题型17 数列求和-2025年新高考数学冲刺宝典

高考数学冲刺宝典 题型17数列求和 技法01分组求和的应用及解题技巧 技法解读人 分组求和是把数列分为两组求和，一般为等差十等比，此类题型较筒单，利用公式求和即可， 也是新高考卷中的常考考点，需强加练习. 串典例剖析人一 例1已知数列{am}的前n项和为Sm,a=3,2Sm=3am一3. (1)求{a}的通项公式； (2)设数列{bm}满足：bn=am十log3an,记{bn}的前n项和为T,求Tm. 【解析】(1)，2Sn=3am-3① ∴.当n≥2时，2Sn-1=3a-1一3② ①-②得：2au=3am一3am-1即 an=3an1(n22) a1=3,.数列{am}是以3为首项，3为公比的等比数列. .an=3"(n∈N) (2),bn=an十log3an=3m十n. ∴.T.=b十b2十…+bn-1十bn=(3+1)+(32+2)+…+(3-1+n-1)十(3"十n) =(30+32+…+31+3”)+(1+2+…+n-1+m)=31-3”）++mm-31+m+n-3 1-3 2 2 b,}的前n项和T。=31十十1-3 【答案】 (1)a,=3"(n∈N)(2)T=3t1++n-3 对点练习人 设数列{an}是首项为1，公差为d的等差数列，且a1,a2一1，a一1是等比数列{bn}的前三项. (1)求{an}的通项公式： (2)设c,=1ogb,求数列{c,的前n项和T a+1 96 题型17数列求和 技法02裂项相消的应用及解题技巧 技法解读人 (日) t+后(v-同 1 (21-1)-(2"-1)1 2m-1D(2n+D= (2) (2"-1)(2+1-1) 2-e}2 指数型(a-1)a*=d+一d 对数型log兰=loga+1一l0gan 1「 1 1 n(n+1)(m+2)2n(n+1D(1+J)(n+2) (m+1)！!(n+1) 2 1 n+2 1 1 (21-1)(2”-1D2"-12*+1-1 n(n+1)·2n·2（(n+1)·2 多典例剖析人一 例2设S。为数列{an}的前n项和，已知a=1,且满足2S。=4n·(n十1). (1)求数列{an}的通项公式： (2)设工，为数列b.的前n项和，当n≥2时，b。一a1·a,·a 1 一.若对于任意n∈N”,有Tn<1, 求b的取值范围. 【解析】(1)2Sn=am·(n+1),.2Sw-1=am-1·n(n≥2)，∴.2an=(n十1)am-am-1, a-1=m-1a.(m≥2.g-9号-=9=1m≥2. ∴.当n≥2时，4n=;当n=1时，也符合上式，∴an=n. 2)a=a2=专[am小：五=6+k22+2 当h≤是时，满足A<是十2n十D 1 当>是时，存在 十1.（其中，[]表示不超过x的最大整数），使得后>1 3则 b1 2m6+2o>n6>1 63一十2+D·不满足条件心6≤ 【答案】(1)a.=n(2h<是 97 高考数学冲刺宝典 ⑦对点练习人- 已知数列{an}的前n项和Sm满足a+1=S,十u(1十1)，n∈N (1)证明：数列{a}是等差数列： (2)设b.=心+n十1，若a2a4a成等比数列，求数列6的前n项和T… aranl 技法03错位相减的应用及解题技巧 技法解读人一 错位相减求和一般是等差数列乘等比数列求和，即差比数列，解题的关键是乘公比错位相 减，也可以用万能公式求解，是新高考卷中的高频考点，需强加练习， 万能公式：形如cn=(an+b)·1(q≠1)的数列求和为Sn=(An十B)g+C(q≠1)，其中A 9一1 串典例剖析人 例3设Sn为数列{an}的前n项和，已知a2=1,2Sn=am. (1)求{a}的通项公式： (2)求数列2尝)的前u项和T… 【解析】(1)an=n-1(n∈N"). (2:2尝=品T.=1x号}广+2×（侵°+3×侵}++m×侵 2工.=1×（侵）+2×侵}'++(m-1D×(侵广+n×(侵》，两式相减得， .++++-x债- 1- -×(》=1 1+号)（侵）”，即T.=2-(2+m)侵)广n∈N.也可以用万能公式求出ABC直接求解. 【答案】(1)a,=n-1(n∈N)T.