点2】配方法及其应用 【2-1】（2023·新疆·中考真题）用配方法解一元二次方程，配方后得到的方程是（    ） A． B． C． D． 【2-2】（2022·山东东营·中考真题）一元二次方程的解是（    ） A． B． C． D． 【2-3】（2022·山东德州·中考真题）已知 ，（a 为任意实数），则的值（      ） A．小于 0 B．等于 0 C．大于 0 D．无法确定 【考点3】因式分解法及其应用 【3-1】（2023·内蒙古赤峰·中考真题）方程的解为 ． 【3-2】（2024·四川南充·中考真题）当时，一次函数有最大值6，则实数m的值为（    ） A．或0 B．0或1 C．或 D．或1 【3-3】（2023·四川凉山·中考真题）分式的值为0，则的值是（    ） A．0 B． C．1 D．0或1 【3-4】（2023·江苏扬州·中考真题）如图，已知正方形的边长为1，点E、F分别在边上，将正方形沿着翻折，点B恰好落在边上的点处，如果四边形与四边形的面积比为3∶5，那么线段的长为 ．    【考点4】直接开平方法及其应用（4个题） 【4-1】（2024·吉林·中考真题）下列方程中，有两个相等实数根的是（    ） A． B． C． D． 【4-2】（2024·四川凉山·中考真题）若关于的一元二次方程的一个根是，则的值为（    ） A．2 B． C．2或 D． 【4-3】（2024·广东广州·中考真题）定义新运算：例如：，．若，则的值为 ． 【4-4】（2023·四川巴中·中考真题）我国南宋时期数学家杨辉于1261年写下的《详解九章算法》，书中记载的图表给出了展开式的系数规律． 1                        1   1                      1   2   1                    1   3   3   1                  当代数式的值为1时，则x的值为（    ） A．2 B． C．2或4 D．2或 【考点5】根的判别式 【5-1】（2024·山东泰安·中考真题）关于的一元二次方程有实数根，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【5-2】（2024·山东潍坊·中考真题）已知关于的一元二次方程，其中满足，关于该方程根的情况，下列判断正确的是（    ） A．无实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．无法确定 【5-3】（2024·江苏宿迁·中考真题）规定：对于任意实数a、b、c，有，其中等式右面是通常的乘法和加法运算，如．若关于x的方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围为（    ） A． B． C．且 D．且 【考点6】根与系数关系 【6-1】（2024·四川巴中·中考真题）已知方程的一个根为，则方程的另一个根为 ． 【6-2】（2023·湖北鄂州·中考真题）若实数、分别满足，，且，则 ． 【6-3】（2023·四川泸州·中考真题）若一个菱形的两条对角线长分别是关于的一元二次方程的两个实数根，且其面积为11，则该菱形的边长为（　　） A． B． C． D． 【考点7】一元二次方程的实际应用 【7-1】（2024·四川眉山·中考真题）眉山市东坡区永丰村是“天府粮仓”示范区，该村的“智慧春耕”让生产更高效，提升了水稻亩产量，水稻亩产量从2021年的670千克增长到了2023年的780千克，该村水稻亩产量年平均增长率为，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【7-2】（2024·四川内江·中考真题）某市2021年底森林覆盖率为，为贯彻落实“绿水青山就是金山银山”的发展理念，该市大力发展植树造林活动，2023年底森林覆盖率已达到．如果这两年森林覆盖率的年平均增长率为，则符合题意得方程是（    ） A． B． C． D． 【7-3】（2024·内蒙古·中考真题）我国南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除算法》中记录了这样一个问题：“直田积八百六十四步，只云阔与长共六十步，问阔及长各几步？”其大意是：矩形面积是864平步，其中宽与长的和为60步，问宽和长各几步？若设长为x步，则下列符合题意的方程是（    ） A． B． C． D． 【7-4】（2024·山东泰安·中考真题）如图所示，是用图形“○”和“●”按一定规律摆成的“小屋子”．按照此规律继续摆下去，第 个“小屋子”中图形“○”个数是图形“●”个数的3倍． 【考点8】解一元二次方程 【8-1】（2024·青海·中考真题）（1）解一元二次方程：； （2）若直角三角形的两边长分别是（1）中方程的根，求第三边的长． 