题型12 平面向量解题技巧-2025年新高考数学冲刺宝典

参考答案 技法4三角函数m的取值范围解题技巧 【对点练习】 -晋十g=不 3.C【解析】由题意知 ,k2∈Z,则 1.C【解析】依题意可得m>0,:r∈(0，x),r十了∈ 5u十9=十受， (等m十晋)，要使函数在区间(0，x)拾有三个极值点，两 3(2k+1) 4 9-(2k'+1s 其中b=k一k,k'=kg十.又f()在 个零点，又y=in∈（受，3x)的图象如右所示：则要< 4 m+号≤3解<o≤号脚oE(，号]故造C (后·吾)上有且只有一个最大值心晋一后-语≤2江，得 030.即3(2k+D≤30，k长19.5，又k长么.因光k19. 4 3 2T3π3Tx ①当友=9时，。=只，此时取9=要可使 32 2 一子十g=k元 成立，当x(倍晋)时，x+∈ 2[] 【解析】由题意可得函数∫(x)的最小正周期T =名≥2（原-）=吾w>1,1<w≤2，画数y （27云6.6m当+要-45m或6.5x时f) 4 snx的最小正周期为π，单调诚区间为 3都成立，舍去： [x+受km十x],h∈乙，又w>1>0,由kx+登<r+于 ②当长=18时，”=，此时取华=平可使 <ka十k∈乙将怎+<r<佰+急k∈么画数 吾w十9=i (x)= sim(or+子)(w>0)的单调减区间为 成立当r(倍号)时，以+ 等w十g=x+受 [+忌怎+纪]E五：通致)在区网[x子]上 （2158m当里+景=25m或5玩时f) 单捐道减[]=[+亮怎+]∈五 3都成立，舍去： ③当女=17时，m=9,此时取9=要可使 红+>5 解得+g<<号(+号)，∈z w34 -吾十p 成立，当r(倍)时，15+平∈ 当k=0时，言<w<是不合道意：当=1时，骨<≤号 骨知叶g一x+ 符合题意， (2.5x,6x)当195+=45m时，n)=3成立： 当大=2时，骨<<器温然矛盾，不合题意实载m的取 值范国是[名，号]故答案为[名，专] 综上所得m的最大值为吧，故选C 题型12平面向量解题技巧 【优解】由图可知，函数y=|sinx单调诚区间为 技法1“爪子定理”的应用及解题技巧 [受+十标]kE乙x)在[x,要]上单调减所以受 【对点练习】 十<m十吾<十吾<十：所以+<a号k+ 1.A【解析】由图可想到“爪字形图得：AC=AB+AD, 号e五=1,2时特合，所以得答案 解得：A市=一号+号A花故选A 2.号【解析】依题意D成-D成+成=号沾+号C=号A店 +号-迹=-青迹+号花.“-卡迹+号A心= -3/2-m20/2 +花“=一合=号，故十=-言+号 -3 o fx)=sin(x) = 15 高考数学冲刺宝典 技法2等和线与极化恒等式的应用及解题技巧 题型136类解三角形公式定理解题技巧 【对点练习】 技法1海伦公式的应用及解题技巧 L.D【解析】记AB的中点为M,连接CM,则CM=号由极化 【对点练习】 ACD【解析】对于A,由正弦定理可知a:b:c=8:7:3,设a 越等式可得减，市=-御=P:-草y 8k,b=7k=3k(>0).由余孩定理可得cosB=+c-在 2ac IPMI--ICM+1--6 表君-专B=音A+C-等-B故角ABC为或 PMI-ICMI-1B- 4 等差数列，故A正确：对于B,根据海伦公式得p=9,S= -4,即Pi·P∈[-4,61.故选D. √9k×k×2k×6k=63k=12/3,得k=√2..a=82,b=2, 2.A【解析】作BC的平行线与圆相交于点P,与直线AB相 c=32,∴.△ABC的周长为182，故B错误：对于C,设△ABC 交于点E,与直线AC相交于点F,设AP-1AE+HAF,则 +1.C/E设福能-6则∈D,音1证 内切国的丰径为，期宁×18区，一15，得-25△AC =kAB.AF=&AC.AP=AAE+AF=kAB+AC 的内切围面积为x广-8，故C正确：对于D,设BC的中点为 3 ∴x=y=2+2y=2以+wh=2≤号，故选A D,则BD=4√2，在△ABD中，AD= √BD+AB-2 ABXBD·80s60=26,故D正确.