精品解析：福建省莆田市城厢区砺成中学2024-2025学年九年级上学期开学考数学试题

2024-2025年上学期九年级返校考数学试卷 完成时间：120分 一、填空题（10小题，40分） 1. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 2. 一元二次方程的根的情况为（ ） A. 无实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 有两个相等的实数根 D. 不能判定 3. 已知关于x的一元二次方程的两个实数根分别为，，则的值为（ ） A. B. C. D. 4. 若二次函数的图象经过，则该图象必经过点（ ） A. B. C. D. 5. 已知二次函数，当时，y随着x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小，当时，y的值为( ) A. B. C. D. 0 6. 是下列哪个一元二次方程的根（ ） A. B. C. D. 7. 与抛物线关于y轴成轴对称关系的抛物线是（　　） A. B. C. D. 8 输入一组数据，按下列程序进行计算，输出结果如下表： 输出 分析表格中的数据，估计方程的一个正数解的大致范围是（ ） A. B. C. D. 9. 有一座抛物线形拱桥，正常水位桥下面宽度为20米，拱顶距离水平面4米，如图建立直角坐标系，若正常水位时，桥下水深6米，为保证过往船只顺利航行，桥下水面宽度不得小于18米，则当水深超过多少米时，就会影响过往船只的顺利航行（ ） A. 米 B. 米 C. 7米 D. 米 10. 函数与的图象如图所示，有以下结论：①；②；③；④当时，，其中正确的个数是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（6小题，24分） 11. 方程的解为_____． 12. 已知一元二次方程有两个实数根，，则二次函数对称轴是直线______． 13. 某种型号的芯片每片的出厂价为400元，经科研攻关实现国产化后，成本下降，进行两次降价，若每次降价的百分率都为，降价后的出厂价为144元、依题意可列方程为：___________． 14. 二次函数中，当时，的最小值是_________． 15. 在二次函数中，与的部分对应值如表：则，的大小关系为_______．（填“”“”或“”） … 0 2 3 … … 0 2 0 … 16. 已知的图像上有且只有三个点到x轴的距离等于3，则m的值为_______． 三、简答题 17 解方程： 18. 关于的一元二次方程． （1）求证：方程总有两个实数根； （2）若方程有一个根小于1，求的取值范围． 19. 如图，已知抛物线经过点． （1）求出此抛物线的解析式； （2）当时，直接写出的取值范围． 20. 已知二次函数（常数）． （1）求证：不论为何值，该函数图象与轴没有公共点； （2）把该函数的图象沿轴向下平移多少个单位长度后，顶点在轴上？ 21. 已知：的两边，的长是关于x的方程的两个实数根． （1）当m为何值时，四边形是菱形？求出这时菱形的边长； （2）若的长为2，那么的周长是多少？ 22. 如果关于的一元二次方程有两个实数根，，且，那么称这样的方程为“邻近根方程”，例如，一元二次方程的两个根是，，，则方程是“邻近根方程”． （1）判断方程是否是“邻近根方程”； （2）若关于的方程，是常数）是“邻近根方程”，求的最大值． 23. 月日习近平总书记在广东考察时强调：推进中国式现代化，必须全面推进乡村振兴，解决好城乡区域发展不平衡问题，产业振兴是乡村报兴的重中之重，要落实产业帮扶致策，做好“土特产”文章，网络直播带货助力乡村振兴，它作为一种新颖的销售“土特产”的方式，受到社会各界的追捧，某直播间销售某种“土特产”，每袋获利元，每天可卖出袋，通过市场调查发现：每袋“土特产”的售价每降低元，每天的销售量就增加袋． （1）若每袋“土特产”的售价降低元，求每天的销售量． （2）为尽快减少库存，商家决定降价销售，若要使得每天获利元，则每袋“土特产”的售价降低了多少元？ 24. 【综合与实践】 矩形种植园最大面积探究 情境 劳动实践基地有一长为12米的墙，研究小组想利用墙和长为40米的篱笆，在前面的空地围出一个面积最大的矩形种植园．假设矩形一边，矩形种植园的面积为S． 分析 要探究面积S的最大值，首先应将另一边用含x的代数式表示，从而得到S关于x的函数表达式，同时求出自变量的取值范围，再结合函数性质求出最值． 探究 方案一：将墙的一部分用来替代篱笆 按图1的方案围成矩形种植园（边为墙的一部分）． 方案二：将墙的全部用来替代篱笆 按图2的方案围成矩形种植园（墙为边的一部分）． 