第五章 投影与视图 知识归纳与题型突破（八类题型清单）-2024-2025学年九年级数学上册单元速记·巧练（北师大版）

第五章 投影与视图 知识归纳与题型突破（八类题型清单） 01 思维导图 02 知识速记 一、投影 1. 投影现象 物体在光线的照射下，会在地面或其他平面上留下它的影子，这就是投影现象.影子所在的平面称为投影面. 2. 中心投影 　　手电筒、路灯和台灯的光线可以看成是从一点发出的，这样的光线照射在物体上所形成的投影，称为中心投影. 相应地，我们会得到两个结论： (1)等高的物体垂直地面放置时，如图1所示，在灯光下，离点光源近的物体它的影子短，离点光源远的物体它的影子长. 　　　　　　　　　 　　(2)等长的物体平行于地面放置时，如图2所示.一般情况下，离点光源越近，影子越长；离点光源越远，影子越短，但不会比物体本身的长度还短. 　　在中心投影的情况下，还有这样一个重要结论：点光源、物体边缘上的点以及它在影子上的对应点在同一条直线上，根据其中两个点，就可以求出第三个点的位置. 要点： 光源和物体所处的位置及方向影响物体的中心投影，光源或物体的方向改变，则该物体的影子的方向也发生变化，但光源、物体的影子始终分离在物体的两侧. 3.平行投影 　　1.平行投影的定义：太阳光线可看成平行光线，平行光线所形成的投影称为平行投影. 相应地，我们会得到两个结论： 　　①等高的物体垂直地面放置时，如图1所示，在太阳光下，它们的影子一样长. 　　　　　　　　 ②等长的物体平行于地面放置时，如图2所示，它们在太阳光下的影子一样长，且影长等于物体本身的长度. 　　2. 物高与影长的关系 ①在不同时刻，同一物体的影子的方向和大小可能不同.不同时刻，物体在太阳光下的影子的大小在变，方向也在改变，就北半球而言，从早晨到傍晚，物体影子的指向是：西→西北→北→东北→东，影长也是由长变短再变长. ②在同一时刻，不同物体的物高与影长成正比例. 　　即：. 　　利用上面的关系式可以计算高大物体的高度，比如旗杆的高度等. 　　注意：利用影长计算物高时，要注意的是测量两物体在同一时刻的影长. 要点：1．平行投影是物体投影的一种，是在平行光线的照射下产生的.利用平行投影知识解题要分清不同时刻和同一时刻. 　　 2．物体与影子上的对应点的连线是平行的就说明是平行光线. 4、正投影 　　　如图所示，图(1)中的投影线集中于一点，形成中心投影；图(2)(3)中，投影线互相平行，形成平行投影；图(2)中，投影线斜着照射投影面；图(3)中投影线垂直照射投影面(即投影线正对着投影面)，我们也称这种情形为投影线垂直于投影面.像图(3)这样，当平行光线与投影面垂直时，这种投影称为正投影. 要点：正投影是特殊的平行投影，它不可能是中心投影. 二、中心投影与平行投影的区别与联系 1.区别：（1）太阳光线是平行的，故太阳光下的影子长度都与物体高度成比例；灯光是发散的，灯光下的影子与物体高度不一定成比例. 　　 （2）同一时刻，太阳光下影子的方向总是在同一方向，而灯光下的影子可能在同一方向，也可能在不同方向. 2.联系：（1）中心投影、平行投影都是研究物体投影的一种，只不过平行投影是在平行光线下所形成的投影，通常的平行光线有太阳光线、月光等，而中心投影是从一点发出的光线所形成的投影，通常状况下，灯泡的光线、手电筒的光线等都可看成是从某一点发射出来的光线. 　　 （2）在平行投影中，同一时刻改变物体的方向和位置，其投影也跟着发生变化；在中心投影中，同一灯光下，改变物体的位置和方向，其投影也跟着发生变化.在中心投影中，固定物体的位置和方向，改变灯光的位置，物体投影的方向和位置也要发生变化. 要点：在解决有关投影的问题时必须先判断准确是平行投影还是中心投影，然后再根据它们的具体特点进一步解决问题. 三、视图 1.三视图 　　（1）视图：用正投影的方法绘制的物体在投影面上的图形，称为物体的视图. 　　（2）三视图 　　在实际生活和工程中，人们常常从正面、左面和上面三个不同方向观察一个物体，分别得到这个物体的三个视图.通常我们把从正面得到的视图叫做主视图，从左面得到的视图叫做左视图，从上面得到的视图叫做俯视图. 主视图、左视图、俯视图叫做物体的三视图. 2.三视图之间的关系 （1）位置关系 　　一般地，把俯视图画在主视图下面，把左视图画在主视图右面，如图(1)所示. 　　　　　　　　　　　 　　（2）大小关系 　　三视图之间的大小是相互联系的，遵循主视图与俯视图的长对正，主视图与左视图的高平齐，左视图与俯视图的宽相等的原则.如图(2)所示. 要点：三视图把物体的长、宽、高三个方面反映到各个视图上，具体地说，主视图反映物体的长和高；俯视图反映物体的长和宽，左视图反映物体的高和宽，抓住这些特征能为画物体的三视图打下坚实的基础. 3.画几何体的三视图 画一个几何体的三视图时，要从三个方面观察几何体，具体画法如下： 　　(1)确定主视图的位置，画出主视图； 　　(2)在主视图的正下方画出俯视图，注意与主视图“长对正”； 　　(3)在主视图的正右方画出左视图，注意与主视图“高平齐”，与俯视图“宽相等”. 　　