题型16 12类数列通项公式构造解题技巧-2025年新高考数学冲刺宝典

高考数学冲刺宝典 串典例剖析人一 例4（多选）已知数列{an}的前n项和是S.,则下列说法正确的是 A.若Sn=an,则{an}是等差数列 B.若a=2,a+1=2am十3，则{am十3}是等比数列 C.若{an}是等差数列，则Sw,Sm一S,Sm一S2m成等差数列 D.若{an}是等比数列，则Sn,S一Sm,S3m一Sn成等比数列 【解析】对于A,Sn=an,n≥2时，an=Sm一Sw-1=an一a-1,解得am=0,因此n∈N”,am=0, {am}是等差数列，A正确；对于B,a1=2,am+1=2am十3，则am+1十3=2(an十3)，而a1十3=5， {am十3}是等比数列，B正确；对于C,设等差数列{an}的公差为d,首项是a1,Sn=a1十ag十…十 aw,S2m-Sn=aa+1十am+2+…十a2n=(a1十nd)十(a2十nd)+…+(an十nd)=Sw+nd,Sn-S2n a2n+1十a2m+十…十aam=(an+1十nd)十(a+2十nd)十…十(a2m十nd)=(S2-Sn)十nd,因此2(S2n -Sn)=Sn十(Sn-S2n),则Sm,S2m-Sn,S3m一Sn成等差数列，C正确；对于D,若等比数列{an}的 公比q=一1，则S2=0,S1一S2=0,Ss一S,=0不成等比数列，D错误.故选ABC. 【答案】ABC ⑦对点练习 1,设等比数列1a的前n项和是5…已知S。=30,S=120.则管- ( A.13 B.12 C.6 D.3 2.已知等比数列{an}的公比为- 2前n项和为S…若S=31,5S.=32,则m A.3 B.4 C.5 D.7 3.设等比数列{am}的公比为q,其前n项和为S,前n项积为Tm,且满足条件a1>1,a2oaa21>1, (a2o2一1)(a01一1)<0，则下列选项错误的是 A0<q<1 B.S2020+1>S2021 C.T是数列(Tm}中的最大项 D.To41>1 题型1612类数列通项公式构造解题技巧 技法01用am与Sm关系求通项公式的解题技巧 技法解人 d= Sm-sm-1,n≥2 84 题型1612类数列通项公式构造解题技巧 串典例剖析人 例1记S为数列{a,}的前n项和.已知2S+n=2a,十1. (1)证明：{am}是等差数列， 【解析】(1)八2S+n=2a.十1，即2S+n=2ma.+n①， 当n≥2时，2Sm-1+(n-1)2=2(n-1)ar-1+(n-1)②， ①-②得，2S。+m2-2S-1-(n-1)2=2an十1-2(n-1)a-1-(n-1), 即2an+2n-1=2am-2(n-1)am-1+1,即2(n-1)am-2(n-1)am-1=2(n-1),∴.am-ar-1=1, n≥2且n∈N”,∴.{am}是以1为公差的等差数列. 【答案】(1)证明见解析 )对点练人 L.已知数列{an}的前n项和为Sm,a1=4且an+1=Sm十4(n∈N·). (1)求数列{an}的通项公式. 2.记数列{u,的前n项和为S,已知a1=一6，且满足S十S十a=3. (1)求数列{an}的通项公式. 技法02已知am+1=an十f(n)用累加法求通项公式的解题技巧 ⊙技法解谟人- f(n)为常数，构造成等差数列 ∫(n)为一次函数，构造等差求和 形如a+1=an十f(n),a1=A,若 f(n)为指数函数，构造等比求和 f(n)为分式函数，构造裂项相消求和 85 高考数学冲刺宝典 多典例剖析 例2在数列{an}中，a1=3,an+1=am十 n(n十)，求通项公式an 【解折扪】原递#式可化为a1=a,十日到a=a十}2=a十号司 a=a十号}…，a=a十n逐项相加，得a=a十1-故a=4- 【答案】 4-1 对点练习趴 1.