=2-(2+(2)n∈N 98 题型17数列求和 对点练习人 已知S。为数列{am}的前n项和，a1=1,且{√S}是公差为1的等差数列.正项等比数列{bn}满足 b1=1,b.=16. (1)求数列{b)的通项： (2)求数列{am·√ban}的前n项和Tm. 技法04奇偶并项的应用及解题技巧 技法解读人一 有关数列奇偶项的问题是新高考卷中经常涉及的问题，解决此类问题的难点在于搞清数列 奇数项和偶数项的首项、项数、公差（比）等，这类题目对大部分学生来说难度较大，需强化练习. 串典例剖析一 例4-1已知{an}为等差数列，b,= 2a,n为偶数，记S,T,分别为数列{a,,6,的前n项 am一6，n为奇数 和，S=32,T3=16. (1)求{am}的通项公式： (2)证明：当n>5时，Tm>S. 【解析】(1)an=2n十3. (2)由(1)知，S.=n5+2+3》=m+4.h,= 2n-3,n=2k-1 2 4n十6，n=2k ,∈N. 当n为偶教时，工.=(h十么十…十h-)+(+6十-…十6)=-1+2g)-3.号十 14+nt6.登-多r+名，当>5时，T,-S=(停r+子知-(m+0=m-1>0,周光 2 T>S 当n为奇数时，若n≥3，则T。=(6十6+…+6，)+（十h,十…十6-1）=一1+2n-3.n时1+ 2 2 4+42》十6.”号-+受0-5，显然工=6=-1满足上式，因光当m为奇数时， 2 工.=r+2-5,当心5时，T,-5,=(停r+2-5-(m+4m)=号(n+2(m-5>0,因光 Tm>Sn,∴.当n>5时，T>Sm 【答案】(1)am=2十3(2)证明见解析 99 高考数学冲刺宝典 例4一2已知数列{am}的前n项和为Sm,S=9,an+1=am十2，数列{bn}满足b1=2,且b+1一2b. (1)求数列{am}和{bn}的通项公式： (2)设c,=一1)+1a,-一1)”-b,求数列1的前n项和T. 2 2 +2 【解析】(1).b.=2m (2由1)得：c=-1)+1.(2m-1)-[(-1)-1]·2,即 2”,n为奇数 2 21一1，n为偶数 1 111 当n为奇数时，= cc+22"·2+2-22+2=4市9 当n为偶时。2-2十2 1 秀保制得号古叶都包 1、 传)1-+市卫易·中D 当n为奇数时，Tm=T+1一 1 3 15·4"8n+45 3 2015·4币一8m十4”为奇数 综上所述：Tm 3 1 1 2015·4一8n十12n为偶数 3 20 15·4 8n十4n为奇数 【答案】 (1).bn=2 (2)T. 3 1 2015·4一8n十12n为偶数 方对点练八 已知等差数列{am}的首项为1，公差为2.正项数列{b.}的前n项和为S,且2Sm=品十b. (1)求数列{an}和数列{bn}的通项公式： aa,n为奇数 (2)若cn= 求数列{cm}的前2n项和. 2%,n为偶数 100 题型18数列综合 技法05 周期综合的应用及解题技巧 技法解慎人 数列是一种特殊的函数，函数的周期性考察往往也存在于数列题中，周期性数列求和相对简 单，但在新高考卷和模拟考题中经常出现一类与周期数列结合的类周期数列求和问题.我们称其 为“类周期数列”，该类数列求和往往具有一定的迷惑性和难度，需强化学习. 多典例剖析人一 例5-1已知数列{am}满足：am+1十（一1）an=3一1(n∈N).则{am}的前60项的和为() A.1240 B.1830 C.2520 D.2760 【解析】由a+1十（-1)"·am=3n-1,∴.a2-a1=2,ag十a2=5,a4-ag=8,as+au=11,… '.a1十a4=3,a5十a=3,a,十a=3….从第一项开始，依次取2个相邻奇数项的和都等于3： a2十a:=13,a6十ag=37,a:十a1o=61….从第二项开始，依次取2个相邻偶数项的和构成以13为 首项，以24为公差的等差数列. ：5m=3×15+13X15+1514×24=2760.故选D 2 【答案】D 例5一2数列{a,的通项a,=㎡(cos2-sin）),其前n项和为S,则Sm为 () A.-10.5 B.470 C.10.5 D.-470 【解析】 由二倍角公式得出a.