【8-2】（2023·江苏无锡·中考真题）（1）解方程：       （2）解不等式组： 【8-3】（2022·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）解方程： 【考点9】利用根的判别式求值或证明 【9-1】（2023·湖北荆州·中考真题）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求的取值范围； (2)当时，用配方法解方程． 【9-2】（2023·四川遂宁·中考真题）我们规定：对于任意实数a、b、c、d有，其中等式右边是通常的乘法和减法运算，如：． (1)求的值； (2)已知关于x的方程有两个实数根，求m的取值范围． 【考点10】根与系数关系与根的判别式综合（4个题） 【10-1】（2023·湖北襄阳·中考真题）关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求的取值范围； (2)若方程的两个根为，，且，求的值． 【10-2】（2023·湖北黄石·中考真题）关于x的一元二次方程，当时，该方程的正根称为黄金分割数．宽与长的比是黄金分割数的矩形叫做黄金矩形，希腊的巴特农神庙采用的就是黄金矩形的设计；我国著名数学家华罗庚的优选法中也应用到了黄金分割数． (1)求黄金分割数； (2)已知实数a，b满足：，且，求ab的值； (3)已知两个不相等的实数p，q满足：，求的值． 【10-3】（2022·四川南充·中考真题）已知关于x的一元二次方程有实数根． (1)求实数k的取值范围． (2)设方程的两个实数根分别为，若，求k的值． 【考点11】一元二次方程的实际应用 【11-1】（2023·山东东营·中考真题）如图，老李想用长为的栅栏，再借助房屋的外墙（外墙足够长）围成一个矩形羊圈，并在边上留一个宽的门（建在处，另用其他材料）．    (1)当羊圈的长和宽分别为多少米时，能围成一个面积为640的羊圈？ (2)羊圈的面积能达到吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由． 【11-2】（2023·湖北宜昌·中考真题）为纪念爱国诗人屈原，人们有了端午节吃粽子的习俗．某顾客端午节前在超市购买豆沙粽10个，肉粽12个，共付款136元，已知肉粽单价是豆沙粽的2倍． (1)求豆沙粽和肉粽的单价； (2)超市为了促销，购买粽子达20个及以上时实行优惠，下表列出了小欢妈妈、小乐妈妈的购买数量（单位：个）和付款金额（单位：元）； 豆沙粽数量 肉粽数量 付款金额 小欢妈妈 20 30 270 小乐妈妈 30 20 230 ①根据上表，求豆沙粽和肉粽优惠后的单价； ②为进一步提升粽子的销量，超市将两种粽子打包成A，B两种包装销售，每包都是40个粽子（包装成本忽略不计），每包的销售价格按其中每个粽子优惠后的单价合计．A，B两种包装中分别有m个豆沙粽，m个肉粽，A包装中的豆沙粽数量不超过肉粽的一半．端午节当天统计发现，A，B两种包装的销量分别为包，包，A，B两种包装的销售总额为17280元．求m的值． 【11-3】（2023·湖南郴州·中考真题）随旅游旺季的到来，某景区游客人数逐月增加，2月份游客人数为1.6万人，4月份游客人数为2.5万人． (1)求这两个月中该景区游客人数的月平均增长率； (2)预计5月份该景区游客人数会继续增长，但增长率不会超过前两个月的月平均增长率．已知该景区5月1日至5月21日已接待游客2.125万人，则5月份后10天日均接待游客人数最多是多少万人？ 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题21.17 一元二次方程（中考真题11大考点分类专题）（考点梳理与题型分类讲解） 第一部分【考点目录】 中考真题有着很多其他复习资料不能比拟的特点,历年真题充分体现该题命题思路和意图,通过分析题目的关键要点,了解相关内容的意义,学会从命题者的角度分析问题,寻找切入点,培养题感。运用好真题可以获得事半功倍的效果,本专题汇集了近三年来本章节的考点，供大家参考使用. 一、选择题与填空题 【考点1】求代数式的值（3个题）...........................................1; 【考点2】配方法及其应用（3个题）.........................................3; 【考点3】因式分解法及其应用（4个题）.....................................4; 【考点4】直接开平方法及其应用（4个题）...................................7; 【考点5】根的判别式及应用（3个题）......................................10; 