已知数列{an}满足a+1=am十2·3十1，a1=3,求数列{an}的通项公式. 2.已知数列{an}的前n项和为Sm,满足a=1,(n一1)am一a-1=1(n≥2，n∈N). (1)求a2,ag的值，并求数列{an}的通项公式. 技法03已知a+1=an·f(n)用累乘法求通项公式的解题技巧 技法解读人 常数→等比数列 形如a+1=an·f(n),a1=A→=f(n,若：f(n)为 函数→累乘法 多典例剖析人一 例3记5为数列a的前n项和，已知a=1.二是公差为号的等差数列， (1)求{an}的通项公式. 86 题型1612类数列通项公式构造解题技巧 【解折】0a=1S=a=1会=1，又：各是公差为号的等差数列 a =1+m-D=8=叶2a当n≥2时S=十a, 3 3 a,=S.-S-1=n+2)a_n+aL,整理得：m-1Da,=(+1)a1,即，=告 3 3 an1 n-1' a.=a×鲁×g×…x2×2=1x是×号×…Xn”2×nm. a a3 dn2 an1 ^n-2^n-1 2 显然对于n=1也成立“{a,}的道项公式4，=nm 2 【答案】(1)a,=n(n+1D 2 万对点练习人 已知数列a.满足：a1=a1n十24 (1)求数列{an}的通项公式. 技法04已知a+1=pan十q用am+1十1=p(an十入)求通项公式的解题技巧 技法解读人 可用待定数展开a+1十A=ba,十)>a1=a,十（力-1DA→A-=D号气A=D马使得{a 十入}为等比数列. 多典例剖析人 例4数列{an}中，a1=2,an+1=2am一1. (1)求数列{an}的通项公式a 【解析】(1)，a+1=2am一1，∴.a+1一1=2(am一1)，又a1-1=1, .数列{am一1}是以1为首项，2为公比的等比数列.am一1=2-1，即am=2-1十1. 87 高考数学冲刺宝典 【答案】(1)an=21十1 方对点练习 已知数列{an}中，a1=5,且2a+1=an十2，Sn为其前n项的和. (1)求数列{an}的通项公式. 技法05已知a+1=pam十f(n)用am十An十B=p[a,1十A(n-1)十B] 求通项公式的解题技巧 技法解读人 已知a+1=pan十f(n)用am十A1十B=p[a-1十A(n一1)十B]求通项，可以套模板来灵活解 题，其本质是待定系数，需强化练习 多典例剖析人一 例5在数列{an}中，已知am=2a.-1一21十4(n≥2)，a1=4. (1)求{am}的通项公式. 【解析】(1)，'an=2am-1-2n十4(n≥2)，∴.am-2n=2[aw-1-2(n-1)](n≥2)，又a1-2=2≠0， .{am一2n}是首项为2，公比为2的等比数列..an一2n=2”,即4.=2m十2n. 【答案】(1)am=2"+2n ⑦对点练习趴 在数列{am}中，a1=1,且am+1=3am十2n一1. (1)证明：数列{am十n}是等比数列. 88 题型1612类数列通项公式构造解题技巧 技法06an+1=pam十q”型 技法解读人 已知1=加，十（用岩-号·号十号求道项公式，共本质是除以一个指数式，是高考中的 高频考题，可灵活运用模板解题. 串典例剖析人 例6已知数列{an}的前n项和为Su,a1=1,am+1=2an十2+l. (1)试求数列{an}的通项公式. 【解 】（1)由题意a1=2a,+21,两边同时除以21，将其变形为2号-受+1， 即别一受=1，由等差数列的定义可知会}是以首项为号-号公差为d=1的等差数到， ∴受=2+(n-10X1=22,即a.=(2m-1D…2 2 【答案】(1)am=(2n-1)·2- 对点练习人 已知数列{a,的前n项和为S,5,=a,一2 1)证明：二是等差数列。 