题型11 三角函数选填解题技巧-2025年新高考数学冲刺宝典

高考数学冲刺宝典 题型11三角函数选填解题技巧 技法01三角函数图象与性质的解题技巧 技法解慎人一 在新高考卷中经常考查三角函数的图象与性质，解题的关键在于利用整体思想快速求解，有 时也可以用到函数图象的特有位置求解，例如检验三角函数的对称中心处函数值是否为0，对称 轴处是否取得最值等都是解题突破口， 串典例剖析人一 例1（多选）已知函数f(x)=cos2x-√3 sin xcos,则 () Afx)的最小值为-一司 Bfx)的图象关于点（臣0）对称 C.直线x=三是f(x)图象的一条对称轴 D.fx)在区间（一吾，）上单调递减 【解析】由题意得f(x)=cos2x一√3 sin rcos x= 1+g2x-n2x=oz+）+号 2 故fx)的最小值为一1十号一2A正确： 将x=代入f八x)=cos(2x+5）十2， 得f()=0(答+）十2-2即x)的图象关于点（臣，）对称，B错误： 将x=爱代入f(x)=cos(2x+）中，得f(赁）=os(+）十=-，即此时(x)= cos(2z十)十2取到最小值，即直线x=于只是f(x)图象的一条对称轴，C正确； 当x∈(-否，）时，2x+等∈(0，x,由于y=osx在(0，)上单调递减，故f(x)在区间 (一，)上单调递减，D正确，故选ACD 【答案】ACD 方对点练习趴。 1.（多选)已知函数f(x)=2cos(2x十)，则下列描述正确的是 A.函数f(x)的最小正周期为π Bx=晋是函数f()图象的一个对称轴 56 题型11三角函数选填解题技巧 C（一否，0)是函数)图象的一个对称中心 D.若函数f(x)的图象向左平移个单位长度可得函数g(x)的图象，则g(x)为奇函数 2.(多选)若函数f(x)=2sinx(cOS @x一sinx)一1(w>0)的最小正周期为π，则 () Af(-8)=0 Bfx)在[于，]上单调递减 Cf)=-2在[0，受]内有5个零点 D.f()在[-至，]上的值域为[-1v2] 技法02三角函数异名伸缩平移的解题技巧 技法解读人 通常用sinx=cos(x一受)进行正弦化余弦，用cosx=sin(x十受)进行余弦化正弦. 多典例剖析人一 例2为得到函数y=cos(2.x十)的图像，只需将函数y=sin2.x的图像 A向左平移径个长度单位 B向右平移登个长度单位 C.向左平移个长度单位 D向右平移个长度单位 【解析】y=cos2x+)=sim(2x+5+)=sim(2x+）,将函数y=sin2x向左平移g个长 度单位，得到y=s(2x十2g),故2g-要，解得g-受即向左年移爱个长度单位.故选A 【答案】A 对点练习 1.为了得到函数y=sin(2.r-)的图象，可以将函数y=cos2x的图象 A向右平移个单位长度 B向右平移等个单位长度 C向左平移否个单位长度 D向左平移个单位长度 2.将函数f(x)=sinar+若)(，>0)的图象向右平移弩个单位长度后与函数g(x)=cos(ox)的 图象重合，则仙的最小值为 () A.1 B.2 C.4 D.5 57 高考数学冲刺宝典 技法03三角函数最值与值域的解题技巧 技法解读人 在三角函数及三角恒等变换的学习中，经常会遇到求解三角函数型的值域问题，解决问题的 关于在于整体思想或换元思想，本内容在新高考卷中也是重要考点， 多典例剖析人一 例3函数f()=sim2x+) -3cosx的最小值为 【解折】f(x)=sim(2x+7）-3c0sx=-c0s2x-3c0sx=-2cos2x-3c0sx+1=-2 (osx+)+号，：-1长s1,当msx=1时，f()=-4,故画数f)的最小值为-4 【答案】一4 对点练习人 1.函数f()=cosx-6co号十5的最小值为 A-} B.0 C.2 D.6 2.已知函数f(x)=sinx十cosx十2 sin rcos x十2，则 A.f(x)的最大值为3，最小值为1 B.f(x)的最大值为3，最小值为-1 Cfx)的最大值为3+2，最小值为 D.f(.x)的最大值为3+√2，最小值为3一√2 技法04三角函数ω的取值范围解题技巧 技法解填人一 在近几年的新高考卷中，三角函数中参数仙的取值范围问题常以小题的形式呈现，解题过程 渗透了数学运算，逻辑推理等核心素养，因而有一定的难度，我们知道仙影响三角函数的周期，进 而影响同一周期中函数的单调性、对称轴、对称中心、最值、零点等，解决此类问题最为直接的方 法是通过整体换元将问题转化为正弦、余弦、正切函数问题，再通过图像的性质列出相关约束条 件，由此可知掌握正弦、余弦、正切函数的相关性质是关键， 58 题型11三角函数选填解题技巧 串典例剖析人 例4一1已知函数f(x)=cos axx一√3sinx(,>0),若f(x)在区间[0,2π].