【考点6】根与系数关系（3个题）..........................................12; 【考点7】一元二次方程的实际应用（4个题）................................13; 2、 解答题 【考点8】解一元二次方程（4个题）........................................14; 【考点9】利用根的判断式求值或证明（4个题）..............................16; 【考点10】根与系数关系与根的判别式综合（4个题）.........................17; 【考点11】一元二次方程的实际应用（4个题）...............................20. 第二部分【考点展示与方法点拨】 一、选择题与填空题 【考点1】求代数式的值 【1-1】（2024·四川成都·中考真题）若，是一元二次方程的两个实数根，则的值为 ． 【答案】7 【分析】本题考查了根与系数的关系和完全平方公式和已知式子的值，求代数式的值．先利用已知条件求出，，从而得到，再将原式利用完全平方公式展开，利用替换项，整理后得到，再将代入即可． 解：∵，是一元二次方程的两个实数根， ∴，， 则 ∴ 故答案为：7 【1-2】（2023·山东枣庄·中考真题）若是关x的方程的解，则的值为 ． 【答案】2019 【分析】将代入方程，得到，利用整体思想代入求值即可． 解：∵是关x的方程的解， ∴，即：， ∴ ； 故答案为：2019． 【点拨】本题考查方程的解，代数式求值．熟练掌握方程的解是使等式成立的未知数的值，是解题的关键． 【1-3】（2022·四川遂宁·中考真题）已知m为方程的根，那么的值为（    ） A． B．0 C．2022 D．4044 【答案】B 【分析】根据题意有，即有，据此即可作答． 解：∵m为的根， ∴，且m≠0， ∴， 则有原式=， 故选：B． 【点拨】本题考查了利用未知数是一元二次方程的根求解代数式的值，由m为得到是解答本题的关键． 【考点2】配方法及其应用 【2-1】（2023·新疆·中考真题）用配方法解一元二次方程，配方后得到的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】方程两边同时加上一次项系数一半的平方即计算即可． 解：∵， ∴， ∴， ∴， 故选D． 【点拨】本题考查了配方法，熟练掌握配方法的基本步骤是解题的关键． 【2-2】（2022·山东东营·中考真题）一元二次方程的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用配方法解方程即可． 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得， 故选D． 【点拨】本题主要考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的方法是解题的关键． 【2-3】（2022·山东德州·中考真题）已知 ，（a 为任意实数），则的值（      ） A．小于 0 B．等于 0 C．大于 0 D．无法确定 【答案】C 【分析】本题主要考查了非负数的性质．熟练掌握整式的加减，完全平方式与配方法，非负数的性质，是解题的关键． 根据完全平方式利用配方法把的代数式变形，根据偶次方的非负性判断即可． 解： ， ∵， ∴， ∴大于0， 故选：C． 【考点3】因式分解法及其应用 【3-1】（2023·内蒙古赤峰·中考真题）方程的解为 ． 【答案】 【分析】依据题意将分式方程化为整式方程，再按照因式分解即可求出的值． 解：， 方程两边同时乘以得，， ， ， ， 或． 经检验时，，故舍去． 原方程的解为：． 故答案为：． 【点拨】本题考查的是解分式方程，解题的关键在于注意分式方程必须检验根的情况． 【3-2】（2024·四川南充·中考真题）当时，一次函数有最大值6，则实数m的值为（    ） A．或0 B．0或1 C．或 D．或1 【答案】A 【分析】本题主要考查了一次函数的性质，以及解一元二次方程，分两种情况，当时和当，根据一次函数性质列出关于m的一元二次方程，求解即可得出答案． 解：当即时，一次函数y随x的增大而增大， ∴当时，， 即， 整理得： 解得：或（舍去） 当即时，一次函数y随x的增大而减小， ∴当时，， 即， 整理得： 解得：或（舍去） 综上，或， 故选：A 【3-3】（2023·四川凉山·中考真题）分式的值为0，则的值是（    ） A．0 B． C．1 D．0或1 【答案】A 【分析】根据分式值为0的条件进行求解即可． 解：∵分式的值为0， ∴， 解得， 故选A． 【点拨】本题主要考查了分式值为0的条件，熟知分式值为0的条件是分子为0，分母不为0是解题的关键． 