【解决问题】 根据分析，分别求出两种方案中S的最大值；比较并判断矩形种植园的面积最大值为多少？ 25. 如图 1，在平面直角坐标系中，抛物线的对称轴是直线，与x轴相交于A，B两点，与y轴交于点C． （1）求抛物线的解析式以及直线的解析式； （2）在抛物线上找一点P，使得x轴平分，求点P的坐标； （3）E，F分别是直线和抛物线上的动点，当以C，O，E，F为顶点，为边的四边形是平行四边形时，请求出点E的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025年上学期九年级返校考数学试卷 完成时间：120分 一、填空题（10小题，40分） 1. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次函数的顶点式可得顶点坐标为即可得到结果． 【详解】∵二次函数解析式为 ， ∴顶点坐标为； 故选：B． 【点睛】本题主要考查了二次函数顶点式的顶点坐标的求解，准确理解是解题的关键． 2. 一元二次方程的根的情况为（ ） A. 无实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 有两个相等的实数根 D. 不能判定 【答案】B 【解析】 【分析】利用判别式，判断其结果的符号即可得出结论． 【详解】解：， 有两个不相等的实数根， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，掌握一元二次方程根的判别式时，方程有两个不相等的实数根是解题的关键． 3. 已知关于x的一元二次方程的两个实数根分别为，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，若，为方程的两个根，则，与系数的关系式：，．据此即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故选A． 4. 若二次函数的图象经过，则该图象必经过点（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象与性质，主要利用了二次函数图象的对称性，确定出函数图象的对称轴为轴是解题的关键．先确定出二次函数图象的对称轴为轴，再根据二次函数的对称性解答． 【详解】解：二次函数的对称轴为轴，且图象经过， 该图象必经过点， 故选：A． 5. 已知二次函数，当时，y随着x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小，当时，y的值为( ) A. B. C. D. 0 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象及性质，根据题意得二次函数的对称轴为：，进而可得，进而可得，当时，代入二次函数即可求解，熟练掌握二次函数的图象及性质是解题的关键． 【详解】解：依题意得：二次函数的对称轴为：， ， ， 当时，， 故选A． 6. 是下列哪个一元二次方程的根（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了用公式法解一元二次方程，将求根公式一一代入方程验证即可得出答案． 【详解】解：A．中，，不合题意； B．中，，不合题意； C．，，不合题意； D．3x2+5x﹣1＝0中，，符合题意； 故选：D． 7. 与抛物线关于y轴成轴对称关系的抛物线是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象与几何变换，解题关键是利用顶点坐标的变化确定抛物线的变换．根据关于y轴对称的点的横坐标互为相反数、纵坐标相同，求出对称后的抛物线的顶点坐标，然后利用顶点式解析式写出即可． 【详解】解：抛物线的顶点坐标为， 关于y轴对称的抛物线的顶点坐标为， 与抛物线关于y轴成轴对称关系的抛物线是． 故选：C． 8. 输入一组数据，按下列程序进行计算，输出结果如下表： 输出 分析表格中的数据，估计方程的一个正数解的大致范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了估算一元二次方程的近似解，根据表格得，当时，，即，从而可以判断时的大致范围，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】根据表格得，当时，， 即， ∴方程的正数解的大致范围为， 故选：． 9. 有一座抛物线形拱桥，正常水位桥下面宽度为20米，拱顶距离水平面4米，如图建立直角坐标系，若正常水位时，桥下水深6米，为保证过往船只顺利航行，桥下水面宽度不得小于18米，则当水深超过多少米时，就会影响过往船只的顺利航行（ ） A. 