几何体上被其他部分遮挡而看不见的部分的轮廓线要画成虚线. 要点：画一个几何体的三视图，关键是把从正面、上方、左边三个方向观察时所得的视图画出来，所以，首先要注意观察时视线与观察面垂直，即观察到的平面图是该图的正投影；其二，要注意正确地用虚线表示看不到的轮廓线；其三，要充分发挥想象，多实践，多与同学交流探讨，多总结；最后，按三视图的位置和大小要求从整体上画出几何体的三视图. 4.由三视图想象几何体的形状 　　由三视图想象几何体的形状，首先应分别根据主视图、俯视图和左视图想象主体图的前面、上面和左侧面，然后综合起来考虑整体图形. 要点：由物体的三视图想象几何体的形状有一定的难度，可以从如下途径进行分析：(1)根据主视图、俯视图和左视图想象几何体的前面、上面和左侧面的形状以及几何体的长、宽、高；(2)根据实线和虚线想象几何体看得见和看不见的轮廓线；(3)熟记一些简单的几何体的三视图会对复杂几何体的想象有帮助；(4)利用由三视图画几何体与由几何体画三视图为互逆过程，反复练习，不断总结方法. 03 题型归纳 题型一 平行投影 1．下列光线所形成的投影是平行投影的是（    ） A．太阳光线 B．台灯的光线 C．手电筒的光线 D．路灯的光线 巩固训练 2．下图中各投影是平行投影的是（    ） A． B． C． D． 3．如图，一束太阳光线平行照射在放置于地面的正五边形，若，则（　　）    A．56° B．66° C．72° D．76° 题型二 中心投影 4．下列现象属于中心投影的有（　　） （1）小孔成像；    （2）皮影戏；      （3）手影；    （4）放电影． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 巩固训练 5．当你走在路灯下，越来越接近路灯时，你的影子的长是如何变化（    ） A．变长 B．变短 C．不变 D．无法确定 6．如图，在平面直角坐标系中，点是一个光源．木杆两端的坐标分别为，．则木杆在x轴上的投影长为（    ）    A． B． C．5 D．6 题型三 正投影 7．物体正投影的形状、大小与它相对于投影面的位置有关．一个三角板的正投影不可能是（     ） A．一条线段 B．一个与原三角板全等的三角形 C．一个等腰三角形 D．一个小圆点 巩固训练 8．把一个正六棱柱如图水平放置，一束水平方向的平行光线照射此正六棱柱时的正投影是（　　） A． B． C． D． 9．幻灯机是教师常用的教具之一，它能把精致的图片投到银幕上，如图，在与中，下列结论一定正确的是（    ）    A． B． C． D． 10．如图，一块含角的直角三角形木板，将它的直角顶点放置于直线上，点，点在直线上的正投影分别是点，点，若，，则在直线上的正投影的长是（    ） A． B． C． D． 题型四 视点、视角和盲区 11．如图，从点观测建筑物的视角是（    ） A． B． C． D． 巩固训练 12．如图，在房子屋檐E处安有一台监视器，房子前有一面落地的广告牌，那么监视器的盲区是（　　）    A． B． C． D．四边形 13．如图1为五角大楼的示意图，图2是它的俯视图，小红站在地面上观察这个大楼，若想看到大楼的两个侧面，则小红应站的区域是（    ） A．A区域 B．B区域 C．C区域 D．三区域都可以 题型五 三视图 14．如图所示几何体的俯视图是（    ） A． B． C． D． 巩固训练 15．水平地面上放着1个球和1个圆柱体，摆放方式如图所示，其左视图是（    ） A． B． C． D． 16．如图是某组合体的三视图，则该组合体是（    ）    A．   B．   C．   D．   题型六 由三视图求体积和表面积 17．如图，一个长方体从正面、上面看到的图形如图所示，则这个长方体的体积等于（   ）    A．18 B．12 C．9 D．6 巩固训练 18．如图是一个几何体的三视图，则这个几何体的侧面积是（    ） A． B． C． D． 19．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是 （结果保留π）．    题型七 由三视图判断正方体个数最少或最多问题 20．小立方块搭一个几何体，使它的主视图和俯视图如图所示，它最少需要（    ）个小立方块？    A．11 B．10 C．9 D．8 巩固训练 21．某数学兴趣小组的同学探究用相同的小立方块搭成几何体的三视图及其变化规律，下面是他们画出的左视图与俯视图．由此可知，搭这个几何体时，最多需要的小立方块的个数是（    ）． A．8 B．9 C．10 D．11 22．用相同的小立方体搭一个几何体，从正面、上面看到的形状图如图所示，从上面看到的形状图中小正方形的字母表示在该位置上小立方体的个数，那么这样的几何体最多由 几个小立方体搭成，最少由 几个小立方体搭成． 题型八 投影与视图综合解答题 23．有若干个完全相同的小正方体堆成的一个几何体，如图所示．请在方格纸上画出它的三视图． 巩固训练 24．