【3-4】（2023·江苏扬州·中考真题）如图，已知正方形的边长为1，点E、F分别在边上，将正方形沿着翻折，点B恰好落在边上的点处，如果四边形与四边形的面积比为3∶5，那么线段的长为 ．    【答案】 【分析】连接，过点作于点，设，则，则，根据已知条件，分别表示出，证明，得出，在中，，勾股定理建立方程，解方程即可求解． 解：如图所示，连接，过点作于点，        ∵正方形的边长为1，四边形与四边形的面积比为3∶5， ∴， 设，则，则 ∴ 即 ∴ ∴， ∴， ∵折叠， ∴， ∴， ∵， ∴， 又, ∴， ∴ 在中， 即 解得：， 故答案为：． 【点拨】本题考查了正方形的性质，折叠的性质，勾股定理，全等三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键． 【考点4】直接开平方法及其应用（4个题） 【4-1】（2024·吉林·中考真题）下列方程中，有两个相等实数根的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的根，解一元二次方程，熟练掌握开平方法解方程是解题的关键． 分别对每一个选项运用直接开平方法进行解方程即可判断． 解：A、，故该方程无实数解，故本选项不符合题意； B、，解得：，故本选项符合题意； C、，，解得，故本选项不符合题意； D、，，解得，故本选项不符合题意． 故选：B． 【4-2】（2024·四川凉山·中考真题）若关于的一元二次方程的一个根是，则的值为（    ） A．2 B． C．2或 D． 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程的定义和一元二次方程的解，二次项系数不为．由一元二次方程的定义，可知；一根是，代入可得，即可求答案． 解：是关于的一元二次方程， ，即 由一个根，代入， 可得，解之得； 由得； 故选A 【4-3】（2024·广东广州·中考真题）定义新运算：例如：，．若，则的值为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，一元一次方程的应用，解题的关键是明确新运算的定义．根据新定义运算法则列出方程求解即可． 解：∵， 而， ∴①当时，则有， 解得，； ②当时，， 解得， 综上所述，x的值是或， 故答案为：或． 【4-4】（2023·四川巴中·中考真题）我国南宋时期数学家杨辉于1261年写下的《详解九章算法》，书中记载的图表给出了展开式的系数规律． 1                        1   1                      1   2   1                    1   3   3   1                  当代数式的值为1时，则x的值为（    ） A．2 B． C．2或4 D．2或 【答案】C 【分析】由规律可得：，令，，可得，再解方程即可． 解：由规律可得：， 令，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴或， 故选：C． 【点拨】本题考查的是从题干信息中总结规律，一元二次方程的解法，灵活的应用规律解题是关键． 【考点5】根的判别式 【5-1】（2024·山东泰安·中考真题）关于的一元二次方程有实数根，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了判别式与一元二次方程根的情况，熟知一元二次方程有实数根的条件是解题的关键． 根据一元二次方程有实数根的条件是，据此列不等式求解即可． 解：∵关于的一元二次方程有实数根， ∴，解得． 故选B． 【5-2】（2024·山东潍坊·中考真题）已知关于的一元二次方程，其中满足，关于该方程根的情况，下列判断正确的是（    ） A．无实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．无法确定 【答案】C 【分析】本题本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根，据此先求出，再求出的符号即可得到结论． 解： ∵， ∴， ∴ ， ， ∴原方程有两个不相等的实数根， 故选：C． 【5-3】（2024·江苏宿迁·中考真题）规定：对于任意实数a、b、c，有，其中等式右面是通常的乘法和加法运算，如．若关于x的方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围为（    ） A． B． C．且 D．且 【答案】D 【分析】此题考查了一元二次方程的定义和根的判别式，根据题意得到，再由有两个不相等的实数根得到，且，即可得到答案. 解：∵， ∴，即， ∵关于x的方程有两个不相等的实数根， ∴，且， 解得且， 故选：D． 【考点6】根与系数关系 【6-1】（2024·四川巴中·中考真题）已知方程的一个根为，则方程的另一个根为 ． 