米 B. 米 C. 7米 D. 米 【答案】B 【解析】 【分析】先用待定系数法求解求出该抛物线的表达式，再求出保证过往船只顺利航行时二次函数的函数值，即可解答． 【详解】解：根据题意可得： 该抛物线经过， 设抛物线解析式为， 把代入得：， 解得：， ∴该抛物线解析式为， 把代入得：， ∴此时水深为：（米）， 故选：B． 10. 函数与的图象如图所示，有以下结论：①；②；③；④当时，，其中正确的个数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用判别式的意义对①进行判断；利用，可对②进行判断；利用，对③进行判断；根据时，可对④进行判断． 本题考查了二次函数与不等式，二次函数图象与系数的关系，利用两个函数图象在直角坐标系中的上下位置关系求自变量的取值范围，可作图利用交点直观求解，也可把两个函数解析式列成不等式求解． 【详解】解：抛物线与轴没有公共点， ，故①不符合题意； ，， ， 即，故②不符合题意； ，， ， ，故③不符合题意； 时，， 的解集为，故④不符合题意； 故选：． 二、填空题（6小题，24分） 11. 方程的解为_____． 【答案】 【解析】 【分析】先移项，然后利用因式分解法解方程即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴或， ∴． 故答案为． 【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的方法是解题的关键． 12. 已知一元二次方程有两个实数根，，则二次函数的对称轴是直线______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程的关系，对于二次函数，当时求得的自变量的值，也就是二次函数图象与轴的交点横坐标，就是对应的一元二次方程的解，据此即可求解． 【详解】解：由题意得：二次函数与轴的交点分别为：，, ∴二次函数的对称轴是直线， 故答案为：． 13. 某种型号芯片每片的出厂价为400元，经科研攻关实现国产化后，成本下降，进行两次降价，若每次降价的百分率都为，降价后的出厂价为144元、依题意可列方程为：___________． 【答案】 【解析】 【分析】平均每次降价的百分率为，则第一次降价后的价格元，第二次降价后的价格为元．根据降价后的出厂价为144元，列出方程即可． 【详解】解：根据题意，列方程为． 故答案：． 【点睛】本题主要考查由实际问题抽象出一元二次方程，根据所设未知数，表示出第二次降价后价格是解决本题的关键． 14. 二次函数中，当时，的最小值是_________． 【答案】1 【解析】 【分析】此题考查了二次函数的图象和性质，根据二次函数的顶点式得到当时，y随着x的增大而增大，即可得到当时，当时取最小值，代入求解即可． 【详解】解：∵ ∴抛物线的对称轴为直线，开口向上， ∴当时，y随着x的增大而增大， ∴当时，当时取最小值，最小值为， 故答案为：1 15. 在二次函数中，与的部分对应值如表：则，的大小关系为_______．（填“”“”或“”） … 0 2 3 … … 0 2 0 … 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图像和性质，求二次函数解析式，先根据表格中的数据列出方程组，求出，得出二次函数的解析式，求出二次函数的对称轴，再根据二次函数的性质进行判断即可． 【详解】解：根据表格可知，当时，时，时， ∴， 解得：， ∴二次函数解析式为：， ∴二次函数对称轴为直线， ∵， ∴在对称轴的右侧，y随x的增大而减小， ∵， ∴点，都在对称轴的右侧， ∴． 故答案为：． 16. 已知的图像上有且只有三个点到x轴的距离等于3，则m的值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质，根据点到x轴的距离为纵坐标的绝对值结合二次函数的对称性可知抛物线的顶点到x轴的距离为3，再把解析式化为顶点式求出顶点坐标，进而建立方程求解即可． 【详解】解：∵的图像上有且只有三个点到x轴的距离等于3， ∴抛物线的顶点到x轴的距离为3， ∵抛物线解析式为， ∴抛物线顶点坐标为， ∵抛物线开口向上， ∴顶点一定在x轴下方， ∴， ∴， 故答案为：． 三、简答题 17. 解方程： 【答案】或x=1 【解析】 【分析】利用十字相乘法将左边因式分解，化为两个一元一次方程求解可得． 【详解】：∵（3x+1）（x-1）=0， ∴3x+1=0或x-1=0， 解得：或x=1． 