由十个小立方体搭成的几何体的俯视图如图所示，小正方形中的数字表示在该位置的小立方体的个数，请在网格中画出从正面和左面看到的几何体的形状图．      25．阳光明媚的天，实践课上，亮亮准备用所学的知识测量教学楼前一座假山AB的高度，如图，亮亮在地面上的点F处，眼睛贴地观察，看到假山顶端A、教学楼顶端C在一条直线上．此时他起身在F处站直，发现自己的影子末端和教学楼的影子末端恰好重合于点G处，测得米，亮亮的身高EF为1.6米．假山的底部B处因有花园围栏，无法到达，但经询问和进行部分测量后得知，米，点D、B、F、G在一条直线上，，，，已知教学楼的高度为16米，请你求出假山的高度．        26．已知下图为一几何体从三个方向看到的形状图． (1)写出这个几何体的名称______； (2)画出它的侧面展开图； (3)根据图中所给的数据，求这个几何体的侧面积．（结果保留） 27．甲、乙两栋楼的位置如图所示，甲楼高16米．当地中午12时，物高与影长的比是．    (1)如图1，当地中午12时，甲楼的影子刚好不落到乙楼上，则两楼间距的长为_________米． (2)当地下午14时，物高与影长的比是．如图2，甲楼的影子有一部分落在乙楼上，求落在乙楼上的影子的长． 28．用棱长为的若干小正方体按如所示的规律在地面上搭建若干个几何体．图中每个几何体自上而下分别叫第一层、第二层，，第层（为正整数)    （1）搭建第④个几何体的小立方体的个数为 ． （2）分别求出第②、③个几何体的所有露出部分（不含底面）的面积． （3）为了美观，若将几何体的露出部分都涂上油漆（不含底面），已知喷涂需要油漆克，求喷涂第个几何体，共需要多少克油漆？ 29．甲、乙、丙三个学习小组于同一时刻在阳光下对校园中一些物体进行了测量，下面是他们通过测量得到的一些信息： 甲组：如图①，测得一根直立于平地、长为80cm的竹竿的影长为60cm． 乙组：如图②，测得学校旗杆的影长为900cm． 丙组：如图③，测得校园景灯？（灯罩视为圆柱体，灯杆粗细忽略不计）的灯罩部分影长为90cm，灯杆被阳光照射到的部分长为50cm，未被照射到的部分长为32cm． (1)请你根据甲、乙两组得到的信息计算出学校旗杆的高度． (2)请根据甲、丙两组得到的信息，解答下列问题： ①求灯罩底面半径的长； ②求从正面看灯罩得到的图形的面积和从上面看灯罩得到的图形的面积． 30．操作与研究：如图，被平行于的光线照射，于D，在投影面上．    (1)指出图中线段的投影是______，线段的投影是______． (2)问题情景：如图1，中，，，我们可以利用与相似证明，这个结论我们称之为射影定理，请证明这个定理． (3)拓展运用如图2，正方形的边长为15，点O是对角线、的交点，点E在上，过点C作，垂足为F，连接： ① 试利用射影定理证明； ② 若，求的长． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！第 一 页 共 13 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第五章 投影与视图 知识归纳与题型突破（八类题型清单） 01 思维导图 02 知识速记 一、投影 1. 投影现象 物体在光线的照射下，会在地面或其他平面上留下它的影子，这就是投影现象.影子所在的平面称为投影面. 2. 中心投影 　　手电筒、路灯和台灯的光线可以看成是从一点发出的，这样的光线照射在物体上所形成的投影，称为中心投影. 相应地，我们会得到两个结论： (1)等高的物体垂直地面放置时，如图1所示，在灯光下，离点光源近的物体它的影子短，离点光源远的物体它的影子长. 　　　　　　　　　 　　(2)等长的物体平行于地面放置时，如图2所示.一般情况下，离点光源越近，影子越长；离点光源越远，影子越短，但不会比物体本身的长度还短. 　　在中心投影的情况下，还有这样一个重要结论：点光源、物体边缘上的点以及它在影子上的对应点在同一条直线上，根据其中两个点，就可以求出第三个点的位置. 要点： 光源和物体所处的位置及方向影响物体的中心投影，光源或物体的方向改变，则该物体的影子的方向也发生变化，但光源、物体的影子始终分离在物体的两侧. 3.平行投影 　　1.平行投影的定义：太阳光线可看成平行光线，平行光线所形成的投影称为平行投影. 相应地，我们会得到两个结论： 　　①等高的物体垂直地面放置时，如图1所示，在太阳光下，它们的影子一样长. 　　　　　　　　 ②等长的物体平行于地面放置时，如图2所示，它们在太阳光下的影子一样长，且影长等于物体本身的长度. 　　2. 物高与影长的关系 ①在不同时刻，同一物体的影子的方向和大小可能不同.不同时刻，物体在太阳光下的影子的大小在变，方向也在改变，就北半球而言，从早晨到傍晚，物体影子的指向是：西→西北→北→东北→东，影长也是由长变短再变长. ②在同一时刻，不同物体的物高与影长成正比例. 　　即：. 　　利用上面的关系式可以计算高大物体的高度，比如旗杆的高度等. 　　注意：利用影长计算物高时，要注意的是测量两物体在同一时刻的影长. 要点：1．平行投影是物体投影的一种，是在平行光线的照射下产生的.