精品解析：山东省乐陵市化楼镇中学2024-2025学年九年级上学期九月月考数学试题

2024-2025学年度第一学期9年级九月份阶段质量检测数学试题 一、选择题（每题4分，共48分） 1. 商场在促销活动中，将标价为200元的商品，在打a折的基础上再打a折销售，现该商品的售价为128元，则a的值是（ ） A. 0.64 B. 0.8 C. 8 D. 6.4 2. 已知一元二次方程的一个根为，则另一根为（　　） A 1 B. 3.5 C. 2 D. 3. 元旦节时，九年级一班有若干同学聚会共庆新年的来临，他们每两人均互送贺卡一张，已知他们共送出贺卡90张，则参加此次同学聚会的人数是　　 A. 9 B. 10 C. 12 D. 18 4. 设，，是抛物线上的三点，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 5. 若则等于（　　） A. B. 或 C. D. 以上都不对 6. 是关于x的一元二次方程的解，则（ ） A. B. C. D. 7. 配方法解方程，变形正确的是（　　） A. B. C. D. 8. 设m、n是一元二次方程x2+3x﹣7＝0的两个根，则m2+4m+n＝（　　） A. ﹣3 B. 4 C. ﹣4 D. 5 9. 在某篮球邀请赛中，参赛的每两个队之间都要比赛一场，共比赛36场，设有x个队参赛，根据题意，可列方程为（） A. B. C. D. 10. 如图，某小区计划在一块长为32m，宽为20m的矩形空地上修建三条同样宽的道路，剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为570m2．若设道路的宽为xm，则下面所列方程正确的是（　　）. A. （32﹣2x）（20﹣x）=570 B. 32x+2×20x=32×20﹣570 C. （32﹣x）（20﹣x）=32×20﹣570 D. 32x+2×20x﹣2x2=570 11. 一个平面封闭图形内（含边界）任意两点距离的最大值称为该图形的“直径”，封闭图形的周长与直径之比称为图形的“周率”，下面四个平面图形（依次为正三角形、正方形、正六边形、圆）的周率从左到右依次记为，，，，则下列关系中正确的是（　　） A. a4＞a2＞a1 B. a4＞a3＞a2 C. a1＞a2＞a3 D. a2＞a3＞a4 12. 如图，正方形边长为4，E、F、G、H分别是上的点，且．设A、E两点间的距离为x，四边形的面积为y，则y与x的函数图象可能是（　　） A. B. C. D. 二、填空题（每题4分，共24分） 13. 将一元二次方程化成的形式则____________． 14. 已知x=2是关于x的一元二次方程kx2+（k2﹣2）x+2k+4=0的一个根，则k的值为_____． 15. 在某次乒乓球比赛中，参赛的每两个队之间都要一场比赛，共比赛36场，设有x个队参赛，根据题意，可列方程为___________． 16. 如图，⊙O的半径为5cm，弦AB为8cm，P为弦AB上的一动点，若OP的长度为整数，则满足条件的点P有____个． 17. 如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为⊙O的直径，点C为弧BD的中点，若∠DAB=40°，则∠ABC=______． 18. 如图，正方形ABCD的边长为3，且∠EDF=45°，将△DAE绕点D逆时针旋转90°，得到△DCM．若AE=1，则FM的长为________． 三、解答题（共78分） 19 解方程： （1） （2） 20. 已知关于x的方程． （1）求证：方程总有两个不相等的实数根； （2）如果方程一个根为，求k的值及方程的另一个根． 21. 如图，已知△ABC中，∠C=90°，AC=BC=，将△ABC绕点A顺时针方向旋转60°到△AB′C′的位置，连接C′B，求C′B的长度. 22. 如图，以△AOB 的顶点 O 为圆心，OB 为半径作⊙O，交 OA 于点 E，交 AB 于点 D，连接 DE，DE∥OB，延长 AO 交⊙O 于点 C，连接 CB． (1)求证：； (2)若 AD＝4，AE＝CE，求 OC 长． 23. 河上有一座桥孔为抛物线形的拱桥，水面宽为6米时，水面离桥孔顶部3米．把桥孔看成一个二次函数的图象，以桥孔的最高点为原点，过原点的水平线为横轴，过原点的铅垂线为纵轴，建立如图所示的平面直角坐标系． （1）请求出这个二次函数表达式； （2）因降暴雨水位上升1米，此时水面宽为多少？ 