【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法，结合方程的特点选择合适的方法是解题的关键． 18. 关于的一元二次方程． （1）求证：方程总有两个实数根； （2）若方程有一个根小于1，求的取值范围． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）计算一元二次方程根的判别式，根据根的判别式进行判断即可得证； （2）根据公式法求得方程的解，得出，，根据题意列出不等式，解不等式即可求解． 【小问1详解】 证明：关于x的一元二次方程， ∵ ∴此方程总有两个实数根； 【小问2详解】 ∵ 解得， ∵方程有一个根小于1 ∴， 解得． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程根的情况与判别式的关系是解题的关键． 19. 如图，已知抛物线经过点． （1）求出此抛物线的解析式； （2）当时，直接写出的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的图象和性质： （1）抛物线经过点，可得，求解即可得到答案； （2）抛物线的对称轴：，开口向下，可知当时，随的增大而减小，据此即可求得答案． 【小问1详解】 解：抛物线经过点，可得 ． 解得：． 所以，抛物线的解析式为． 【小问2详解】 抛物线的对称轴：，开口向下，可知 当时，随的增大而减小． 当时，． 当时，． 所以，当时， 的取值范围为． 20. 已知二次函数（是常数）． （1）求证：不论为何值，该函数的图象与轴没有公共点； （2）把该函数的图象沿轴向下平移多少个单位长度后，顶点在轴上？ 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）求出根的判别式，根据判别式判断一元二次方程根的情况，即可得出答案； （2）先化成顶点式，根据顶点坐标和二次函数图象的平移即可得出答案． 【小问1详解】 证明：， 一元二次方程没有实数解， 即：不论为何值，该函数的图象与轴没有公共点； 【小问2详解】 解：将二次函数化成顶点式，得： ， 把二次函数的图象沿轴向下平移个单位长度后，得到二次函数的图象，它的顶点坐标是， 二次函数的图象的顶点在轴上， 把二次函数的图象沿轴向下平移个单位长度后，顶点在轴上， 答：把该函数图象沿轴向下平移个单位长度后，顶点在轴上． 【点睛】本题主要考查了二次函数和轴的交点问题，根据判别式判断一元二次方程根的情况，把二次函数化成顶点式，二次函数的图象与性质，二次函数图象的平移等知识点，熟练掌握根的判别式及二次函数图象的平移是解题的关键． 21. 已知：的两边，的长是关于x的方程的两个实数根． （1）当m为何值时，四边形是菱形？求出这时菱形的边长； （2）若的长为2，那么的周长是多少？ 【答案】（1）当时，四边形是菱形，菱形的边长是 （2）5 【解析】 【分析】此题考查了平行四边形的性质“平行四边形对边相等”，菱形的判定“有一组邻边相等的平行四边形是菱形”，一元二次方程根的判别式以及根与系数的关系，掌握当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根，以及一元二次方程根与系数关系：，是解题的关键． （1）根据菱形的判定定理“有一组邻边相等的平行四边形是菱形”，得出，则方程有两个相等的实数根，根据判别式求解即可； （2）把代入原方程得，求出m的值，再根据一元二次方程根于系数的关系，得出，则，即可求出周长． 【小问1详解】 解：四边形是菱形， ， ∵，的长是关于x的方程的两个实数根， ∴方程有两个相等的实数根， ，即． 整理得：， 解得． 当时，原方程为， 解得：． 故当时，四边形是菱形，菱形的边长是； 【小问2详解】 解：∵， ∴方程的一个根为2， 把代入原方程得， 解得：． 把代入原方程得， ∴，则， ． 22. 如果关于的一元二次方程有两个实数根，，且，那么称这样的方程为“邻近根方程”，例如，一元二次方程的两个根是，，，则方程是“邻近根方程”． （1）判断方程是否是“邻近根方程”； （2）若关于的方程，是常数）是“邻近根方程”，求的最大值． 【答案】（1）是“邻近根方程” （2）当时，有最大值，最大值为48． 【解析】 【分析】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，．也考查了配方法的应用． （1）先利用求根公式得到，，再计算出，从而可判断方程是“邻近根方程”； （2）设一元二次方程两个实数根，，则利用根与系数的关系得，，再利用得到，所以，从而得到，所以，然后根据配方法结合二次函数的性质解决问题即可． 