故 选ACD, 技法2射影定理的应用及解题技巧 【对点练习】 46 25 【解析】5 ucos A=eosC+ccos B,由正弦定理得5sin Acos A=sin Bcos C+sin Ccos B=sin(B+C)=sin A,A B E ∈(0)，所以sinA≠0，故cosA=方，由于A∈(0，)，故sim 技法3奔驰定理与三角形四心的应用及解题技巧 【对点练习】 A=VA-25别n2A=2aAsA=2X吉×2 1.D【解析】取线段AB的中点 6 D,连接OD,则OA+O店=2 25 Oj.而OA+OB+心=0.图此 技法3角平分线与张角定理的应用及解题技巧 C0=2O市，即C,O,D三点共 【对点练习】 线，线段CD是△ABC的中 A 【解析】询正孩定里释二血B=号血等 线，且O是靠近中点D的三等分点，，.O是△ABC的重心 故选D =得∠A=经∠B,∠C都是锐角msB=授nC 2.A【解析】，HA·HB=H店·H心.则HCA=0即点H 在边CA的高线所在直线上，同理可得：，点H在边AB/BC sn(停-B）=sn吾osB-s吾snB-要，sn∠ADC 的高线所在直线上，，点H为△ABC的三条高线的交，点， 即，点H是△ABC的垂心.故选A =B+∠DAB)=m(得+B)=g. 技法4范围与最值的应用及解题技巧 【对点练习】 东△ADC中，由正孩定理释：品-m%AD=AC 1.A【解析】'c-a-b=1,c一(a十b)=1,做出图形可 ·智故答案为 sin C 知，当且仅当c与(a十b)方向相反且|c一a十b=1时， 2.2【解析】由余弦定理可得，2+？一2×2×bX cos60°=6， |c|取到最大值：最大值为v②+1：当且仅当c与(a十b)方向 2 bXcXcos∠BAC 相同且|a十b一c|=1时，|c取到最小值：最小值为2 ,>0,解得：b=1十3，则AD b+e 2计算即 1.故选A. 可，故答案为2 2.B【解析】由题意，AC为直径，∴.pA+PB+P心=|2PO 3.6+42【解析】如国：：AD是∠BAC的角平分线， +PB≤4十PB≤4+3=7，当且仪当点B为(-1,0)时， Pi+P+P心取得最大值7，故选B ∠BAD=∠CAD=号∠BAC=吾，由张角得：血<BAC AD 16高考数学冲刺宝典 y=sinx 要使心)在区间（任，）上有最小值无最大值，则： <+<受 62 <0+吾4长<9 此时。4或10满足条件：区间（经，）的长度为登一-子-登登-晋 当。>1B时，)最小正同期T-=?<骨则fx)在（任）既有最大值也有最小位， 故w≥13不满足条件.综上，w=4或10.故答案为4或10. 【答案】4或10 7对点练习人 1.设函数f(x)=sin(ax十)在区间(0，π)恰有三个极值点、两个零点，则w的取值范围是 () A[38 B[,》 c(0] n(] 2.若函数)=sinar+-)o>1)在区间[x,x]上单调递减，则实数u的取值范围是 3.已知函数f(x)=3sin(u十p),(w>0,0<g<),若f-哥）=0，对任意x∈R恒有f(x)≤ (),在区间（需，）上有且只有一个使f)=3,则如的最大值为 A婴 B四 4 C. n吗 题型12平面向量解题技巧 技法01“爪子定理”的应用及解题技巧 技法解读人 形如AD=xA官十yAC条件的应用(“爪子定理”)，“爪”字型图及性质： 1.已知AB,AC为不共线的两个向量，则对于向量AD,必存在x,y,使得AD=xA官十yAC.则B, 60 题型12平面向量解题技巧 C,D三点共线台x十y=1,当0<x十y<1,则D与A位于BC同侧，且D位于A与BC之间， 当x十y>1,则D与A位于BC两侧，当x十y=1时，当x>0,y>0,则D在线段BC上； 当xyO,则D在线段BC延长线上. B m D 2已知D在线段BC上，且BD:CD=m:,则A市-m千7花+C. 串典例剖析人一 例1 如图，在△ABC中，=专C.P是BN上的一点，若=m+号 AC,则实数m的值为 ( A号 8音 c品 n品 【解析】观察到B,P,N三点共线，利用“爪”字型图，可得A户=mA官+nAV,且m十n=1, 由AN=号NC可得AN=AC,A户=mAB+nAC, 由已知A=mA+品AC可得：=品n=品m=音故选C 【答案】C ⑦对点练习人 1.设D为△ABC所在平面内一点，且BC=3CD,则 D AA市=-号A+等AC BA市-号恋-号C CA市=A+号AC D.AD=号A亦-AC 2.