【答案】4 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根与系数的关系．设方程的另一个根为m，根据两根之和等于，即可得出关于m的一元一次方程，解之即可得出结论． 解：设方程的另一个根为m， ∵方程有一个根为， ∴， 解得：． 故答案为：4． 【6-2】（2023·湖北鄂州·中考真题）若实数、分别满足，，且，则 ． 【答案】 【分析】先根据题意可以把，看作是一元二次方程的两个实数根，利用根与系数的关系得到，，再 根据进行求解即可． 解：设，依题，满足方程，是这个方程的两根， ∴，， ∵； 故答案为：． 【点拨】本题考查了一元二次方程根与系数的关系及分式的求值，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 【6-3】（2023·四川泸州·中考真题）若一个菱形的两条对角线长分别是关于的一元二次方程的两个实数根，且其面积为11，则该菱形的边长为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，得到，根据菱形的面积得到，利用勾股定理以及完全平方公式计算可得答案． 解：设方程的两根分别为a，b， ∴， ∵a，b分别是一个菱形的两条对角线长，已知菱形的面积为11， ∴，即， ∵菱形对角线垂直且互相平分， ∴该菱形的边长为 ，故C正确． 故选：C． 【点拨】本题考查了根与系数的关系以及菱形的性质，完全平方公式，利用根与系数的关系得出是解题的关键． 【考点7】一元二次方程的实际应用 【7-1】（2024·四川眉山·中考真题）眉山市东坡区永丰村是“天府粮仓”示范区，该村的“智慧春耕”让生产更高效，提升了水稻亩产量，水稻亩产量从2021年的670千克增长到了2023年的780千克，该村水稻亩产量年平均增长率为，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用，正确理解题意、列出方程是解题的关键． 设该村水稻亩产量年平均增长率为，根据题意列出方程即可． 解：根据题意得：． 故选：B． 【7-2】（2024·四川内江·中考真题）某市2021年底森林覆盖率为，为贯彻落实“绿水青山就是金山银山”的发展理念，该市大力发展植树造林活动，2023年底森林覆盖率已达到．如果这两年森林覆盖率的年平均增长率为，则符合题意得方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，关键是根据题意找到等式两边的平衡条件．设年平均增长率为x，根据2023年底森林覆盖率2021年底森林覆盖率，据此即可列方程求解． 解：根据题意，得 即， 故选：B． 【7-3】（2024·内蒙古·中考真题）我国南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除算法》中记录了这样一个问题：“直田积八百六十四步，只云阔与长共六十步，问阔及长各几步？”其大意是：矩形面积是864平步，其中宽与长的和为60步，问宽和长各几步？若设长为x步，则下列符合题意的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了列一元二次方程，找准等量关系是解题关键．先求出宽为步，再利用矩形的面积公式列出方程即可得． 解：由题意可知，宽为步， 则可列方程为， 故选：C． 【7-4】（2024·山东泰安·中考真题）如图所示，是用图形“○”和“●”按一定规律摆成的“小屋子”．按照此规律继续摆下去，第 个“小屋子”中图形“○”个数是图形“●”个数的3倍． 【答案】12 【分析】本题主要考查了图形变化的规律、一元二次方程的应用等知识点，能根据所给图形发现“〇”和“●”的个数变化规律是解题的关键． 根据所给图形，依次求出“〇”和“●”的个数，发现规律，再利用规律列出一元二次方程求解即可． 解：由所给图形可知， 第1个“小屋子”中图形“〇”的个数为：，“●”的个数为：； 第2个“小屋子”中图形“〇”的个数为：，“●”的个数为：； 第3个“小屋子”中图形“〇”的个数为：，“●”的个数为：； 第4个“小屋子”中图形“〇”的个数为：，“●”的个数为：； …， 所以第n个“小屋子”中图形“〇”的个数为：，“●”的个数为：； 由题知，解得， 又n为正整数，则，即第12个“小屋子”中图形“〇”个数是图形“●”个数的3倍． 故答案为：12． 【考点8】解一元二次方程 【8-1】（2024·青海·中考真题）（1）解一元二次方程：； （2）若直角三角形的两边长分别是（1）中方程的根，求第三边的长． 【答案】（1）或；（2）第三边的长是或 【分析】本题考查解一元二次方程，勾股定理． （1）用因式分解法解即可； （2）分情况讨论，一是两根都是直角边，二是两根一个是直角边，一个是斜边，再用勾股定理分别计算即可． 