89 高考数学冲刺宝典 技法07已知a+2=pan+1十qan用a+2一ka+1=h(an+1一kan)求通项公式的解题技巧 技法解慎人 已知a+2=pan+1十qan用a+2一kar+1=h(ar+1一kan)求通项公式，其本质是待定系数法，是 高考中的高频考题，可灵活运用模板解题， 串典例剖析人一 例7已知数列{an}满足a1=2,a2=4,am+2=a十2a (1)证明：数列{am}为等比数列， 【解析】(1)，aw+2=a+1十2un,.an+2一2am+1=一(a+1一2am）.已知a=2,a2=4, 得a2一2a1=0,可得aw+1一2an=0,∴.数列{an}为以2为首项，以2为公比的等比数列. 【答案】(1)证明见解析 ⑦对点练习人 已知数列{an}满足a1=5,a2=13,且am+2=5am+1一6an(n∈N). (1)求证：数列{aw+t一2an}是等比数列，并求{an}的通项公式. 90 题型1612类数列通项公式构造解题技巧 技法08已知am-1一an=pam-1an求通项公式的解题技巧 技法解速人一 已知a1一a,=pa,1a,用上-=p求通项公式，其本质是除以a,-1a,是高考中的高频 an an-1 考题，可灵活运用模板解题」 串典例剖析人一 例8已知数列{an}满足a1=2,2a+1十aam+1一2aa,=0(n∈N). (1)求数列{an}的通项公式. 【解析】 (1)a=2,2a+1十a,a1-2a,=0(n∈N),a≠0,2+1-2=0. “a日-分品为等差数列，首项为。-分公差=受 【答案 】(1)an=2 对点练习人 已知数列{an}满足m=1,a”=1十2a. 4a+1 (1)求{a.}的通项公式. 91 高考数学冲刺宝典 技法09a+1= man pam十q 技法解慎 已知a+1 man用 1=m1+必求通项公式，其本质是取倒数，是高考中的高频考题，可 pam十qaw+1qanp 灵活运用模板解题. 串典例剖析一 例9已知数列{an满足a= 且a1a24 1)求证：数列品-1是等比数列。 【解析】 ①-器-+a-1=-小a=号品1= 2am22an'am+ 品一1是以号为首项，为公比的等比数列。 【答案】(1)证明见解析 ⑦对点练习 已知数列a.中a=分a1-2a (1)求数列{an}的通项公式 92 题型1612类数列通项公式构造解题技巧 技法10已知a.用a=号a1=a-2a,十2，求通项公式的解题技巧 技法解，人 已知a+1=pa%.(p>0,am>0)用lgan+1=glg a十lgp求通项公式，其本质是取对数，是新高 考卷中的高频考题，可灵活运用模板解题. 串典例剖析。 例10数列a,清足a,-多41=d-2a,十2，下列说法正确的是 () A存在正整数k,使得a4=3 B.存在正整数k,使得a.=3 C.对任意正整数k,都有1<a<2 D.数列{an}单调递增 【解析】数列{a,}满足a=a1=g-2a.十2=(a,一1D+1D1A不正确 由a+1=a7-2an十2，得am+1-1=a后-2a,十1=(an-1)2,两边取以2为底的对数， 可得log2(am+1一1)=2log(an一1)，.数列{log2(a+1一1)}是等比数列， 且1oga-D=log(层-1=-1，则1oga,-1)=-2,∴a,-1=2,即a,=2， 当n≥1时，2≥1，-2<-10<2≤号，即1<，=2十1≤号∴B不正确. a+1一an=a后一3am十2=(an一2)(an一1)<0，则数列{an}单调递减.D不正确.故选C. 【答案】C 万对点练习趴 已知a=2,点(am,aw+1)在函数f(x)=x2十2x的图像上，其中n=1,2,3,… (1)求ag,a4的值： (2)证明数列{lg(1十am)}是等比数列，并求数列{a.}的通项公式. 93参考答案 ÷5-s=,即到22=(-)）广，解得m=5,截选C 技巧技法3已知a.+1=a.