利用平行投影知识解题要分清不同时刻和同一时刻. 　　 2．物体与影子上的对应点的连线是平行的就说明是平行光线. 4、正投影 　　　如图所示，图(1)中的投影线集中于一点，形成中心投影；图(2)(3)中，投影线互相平行，形成平行投影；图(2)中，投影线斜着照射投影面；图(3)中投影线垂直照射投影面(即投影线正对着投影面)，我们也称这种情形为投影线垂直于投影面.像图(3)这样，当平行光线与投影面垂直时，这种投影称为正投影. 要点：正投影是特殊的平行投影，它不可能是中心投影. 二、中心投影与平行投影的区别与联系 1.区别：（1）太阳光线是平行的，故太阳光下的影子长度都与物体高度成比例；灯光是发散的，灯光下的影子与物体高度不一定成比例. 　　 （2）同一时刻，太阳光下影子的方向总是在同一方向，而灯光下的影子可能在同一方向，也可能在不同方向. 2.联系：（1）中心投影、平行投影都是研究物体投影的一种，只不过平行投影是在平行光线下所形成的投影，通常的平行光线有太阳光线、月光等，而中心投影是从一点发出的光线所形成的投影，通常状况下，灯泡的光线、手电筒的光线等都可看成是从某一点发射出来的光线. 　　 （2）在平行投影中，同一时刻改变物体的方向和位置，其投影也跟着发生变化；在中心投影中，同一灯光下，改变物体的位置和方向，其投影也跟着发生变化.在中心投影中，固定物体的位置和方向，改变灯光的位置，物体投影的方向和位置也要发生变化. 要点：在解决有关投影的问题时必须先判断准确是平行投影还是中心投影，然后再根据它们的具体特点进一步解决问题. 三、视图 1.三视图 　　（1）视图：用正投影的方法绘制的物体在投影面上的图形，称为物体的视图. 　　（2）三视图 　　在实际生活和工程中，人们常常从正面、左面和上面三个不同方向观察一个物体，分别得到这个物体的三个视图.通常我们把从正面得到的视图叫做主视图，从左面得到的视图叫做左视图，从上面得到的视图叫做俯视图. 主视图、左视图、俯视图叫做物体的三视图. 2.三视图之间的关系 （1）位置关系 　　一般地，把俯视图画在主视图下面，把左视图画在主视图右面，如图(1)所示. 　　　　　　　　　　　 　　（2）大小关系 　　三视图之间的大小是相互联系的，遵循主视图与俯视图的长对正，主视图与左视图的高平齐，左视图与俯视图的宽相等的原则.如图(2)所示. 要点：三视图把物体的长、宽、高三个方面反映到各个视图上，具体地说，主视图反映物体的长和高；俯视图反映物体的长和宽，左视图反映物体的高和宽，抓住这些特征能为画物体的三视图打下坚实的基础. 3.画几何体的三视图 画一个几何体的三视图时，要从三个方面观察几何体，具体画法如下： 　　(1)确定主视图的位置，画出主视图； 　　(2)在主视图的正下方画出俯视图，注意与主视图“长对正”； 　　(3)在主视图的正右方画出左视图，注意与主视图“高平齐”，与俯视图“宽相等”. 　　几何体上被其他部分遮挡而看不见的部分的轮廓线要画成虚线. 要点：画一个几何体的三视图，关键是把从正面、上方、左边三个方向观察时所得的视图画出来，所以，首先要注意观察时视线与观察面垂直，即观察到的平面图是该图的正投影；其二，要注意正确地用虚线表示看不到的轮廓线；其三，要充分发挥想象，多实践，多与同学交流探讨，多总结；最后，按三视图的位置和大小要求从整体上画出几何体的三视图. 4.由三视图想象几何体的形状 　　由三视图想象几何体的形状，首先应分别根据主视图、俯视图和左视图想象主体图的前面、上面和左侧面，然后综合起来考虑整体图形. 要点：由物体的三视图想象几何体的形状有一定的难度，可以从如下途径进行分析：(1)根据主视图、俯视图和左视图想象几何体的前面、上面和左侧面的形状以及几何体的长、宽、高；(2)根据实线和虚线想象几何体看得见和看不见的轮廓线；(3)熟记一些简单的几何体的三视图会对复杂几何体的想象有帮助；(4)利用由三视图画几何体与由几何体画三视图为互逆过程，反复练习，不断总结方法. 03 题型归纳 题型一 平行投影 1．下列光线所形成的投影是平行投影的是（    ） A．太阳光线 B．台灯的光线 C．手电筒的光线 D．路灯的光线 【答案】A 【分析】判断投影是平行投影的方法是看光线是否是平行的，如果光线是平行的，所得到的投影就是平行投影． 【解析】解：四个选项中只有太阳光可认为是平行光线；故太阳光线下形成的投影是平行投影． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了平行投影，解题关键是看光线是否是平行的. 巩固训练 2．下图中各投影是平行投影的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平行投影定义即可判断． 【解析】解：只有C中的投影线是平行的，且影子长度与原物体长度比一致． 故选：C． 【点睛】本题考查了平行投影的知识，牢记平行投影的定义是解题的关键． 3．如图，一束太阳光线平行照射在放置于地面的正五边形，若，则（　　）    A．56° B．66° C．72° D．76° 【答案】B 【分析】根据正五边形得到，利用三角形内角和求出的度数，根据平行线的性质得出． 