解：（1） 或； （2）当两条直角边分别为3和1时， 根据勾股定理得，第三边为； 当一条直角边为1，斜边为3时， 根据勾股定理得，第三边为． 答：第三边的长是或． 【8-2】（2023·江苏无锡·中考真题）（1）解方程：       （2）解不等式组： 【答案】（1），；（2） 【分析】（1）根据公式法解一元二次方程即可求解； （2）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集． 解：（1） 解：∵， ∴， ∴ 解得：，； （2） 解不等式①得： 解不等式②得： ∴不等式组的解集为： 【点拨】本题考查了解一元二次方程，求不等式组的解集，熟练掌握公式法解一元二次方程以及解一元一次不等式组是解题的关键． 【8-3】（2022·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）解方程： 【答案】， 【分析】直接开方可得或，然后计算求解即可． 解：∵ ∴或 解得，． 【考点9】利用根的判别式求值或证明 【9-1】（2023·湖北荆州·中考真题）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求的取值范围； (2)当时，用配方法解方程． 【答案】(1)且；(2)，. 【分析】（1）根据题意，可得，注意一元二次方程的系数问题，即可解答， （2）将代入，利用配方法解方程即可． 解：（1）解：依题意得：， 解得且； （2）解：当时，原方程变为：， 则有：， ， ， 方程的根为，． 【点拨】本题考查了根据根的情况判断参数，用配方法解一元二次方程，熟练利用配方法解一元二次方程是解题的关键． 【9-2】（2023·四川遂宁·中考真题）我们规定：对于任意实数a、b、c、d有，其中等式右边是通常的乘法和减法运算，如：． (1)求的值； (2)已知关于x的方程有两个实数根，求m的取值范围． 【答案】(1)10；(2)且． 【分析】（1）根据新定义计算即可求解； （2）根据新定义得到一元二次方程，利用根的判别式列式计算即可求解． 解：（1）∵， ∴； （2）解：∵， ∴， 整理得， ∵关于x的方程有两个实数根， ∴，且， 解得且． 【点拨】本题考查了新定义运算，根的判别式，牢记“当时，方程有两个实数根”是解题的关键． 【考点10】根与系数关系与根的判别式综合（4个题） 【10-1】（2023·湖北襄阳·中考真题）关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求的取值范围； (2)若方程的两个根为，，且，求的值． 【答案】(1); (2) 【分析】（1）根据一元二次方程有两个不相等的实数根，得出，把字母和数代入求出的取值范围； （2）根据两根之积为：，把字母和数代入求出的值． 解：（1）， ∵有两个不相等的实数， ∴， 解得：； （2）∵方程的两个根为，， ∴， ∴， 解得：，（舍去）． 即：． 【点拨】本题主要考查根与系数的关系、根的判别式，解题的关键是掌握，是方程的两根时，，． 【10-2】（2023·湖北黄石·中考真题）关于x的一元二次方程，当时，该方程的正根称为黄金分割数．宽与长的比是黄金分割数的矩形叫做黄金矩形，希腊的巴特农神庙采用的就是黄金矩形的设计；我国著名数学家华罗庚的优选法中也应用到了黄金分割数． (1)求黄金分割数； (2)已知实数a，b满足：，且，求ab的值； (3)已知两个不相等的实数p，q满足：，求的值． 【答案】(1); (2)2; (3)0 【分析】（1）依据题意，将代入然后解一元二次方程即可得解； （2）依据题意，将变形为，从而可以看作，是一元二次方程的两个根，进而可以得解； （3）依据题意，将已知两式相加减后得到，两个关系式，从而求得，进而可以得解． 解：（1）依据题意， 将代入得， 解得， ∵黄金分割数大于0， ∴黄金分割数为． （2）∵， ∴， 则． 又∵， ∴，是一元二次方程的两个根， 则， ∴． （3）∵，； ∴； 即； ∴． 又∵； ∴； 即． ∵，为两个不相等的实数， ∴， 则， ∴． 又∵， ∴， 即． 【点拨】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是掌握根与系数的关系，灵活运用所学知识解决问题． 【10-3】（2022·四川南充·中考真题）已知关于x的一元二次方程有实数根． (1)求实数k的取值范围． (2)设方程的两个实数根分别为，若，求k的值． 【答案】(1)k；(2)k=3 . 【分析】根据一元二次方程有实数根得到32-4（k-2）0，解不等式即可； （2）根据根与系数的关系得到，将等式左侧展开代入计算即可得到k值． 