24. 某商场将每件进价为80元的某种商品原来按每件100元出售，一天可售出100件. 后来经过市场调查，发现这种商品单价每降低1元，其销量可增加10件. （1）求商场经营该商品原来一天可获利润多少元? （2）若商场经营该商品一天要获利润2160元，并让顾客得到实惠，则每件商品应降价多少元? 25. 如图，抛物线 y=ax2+bx+3经过A（1，0）、B（4，0）两点． （1）求抛物线的解析式； （2）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使得四边形PAOC的周长最小？若存在，求出四边形PAOC周长的最小值；若不存在，请说明理由． （3）若点Q是直线x=2上的一个动点，是否存在点Q，使△ACQ为等腰三角形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年度第一学期9年级九月份阶段质量检测数学试题 一、选择题（每题4分，共48分） 1. 商场在促销活动中，将标价为200元的商品，在打a折的基础上再打a折销售，现该商品的售价为128元，则a的值是（ ） A. 0.64 B. 0.8 C. 8 D. 6.4 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 根据已知中连续的打折问题，注意在打a折的基础上再打a折销售，可以得出等式方程，进而求出a的值． 【详解】解：根据题意得： ， 即， 解得：． 故选C． 2. 已知一元二次方程一个根为，则另一根为（　　） A. 1 B. 3.5 C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】设方程的另一个根为t，根据两根之积得到然后解一次方程即可． 本题考查了一元二次方程的解及根与系数的关系：若是一元二次方程的两根时， ． 【详解】解：设方程的另一个根为t， 根据题意得，解得， 故选：B． 3. 元旦节时，九年级一班有若干同学聚会共庆新年的来临，他们每两人均互送贺卡一张，已知他们共送出贺卡90张，则参加此次同学聚会的人数是　　 A. 9 B. 10 C. 12 D. 18 【答案】B 【解析】 【分析】每个人都要送给他自己以外的其余人，等量关系为：人数×（人数-1）=90，把相关数值代入计算即可． 【详解】解：设参加此次同学聚会的人数有x人， 由题意得：x（x-1）=90， 解得：x1=10，x2=-9（不合题意，舍去）． 即参加此次同学聚会的人数是10人． 故选B． 【点睛】本题考查一元二次方程的应用，得到互送贺卡总张数的等量关系是解决本题的关键． 4. 设，，是抛物线上的三点，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由二次函数解析式可得抛物线开口方向及对称轴，根据各点到对称轴的距离的大小关系求解． 【详解】解：∵， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线， ∵， ∴． 故选：A． 【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．也考查了二次函数的性质． 5. 若则等于（　　） A. B. 或 C. D. 以上都不对 【答案】A 【解析】 【分析】采用换元法另，然后根据直接开平方法求解即可，注意非负数的性质舍去不合题意的答案． 【详解】解：另，则， ， 或， 解得：或， ， ， 故选：A． 【点睛】本题考查了换元法解一元二次方程，非负数的性质．难度适中，注意利用非负数的性质舍去不合题意的答案． 6. 是关于x的一元二次方程的解，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将代入方程即可求解． 【详解】解：由题意得： ∴ 故选：A． 【点睛】本题考查方程的解的定义．掌握相关定义即可． 7. 配方法解方程，变形正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】把常数项移项后，把二次项的系数化为1，在左右两边同时加上一次项系数的一半的平方即可． 【详解】解：把方程的常数项移到等号的右边，得到， 把二次项的系数化为1，得到， 方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得到， 配方得． 故选：D． 