题型13 6类解三角形公式定理解题技巧-2025年新高考数学冲刺宝典

高考数学冲刺宝典 b-c=(x,y-1),(a-c)·(b-c)=x2十y2-x-y=0,c|=√x2+y表示(x,y)到原点(0,0)的 距腐+y-T一y=0表示圈心（侵》，号为半径的圆周光c的策大值巨，故选C 【答案】 I c ⑦对点练习人 1.已知a,b是单位向量，a·b=0.若响量c满足c一a一b=1,则|c的取值范围是 A.[2-1,w2+1]B.[2-1,w2+2] C.[1w2+1 D.[1,2+2] 2.已知点A,B,C在圆x2+y2=1上运动，且AB LBC,若点P的坐标为(2,0)，则1PA+P第+ P心的最大值为 A.6 B.7 C.8 D.9 题型136类解三角形公式定理解题技巧 技法01海伦公式的应用及解题技巧 技法解读人 海伦一秦九韶公式 三角形的三边分别是a、b、c,则三角形的面积为S=√p(p一a)(p一b)(p一c)其中p= 十十C,这个公式就是海伦公式，为古希腊的几何学家海伦所发现并证明，我国南宋的秦九韶也 曾提出利用三角形三边求三角形面积的秦九公式：S√心-（于门 串典例剖析人一 例1我国南宋著名数学家秦九韶，发现了从三角形三边求面积的公式，他把这种方法称为“三斜 求积”，它填补了我国传统数学的一个空白.如果把这个方法写成公式，就是S= √云一gC门，其中a,6c是三角形的三边，S是三角形的面积设某三角形的三边 a=√2，b=√3，c=2,则该三角形的面积S= 【懈折】s√8-g刃s=x2-(件门-里 故答案为图 4 【答案】 4 66 题型136类解三角形公式定理解题技巧 ⑦对点练习人- (多选)古希腊的数学家海伦在他的著作《测地术》中最早记录了“海伦公式”：S= Vp(p-a)(p-b)(p-O,其中p=a+十，a,b,c分别为△ABC的三个内角A,B,C所对的边， 2 该公式具有轮换对称的特点.已知在△ABC中，sinA:sinB：sinC=8:7:3,且△ABC的面积 为123，则 () A.角A,B,C构成等差数列 B.△ABC的周长为36 C△ABC的内切圆面积为弩 D.BC边上的中线长度为√26 技法02射影定理的应用及解题技巧 ⊙技法解读人 射影定理 a=bcos C++ccos B,6=acos C+ccos A,c=acos B++bcos A. 多典例剖析人 例2在△ABC中，三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、c,若△ABC的面积S△w=23,a+b -6.gcos B+bcos A-2cos C.c-. 【解析】由2cosB+beos A-2cosC可得acos B+bcos A=-2cosC, 在△ABC中，由正弦定理得：sin Acos B十sin Bcos A=2 sin Ceos C,∴.sin(A十B)=2 sin Ccos C, A+B=r-C,.sin(A+B)=sinC=2 sin Ceos C,'sinC≠0，.cosC=号 2 由0<C<r得，C-号，由S6r=23得2 absin C-23,得ab=8,:a+b=6, ∴.由余弦定理得c2=a2+-2 abcos C=(a+b)2-2ab-2 abcos C=12.解得c=2/3. 【答案】23 刀对点练习一 在△ABC中，角A、B、C的对边分别记为a、b、c,若5 acos A=bosC+ccos B,则sin2A= 67 高考数学冲刺宝典 技法3角平分线与张角定理的应用及解题技巧 技法解速 1.角平分线定理 (I①在△ABC中，AD为∠BAC的角平分镜，则有部部， 2 bXeXcos∠BAC (2)AD= b+c (3)AD=ABXAC-BDXCD(库斯顿定理)； (4)AB SAABD ACS△MD 2.张角定理推导 三角形ABD的面积十三角形ADC的面积=三角形ABC的面积 AB·AD·sina+AD·AC·sin3=AB·AC·sin(a+3) +-如结 AC AD 串典例剖析一 例3-1在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知asin A一bsin B-csin C一bsin C =0. (1)求角A的大小： (2)若AB=5,AC=3,AD是△ABC的角平分线，求AD的长. 