【小问1详解】 ， ， ，， ， 方程是“邻近根方程”； 【小问2详解】 设一元二次方程两个实数根，， 根据根与系数的关系得，， ， ， ， 即， ， ， 当时，有最大值，最大值为48． 23. 月日习近平总书记在广东考察时强调：推进中国式现代化，必须全面推进乡村振兴，解决好城乡区域发展不平衡问题，产业振兴是乡村报兴的重中之重，要落实产业帮扶致策，做好“土特产”文章，网络直播带货助力乡村振兴，它作为一种新颖的销售“土特产”的方式，受到社会各界的追捧，某直播间销售某种“土特产”，每袋获利元，每天可卖出袋，通过市场调查发现：每袋“土特产”的售价每降低元，每天的销售量就增加袋． （1）若每袋“土特产”的售价降低元，求每天的销售量． （2）为尽快减少库存，商家决定降价销售，若要使得每天获利元，则每袋“土特产”的售价降低了多少元？ 【答案】（1）每天的销售为袋； （2）每袋“土特产”的售价降低了元． 【解析】 【分析】（）利用每天的销售量每袋“土特产”的售价降低的钱数，即可求出结论； （）设每袋“土特产”的售价降低了元，则每袋“土特产”的销售利润为元，每天可售出袋，根据题意列出方程，解出方程，然后再结合要尽快减少库存，即可得出结论； 本题主要考查了一元二次方程的应用，读懂题意，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 【小问1详解】 答：每天的销售为袋； 【小问2详解】 设每袋“土特产”的售价降低了元，则每袋“土特产”的销售利润为元，每天可售出袋， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，， 又∵要尽快减少库存， ∴ 答：每袋“土特产”的售价降低了元． 24. 【综合与实践】 矩形种植园最大面积探究 情境 劳动实践基地有一长为12米的墙，研究小组想利用墙和长为40米的篱笆，在前面的空地围出一个面积最大的矩形种植园．假设矩形一边，矩形种植园的面积为S． 分析 要探究面积S的最大值，首先应将另一边用含x的代数式表示，从而得到S关于x的函数表达式，同时求出自变量的取值范围，再结合函数性质求出最值． 探究 方案一：将墙的一部分用来替代篱笆 按图1的方案围成矩形种植园（边为墙的一部分）． 方案二：将墙的全部用来替代篱笆 按图2的方案围成矩形种植园（墙为边的一部分）． 【解决问题】 根据分析，分别求出两种方案中S的最大值；比较并判断矩形种植园的面积最大值为多少？ 【答案】方案1，；方案2，；矩形种植园面积最大为 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数应用，解题的关键是理解题意，求出二次函数解析式． （1）设，则，根据矩形面积公式得出，根据，求出最大值即可； （2）设，得出，根据矩形面积公式得出，根据，求出结果即可． 【详解】解：方案1：∵，则， ∴， ∵， ∴当时，． 方案2：设， 则， ∴． ∵，当时，． ∵， ∴矩形种植园面积最大为． 25. 如图 1，在平面直角坐标系中，抛物线的对称轴是直线，与x轴相交于A，B两点，与y轴交于点C． （1）求抛物线的解析式以及直线的解析式； （2）在抛物线上找一点P，使得x轴平分，求点P的坐标； （3）E，F分别是直线和抛物线上的动点，当以C，O，E，F为顶点，为边的四边形是平行四边形时，请求出点E的坐标． 【答案】（1）； （2） （3）或或 【解析】 【分析】（1）首先根据抛物线对称轴求出，得到，然后利用待定系数法求解一次函数解析式即可； （2）设交y轴于点Q，首先证明出，得到，然后求出直线表达式为，然后根据抛物线联立求解即可； （3）根据题意得到，，设，则，表示出，然后解方程求解即可． 【小问1详解】 ∵抛物线的对称轴是直线， ∴，解得， ∴抛物线的解析式为， 令，即，解得，， ∴，， 令，则， ∴，设直线的解析式为， 将，代入， 得 ， 解得， ∴直线的解析式为； 【小问2详解】 设交y轴于点Q， ∵x轴平分， ∴， ∵， 又∵， ∴， ∴， ∴， 设直线表达式为， ∴将，代入得， 解得 ∴直线表达式为， 联立抛物线与直线，得， 解得， ∴； 【小问3详解】 以C，O，E，F为顶点的四边形是平行四边形，且为边， ∴， ∵E，F分别是直线和抛物线上的动点， ∴设，则 ∴ 解得，，， 将，，代入 得，，， ∴E点的坐标为或或． 【点睛】本题考查了待定系数求二次函数和一次函数解析式，平行四边形的性质，全等三角形的性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，利用平行四边形的性质解决问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$