【点睛】本题考查了解一元二次方程-配方法．配方法一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数． 8. 设m、n是一元二次方程x2+3x﹣7＝0的两个根，则m2+4m+n＝（　　） A. ﹣3 B. 4 C. ﹣4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】根据根与系数的关系即可求出答案． 【详解】解：∵m+n＝﹣3，mn＝﹣7，m2+3m＝7， ∴原式＝m2+3m+m+n ＝7﹣3 ＝4， 故选B． 【点睛】本题考查根与系数的关系，解题的关键是熟练运用根与系数的关系，属于基础题型． 9. 在某篮球邀请赛中，参赛的每两个队之间都要比赛一场，共比赛36场，设有x个队参赛，根据题意，可列方程为（） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】共有x个队参加比赛，则每队参加（x-1）场比赛，但2队之间只有1场比赛，根据共安排36场比赛，列方程即可． 【详解】解：设有x个队参赛，根据题意，可列方程为： x（x﹣1）＝36， 故选A． 【点睛】此题考查由实际问题抽象出一元二次方程，解题关键在于得到比赛总场数的等量关系. 10. 如图，某小区计划在一块长为32m，宽为20m的矩形空地上修建三条同样宽的道路，剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为570m2．若设道路的宽为xm，则下面所列方程正确的是（　　）. A. （32﹣2x）（20﹣x）=570 B. 32x+2×20x=32×20﹣570 C. （32﹣x）（20﹣x）=32×20﹣570 D. 32x+2×20x﹣2x2=570 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，观察图形，列出方程即可. 【详解】解：设道路的宽为xm，根据题意得： (32−2x)(20−x)=570， 故选：A 【点睛】本题考查根据题意列方程.理解题意是解题的关键. 11. 一个平面封闭图形内（含边界）任意两点距离的最大值称为该图形的“直径”，封闭图形的周长与直径之比称为图形的“周率”，下面四个平面图形（依次为正三角形、正方形、正六边形、圆）的周率从左到右依次记为，，，，则下列关系中正确的是（　　） A. a4＞a2＞a1 B. a4＞a3＞a2 C. a1＞a2＞a3 D. a2＞a3＞a4 【答案】B 【解析】 【分析】设等边三角形的边长是，求出等边三角形的周长，即可求出等边三角形的周率；设正方形的边长是，根据勾股定理求出对角线的长，即可求出周率；设正六边形的边长是，过作交于，根据等边三角形的性质和平行四边形的性质求出直径，即可求出正六边形的周率；求出圆的周长和直径即可求出圆的周率，比较即可得到答案． 【详解】解：设等边三角形的边长是，则等边三角形的周率 设正方形的边长是，由勾股定理得：对角线是，则正方形的周率是， 设正六边形的边长是，过作交于，得到平行四边形和等边三角形，直径是， 正六边形的周率是， 圆的周率是， ． 故选：B． 【点睛】本题主要考查对正多边形与圆，多边形的内角和定理，平行四边形的性质和判定，等边三角形的性质和判定等知识点的理解和掌握，解题的关键是理解题意并能根据性质进行计算． 12. 如图，正方形边长为4，E、F、G、H分别是上点，且．设A、E两点间的距离为x，四边形的面积为y，则y与x的函数图象可能是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了动点问题的函数图象，正确地写出函数解析式并数形结合分析是解题的关键． 本题考查了动点的函数图象，先判定图中的四个小直角三角形全等，再用大正方形的面积减去四个直角三角形的面积，得函数的表达式，结合选项的图象可得答案． 【详解】解：正方形边长为4，， ，， ， 是的二次函数，函数的顶点坐标为，开口向上， 从4个选项来看，开口向上的只有A和B，C和D图象开口向下，不符合题意． 但是B的顶点在轴上，故B不符合题意，只有A符合题意． 故选：A． 二、填空题（每题4分，共24分） 13. 将一元二次方程化成的形式则____________． 【答案】1 【解析】 【分析】直接利用一元二次方程一般形式分析得出答案． 【详解】解：将一元二次方程化成一般形式之后，变为， 故， ， 故答案为：1． 