·f(n)用累乘法求通项 32 公式的解题技巧 3.D【解析】等比数列{a,}的公比为q,若>l,则 【对点练习】 (a1q)(a)=(a)'(g0)>1,由a1>1,可得g>0.则 数列{an}各项均为正值，若(a一1)(a赠一1)<0，当q≥1 1)a,-2n(+D 【解析1)由题意：=，4=2,4 a 3 as 4 us 时，由a1>1则am>1恒成立，显然不适合，故0<g<1,且 6…,=n 3,=4」 5'd an平2心要××9x丝×…x a>l,0<ae<1,故A正痛：：0<aa21<1,∴.Saw十1> 1 2 Sa十ae1=Se1,故B正确：根据a>a2>…>a>1> = w+1= 3 ×n+2二(m+1)n+②，a ae1>…>0,可知T是数列《Tm)中的最大项，故C正 2 2 确：由等比数列的性质可得a1dl=a2ao=…=2 (m+1)（m+2②a.1=a×(n+1)(m+2一2m+1(m+2a =aie,0<aet<1,∴.Tn=aaao1=a<1.故D错 一2mn十D将m=1代入上式也成立a,-2nn+D 误，故选D. 技法04已知aa+1=pam十q用a+1十A=p(a。十入) 题型1612类数列通项公式构造解题技巧 求通项公式的解题技巧 技法01用a.与S,关系求通项公式的解题技巧 【对点练习】 【对点练习】 1.(1)aw=2→1【解析】(1)：aw1=S。十4，当n=1时，a=S 1)a,=3×(号）+2【解析1)2a+1=a,+2,a 十4=8，当n≥2时，an=Sw-1十4，∴.a+1一an=aw,即a+1= =号a十1a1-2=号a,-2)而a-2=3≠0. 2a.m≥2mEN).又治-是-2，满是上式a)是 10,一2)是以3为首项，号为公北的等比数列：“口-2=3× 以4为首项，2为公比的等比数列，则an=4×21=2. 2.(1)a。=一3X2【解析】(1)，S+1+S。十a=3aw+1,则当 (合）厂，则a=3×(侵)+2 n≥2时，S.+S。-1十a2=3an,两式相减可得aw+1十an=3 技法05已知a+1=pa.十f八n)用am十An十B= a+1一34m(n≥2)，则aw+1=2am(n≥2)，且当n=1时， p[a-1十A(n-l)+B]求通项公式的解题技巧 S+S十@=3，解得a=2a1(a}是首项为-6.公比为 【对点练习】 2的等比数列，∴a.=一6×21=一3×2"，即an=一3×2"， 证明见解析【解析】(1)证明：由于a+1=3a.十2一1，∴.a+ 技法2己知a+1=a,十f八n)用累加法求通项公式的解题技巧 十(n十1)=3(an十n),又a1=1,.a1十1=2.∴.数列 【对点练习】 {a十n)是以2为首项，3为公比的等比数列. 1.an=3"十n-1.【解析】由am+=a。十2·3”十1得am+1一am 技法06au+1=paw十 =2·3°十1，则a。=(a。-a-1)十(a-1-a-:)十…十 【对点练习】 (a-a2)+(a:-a1）+a1=(2·3-1+1)+ 证明见解析 【解析】1)由25=a-2l,得251=a- (2·3+1)+…+(2×3+1）+3=2 (31+32++3+3)+(m-1)+3=2×31-3”) -2.7(S1-8)=a1-a-2,p2a1=a1-dn 1-3 十n十2=3"十n一1. 一21，整理得a1一2a,=2,上式两边同时除以2”，得“2 2.(10a,=3,a=5,a,=2n-1(n∈V)(2T=3-2+3 24 是=1.又号s=a-21心2am=a-1,即a=2. 【解析】1)'a1=1,(n-1)a。一na1=1(n2,n∈N”), ∴.当n=2时，d=3:当n=3时，a8=5,(n-1)a。一nag-1 《当}是首项为2，公差为1的等差数列. =1m≥2neN)费-号= 技法07已知a+?=paw+十qa.用 aa+2一ka+1=h(a+1一ka.)