设D,E分别是△ABC的边AB,BC上的点，AD=号AB,BE=号BC,若DE-A店+eAC (入，2为实数)，则入1十入2的值是 61 高考数学冲刺宝典 技法02等和线与极化恒等式的应用及解题技巧 技法解速 1.等和线 平面内一组基底OA,O及任一向量O庐，O市=λOA十uO(,u∈R),若点P在直线AB上或 者在平行于AB的直线上，则入十=k(定值)，反之也成立，我们把直线AB以及与直线AB平 行的直线称为等和线. ①当等和线恰为直线AB时，k=1: ②当等和线在O点和直线AB之间时，k∈(0,1)： ③当直线AB在点O和等和线之间时，k∈(1，十∞)： ④当等和线过O点时，k=0: ⑤若两等和线关于O点对称，则定值k互为相反数. 2.极化恒等式 (1)平行四边形对角线的平方和等于四边的平方和 |a+b12+|a-b12=2(|a2+|b12) 证明：不妨设AB=a,AD=b,则AC=a十b,Dj=a一b AC2=AC=(a+b)2=|a2+2a·b+b|2① |DB2=DB=(a-b)2=|a2-2a·b+b2② ①②两式相加得：AC2+1D?=2(a+|b12)=2(A2+AD1?). (2)极化恒等式 上面两式相减，得：[(a十b)2-(a一b)2]—极化恒等式 M ①平行四边形模式：a·b=IAC-DB门 几何意义：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差 对角线”平方差的寻 ②三角形模式：a·b=AM-DB(M为BD的中点). 多典例剖析人一 例2一1已知△ABC为边长为2的等边三角形，动点P在以BC为直径的半圆上.若AP=AAB 十：AC,则2λ十μ的取值范围是 【解析】如图，取AB中点为D,A产=AAB+:AC=2λAD十以AC显然，当P与C重合时，2以十2 取最小值1.将CD平行移动至与⊙O相切处，P为切点时，2λ十取最大值.延长PO交CD于 62 题型12平面向量解题技巧 G,易知0G=0F=FP=由等和线及平行我朝定理部-2，是-多 “2以+以的最大值为，故2以+以的取值范国是[1，] 【答案】 [,] 例2一2边长为1的正方形内有一内切圆，MN是内切圆的一条弦，点P为正 方形四条边上的动点，当弦MN的长度最大时，PM·PV的取值范围是 【解析】如右图所示：设正方形ABCD的内切圆为圆O,当弦MN的长度最 大时，MN为圆O的一条直径，PM·pi=(Pò+OM)·(PO-OM)= PO2-|OM2=|PO2-子，当P为正方形ABCD的某边的中点时， 0 O驴=，当P与正方形ACD的项点重合时，O驴=号，即号< O<号，因此，P.PN=P0-∈[0，故答案为[0， 【答案】 [o,J ⑦对点练习人 1.在△ABC中，AC=3,BC=4,∠C=90°P为△ABC所在平面内的动点，且PC=1,则PA·P它 的取值范围是 () A[-5,3] B.[-3,5 C.[-6,4] D.[-4,6] 2.如图，边长为2的等边三角形的外接圆为圆O,P为圆O上任一点，若A户 =xAB+yAC,则2x十2y的最大值为 ( A号 0 B.2 c青 D.1 技法03奔驰定理与三角形四心的应用及解题技巧 技法解该人一 1,奔驰定理 如下图，已知P为△ABC内一点，则有S△·OA+S△Pc·Oi+SAPB·OC=0. 由于这个定理对应的图象和奔驰车的标志很相似，我们把它称为“奔驰定理”， 63 高考数学冲刺宝典 2.奔弛定理的推论及四心问题 推论后插入：O是△ABC内的一点，且x·OA+y·OB+x·OC=0, 则S△x:S△H:S△Mw=x:y:2x 有此定理可得三角形四心向量式 (1)三角形的重心：三角形三条中线的交点叫做三角形的重心，重心到顶点的距离与重心到对 边中点的距离之比为2：1； (2)三角形的垂心：三角形三边上的高的交点叫做三角形的垂心，垂心和顶点的连线与对边 垂直； (3)三角形的内心：三角形三条内角平分线的交点叫做三角形的内心，也就是内切圆的圆心，三 角形的内心到三边的距离相等，都等于内切圆半径： (4)三角形的外心：三角形三条边的垂直平分线的交点叫做三角形的外心，也就是三角形外接 圆的圆心，它到三角形三个顶点的距离相等 奔驰定理对于利用平面向量解决平面儿何问题，尤其是解决跟三角形的面积和“四心”相 关的问题，有着决定性的基石作用. 