【解析】解：如图，延长和分别交的延长线于点G和I，    ∵六边形是正五边形， ∴， ∴， ∴， 由平行光线知，； 故选：B． 【点睛】本题考查平行投影的性质、多边形外角性质以及三角形内角和定理，构造三角形是解决问题的关键． 题型二 中心投影 4．下列现象属于中心投影的有（　　） （1）小孔成像；    （2）皮影戏；      （3）手影；    （4）放电影． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查中心投影的定义，中心投影：把关由一点向外散射形成的投影，根据中心投影定义，结合日常生活中的场景即可得到小孔成像；皮影戏；手影；放电影均为中心投影，熟记中心投影的定义及生活中常见的中心投影场景是解决问题的关键． 【解析】解：由中心投影定义可知，（1）小孔成像；（2）皮影戏；（3）手影；（4）放电影均为中心投影， 故选：D． 巩固训练 5．当你走在路灯下，越来越接近路灯时，你的影子的长是如何变化（    ） A．变长 B．变短 C．不变 D．无法确定 【答案】B 【分析】根据中心投影的性质，灯光下影子与物体离灯源距离有关，从而得出答案． 【解析】解：灯光下，涉及中心投影，根据中心投影的特点灯光下影子与物体离灯源距离有关， 你走在路灯下，越来越接近路灯时，你的影子的长是变短． 故选：B． 【点睛】此题主要考查了中心投影的特点和规律．中心投影的特点是：①等高的物体垂直地面放置时，在灯光下，离点光源近的物体它的影子短，离点光源远的物体它的影子长；②等长的物体平行于地面放置时，在灯光下，离点光源越近，影子越长；离点光源越远，影子越短． 6．如图，在平面直角坐标系中，点是一个光源．木杆两端的坐标分别为，．则木杆在x轴上的投影长为（    ）    A． B． C．5 D．6 【答案】D 【分析】延长、分别交轴于、，作轴于，交于，证明，得到，即可求解． 【解析】解：延长、分别交轴于、，作轴于，交于，如图， ，，． ，，， ， ， ，即， ， 故选：D．    【点睛】本题考查了中心投影：中心投影的光线特点是从一点出发的投射线．物体与投影面平行时的投影是放大（即位似变换）的关系． 题型三 正投影 7．物体正投影的形状、大小与它相对于投影面的位置有关．一个三角板的正投影不可能是（     ） A．一条线段 B．一个与原三角板全等的三角形 C．一个等腰三角形 D．一个小圆点 【答案】D 【分析】由三角板所在的平面与投影光线的关系逐一分析可得答案． 【解析】解：当三角板所在的平面与投影光线平行时，可得投影是一条线段，故A不符合题意； 当三角板所在的平面与投影光线垂直时，可得投影是一个与原三角板全等的三角板，故B不符合题意； 当三角板所在的平面与投影光线成一定的角度时，可得投影是一个变形的三角板，可能为等腰三角形，不可能是一个点，故C不符合题意；D符合题意； 故选D 【点睛】本题考查的是投影的含义，理解物体正投影的形状、大小与它相对于投影面的位置有关是解本题的关键． 巩固训练 8．把一个正六棱柱如图水平放置，一束水平方向的平行光线照射此正六棱柱时的正投影是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正投影的特点及图中正六棱柱的摆放位置即可直接得出答案． 【解析】解：把一个正六棱柱如图摆放，一束水平方向的平行光线照射此正六棱柱时的正投影是矩形． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了正投影的性质，一个几何体在一个平面上的正投影是一个平面图形． 9．幻灯机是教师常用的教具之一，它能把精致的图片投到银幕上，如图，在与中，下列结论一定正确的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据投影的性质：投影后的图像与投影前的图像相似，逐个判断即可得到答案； 【解析】解：由题意可得， ， ∴，故A错误， ，故B正确， ，故C，D不一定成立， 故选B； 【点睛】本题考查投影的性质：投影后的图像与投影前的图像相似． 10．如图，一块含角的直角三角形木板，将它的直角顶点放置于直线上，点，点在直线上的正投影分别是点，点，若，，则在直线上的正投影的长是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据角所对的直角边等于斜边的一半，可得，求出的长，再根据勾股定理可得的长；通过证明，再根据相似三角形的性质可得的长，进而得出的长． 【解析】解：在中，，， ，， 在中，， ，， ， ， ， ， ， 即在直线上的正投影的长是， 故选：C． 【点睛】本题考查了平行投影，掌握相似三角形的判断与性质以及勾股定理是解答本题的关键． 题型四 视点、视角和盲区 11．如图，从点观测建筑物的视角是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据视角的定义，由物体两端射出的两条光线在眼球内交叉而成的角，即可判断． 