【解析】（1)由正孩定理可知a2--2=k.由余孩定理可得co5AF十￡一@2=一c=一1 26c 2bc 2 又A∈(0，π)，A=2红 3 (2)由题意知Sa=Sam十Sm,∴号xABX ACXsin至=XABXADXsin音+号×AC XADX血营号X5X3X号-号X5XADx号+号X3XADx停，解得AD-点 2 2 2 【答案】学(2唱 例3-2在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、C,已知点D在BC边上，AD⊥AC, sin∠BAC-&2 ,AB=32,AD=3,则CD= 知图：Sin∠BAC-2号∴cos∠BAC=V1-sin ZBAC--子 B D 【解析】 68 题型136类解三角形公式定理解题技巧 22 由张角定理得.sin BAC.=mBAD+sinDAC,即？ sinm(∠BAC-E) sin AD AC AB 3 AC 32 1 2sBAC1一塑AC=32品CDAD中AC退 9 AC 329=AC 【答案】33 对点练习小 1.在△ABC中，内角A,B.C所对的边分别是a,6,若A-三a=7,b=3,则角A的角平分线 AD= 2.在△ABC中，∠BAC=60°，AB=2,BC=6,∠BAC的角平分线交BC于D,则AD= 3.在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,bc,AD是∠BAC的角平分线，若∠BAC=等 AD=23,则2b十c的最小值为 技法04倍角定理的应用及解题技巧 技法解读人一 B=2Ab=a(a十c): C=2B=→c2=b(b+a): A=2C=a=c(c十b),这样的三角形称为“倍角三角形”. b 推论1：A=2B=m2BBsm3Bb-2oB3-4mB 推论2：A=2B=元=1+2c0sA=b+c=2ac0sB. 串典例剖析人一 例4在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c,若B=2A,a=1,b=√3，则c= 【解折】由A品B得A所以A2n点A故asA-受 b 3 2 又A∈(0，x,所以A=吾，B-号，C-受，c=√a+F=V1+3=2. 【答案】2 69 高考数学冲刺宝典 ⑦对点练习人 在锐角△ABC中，角A,B,C所对的边分别是a,b,c,满足？=c(c十a). (1)证明：B=2C. 技法057类恒等式的应用及解题技巧 技法解读人，一 三角恒等式—在△ABC中： (Dsin A-+sinB+snC-4o令os号os号： (2)cos+cs B+cs C-1+sinsinsin B (3)sin2A+sin2 B++sin2C=2++2cos Acos Bcos C; (4)cos2A+cos2 B+cos2C=1-2cos Acos Bcos C; (6)in号+sm号+sr号=1-2如号ngm写： 6os+os号+os号=2+2snain号n号 A B.C (7)tanA十tanB+tanC=tanA·tanB·tanC. 多典例剖析人一 例5在△ABC中，anA:amB:mC-1:2:3,则是 【解析】，'tanA：tanB:tanC=1:2:3,.设tanA=k,tanB=2k,tanC-3k. 利用三角形的正切恒等式tanA十tanB十tanC=tan Atan Btan C,∴.lk十2k十3k=lk·2k·3k, 3 3_3/2 BmA=1tamB=2mC3.∴含光=分-册8名2% 4 70 题型144类解三角形大题综合 【答案】 32 4 对点练习人 在△ABC中，设x=cosA十cosB+cosC,y=sin号 =十sim号+sm则xy的大小关系是 2 A.x=y B.x≥y C.x≤y D.不能确定 题型144类解三角形大题综合 技法01倍长定比分线模型 技法解读人一 1.