【点睛】此题主要考查了一元二次方程的一般形式，正确把握定义是解题关键． 14. 已知x=2是关于x的一元二次方程kx2+（k2﹣2）x+2k+4=0的一个根，则k的值为_____． 【答案】﹣3 【解析】 【分析】把x=2代入kx2+（k2﹣2）x+2k+4=0得4k+2k2﹣4+2k+4=0，再解关于k的方程，然后根据一元二次方程的定义确定k的值即可． 【详解】把x=2代入kx2+（k2﹣2）x+2k+4=0得4k+2k2﹣4+2k+4=0， 整理得k2+3k=0，解得k1=0，k2=﹣3， 因为k≠0， 所以k的值为﹣3． 故答案为﹣3． 【点睛】本题考查了一元二次方程的定义以及一元二次方程的解，能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解． 15. 在某次乒乓球比赛中，参赛的每两个队之间都要一场比赛，共比赛36场，设有x个队参赛，根据题意，可列方程为___________． 【答案】x（x-1）=36 【解析】 【分析】关系式为：球队总数×每支球队需赛的场数÷2=36，把相关数值代入即可． 【详解】解：设有x个队参赛，根据题意，可列方程为： x（x-1）=36， 故答案为：x（x-1）=36． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解决本题的关键是得到比赛总场数的等量关系，注意2队之间的比赛只有1场，最后的总场数应除以2． 16. 如图，⊙O的半径为5cm，弦AB为8cm，P为弦AB上的一动点，若OP的长度为整数，则满足条件的点P有____个． 【答案】5 【解析】 【分析】首先过点O作OC⊥AB于点C,连接OA,由垂径定理可求得OP的取值范围为3,而OP=3的点只有一个,OP=4的点有2个,OP=5的点有2个,故符合条件的点P有5个. 详解】过O作OC⊥AB于C，连接OA； Rt△OAC中，OA=5cm，AC=4cm； ∴OC2=OA2−AC2； ∴OC=3； 故OP=3cm，或4cm，或5cm； 当OP=3cm时，P与C点重合，有一个符合条件的P点； 当OP=4cm时，P位于AC或BC之间，有两个符合条件的P点； 当OP=5cm时，P与A或B重合，有两个符合条件的P点； 故满足条件的P点有5个. 【点睛】此题考查了垂径定理以及勾股定理，熟练掌握两者的定义是解题的关键. 17. 如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为⊙O的直径，点C为弧BD的中点，若∠DAB=40°，则∠ABC=______． 【答案】70° 【解析】 【详解】解：连接AC， ∵点C为弧BD的中点， ∴∠CAB=∠DAB=20°， ∵AB为⊙O的直径， ∴∠ACB=90°， ∴∠ABC=70°， 故答案为70°． 【点睛】本题主要考查了圆周角定理以及推论，连接AC是解本题的关键. 18. 如图，正方形ABCD的边长为3，且∠EDF=45°，将△DAE绕点D逆时针旋转90°，得到△DCM．若AE=1，则FM的长为________． 【答案】2.5 【解析】 【分析】由旋转可得DE=DM，∠EDM为直角，可得出∠EDF+∠MDF=90°，由∠EDF=45°，得到∠MDF为45°，可得出∠EDF=∠MDF，再由DF=DF，利用SAS可得出三角形DEF与三角形MDF全等，由全等三角形的对应边相等可得出EF=MF；则可得到AE=CM=1，正方形的边长为3，用AB-AE求出EB的长，再由BC+CM求出BM的长，设EF=MF=x,可得出BF=BM-FM=BM-EF=4-x，在直角三角形BEF中，利用勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，即为FM的长． 【详解】解：∵△DAE逆时针旋转90°得到△DCM， ∴∠FCM=∠FCD+∠DCM=180°， ∴F、C、M三点共线， ∴DE=DM，∠EDM=90°， ∴∠EDF+∠FDM=90°， ∵∠EDF=45°， ∴∠FDM=∠EDF=45°， 在△DEF和△DMF中，， ∴△DEF≌△DMF（SAS）， ∴EF=MF， 设EF=MF=x， ∵AE=CM=1，且BC=3， ∴BM=BC+CM=3+1=4， ∴BF=BM-MF=BM-EF=4-x， ∵EB=AB-AE=3-1=2， 在Rt△EBF中，由勾股定理得， 即， 解得：x=2.5， ∴FM=2.5． 故答案为：2.5． 