上有且仅有4个零 点和1个极大值点，则ω的取值范围是 () A[】 a[是，》 c[》 n[品》 【解析】f代x)=cosr-V3 sin r=-2cos(ar+5》,令1=or+3, 由x∈[0,2x].则t∈[52w+5】则f(u)=2cost∈ [号，2w十写】，作图如右：有4个零点和1个极大值点，即右端点受<2w十智<4， 解得8<m<日，故m的取值范国是[昌》故选D 【答案】D 例4-2已知函数fx)=√2sim(ox十g)(o>0)的图象关于直线x=受对称，且f(餐）=1，f(x) 在区间[一，一]上单调，则w的值为 【解析】“f(x)的图象关于直线x=受对称，故受十g=kx十受，k∈Z① 又f（）=1,故十g=2mx+牙我经十g=2mx+3开，m∈Z② 41 ①-②可得答w=(k-2m)x+于或8w=(k-2m)r-开，k∈Z,m∈Z 解得w=8(k-2m)十2或w=8(k一2m)一2，k∈Z,n∈Z 又fx)在区间[-誓，-]上单调，故周期T满足号>-至-(）-晋>T>, 且w>02>开→0<w<8故当k-2m=0,1时有w=2,6满足条件.故答案为2或6 【答案】2或6. 例4-3已知函数fx)=sim(ax+晋)w>0,若f(）=f(）)且f(x)在区间（年，）上有最 小值无最大值，则= +5π 【解折)满足任）==。严-音是的一条对特轴。 ∴号·w+晋=受+x…w=1+3k,k∈Z,o>0w=1,4,7,10,13, 当x(任，)时r+吾∈（原a+否，登o+）y=imx图像如下图： 59 高考数学冲刺宝典 y=sinx 要使心)在区间（任，）上有最小值无最大值，则： <+<受 62 <0+吾4长<9 此时。4或10满足条件：区间（经，）的长度为登一-子-登登-晋 当。>1B时，)最小正同期T-=?<骨则fx)在（任）既有最大值也有最小位， 故w≥13不满足条件.综上，w=4或10.故答案为4或10. 【答案】4或10 7对点练习人 1.设函数f(x)=sin(ax十)在区间(0，π)恰有三个极值点、两个零点，则w的取值范围是 () A[38 B[,》 c(0] n(] 2.若函数)=sinar+-)o>1)在区间[x,x]上单调递减，则实数u的取值范围是 3.已知函数f(x)=3sin(u十p),(w>0,0<g<),若f-哥）=0，对任意x∈R恒有f(x)≤ (),在区间（需，）上有且只有一个使f)=3,则如的最大值为 A婴 B四 4 C. n吗 题型12平面向量解题技巧 技法01“爪子定理”的应用及解题技巧 技法解读人 形如AD=xA官十yAC条件的应用(“爪子定理”)，“爪”字型图及性质： 1.已知AB,AC为不共线的两个向量，则对于向量AD,必存在x,y,使得AD=xA官十yAC.则B, 60高考数学冲刺宝典 cos(2a+吾）=cos2(a+吾）=1-2sim(a+吾)=1-2 =一g(z)g(x)为奇函数，故D正确.故选ACD 2.BC【解析】f(x)=2 sin(cosr一sinx)-1=2sinx· ×()=子故选C cos axr -2 sin'aur-1=sin 2or+cos 2oxx-2=2 sin 2.B【解析c0s(x十0》=号c0s0=-子，又0是第二象 (2ar十子)一2”函数的最小正月期为x=经a 限角血0-号m号-19-区.故选B 1,故fx)=2sin(2x+于）-2.对于Af(-5)=2sim 3 3D【解析】由倍角公式可知cosa=1-2sin号，则sin号 （-开+开)-2=一2，故A错误：对于B,当x∈ =35-65=(5八.：a为能角.六号 [开受]时，2x+∈[职，]=[受，]，此时f)单 16 调递减，故B正确：对于C.f(x)=2sin(2r+)-2=一2 (o浮)则0血号号血号-5，就选n 技法3万能公式的应用及解题技巧 im(2r+晋)=02x+吾=xr=-吾+经k∈z 【对点练习】 当[0，受]时满足要求的有经，得，，警共有 16【解析】2sinA+sinB=2sinC→sinB=2(sinC-sinA) 2sin AC.cos AC-4sin CA.cos ACsin AC 5个零点，故C正确：对于D.当r∈[-晋，晋]时，2+晋 2 2 2 2 2 =2nCtan号=3am ∈[-，]则m(2x+)e[-号1小：故fx)e 令1=m则品十品= A 2+ 5 9=5+5+ [-32-2],D错误.故选BC 21 技法2三角函数异名伸缩平移的解题技巧 +万9+1 【对点练习】 73_18V1·=16 2 1B【解析】由)y=in(2x-吾)=cos(2x-香-受)=cos2 当1=m=m号=号时m4生>0A+C< 2 (x-晋)，即为了得到函数y=s血(2x-晋)的图象，可以 180,k(品品C)=16 将画数y=c0s2x的图象向右平移个单位长度，故选B 技法4正余弦平方差公式的应用及解题技巧 【对点练习】 2.D 【解析】由题意可得y=f(x一受）=sm 等腰三角形或直角三角形【解析】由正弦定理，原式等于 [(x-弩)+晋]=im(ar-晋w+晋】 (sin A-sin B)sin(A+B)=(sinA+sin B)sin(A-B)..'