已知点O在△ABC内部，有以下四个推论： ①若O为△ABC的重心，则OA+O弟+OC=0: ②若O为△ABC的外心，则sin2A·OA+sin2B·Oi+sin2C·O心=0：或OA=OB=1O心1； ③若O为△ABC的内心，则a·OA+b·Oi+c·OC=0:备注：若O为△ABC的内心， 则sinA·OA+sinB·O克+sinC·OC=0也对； ④若O为△ABC的垂心，则tanA·OA+tanB·Oi+tanC·O心=0，或OA.O=O谚.O心 =OC·OA 串典例剖析人 例3已知O,N,P在△ABC所在平面内，且OA|=O谚=O心1，NA+NB+NC=0,且PA· P=P第·P心-PC·PA,则点O,N,P依次是△ABC的（注：三角形的三条高线交于一点，此点 为三角型的垂心) () A.重心外心垂心 B.重心外心内心 C.外心重心垂心 D.外心重心内心 【解析】：OA=O=1OC1,.O到定点A,B,C的距离相等， ∴.O为△ABC的外心，由NA+NB+VC=0,则NA+NB=-VC,取AB的 中点E,则NA+NB=-2NE=CN,∴21NE1=1CN1,∴N是△ABC的重 心：由PA·Pi=Pi.P心=P心.Pi,得PA-P心)·Pi=0,即AC·Pi=0, .AC⊥PB,同理AB⊥PC,∴，点P为△ABC的垂心，故选C 【答案】C 64 题型12平面向量解题技巧 万对点练习 1.若O是OABC内一点，OA+OB+OC=0,则O是△ABC的 A.内心 B.外心 C.垂心 D.重心 2.在△ABC中，若HA·HB-HB·HC-HC·HA,则点H是△ABC的 A.垂心 B.重心 C.内心 D.外心 技法04 范围与最值的应用及解题技巧 技法解读人 平面向量范围与最值问题常用方法 (1)定义法 第一步：利用向量的概念及其基本运算将所求问题转化为相应的等式关系： 第二步：运用基本不等式求其最值问题： 第三步：得出结论， (2)坐标法 第一步：根据题意建立适当的直角坐标系并写出相应点的坐标； 第二步：将平面向量的运算坐标化； 第三步：运用适当的数学方法如二次函数的思想、基本不等式的思想、三角函数思想等求解： (3)基底法 第一步：利用其底转化向量； 第二步：根据向量运算律化简目标： 第三步：运用适当的数学方法如二次函数的思想、基本不等式的思想、三角函数思想等得出 结论 (4)几何意义法 第一步：先确定向量所表达的点的轨迹： 第二步：根据直线与曲线位置关系列式： 第三步：解得结果， 串典例剖析人 例4已知a,b是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c满足(a一c)·(b一c)=0,则c的最 大值是 () A.1 B.2 C.√2 n号 【解析】 由于a,b垂直，不妨设a=(1,0),b=(0,1),c=(x,y),则a一c=(x一1，y), 65 高考数学冲刺宝典 b-c=(x,y-1),(a-c)·(b-c)=x2十y2-x-y=0,c|=√x2+y表示(x,y)到原点(0,0)的 距腐+y-T一y=0表示圈心（侵》，号为半径的圆周光c的策大值巨，故选C 【答案】 I c ⑦对点练习人 1.已知a,b是单位向量，a·b=0.若响量c满足c一a一b=1,则|c的取值范围是 A.[2-1,w2+1]B.[2-1,w2+2] C.[1w2+1 D.[1,2+2] 2.已知点A,B,C在圆x2+y2=1上运动，且AB LBC,若点P的坐标为(2,0)，则1PA+P第+ P心的最大值为 A.6 B.7 C.8 D.9 题型136类解三角形公式定理解题技巧 技法01海伦公式的应用及解题技巧 技法解读人 海伦一秦九韶公式 三角形的三边分别是a、b、c,则三角形的面积为S=√p(p一a)(p一b)(p一c)其中p= 十十C,这个公式就是海伦公式，为古希腊的几何学家海伦所发现并证明，我国南宋的秦九韶也 曾提出利用三角形三边求三角形面积的秦九公式：S√心-（于门 串典例剖析人一 例1我国南宋著名数学家秦九韶，发现了从三角形三边求面积的公式，他把这种方法称为“三斜 求积”，它填补了我国传统数学的一个空白.如果把这个方法写成公式，就是S= √云一gC门，其中a,6c是三角形的三边，S是三角形的面积设某三角形的三边 a=√2，b=√3，c=2,则该三角形的面积S= 【懈折】s√8-g刃s=x2-(件门-里 故答案为图 4 【答案】 4 66