题型15 等差数列、等比数列的性质及前项和解题技巧-2025年新高考数学冲刺宝典

高考数学冲刺宝典 ABCD的面积S=2S△xn=2x寸BDxBCx sin $35-0)-9 v② sin 0sin (135*-θ) =9 v2 sin 0 选A. ($ osogin)-sn oo+ sin o in 2o 2.24【解析】'在等差数列{a。)中,有a十a一a十a-2 a,,由a+a+a:+a+a-120,得5a-120,a-24, a+a-2a.2a-a-a-24 技法02 等差数列前:项和的性质解题技巧 20--45^{}135^{}当20-45^*}-90{},即0-67.5{时,$取到 【对点练习】 1.C【解析】S。,S一S,S一S也成等差数列,'2 技法05 正切比值与和差问题 (S-S。)=S+(S-S).'2x(10-20)=20+S 【对点练习】 -10,解得S。--30.故选C. 【解析】(1)由已知得s-bcsinA,即 1.(1_T7 2.A 【解析】根据题意,不妨令S.-2kn,T.一3kn{}+hn(k为 常数,且k-0).n2时,a.-S -S-,=k(4n-2),b xx4-2..C-.由sinA-及△ABC为锐角三角 形可得cos A-3.由余弘定理得a-十#2hcos A- -#_选 A 3.ACD【解析】由已知a:--10,a:-a.=3,,数列{a。)是 首项为-10,公差为3的等差数列,.',a--10+3(n-1) (2)'s-absinC=asin C-2,即asin C-b,由正弦定理 3n-13.对于A选项,'a.-a.-3..a)是递增数列,A 对:对于B选项,令a.-3n-13-10,可得n-23N,B 得:sin B-sin Asin C.'sin B-sin Asin(A+B)=sin A (sin Acos B+cos Asin B)-sin}Acos B+sin Acos Asin B, 错;对于C选项,令an。-3n-13<o可得n13..数列 . tan B-sir A+sin Aoos Atan B.i tan B-1-sin Aoos A sinA tan{A sinA (S.)中的最小项为S,C对;对于D选项,S.n(a+a.) _ sinA十cos A-sin Acos A tan{A-tanA+1 a(-10+3n-13)3r”-23n,则3n-23. 2 一;'Ae(o.吾)...tanAe(o.+oo)... 2 2 tanAtanA+1 15(+0,则当-时 +1取 A tanA 差数列.D对.故选ACD. 得最小值.tanB的最大值为告. 技法03 等比数列的性质解题技巧 【对点练习】 【解析】(1)-+-a-→+-,即 os B 1. D 【解析】由a:aa;-4,aasa-16可得a-4,a-16, 2c a-aa,故a{-a^{},则l6{-4,解得a^{}-64,即asa (1+tanAtanC)一 -64.故选D. tanA-tanC_3. 2.189【解析】由a.)是等比数列,设其公比为q,则a;十a; anAtanC, tan(A-C)-} a+a,a十a,a十a构成等比数列,且公比为,.a十 //A-750 A-C-30”,'A+B+C-180”, =(a+a)'-3,则a:+an-(a+as)-219 1C-45.根据正弦定理 -189. 技法04 等比数列前”项和的性质解题技巧 【对点练习】 题型15 等差数列、等比数列的性质及其 1.A【解析】:S=30,S -120...S=a+a+a=30.$ 前n项和解题技巧 -a+a+a+a+a+a=120.S-S-a+a+a= 技法01 等差数列的性质解题技巧 90..-+-+-3. 又a+a+a=90×-270,得 【对点练习】 十a十a 1.A 【解析】根据等差数列性质,由a十a:十a:一7,a:十aa十 2.C【解析】S.,S.-S.S-S.成等比数列,且公比为^”。 20 参考答案 .S-S-”,即31-32(-)”,解得m-5.故选C. 技巧技法03 已知a三a·/(n)用累乘法求通项 公式的解题技巧 3.D【解析】等比数列a。)的公比为g,若asoan:1,则 【对点练习】 (a)(a)-(a)(q)>1,由a1,可得q0,则 (1)a.=2n(n+1) 数列a。)各项均为正值,若(ao-1)(a-1)0,当ql #3)) 时,由a1则a1恒成立,显然不适合,故0 o1,且 5'a a :a: a1,0a<1,故A正确;.'0a<1..'Sx+1 ####)_#-), a二 So+as:-St,故B正确;根据aa..as>1 ase..0,可知To是数列(T)中的最大项,故C正 2 (+1)(n+2),d1=a×u+1Gn+2)2(n+1)(n+2),a。 确;由等比数列的性质可得a:aau-a:aon-...