【解析】如图所示，根据视角的定义，建筑物两端发出的光线在眼球内交叉的角为， 故选：A． 【点睛】本题考查了视角的定义，解题的关键是熟悉并掌握视角的定义． 巩固训练 12．如图，在房子屋檐E处安有一台监视器，房子前有一面落地的广告牌，那么监视器的盲区是（　　）    A． B． C． D．四边形 【答案】C 【分析】解答此题首先要了解盲区的定义，视线覆盖不到的地方即为该视点的盲区，由图知，是视点，找到在点处看不到的区域即可． 【解析】解：由图知：在视点的位置，看不到段，因此监视器的盲区在所在的区域， 故选：C． 【点睛】本题考查了投影和视图的概念，解答此类问题，首先要确定视点，然后再根据盲区的定义进行判断． 13．如图1为五角大楼的示意图，图2是它的俯视图，小红站在地面上观察这个大楼，若想看到大楼的两个侧面，则小红应站的区域是（    ） A．A区域 B．B区域 C．C区域 D．三区域都可以 【答案】C 【分析】根据视点，视角和盲区的定义，观察图形，选出答案． 【解析】由图可知，A区域可以看到一个侧面，B区域可以看到三个侧面，C区域可以看到两个侧面.故选C. 【点睛】本题考查的是视点，视角和盲区在实际中的应用，比较基础，难度不大． 题型五 三视图 14．如图所示几何体的俯视图是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据俯视图的定义，从上往下看到的几何图形是俯视图即可判断． 【解析】解：从几何体上面看，是一排三个小正方形． 故选：D． 【点睛】本题考查简单组合体的三视图，理解视图的意义，掌握三视图的画法是得出正确答案的前提． 巩固训练 15．水平地面上放着1个球和1个圆柱体，摆放方式如图所示，其左视图是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】找到从左面看所得到的图形即可． 【解析】从左边看时，球是一个圆，圆柱是一个矩形，圆在矩形的中间， 故选C． 【点睛】本题考查了三视图的知识，左视图是从物体的左面看得到的视图． 16．如图是某组合体的三视图，则该组合体是（    ）    A．   B．   C．   D．   【答案】A 【分析】根据三视图分别判断出两部分的几何体． 【解析】解：根据正视图和俯视图可知，组合体上部分为一个圆柱体，根据俯视图和左视图可知，组合体下部分为一个长方体，故该组合体是有一个圆柱和长方体组合而成，选项A满足，    故选：A． 【点睛】本题考查了组合体的三视图，解题的关键是掌握常见的几何体的三视图的特征，比如圆柱，圆锥之类． 题型六 由三视图求体积和表面积 17．如图，一个长方体从正面、上面看到的图形如图所示，则这个长方体的体积等于（   ）    A．18 B．12 C．9 D．6 【答案】D 【分析】由主视图和俯视图知，该长方体的长为3、宽为1、高为2，根据长方体的体积公式即可得． 【解析】解：由主视图和俯视图知，该长方体的长为3、宽为1、高为2， 则这个长方体的体积为， 故选：D． 【点睛】本题主要考查由三视图判断几何体，解题的关键是熟练掌握长方体的三视图，并根据三视图得出其长、宽、高． 巩固训练 18．如图是一个几何体的三视图，则这个几何体的侧面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】易得圆锥的底面直径为6，母线长为3cm，根据圆锥的侧面积=π×底面半径×母线长，把相应数值代入即可求解． 【解析】解：根据三视图知：此几何体为圆锥，且底面直径为6，母线长为8， 所以圆锥的侧面积=πrl=π×3×8 =24π， 故选：C． 【点睛】本题考查了由三视图判断几何体及圆锥的计算的知识，解题的关键是能够确定几何体的形状，难度不大． 19．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是 （结果保留π）．    【答案】 【分析】由三视图可知该几何体是个半圆柱，且半圆柱的底面半径是2，高是4，根据表面积的计算公式求解即可． 【解析】解： 故答案为：． 【点睛】本题考查的是一道由三视图求几何体的表面积的题目，关键是由三视图判断出几何体的形状． 题型七 由三视图判断正方体个数最少或最多问题 20．小立方块搭一个几何体，使它的主视图和俯视图如图所示，它最少需要（    ）个小立方块？    A．11 B．10 C．9 D．8 【答案】B 【分析】根据俯视图可知第一层有6个小立方块，根据主视图判断出第二层和第三层小立方块的最少个数即可得解． 【解析】解：根据俯视图可知第一层有6个小立方块，根据主视图可知第二层最少有3个小立方块，第三层最少有1个小立方块，即最少需要10个小立方块， 故选：B． 【点睛】本题考查学生对三视图的掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查． 巩固训练 21．某数学兴趣小组的同学探究用相同的小立方块搭成几何体的三视图及其变化规律，下面是他们画出的左视图与俯视图．