倍长定比分线模型可以通过正余弦定理列方程组来求解相关问题，此类 题型难度中等，是新高考卷中的常考考点，需强加练习 ABP 2.如图，若P在边BC上，且满足P心=λB驴，AP|=m 则延长AP至D,使PD=AA产，连接CD,易知AB∥DC, 且DC=AC,|AD=(1+A)lAP.∠BAC+∠ACD=180°. D 多典例剖析。 例1记△ABC是内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知=ac,点D在边AC上，BDsin ∠ABC=asin C. (1)证明：BD=b: (2)若AD=2DC,求cos∠ABC b 【解析】(I)设△ABC的外接图半径为R,由正弦定理，得sin∠ABC一永，si血C一示： :BDsin.∠ABC=-asinC..BD·条=a‘录即BDb=ac 又.b=ac,.BD=B. (2)【解法一】（最优解之两次应用余弦定理）AD=2DC,如图， A 在△ABC中，cosC-42+-c2 2b 2ab ,① D +(- 在△BCD中，cosC= b -.② 2a· 71高考数学冲刺宝典 技法2等和线与极化恒等式的应用及解题技巧 题型136类解三角形公式定理解题技巧 【对点练习】 技法1海伦公式的应用及解题技巧 L.D【解析】记AB的中点为M,连接CM,则CM=号由极化 【对点练习】 ACD【解析】对于A,由正弦定理可知a:b:c=8:7:3,设a 越等式可得减，市=-御=P:-草y 8k,b=7k=3k(>0).由余孩定理可得cosB=+c-在 2ac IPMI--ICM+1--6 表君-专B=音A+C-等-B故角ABC为或 PMI-ICMI-1B- 4 等差数列，故A正确：对于B,根据海伦公式得p=9,S= -4,即Pi·P∈[-4,61.故选D. √9k×k×2k×6k=63k=12/3,得k=√2..a=82,b=2, 2.A【解析】作BC的平行线与圆相交于点P,与直线AB相 c=32,∴.△ABC的周长为182，故B错误：对于C,设△ABC 交于点E,与直线AC相交于点F,设AP-1AE+HAF,则 +1.C/E设福能-6则∈D,音1证 内切国的丰径为，期宁×18区，一15，得-25△AC =kAB.AF=&AC.AP=AAE+AF=kAB+AC 的内切围面积为x广-8，故C正确：对于D,设BC的中点为 3 ∴x=y=2+2y=2以+wh=2≤号，故选A D,则BD=4√2，在△ABD中，AD= √BD+AB-2 ABXBD·80s60=26,故D正确.故 选ACD, 技法2射影定理的应用及解题技巧 【对点练习】 46 25 【解析】5 ucos A=eosC+ccos B,由正弦定理得5sin Acos A=sin Bcos C+sin Ccos B=sin(B+C)=sin A,A B E ∈(0)，所以sinA≠0，故cosA=方，由于A∈(0，)，故sim 技法3奔驰定理与三角形四心的应用及解题技巧 【对点练习】 A=VA-25别n2A=2aAsA=2X吉×2 1.D【解析】取线段AB的中点 6 D,连接OD,则OA+O店=2 25 Oj.而OA+OB+心=0.图此 技法3角平分线与张角定理的应用及解题技巧 C0=2O市，即C,O,D三点共 【对点练习】 线，线段CD是△ABC的中 A 【解析】询正孩定里释二血B=号血等 线，且O是靠近中点D的三等分点，，.O是△ABC的重心 故选D =得∠A=经∠B,∠C都是锐角msB=授nC 2.A【解析】，HA·HB=H店·H心.则HCA=0即点H 在边CA的高线所在直线上，同理可得：，点H在边AB/BC sn(停-B）=sn吾osB-s吾snB-要，sn∠ADC 的高线所在直线上，，点H为△ABC的三条高线的交，点， 即，点H是△ABC的垂心.故选A =B+∠DAB)=m(得+B)=g. 技法4范围与最值的应用及解题技巧 【对点练习】 东△ADC中，由正孩定理释：品-m%AD=AC 1.A【解析】'c-a-b=1,c一(a十b)=1,做出图形可 ·智故答案为 sin C 知，当且仅当c与(a十b)方向相反且|c一a十b=1时， 2.2【解析】由余弦定理可得，2+？