-asosase -2n(n+),将n-1代入上式也成立,.a。-2n(n十). -a,0<as 1.'Taa..*au=a<1,故D错 1. 误,故选D. 技法04 已知u-a。十用a十-(a。十) 题型16 12类数列通项公式构造解题技巧 求通项公式的解题技巧 技法01 用a.与S.关系求通项公式的解题技巧 【对点练习】 【对点练习】 (1)a-3x()+2 【解析】(1)·'2a-a。+2..a) 1.(1)a.-21 【解析】(1):a-S十4.当n-1时,a-S +4-8,当n2时,.-S,+4.a-a.-a,即a= (a.-2)是以3为首项,为公比的等比数列:^.a.-2-3× 以4为首项,2为公比的等比数列,则a.-4×2l-2. ()则a-3x()+2. 2.(1)a.=-3x2【解析】(1)'S十S+a-3a,则当 n2时,S.十S,十a-3a.,两式相减可得a。,十a.-3 技法05 已知a.:-pa.十/(n)用a.十An+B= a-3a。(n2),则a--1-2a.(n2),且当n-1时, pa十A(n-1)+B]求通项公式的解题技巧 S+S十a-3.解得a。-2a..a.)是首项为-6,公比为 【对点练习】 2的等比数列..'a.--6×2-1--3x2”,即a.=-3x2”。 证明见解析 【解析】(1)证明:由于a:-3a。+2n-1,.,al 技法02 已知a。一a。十/(n)用累加法求通项公式的解题技巧 十(n+1)-3(a.+n),又a=1,a+1=2.数列 【对点练习】 (a十n)是以2为首项,3为公比的等比数列. 【解析】由a:-a.十2·3”十1得a.-a。 技法06a-a+ 1.a.=3十n-1. -2·3十1,则a.=(a-a))十(a--a-:)十.十 【对点练习】 (a一a)十(a:-a:)+a (2·31+1)+ 证明见解析 听 【解析】(1)由S.-a.-2-1,得S.1-a1 (2·3+1)+.+(2×3+1)+3=2 (3-1+3-2+.+3+3)十(n-1)+3-2×3(1-3-) 1-3 -2-,整理得a.1-2a。-2”,上式两边同时除以2”,得{一 +n+2-3+n-1. 2.(1)a-3.a=5.a-2n-1(nN·)(2)T.-3-2n+3 【解析】(1).a=1.(n-1)a.-na-,-1(n2,nN). 2{是首项为2,公差为1的等差数列. '当n-2时,a-3;当n-3时,a-5..'(n-1)a。-na-1 “--1-- 1 -1(n2n).1 技法07已知a.:-pa+qa.用 a-ka。,-h(a-a.)求通项公式的解题技巧 1 _1 1一 _-1 【对点练习】 7 (1)证明过程见解析,a.-3”十2” (#)+()+(一)一 【解析】(1):a.:-5a.- 6a,则-25-6-2a_3-6. (-)+(#--).(#)-1-# a-2a. a.-2a。 a-2a 3.且a-2a-3-0,故数列a.-2a)是首项为3,公比为 又.a-1.a.-2n-1(nN). 21题型15等差数列、等比数列的性质及其前n项和解题技巧 2.已知在△ABC中，角A,B,C,的对边分别为a,b,c,且=a2十c2一ac,b=1. （若amA-amC=受1十At C,)求边c的值 题型15等差数列、等比数列的性质及其前n项和解题技巧 技法01等差数列的性质解题技巧 技法解读人 (1)若m十n=p十q白am十am=ap十ag,或m十n=2p台am十am=2ap； (2)若{a},{bn}为等差数列，则{an士bn},{mam士bn}仍为等差数列. 串典例剖析人一 例1已知等差数列{an},若a十a2十ag十…十a12=21,则a2十a5十ag十a1= 据等差数列的性质可得a十ag十a十+ap=6(a十a12)=21,解得a十ag三 【解析】 .∴.a2十a5十a8+a1=2(a1十a12)=7. 【答案】7 ⑦对点练习八 1.已知数列{an}为等差数列，a1十a2十as=7,a,十a8十ag=13,则a1s十14十a5= A.19 B.22 C.25 D.27 2.在等差数列{an}中，若a1十a2十a十a4十as=120,则2a6一ag= 81 高考数学冲刺宝典 技法02等差数列前n项和的性质解题技巧 技法解速 L.等差数列前n项和与函数关系 S=a+nn2dS=a+dr2S.=号r+(a-号）m,令A-号，B=a一号→s 2 =An2十Bn→等差数列{an}前n项和公式是无常数项的二次函数. 2.等差数列前n项和的性质 (1)S,S4一S,S4-S4…仍成等差数列；(2)三为等差数列： (3)Sm+n=Sn十Sn十mnd; (4)S2m-1=(21-1)am. 串典例剖析人一 例2-1（多选）设Sn是等差数列{am}的前n项和，若S,=Ss,且(n十1)Sm>nS+1(n∈N“),则 下列选项中正确的是 () A.an>an+1 B.So和S:均为S.的最大值 C.