=cos2,红=3，a十a1十a=(31-2)2cos(6n 3· x 3 +3m-1)cos6m-2s+(3m)oo2x=9n-3n-12+3m-2y2=9n- 3 2 2 ∴.S1=S30十a31 9X1+0)X10-5X0+31×cos92=495-25-961=-10.5故选A 2 2 2 【答案】A 万对点练习人- 1.数列{an}满足aw+1十（一1）严an=2n一1，则数列{an}的前60项和等于 () A.1830 B.1832 C.1834 D.1836 2.设数列{a.的通项公式为a,=(-1)(2m一1)·cos受+1(n∈N),其前n项和为S,则Sm A.-60 B.-120 C.180 D.240 101高考数学冲刺宝典 灯工是 @式-①式，得(m+1Da1=2r+7n+6a1-2m+3+山 6 6 3 且 4化简得一-中，中有带一告则≥2时，号一号 an n 号-1=号0，故数列{号-1首项为号公比为号的等比 ==号=号=1，即4，=当川=1时，a=1满足孩式. 2 数列号一1=号×（号）=（号）”=多故=8+. {an}的通项公式4.=2. 技法8已知a,-1一a.=pa,-ta,求通项公式的解题技巧 技法12不动点方程求通项 【对点练习】 【对点练习】 【解析a-子a1=己a◆么=2a与则6 1 2 1 (Da.-2n-1 【解析】(1)由4=1十2au,得a,=a+1+2a @ am1…且a,≠0.a,-a1=2aad-1=2.数列 2 2 asil tn 2a+1-1 2× -12a,气-2=6-2. 4一4am (品}是以1为首项，2为公差的等差数列…心士=1十(m一D “敦列(6}是首项为2—=一4，公差为一2的等差数 2× ×2=2m-1.故a,-2n 1 4-1 2 技法09a+1= 列∴h=2a,白-2n-2 pa+q .-专22-2×2里 1 【对点练习】 (1)am=2+1 【解折1a=分a1=2产a故a.≠0. 1 =1+=1+号（2）： “-是-1理得-1-2(公又-· d1a =n十1十 n+1 1一1 1=2≠0. -1≠0空=2为定值：故数列-1是 号-+g-++品) da 11 =+1+号自+-2)=+- 首项为2，公比为2的等比最列…-1=2，得a,=2中 技法10已知am+1=pam"(p>0,a>0)用 lgar+1=qlga十lgp求通项公式的解题技巧 任何正整数n恤成立，即子-号（十2十）<以≥子 【对点练习】 (1)80,6560:(2)证明见解析，4.=3-一1.【解析】(1)a+ 以的最小值为子故答案为子 =a+2 a..az=ui+2a:=8.a,=a+2 a:=80.a=aj+2 as 题型17数列求和 =6560. 技法1分组求和的应用及解题技巧 (2)g1+a2=lgq+a+2a2_g1+a,)2 =2, 【对点练习】 lg(1十aw) 1g(1十a。) lg(1十a.) {lg(1+au)}是首项为g3,公比为2的等比数列，lg 0a,=2m-1(2)T.=之(a-)-log(2m+1)【解折1D 1+a,)=(lg3)×2-1=g3,1+a。=3-,a.=31 由数列{a.)是首项为1，公差为d的等差数列，可得a.=1十(n -1. 一1)d.又a1,a一1，aa一1是等比数列{hw)的前三项，可得 技法1！构造常数列求通项公式的解题技巧 (ae-1)2=a·(a-1),即有=1+2d-1,解得d=2或d 【对点练习】 =0.d=0时，a1一1=a4一1=a1一1=0，不能作为等比数列的 (1)an=n【解析】(1)由题意知a1十2ag+3a十…十nam= 项，d=0舍去.∴aw=2n一1： 2+3n+1a.① (2)由(1)可得等比数列(b}的前三项为1,2.4，则{h,〉首项 6 得a1十2ag十3a1十*十na。十(n十1)a.+1 为1公比为2.6=21∴c,=log6=1og2m):2 aw十1 2n十1 2n+1)户+3(n十)+4,1.@ 6 =一1)+g别数到6的前n项和红.