解：（1）∵一元二次方程有实数根． ∴∆0，即32-4（k-2）0， 解得k （2）∵方程的两个实数根分别为， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得k=3． 【点拨】此题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数的关系式，熟练掌握一元二次方程有关知识是解题的关键． 【考点11】一元二次方程的实际应用 【11-1】（2023·山东东营·中考真题）如图，老李想用长为的栅栏，再借助房屋的外墙（外墙足够长）围成一个矩形羊圈，并在边上留一个宽的门（建在处，另用其他材料）．    (1)当羊圈的长和宽分别为多少米时，能围成一个面积为640的羊圈？ (2)羊圈的面积能达到吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由． 【答案】(1)当羊圈的长为，宽为或长为，宽为时，能围成一个面积为的羊圈； (2)不能，理由见解析． 【分析】（1）设矩形的边，则边，根据题意列出一元二次方程，解方程即可求解； （2）同（1）的方法建立方程，根据方程无实根即可求解． 解：（1）设矩形的边，则边． 根据题意，得． 化简，得． 解得，． 当时，； 当时，． 答：当羊圈的长为，宽为或长为，宽为时，能围成一个面积为的羊圈． （2）不能，理由如下： 由题意，得． 化简，得． ∵， ∴一元二次方程没有实数根． ∴羊圈的面积不能达到． 【点拨】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出一元二次方程，解一元二次方程是解题的关键． 【11-2】（2023·湖北宜昌·中考真题）为纪念爱国诗人屈原，人们有了端午节吃粽子的习俗．某顾客端午节前在超市购买豆沙粽10个，肉粽12个，共付款136元，已知肉粽单价是豆沙粽的2倍． (1)求豆沙粽和肉粽的单价； (2)超市为了促销，购买粽子达20个及以上时实行优惠，下表列出了小欢妈妈、小乐妈妈的购买数量（单位：个）和付款金额（单位：元）； 豆沙粽数量 肉粽数量 付款金额 小欢妈妈 20 30 270 小乐妈妈 30 20 230 ①根据上表，求豆沙粽和肉粽优惠后的单价； ②为进一步提升粽子的销量，超市将两种粽子打包成A，B两种包装销售，每包都是40个粽子（包装成本忽略不计），每包的销售价格按其中每个粽子优惠后的单价合计．A，B两种包装中分别有m个豆沙粽，m个肉粽，A包装中的豆沙粽数量不超过肉粽的一半．端午节当天统计发现，A，B两种包装的销量分别为包，包，A，B两种包装的销售总额为17280元．求m的值． 【答案】(1)豆沙粽的单价为4元，肉粽的单价为8元; (2)①豆沙粽优惠后的单价为3元，肉粽优惠后的单价为7元；②. 【分析】（1）设豆沙粽的单价为x元，则肉粽的单价为元，依题意列一元一次方程即可求解； （2）①设豆沙粽优惠后的单价为a元，则肉粽优惠后的单价为b元，依题意列二元一次方程组即可求解； ②根据销售额=销售单价销售量，列一元二次方程，解之即可得出m的值． 解：（1）设豆沙粽的单价为x元，则肉粽的单价为元， 依题意得， 解得； 则； 所以豆沙粽的单价为4元，肉粽的单价为8元； （2）①设豆沙粽优惠后的单价为a元，则肉粽优惠后的单价为b元， 依题意得，解得， 所以豆沙粽优惠后的单价为3元，肉粽优惠后的单价为7元； ②依题意得， 解得或， ， ∴， ． 【点拨】本题考查了一元二次方程的应用、二元一次方程组的应用和一元一次方程的应用，根据题意找到题中的等量关系列出方程或方程组是解题的关键． 【11-3】（2023·湖南郴州·中考真题）随旅游旺季的到来，某景区游客人数逐月增加，2月份游客人数为1.6万人，4月份游客人数为2.5万人． (1)求这两个月中该景区游客人数的月平均增长率； (2)预计5月份该景区游客人数会继续增长，但增长率不会超过前两个月的月平均增长率．已知该景区5月1日至5月21日已接待游客2.125万人，则5月份后10天日均接待游客人数最多是多少万人？ 【答案】(1)这两个月中该景区游客人数的月平均增长率为; (2)5月份后10天日均接待游客人数最多是0.1万人. 【分析】（1）设这两个月中该景区游客人数的月平均增长率为，根据题意，列出一元二次方程，进行求解即可； （2）设5月份后10天日均接待游客人数是y万人，根据题意，列出不等式进行计算即可． 解：（1）设这两个月中该景区游客人数的月平均增长率为，由题意，得： ， 解得：（负值已舍掉）； 答：这两个月中该景区游客人数的月平均增长率为； （2）设5月份后10天日均接待游客人数是y万人，由题意，得： ， 解得：； ∴5月份后10天日均接待游客人数最多是0.1万人． 【点拨】本题考查一元二次方程和一元一次不等式的实际应用，找准等量关系，正确的列出方程和不等式，是解题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$