求通项公式的解题技巧 【对点练习】 (件-号)+（号）+…+（受-4） (1)证明过程见解析，am=3”十2”【解析】(1)：a+g=5a+1 6a,则4-2au=5at1-6a,-2au=3a1-6a= (片)+（是2）++（片-2）=1- aw+1一2am a+12a am1-2as 3,且a?-2a1=3≠0，故数列{a+1-2am}是首项为3.公比为 又a1=1.a.=2n-1(n∈N). 3为子比数列a1一2a,=3×31=3,则号别=号×号 21 高考数学冲刺宝典 灯工是 @式-①式，得(m+1Da1=2r+7n+6a1-2m+3+山 6 6 3 且 4化简得一-中，中有带一告则≥2时，号一号 an n 号-1=号0，故数列{号-1首项为号公比为号的等比 ==号=号=1，即4，=当川=1时，a=1满足孩式. 2 数列号一1=号×（号）=（号）”=多故=8+. {an}的通项公式4.=2. 技法8已知a,-1一a.=pa,-ta,求通项公式的解题技巧 技法12不动点方程求通项 【对点练习】 【对点练习】 【解析a-子a1=己a◆么=2a与则6 1 2 1 (Da.-2n-1 【解析】(1)由4=1十2au,得a,=a+1+2a @ am1…且a,≠0.a,-a1=2aad-1=2.数列 2 2 asil tn 2a+1-1 2× -12a,气-2=6-2. 4一4am (品}是以1为首项，2为公差的等差数列…心士=1十(m一D “敦列(6}是首项为2—=一4，公差为一2的等差数 2× ×2=2m-1.故a,-2n 1 4-1 2 技法09a+1= 列∴h=2a,白-2n-2 pa+q .-专22-2×2里 1 【对点练习】 (1)am=2+1 【解折1a=分a1=2产a故a.≠0. 1 =1+=1+号（2）： “-是-1理得-1-2(公又-· d1a =n十1十 n+1 1一1 1=2≠0. -1≠0空=2为定值：故数列-1是 号-+g-++品) da 11 =+1+号自+-2)=+- 首项为2，公比为2的等比最列…-1=2，得a,=2中 技法10已知am+1=pam"(p>0,a>0)用 lgar+1=qlga十lgp求通项公式的解题技巧 任何正整数n恤成立，即子-号（十2十）<以≥子 【对点练习】 (1)80,6560:(2)证明见解析，4.=3-一1.【解析】(1)a+ 以的最小值为子故答案为子 =a+2 a..az=ui+2a:=8.a,=a+2 a:=80.a=aj+2 as 题型17数列求和 =6560. 技法1分组求和的应用及解题技巧 (2)g1+a2=lgq+a+2a2_g1+a,)2 =2, 【对点练习】 lg(1十aw) 1g(1十a。) lg(1十a.) {lg(1+au)}是首项为g3,公比为2的等比数列，lg 0a,=2m-1(2)T.=之(a-)-log(2m+1)【解折1D 1+a,)=(lg3)×2-1=g3,1+a。=3-,a.=31 由数列{a.)是首项为1，公差为d的等差数列，可得a.=1十(n -1. 一1)d.又a1,a一1，aa一1是等比数列{hw)的前三项，可得 技法1！构造常数列求通项公式的解题技巧 (ae-1)2=a·(a-1),即有=1+2d-1,解得d=2或d 【对点练习】 =0.d=0时，a1一1=a4一1=a1一1=0，不能作为等比数列的 (1)an=n【解析】(1)由题意知a1十2ag+3a十…十nam= 项，d=0舍去.∴aw=2n一1： 2+3n+1a.① (2)由(1)可得等比数列(b}的前三项为1,2.4，则{h,〉首项 6 得a1十2ag十3a1十*十na。十(n十1)a.+1 为1公比为2.6=21∴c,=log6=1og2m):2 aw十1 2n十1 2n+1)户+3(n十)+4,1.@ 6 =一1)+g别数到6的前n项和红.=(0+1+2+ 22