=(0+1+2+ 22 参考答案 +…十c2=(q十g十…+w-1)十（十c十…十2m)=(1 (2n+1). +5+…+4n-3)+(2+2+…+20)=4n-2)×1+十 2 技法02裂项相消的应用及解题技巧 442=(2m-1Dm+4-4 1一4 【对点练习】 3 ①证明见解析（②）T.=”生中动【解析1)由题可 技法5周期综合的应用及解题技巧 【对点练习】 n=1,a-a=2,naw+1=S,十n(n+1).∴.n≥2时，(n-1) 1.A【解析】当n为正奇数时，由题意可得a+1一an=2n-1, an=Sw-1十n(n-1),两式相减得na+i一(n-1)au=aw十2n, antg十au+1=21十1，两式相诚得a,十a+2=2:当n为正锅数 化简可得a+1一a=2,n≥2.且n=1满足条件，综上可得， 时，由题意可得a+1十an=2n一1，a+2一a+1=2n十1，两式 {aw}是公差为2的等差数列. 相加得an十a+:=4n.因此，数列(am}的前60项和为 (2)a2a=a,故(a1十2)(a1+14)=(a1十6)”，解得a1=2. [(a1+a)+(as十a)+…+(aa十ag)] .aw=a1十(n-1)×2=2, [(a2+a1)+(a6+a)+…+(asa十aa)]=2X15+(4X a(1+日江=a+a++a 2+4×6+…+4×58)=30+4X2+4X58)X15=1830.故 2 +1)+(+号吉)++(+片门 选A 工=+(1-)=中n 2,D【解析】当n=-3.k∈N时，c0s受=0，a=1当n 技法3错位相减的应用及解题技巧 =4h-2,k∈N时，60s受=-1，a-=[2X(4k-2)-1门 【对点练习】 ×(-1)+1=一8k+6:当n=4k-1,k∈N时，c0s受=0， (1)6.=4-1(2)T,=(2n-3)×2"+3【解析】(1)S,=a1 1,{√S}是公差为1的等差数列，√S=1+(n一1)×1=n. a1=1:当n=k,k∈N时，cos受=1，an=2X4秋-1十1 即5=m,当n2时，am=S。一S-1=21-1,a1=1满足通项 =8k.∴aw-十aw-2十a-1十aw=1+(-8k十6)十1十8k 公式，则a.=2m一1.{h}是正项等比教列，设公比为9，则g> 8.S=129×8=240.故选D 0,6=6=16=6g,而6=1，故9=2,6，=21，即6.=22 4 =4-1. 题型18数列综合 技法01数列与不等式 (2)amVb,=(21-1)·2.T。=1×2°+3×21+…+(21 1)×21,2T。=1×2+3×2+…+(2-1)×2,两式相减 【对点练习】 得到：-T.=1×2+2×2+…+2×2"-1-(2-1)×2=1 1.(1)b=21+1(2)证明见解析【解析】(1)由S+1=S,+ 4aw-3.得S+1一S.=4aw-3,.aut1=4am-3,则au+1-1 +2×21-22-（2m-1)×2=(3-2m)×2-3,故T. 1-2 =4(a-1),41-1=2-1=1≠0，∴.aw-1≠0，∴.数列 (2mn-3)×2+3. {a。一1}是以1为首项，4为公比的等比数列，an一1= 技法4奇偶并项的应用及解题技巧 4"-1=22w2,h,=l0g(aw-1)+3,∴.6=log22-1+3= 【对点练习】 2m+1. (1)a.=2n-1,6,=n(2(2n-1Dm+4-4 3 【解析】(1)依题 (2)c。=(-1D1·地，=(-1)1· bbe+i 意可得a。=1+2(n-1)=2n-1,:25=侯+b①，当n≥2 2m2+=(-11…号(h+2)小…t 2+2 时，2S-1=房-1十b-1②， ①一②→2b=房一候-1+一6-1→ (6+b.-1)(b-bw-1)-(b+b,-1)=0. [(号+号)-（号+）+(3+)-+(-1) (6+b.1)(6-b-1-1)=0,(n≥2)，h>0..bn-b1 1,且在(1)式中令n=1→6=1或=0（舍去）.∴.6，=1+(n (2市+n)], 1)×1=n,综上可得a=2n-1,b,=. 当n为寺载时，工.=是（侵十2）>行>品当n为何 amn为奇数2n-1,n为奇数 (2)由(1)可得c= 2,n为偶教2"，n沩偶敦 数时，工，=号（兮-2）由T4-T>0.可知T,1是 23