一2×2×bX cos60°=6， |c|取到最大值：最大值为v②+1：当且仅当c与(a十b)方向 2 bXcXcos∠BAC 相同且|a十b一c|=1时，|c取到最小值：最小值为2 ,>0,解得：b=1十3，则AD b+e 2计算即 1.故选A. 可，故答案为2 2.B【解析】由题意，AC为直径，∴.pA+PB+P心=|2PO 3.6+42【解析】如国：：AD是∠BAC的角平分线， +PB≤4十PB≤4+3=7，当且仪当点B为(-1,0)时， Pi+P+P心取得最大值7，故选B ∠BAD=∠CAD=号∠BAC=吾，由张角得：血<BAC AD 16 参考答案 in∠BAD+sin DAC即 AC AB 号0ms⑤，由回+④×2整理得2+2张-号c@,尚0 sin 2/5 +n6 @联立签理得：6-11k+3=0,解得：6=号c或b=宁0， +=26+=(2+(+2)x2-++6 当bc时，由心=c可水得a=停a十Kc故合去， 当=多c时，由。=c可求得a-写，满足a十>6在 ≥6+√层×平=6+4区即 2/3 △ABC中，由余孩定理得cosB=(十C-&= 2ac +-2+=(2+)(+2)×2=+业+6 b +- ≥6+√层×=6+ 2厚 =综上：sB= 24 24 (售且仅当斧-兰即一6时取- 2.(1)证明见解析：(2) 14 【解析】(1) 技法4倍角定理的应用及解题技巧 a 则 【对点练习】 在△ABC中，osA cos C 2b+√3e (1)证明见详解【解析】(1)由：=c2十ac及b2=a2十c2 8+2-口× 2ab 2 accos B得，a=c(2csB+1).由正弦定理得sinA=sinC 2hk a+㎡-2 (2cosB十1)，又A十B+C=t,,sinA=sin(B+C)=sin Bcos 26十c整理得+e-a=-5c,则csA=士c 3a 2hc C+cos Bsin C=2sin Ccos B+sin C,'.sin Bcos C-cos Bsin C =sinC,.sin(B-C)=sinC,A,B,C都是锐角，则B,C∈ 号，又0<A<,则A=要在△ACD中，由正弦定理 ().B-CE ().B-C=C.:B=2C. 得SD-,期m∠CAD-D:C.在ABAD CD AD 技法57类恒等式的应用及解题技巧 【对点练习】 中，由正获定理得血D=需时如∠BAD BD C【解析】由条件有c0sA十csB=2 coso4B BD:inB,则血∠BAD+i血∠CAD=BD:mB+ 2 AD b AD·b 2sn号cmsA2B<2sn号同里，osB+osC<2sin令oms 2 CD.sin C BD.sin A CD.sin A (BD+CDX过 AD·c AD·a AD·a AD.a C+msA长2sin号故r<故选C 1 3 题型144类解三角形大题综合 AD:。D品则AD=号 技法01倍长定比分线模型 (2)由CD-2BD,可得CD-号a,BD-子a,又AD-号则 【对点练习】 1L（1)证明见解析(2)c0sB= (号a)+(3a)- 24 【解析】(1)在△ABC中， c0s∠AIDC= ，cos∠ADB= BC 由正孩定理样：nBMC、 品①由己知释：AD·面 (3a)+(3a)'-e ∠BAC=AB.sinB②，由①②联立得：AD·BC=AB·AC, ,由cos∠ADC+cos∠ADB=0, :AD=BC,.AD=AB·AC故AB.AD,AC成等比 2x3a×3a 数列 (2)在△ABC中，记A,B,C的对边分别为a,b,c,故AD= T得保+8+-e =0 BC=a,由(1)知：a=x③，在△ABD中，设∠ADB=a,由 2xx号a 已知得BD=号a,由余弦定理得：A形=AD+BD-2AD 解之得a-仿=2，又A=晋则a=份+2+5c,由 ·BDos∠ADB,即2=d+号a-青csa④，在△ACD 1a2-=2c c=/3b a=G+e2+3'可得 则cos∠ADC= a=76 中，设∠ADC=不-a,由已知得CD=号=a,由余孩定理释： (导a)广+（合a)广-8吾×-# Ae=AD+CD-2AD·CDs∠ADC,B=a2+)d+ 2x3a×号a 哥X 17