【点睛】此题考查了正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，以及勾股定理．此题难度适中，注意掌握旋转前后图形的对应关系，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用． 三、解答题（共78分） 19. 解方程： （1） （2） 【答案】（1），（2）， 【解析】 【分析】（1）用公式法解方程即可； （2）利用因式分解法解方程即可． 【详解】解：（1） ， （2） 或 ， 【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，解题关键是熟练运用恰当的方法解一元二次方程． 20. 已知关于x的方程． （1）求证：方程总有两个不相等的实数根； （2）如果方程的一个根为，求k的值及方程的另一个根． 【答案】（1）见详解 （2），另一根为 【解析】 【分析】（1）根据进行判断； （2）把代入方程即可求得，然后解这个方程即可； 本题考查了一元二次方程的根的判别式：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根；还有方程根的意义等； 【小问1详解】 证明：∵是一元二次方程， ∴， 无论取何实数，总有，， ∴方程总有两个不相等的实数根． 【小问2详解】 解：把代入方程， 有， 整理，得． 解得， 此时方程可化为． 解此方程，得，． ∴方程的另一根为． 21. 如图，已知△ABC中，∠C=90°，AC=BC=，将△ABC绕点A顺时针方向旋转60°到△AB′C′的位置，连接C′B，求C′B的长度. 【答案】−1 【解析】 【分析】连接BB′，根据旋转的性质可得AB＝AB′，判断出△ABB′是等边三角形，根据等边三角形的三条边都相等可得AB＝BB′，然后利用“边边边”证明△ABC′和△B′BC′全等，根据全等三角形对应角相等可得∠ABC′＝∠B′BC′，延长BC′交AB′于D，根据等边三角形的性质可得BD⊥AB′，利用勾股定理列式求出AB，然后根据等边三角形的性质和等腰直角三角形的性质求出BD、C′D，然后根据BC′＝BD−C′D计算即可得解． 【详解】如图，连接BB′， ∵△ABC绕点A顺时针方向旋转60°得到△AB′C′， ∴AB＝AB′，∠BAB′＝60°， ∴△ABB′是等边三角形， ∴AB＝BB′， 在△ABC′和△B′BC′中， ， ∴△ABC′≌△B′BC′（SSS）， ∴∠ABC′＝∠B′BC′， 延长BC′交AB′于D， 则BD⊥AB′， ∵∠C＝90°，AC＝BC＝， ∴AB＝＝2=AB’， ∴AD= ∴BD＝， C′D＝AB’=×2＝1， ∴BC′＝BD−C′D＝−1． 【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，作辅助线构造出全等三角形并求出BC′在等边三角形的高上是解题的关键，也是本题的难点． 22. 如图，以△AOB 的顶点 O 为圆心，OB 为半径作⊙O，交 OA 于点 E，交 AB 于点 D，连接 DE，DE∥OB，延长 AO 交⊙O 于点 C，连接 CB． (1)求证：； (2)若 AD＝4，AE＝CE，求 OC 的长． 【答案】(1)证明见解析；(2)OC =3． 【解析】 【分析】（1）连接 CD 交 OB 于 F，推出OB⊥CD，推出 ， 即BC=BD； （2）连接 CD 交 OB 于 F，连接 EF，推出四边形 EFBD 是平行四边形，设 OF＝x，列出关于x的方程，解出其值，即可得出OC的值. 【详解】如图 1，连接 CD 交 OB 于 F， ∵CE 是直径， ∴∠EDC＝90°， ∵DE∥OB， ∴∠EDC＝∠OFC＝90°， 即 OB⊥CD， ∴； 如图 2，连接 CD 交 OB 于 F，连接 EF， 由(1)得：DE∥OB，OB⊥CD，点 F 是 CD 的中点， ∵AE＝CE， ∴EF∥AD，EF＝ AD＝2 ， ∵O 是 CE 的中点，F 是 CD 的中点， ∴OF＝ DE， ∵EF∥BD，DE∥BF， ∴四边形 EFBD 是平行四边形， ∴BF＝DE， 设 OF＝x，则 BF＝DE＝2x，OC＝OB＝3x， ∵， ∴BC＝BD＝EF＝2 ， ∵DF2＝CF2 ∴， 解得：x＝±1， ∵x＞0， ∴x＝1， ∴OC＝3x＝3． 【点睛】本题考查的知识点是圆与平行四边形的综合题，解题的关键是熟练的掌握圆与平行四边形的综合题. 23. 