. sin (A+B)sin (A-B)sin (A+B)=<sin'A+sin'B)sin =cos(or)=sin(amr十受)-吾u十晋=2kx+变，k∈ (A一B).若A=B,等式成立，若A≠B,则sin2(A十B)=sin Z.解得w=一6k-1,k∈Z,又m>0,.当k=一1时，m取得 A+sinB,即simC=sinA+sinB,2=u+∥，∴.△ABC为等 最小值为5.故选D. 腰三角形或直角三角形. 技法3三角函数最值与值域的解题技巧 题型11三角函数选填解题技巧 【对点练习】 技法1三角函数图象与性质的解题技巧 1.B【解折J:f代x=cosr-6×1+gosr+5=os'x-3os 【对点练习】 2 1.ACD【解析】函数f(x)=2cos(2x+若)的最小正周期T .x+2,设t=cosx,1∈[-1,1].则g()=-31+2,t∈[-1. 1门，由二次函数性质可知当1∈[一1,1门时，g(1)单调递减， -经=，故A正确：/（倍）=2cos(2×吾+音）=20s受 当1=1时，g(t)取得最小值0，故f(x)的最小值为0.故 选B =0,∴fx)关于（吾，0）对称，故B错误：f(-晋)=20s 2.C【解析】：函数f(r)=sinx+cosx+2 sin .xcos+2,设 (-经+晋)=2s(-受)=0，∴(-号0)是函教f) sinx+cosx=2sin(x+)=1,1∈[-2w2],则2sin 图象的一个对称中心，故C正确：将函数f(x)的图象向左平 sx=-1,心y=f+t+1=(+号)广'+是，ie 移吾个单位长度得到g(x)=20s[2(x+晋)+吾]=260 [-2w2],当1=-之时，f()=是，当1=见时j (2x+g）=-2sin2x,则g(-x)=-2sin(-2x)=2sim2x (t)m=3+V2.故选C 14 参考答案 技法4三角函数m的取值范围解题技巧 【对点练习】 -晋十g=不 3.C【解析】由题意知 ,k2∈Z,则 1.C【解析】依题意可得m>0,:r∈(0，x),r十了∈ 5u十9=十受， (等m十晋)，要使函数在区间(0，x)拾有三个极值点，两 3(2k+1) 4 9-(2k'+1s 其中b=k一k,k'=kg十.又f()在 个零点，又y=in∈（受，3x)的图象如右所示：则要< 4 m+号≤3解<o≤号脚oE(，号]故造C (后·吾)上有且只有一个最大值心晋一后-语≤2江，得 030.即3(2k+D≤30，k长19.5，又k长么.因光k19. 4 3 2T3π3Tx ①当友=9时，。=只，此时取9=要可使 32 2 一子十g=k元 成立，当x(倍晋)时，x+∈ 2[] 【解析】由题意可得函数∫(x)的最小正周期T =名≥2（原-）=吾w>1,1<w≤2，画数y （27云6.6m当+要-45m或6.5x时f) 4 snx的最小正周期为π，单调诚区间为 3都成立，舍去： [x+受km十x],h∈乙，又w>1>0,由kx+登<r+于 ②当长=18时，”=，此时取华=平可使 <ka十k∈乙将怎+<r<佰+急k∈么画数 吾w十9=i (x)= sim(or+子)(w>0)的单调减区间为 成立当r(倍号)时，以+ 等w十g=x+受 [+忌怎+纪]E五：通致)在区网[x子]上 （2158m当里+景=25m或5玩时f) 单捐道减[]=[+亮怎+]∈五 3都成立，舍去： ③当女=17时，m=9,此时取9=要可使 红+>5 解得+g<<号(+号)，∈z w34 -吾十p 成立，当r(倍)时，15+平∈ 当k=0时，言<w<是不合道意：当=1时，骨<≤号 骨知叶g一x+ 符合题意， (2.5x,6x)当195+=45m时，n)=3成立： 当大=2时，骨<<器温然矛盾，不合题意实载m的取 值范国是[名，号]故答案为[名，专] 综上所得m的最大值为吧，故选C 题型12平面向量解题技巧 【优解】由图可知，函数y=|sinx单调诚区间为 技法1“爪子定理”的应用及解题技巧 [受+十标]kE乙x)在[x,要]上单调减所以受 【对点练习】 十<m十吾<十吾<十：所以+<a号k+ 1.A【解析】由图可想到“爪字形图得：AC=AB+AD, 号e五=1,2时特合，所以得答案 解得：A市=一号+号A花故选A 2.号【解析】依题意D成-D成+成=号沾+号C=号A店 +号-迹=-青迹+号花.“-卡迹+号A心= -3/2-m20/2 +花“=一合=号，故十=-言+号 -3 o fx)=sin(x) = 15