由此可知，搭这个几何体时，最多需要的小立方块的个数是（    ）． A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】B 【分析】根据题意可在俯视图的每个小正方形上填写此处可用最多的小立方块的个数，即可解答． 【解析】由左视图和俯视图可知用最多的小立方块可搭成的几何体如图， ∴最多需要的小立方块的个数是3+1+1+2+2=9（块）． 故选：B． 【点睛】本题考查已知三视图求搭建组合体所用最多的小立方块的个数．掌握三视图之间的关系是解题关键． 22．用相同的小立方体搭一个几何体，从正面、上面看到的形状图如图所示，从上面看到的形状图中小正方形的字母表示在该位置上小立方体的个数，那么这样的几何体最多由 几个小立方体搭成，最少由 几个小立方体搭成． 【答案】 11 9 【分析】根据主视图、俯视图的形状以及相应位置所摆放的小正方体的数量，判断最多、最少时的总个数即可． 【解析】解：根据主视图、俯视图的形状以及相应位置所摆放的小正方体的数量可知， 最多时：d、e、f都是2；b、c都是1；a是3，因此小正方体最多共有3+1+1+2+2+2＝11（个）； 最少时：d、e、f中只有一个是2，其余是1；b、c都是1；a是3， 因此小正方体最少共有3+1+1+2+1+1＝9（个）， 故答案为：11，9 【点睛】本题考查简单组合体的三视图，理解视图的定义，掌握简单组合体的三视图的画法是正确判断的关键． 题型八 投影与视图综合解答题 23．有若干个完全相同的小正方体堆成的一个几何体，如图所示．请在方格纸上画出它的三视图． 【答案】见解析 【分析】从正面看有3列，左边一列有3个，中间一列有1个，右边一列有2个；从左面看有3列，左边一列有3个，中间一列有2个，右边一列有1个；从上面看有3列，左边一列有3个，中间一列有2 个，右边一列有1个． 【解析】如图所示 ： 【点睛】此题主要考查了作图--三视图，关键是掌握三视图所看的位置．从正面看到的图是主视图，从上面看到的图形是俯视图，从左面看到的图形是左视图，能看到的线画实线，被遮挡的线画虚线． 巩固训练 24．由十个小立方体搭成的几何体的俯视图如图所示，小正方形中的数字表示在该位置的小立方体的个数，请在网格中画出从正面和左面看到的几何体的形状图．      【答案】见解析 【分析】利用俯视图可得出几何体的形状，进而利用主视图以及左视图的观察角度得出不同视图即可． 【解析】解：如图所示： 【点睛】此题主要考查了三视图以及由三视图判断几何体的形状，正确想象出几何体的形状是解题关键． 25．阳光明媚的天，实践课上，亮亮准备用所学的知识测量教学楼前一座假山AB的高度，如图，亮亮在地面上的点F处，眼睛贴地观察，看到假山顶端A、教学楼顶端C在一条直线上．此时他起身在F处站直，发现自己的影子末端和教学楼的影子末端恰好重合于点G处，测得米，亮亮的身高EF为1.6米．假山的底部B处因有花园围栏，无法到达，但经询问和进行部分测量后得知，米，点D、B、F、G在一条直线上，，，，已知教学楼的高度为16米，请你求出假山的高度．        【答案】 【分析】根据同一时刻，物高和影长对应成比例得到，求出的长，进而得到的长，证明，列式求解即可． 【解析】解：由题意，得：， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，即：， ∴． 【点睛】本题考查相似三角形的应用，解题的关键是证明三角形相似． 26．已知下图为一几何体从三个方向看到的形状图． (1)写出这个几何体的名称______； (2)画出它的侧面展开图； (3)根据图中所给的数据，求这个几何体的侧面积．（结果保留） 【答案】(1)圆柱 (2)侧面展开图见解析 (3)这个几何体的侧面积为 【分析】本题主要考查了三视图、几何体的侧面展开图及几何体的侧面积计算方法，理解、看懂三视图是解题关键． （1）根据三视图的特征即可得出几何体； （2）根据圆柱体的特征，侧面展开为一个长方形，即可获得答案； （3）根据三视图可知：底面圆的直径为，圆柱的高为，根据圆柱侧面积的计算公式即可求得答案． 【解析】（1）解：根据题目中已知的三视图符合圆柱体的三视图特征，故这个几何体为圆柱． 故答案为：圆柱； （2）侧面展开图如图所示： （3） 根据三视图可知：底面圆的直径为，圆柱的高为， ∴这个几何体的侧面积为： 答：这个几何体的侧面积为． 27．甲、乙两栋楼的位置如图所示，甲楼高16米．当地中午12时，物高与影长的比是．    (1)如图1，当地中午12时，甲楼的影子刚好不落到乙楼上，则两楼间距的长为_________米． (2)当地下午14时，物高与影长的比是．如图2，甲楼的影子有一部分落在乙楼上，求落在乙楼上的影子的长． 【答案】(1) (2)米 【分析】（1）根据物高与影长的比是列出比例式解答即可； （2）作于点F，则，根据即可求解． 【解析】（1）解：由题意得：，即， 解得， 故答案为：； （2）解：如图，作于点F，    在中，，， 物高与影长的比是， ， ， ， 即落在乙楼上的影子的长为米． 