河上有一座桥孔为抛物线形的拱桥，水面宽为6米时，水面离桥孔顶部3米．把桥孔看成一个二次函数的图象，以桥孔的最高点为原点，过原点的水平线为横轴，过原点的铅垂线为纵轴，建立如图所示的平面直角坐标系． （1）请求出这个二次函数的表达式； （2）因降暴雨水位上升1米，此时水面宽为多少？ 【答案】（1）；（2）米． 【解析】 【分析】（1）先设这个二次函数的表达式为，再求出点A的坐标，然后利用待定系数法即可得； （2）如图（见解析），先令，求出点C、D的坐标，由此即可得． 【详解】（1）由题意，设这个二次函数的表达式为，且，即， 将代入得：， 解得， 则这个二次函数的表达式为； （2）如图，CD即为所求， 由题意得：点C、D的纵坐标均为， 当时，， 解得或， 即， 则， 答：此时水面宽为米． 【点睛】本题考查了利用待定系数法求二次函数的解析式、二次函数的应用，熟练掌握待定系数法是解题关键． 24. 某商场将每件进价为80元的某种商品原来按每件100元出售，一天可售出100件. 后来经过市场调查，发现这种商品单价每降低1元，其销量可增加10件. （1）求商场经营该商品原来一天可获利润多少元? （2）若商场经营该商品一天要获利润2160元，并让顾客得到实惠，则每件商品应降价多少元? 【答案】（1）2000元 （2）降价8元 【解析】 【分析】（1）根据“总利润=每件的利润×每天的销量”可得； （2）降价后的单件利润×销售量=总利润，列方程解答． 【小问1详解】 若商店经营该商品不降价，则一天可获利润（元）； 【小问2详解】 设每件商品降价x元，依题意得：， 即， 解得：， 因为让顾客得到实惠，所以应该降价8元． 答：商场经营该商品一天要获利润2160元，并让顾客得到实惠，则每件商品应降价8元． 【点睛】此题考查一元二次方程的实际运用，掌握销售问题中的基本数量关系是解决问题的关键． 25. 如图，抛物线 y=ax2+bx+3经过A（1，0）、B（4，0）两点． （1）求抛物线的解析式； （2）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使得四边形PAOC的周长最小？若存在，求出四边形PAOC周长的最小值；若不存在，请说明理由． （3）若点Q是直线x=2上的一个动点，是否存在点Q，使△ACQ为等腰三角形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）yx2x+3；（2）存在，四边形PAOC周长的最小值为9；（3）Q1（2，2），Q2（2，），Q3（，），Q4（2，3）． 【解析】 【分析】（1）把点A（1，0）、B（4，0）两点的坐标代入函数解析式，利用待定系数法求解； （2）A、B关于对称轴对称，连接BC，则BC与对称轴的交点即为所求的点P，此时PA+PC＝BC，四边形PAOC的周长最小值为：OC+OA+BC；根据勾股定理求得BC，即可求得； （3）分三种情况：QA＝QC；CA＝CQ；AC＝AQ；进行讨论即可求解． 【详解】解：（1）由已知得， 解得． 所以，抛物线的解析式为yx2x+3． （2）存在． ∵A、B关于对称轴对称，如图1，连接BC， ∴BC与对称轴的交点即为所求的点P，此时PA+PC＝BC， ∴四边形PAOC的周长最小值为：OC+OA+BC， ∵A（1，0）、B（4，0）、C（0，3）， ∴OA＝1，OC＝3，BC5， ∴OC+OA+BC＝1+3+5＝9； ∴在抛物线的对称轴上存在点P，使得四边形PAOC的周长最小，四边形PAOC周长的最小值为9． （3）设在直线x=2上存在点Q（2，t），使△ACQ为等腰三角形． 如图：作CM垂直直线x=2，则M（2，3-t）连接AC 由题意得：CM=2，QM=|3-t|,AN=1 ∴ ， ， 分三种情况： ①如果QA＝QC，那么， 解得t＝2， 则点Q1（2，2）； ②如果CA＝CQ，那么即， 解得， 则点Q2（2，），Q3（，）； ③如果AC＝AQ，那么即， 解得， 当t=-3时，点A、C、Q在同一条直线上，所以t=-3不符合题意， 则点Q4（2，3）； 综上所述存在点Q，使△ACQ为等腰三角形．它的坐标为：Q1（2，2），Q2（2，），Q3（，），Q4（2，3）． 【点睛】本题是二次函数的综合题，考查了待定系数法求二次函数的解析式，轴对称﹣最短路线问题，等腰三角形的性质等；分类讨论思想的运用是本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$