存在正整数k,使得S=0 D.存在正整数m,使得Sm=Sm 【解析】设等差数列{a,公差为d,由S,=S得7a十76.d=13a1+1312,d,化简得a0 2 2 +a=0::(n+1)S,>nS+1(n∈N),.11Sw>1051,即11×a+a,)X10>10× a十a)X☐，ao>aa>0,1<0,d<0,故数列a,为减数列，故A正确： 2 a1o十a11=0,a10>0,a11<0,故So为Sm的最大值，故B错误； 4o十an=a十an=0,故S=(@十a)X20=0,故C正确； 2 S=Sn时，ma,+mm).d=3ma1+3m(8m=,d,即2a,=(-4m+1)d,又由ao十a1= 2 2 0得2a1=-19d,∴.-19d=(-4m十1)d,解得m=5,故D正确.故选ACD. 【答案】ACD 例2一2设等差数列{an}与等差数列{b}的前n项和分别为Sm,T.若对于任意的正整数n都有 哈 () A影 B别 c熟 n装 【解析】设S.=(21+1)nt,T.=(3n-1)nt,t≠0.则ag=S8-S,=1361-1051=311,b=Tg-T8 =23-18=50发-别故选R 【答案】B 82 题型15等差数列、等比数列的性质及其前n项和解题技巧 万对点练习八 1.设等差数列{an}的前n项和为Sn,若S1a=20,S2=10,则Sm= A.0 B.-10 C.-30 D.-40 2已知等差数列@，亿，的前n项和分别为S工，若二=侧%彐 b3十 A是 R品 c n号 3.（多选)已知数列{am}的前n项和为Sm,若a1=一10，a+1=am十3，则下列说法正确的是（） A.{a.}是递增数列 B.10是数列{an}中的项 C.数列{S,}中的最小项为S D.数列是等差数列 n 技法3等比数列的性质解题技巧—等比数列通项公式的性质 1.若m十n=p十g台am·an=ap·an或m十n=2p台am·an=a2. 2.若{a},{b}为等比数列，则(an·b,g仍为等比数列. 6. 串典例剖析人一 例3已知等比数列{an}的各项均为正数，且a5a6=9,则1ogsa1十loga2十…十log3ao= A.12 B.10 C.8 D.2+logs5 【解析】{am}为等比数列，则log3a1十1ogaa2十…十log3a1o=1og3(a5a6)5=5X2=10. 【答案】B ⑦对点练习趴 1.在等比数列{an}中，a2aga1=4,a5a6a=16,则asaa10= A.4 B.8 C.32 D.64 2.设{an}是等比数列，且a1十au=7,aa十a6=21,则a1十a1o= 技法04等比数列前n项和的性质解题技巧 ⊙技法解速人 等比数列前刀项和的性质 1.S,S2一S,S一S24…仍成等比数列. 2.Sm+m=Sm十q"·S. 83 高考数学冲刺宝典 串典例剖析人一 例4（多选）已知数列{an}的前n项和是S.,则下列说法正确的是 A.若Sn=an,则{an}是等差数列 B.若a=2,a+1=2am十3，则{am十3}是等比数列 C.若{an}是等差数列，则Sw,Sm一S,Sm一S2m成等差数列 D.若{an}是等比数列，则Sn,S一Sm,S3m一Sn成等比数列 【解析】对于A,Sn=an,n≥2时，an=Sm一Sw-1=an一a-1,解得am=0,因此n∈N”,am=0, {am}是等差数列，A正确；对于B,a1=2,am+1=2am十3，则am+1十3=2(an十3)，而a1十3=5， {am十3}是等比数列，B正确；对于C,设等差数列{an}的公差为d,首项是a1,Sn=a1十ag十…十 aw,S2m-Sn=aa+1十am+2+…十a2n=(a1十nd)十(a2十nd)+…+(an十nd)=Sw+nd,Sn-S2n a2n+1十a2m+十…十aam=(an+1十nd)十(a+2十nd)十…十(a2m十nd)=(S2-Sn)十nd,因此2(S2n -Sn)=Sn十(Sn-S2n),则Sm,S2m-Sn,S3m一Sn成等差数列，C正确；对于D,若等比数列{an}的 公比q=一1，则S2=0,S1一S2=0,Ss一S,=0不成等比数列，D错误.故选ABC. 【答案】ABC ⑦对点练习 1,设等比数列1a的前n项和是5…已知S。=30,S=120.则管- ( A.13 B.12 C.6 D.3 2.已知等比数列{an}的公比为- 2前n项和为S…若S=31,5S.=32,则m A.3 B.4 C.5 D.7 3.设等比数列{am}的公比为q,其前n项和为S,前n项积为Tm,且满足条件a1>1,a2oaa21>1, (a2o2一1)(a01一1)<0，则下列选项错误的是 A0<q<1 B.S2020+1>S2021 C.T是数列(Tm}中的最大项 D.To41>1 题型1612类数列通项公式构造解题技巧 技法01用am与Sm关系求通项公式的解题技巧 技法解人 d= Sm-sm-1,n≥2 84