【点睛】本题考查平行投影，根据物高与影长的比得出相关比例式是解题的关键． 28．用棱长为的若干小正方体按如所示的规律在地面上搭建若干个几何体．图中每个几何体自上而下分别叫第一层、第二层，，第层（为正整数)    （1）搭建第④个几何体的小立方体的个数为 ． （2）分别求出第②、③个几何体的所有露出部分（不含底面）的面积． （3）为了美观，若将几何体的露出部分都涂上油漆（不含底面），已知喷涂需要油漆克，求喷涂第个几何体，共需要多少克油漆？ 【答案】（1）；（2）第②个几何体露出部分（不含底面）面积为，第③个几何体露出部分（不含底面）面积为；（3）克． 【分析】（1）归纳出前3个几何体的规律即可得； （2）分别画出两个几何体的三视图，再根据四个侧面和向上的面的小正方形的个数即可得； （3）先根据（1）的方法得出第20个几何体每一层小立方体的个数，再根据（2）的方法得出第20个几何体的所有露出部分（不含底面）的面积，然后乘以即可得． 【解析】（1）搭建第①个几何体的小立方体的个数为1， 搭建第②个几何体的小立方体的个数为， 搭建第③个几何体的小立方体的个数为， 归纳类推得：搭建第④个几何体的小立方体的个数为， 故答案为：30； （2）第②个几何体的三视图如下：    由题意，每个小正方形的面积为， 则第②个几何体的所有露出部分（不含底面）面积为； 第③个几何体的三视图如下：    则第③个几何体的所有露出部分（不含底面）面积为； （3）第20个几何体从第1层到第20层小立方体的个数依次为， 则第20个几何体的所有露出部分（不含底面）面积为， 因此，共需要油漆的克数为（克）， 答：共需要992克油漆． 【点睛】本题考查了三视图、几何体的表面积、图形变化的规律型问题，依据题意，正确归纳类推出规律是解题关键． 29．甲、乙、丙三个学习小组于同一时刻在阳光下对校园中一些物体进行了测量，下面是他们通过测量得到的一些信息： 甲组：如图①，测得一根直立于平地、长为80cm的竹竿的影长为60cm． 乙组：如图②，测得学校旗杆的影长为900cm． 丙组：如图③，测得校园景灯？（灯罩视为圆柱体，灯杆粗细忽略不计）的灯罩部分影长为90cm，灯杆被阳光照射到的部分长为50cm，未被照射到的部分长为32cm． (1)请你根据甲、乙两组得到的信息计算出学校旗杆的高度． (2)请根据甲、丙两组得到的信息，解答下列问题： ①求灯罩底面半径的长； ②求从正面看灯罩得到的图形的面积和从上面看灯罩得到的图形的面积． 【答案】(1)学校旗杆的高度为12m (2)①灯罩底面半径的长为24cm；②从正面看灯罩得到的图形面积为2688(cm2)，从上面看灯罩得到的图形面积为576π(cm2) 【分析】（1）根据平行投影的性质，得到三角形相似，列式计算即可； （2）①易得：，得到，即可得解；②易得：，得到，证明，求出，进而求出的长，进而求出从正面看灯罩得到的图形的面积和从上面看灯罩得到的图形的面积即可． 【解析】（1）解：由题意，可知：， ∴，即：， ∴； 答：学校旗杆的高度为． （2）解：①根据题意可知，， ∴，即． ∴， ∴灯罩底面半径的长为24 cm． ②∵太阳光为平行光， ∴， ∴， 由题意，可知：，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即：， ∴， ∴， ∴从正面看灯罩为矩形，面积为：， 从上面看灯罩为圆形，面积为：． 【点睛】本题考查平行投影，相似三角形的判定和性质，以及三视图．熟练掌握平行投影的性质，证明三角形全等和相似，是解题的关键． 30．操作与研究：如图，被平行于的光线照射，于D，在投影面上．    (1)指出图中线段的投影是______，线段的投影是______． (2)问题情景：如图1，中，，，我们可以利用与相似证明，这个结论我们称之为射影定理，请证明这个定理． (3)拓展运用如图2，正方形的边长为15，点O是对角线、的交点，点E在上，过点C作，垂足为F，连接： ① 试利用射影定理证明； ② 若，求的长． 【答案】(1)、； (2)证明见解析； (3)①证明见解析；② 【分析】（1）根据题意，即可得到答案； （2）证明，得到，即可证明定理； （3）①利用射影定理，得到，，进而得到，即可证明； ②根据正方形的性质和勾股定理，求得，，再利用相似三角形的性质，得到，即可求出的长． 【解析】（1）解：根据题意可知，图中线段的投影是，线段的投影是， 故答案为：、； （2）证明：， ， ， ， ， ， ； （3）①证明：四边形是正方形， ，， ， ， ， ， ， ， ； ②解：正方形的边长为15， ，， 在中，， ， ， ， 在中，， ， ， ．    【点睛】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理、射影定理等知识，解题关键是掌握相似三角形的判定和性质，理解射影定理：直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项；每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$