题型10 三角恒等变换解题技巧-2025年新高考数学冲刺宝典

题型10三角恒等变换解题技巧 f)=1+>0g)=1+ln1一a在(1，十o∞)上单调递增，故g0)=0只有1个解，又“f) 一+n号-口有两个零点1，故1=-兰，两边取时数得：西一lh=一lh TI T? 西=1，又：Vg<1n-1n2 即n-ln 西-（米），故V2<1,即xx<1,下证xx< ”品(”国西<n治ln-h<h会<层√层不坊设 In z-In xa √x1x2 1=√会>1，则只需运2n1心1-}造A()=2n1一+>1，则()=是-1-是= (1-)<0,故h)=2lnt-t计在(1，+o∞)上单调递减，故h)<h(1)=0,即2lnt1-1 得证。 【答案】(1)(-o∞，e十1] (2)证明见解析 对点练人 L.已知函数f(x)=(nx一k一1)x(k∈R) (2)若x1<x且f(x1)=f(x2),证明：x1·x2<e2. 2.已知函数f(x)=(2.x十a)lnx-3(x一a),a>0. (2)若函数f(x)有两个极值点x1,x2,证明：x1十x2>2e±. 题型10三角恒等变换解题技巧 技法01拼凑思想的应用及解题技巧 技法解读人一 在三角函数求值题目当中，常常会出现已知条件中给出两个或者一个三角函数值，求问题中 的三角函数值，解决此类问题的关键在于用“已知角”来表示“未知角”. 51 高考数学冲刺宝典 a=2·2=B-(g-a: a=2[a++a-m]: B(a+m-(a-]: +a=5-(开-a片 多典例剖析人一 例1-1若2sin(a+)=sin(a-否，则tan(a-）= ( A.53+8 B.33-4 C.4+33 D.53-8 【解析】由2sin(a+5）=2sim[5+(a-晋)】门=2cos(e-）=sime-》∴tana-)=2, k引- 23 3 6-3 1+ia。一君)×am看1+2x号 3+2/3 (6-3)×(3-23)=5/3-8.故选D. (3+23)(3-23) 【答案】D 例1-2若sin(a+B)+cos(a+B)=22cos(a+T)sinB,则 () A.tan(a+3)=-1B.tan(a+3)=1 C.tan(a-B)=-1 D.tan(a-B)=1 【解法-】由sin(a+B)+cos(a+8)=√2sin(a++T)=22cos(a+T)sinB, 可知sin(e++平）=2cos(a+平)sin,即sin(a+-平)cos Bcos(e+F)sing-2cos(a+T)s小inB, 即sim(a+于)osB-cos(a+牙)sinB=0,即sim(a-计T）=0a-B叶年=km,k∈Z∴a-B -不十x,k∈Z,∴tan(a-)=tan-不+kx)=-l,k∈Z,故选C 【解法二】取g0,剥sna十c0sa=0,取a-子，则1am(a十)=1am(a一)=am子x=-1,排除 3 B,D:取a=0,则sinB计cos-2sinB,即sinB=cosB,取B=平，则tan(a十B=tan开-l,排除A 故选C. 【答案】C 52 题型10三角恒等变换解题技巧 对点练习 1.已知A为锐角，tan2A=,cosA ,则anB 2-sin A'tan(A-B)=215 A.-1⑤ 17 A罗 C-215 17 D.215 17 2.已知0<a<受，os2a十cos2g+1=2cos(a-B+cos(a+B),则 ( A.a+B-君 Ba+F-等 C月a=晋 D月a=3 3.已知sina= 7,cos(a-3)=10 2 ,且0<a<3,0<,则sing A需 B1w10 35 c n黑 技法02 升（降）幂公式的应用及解题技巧 技法解慎人一 升暴公式：cos2a=1-2sin2a,cos2a=2cos2a-1: 降幂公式：sim2a=1-c9s2e,cosa=1+c9s2a 2 2 多典例剖析人一 例2-1 已知sme+看）-子则cos(学-2x) () A-号 c司 n号 【解析】 ”simr+）-号cos(昏-a）=sinr+看+a=号os5-2x)=2os s-a-1 -2X4-1=一号故选B 9 【答案】B 例2-2已知sina--号cssin言则cos(2a+29》 () C.-p n-日 【解折】：sin(a-B)=-sin acscossin月-号，而cos asin=合，因此sin cos月-号， 2 则sin(a十B)=sin acos B叶cos asin B=3, ∴cos(2a+28=cos2a+B)=1-2sim2(a+g)=1-2X(号)=日：故选B 【答案】B 53 高考数学冲刺宝典 力对点练习人 1.已知cosa十V3sina= ,则cosa+） A-号 B号 c-3 2.已知c0s(x十0》=号，若0是第二象限角，则tam号 A.22 B.√2 C.-√2 D.2 3已知e为角os。1中5则血号 ( A.3⑤ B.-1+5 6 C35 8 D.-1+5 4 4 技法03 万能公式的应用及解题技巧 技法解，人 2am号 1-tan2 2 sin x= cOS I- tan 1+tan2 2 1+iar2竞 1-ar2号 多典例剖析一 例3已知△ABC内角分别为A,B.C且满足cos号+2sn。C=0,则A+C的最小值 2 为 【解析】 由题设o经-A生9）+2sn429=sm49+2in42S=0, 2 2 2 A 3sin Acos C 2tan 2cos 2=cos 2 1+tam2号' C 2tan 2 则6 9 5(1十tan 2 9(1+tan2 sin C=- 1+tan2 sin A sin C 2tan 2 C 2tan 2 4+16 tanA 2 4 am号 +16tan 4 A 16tan 2 =16,当且权当入 =16tan A tan 2 tan 2 tan 2 2 -号时取等号六品A十品C的爱小值为16，故答案为16 9 【答案】16 54 题型10三角恒等变换解题技巧 对点练习 已知△ABC满足2snA+sinB=2snC.则A+C的最小值是 技法04正余弦平方差公式的应用及解题技巧 技法解读 正弦平方差公式：sin2A-sinB=sin(A十B)sin(A-B): 余弦平方差公式：cos2A-sinB=cos(A+B)cos(A一B). sin(A+B)sin(A-B)=(sin Acos B+cos Asin B)(sin Acos B-cos Asin B) =sin 2Acos 2B-cos 2Asin 2B=sin2A(1-sin 2B)-(1-sin 2A)sin2B =sin 2A-sin 2Asin2B-sin2B+sin 2Asin 2B=sin 2A-sin ?B. cos(A+B)cos(A-B)=(cos Acos B-sin Asin B)(cos Acos B++sin Asin B) =cos 2Acos2B-sin 2Asin 2B=cos ?Acos 2B-(1-cos2A)(1-cos 2B)=cos 2Acos 2B-(1+ cos 2Acos 2B-cos2A-cos 2B)=cos 2Acos 2B-1-cos 2Acos2B++cos 2A++cos 2B=cos 2A+ cos 2B-1 =cos 2A+cos2B-cos2B-sin2B=cos 2A-sin B. cos 2A++cos 2B-1=cos 2A+cos 2B-cos 2A-sin 2A=cos 2B-sin 2A. 串典例剖析一 例+已知sina=号，sing},则sin(e十B)sin(a-p) 【解析】 由已知可得sin(a+趴sin(a-)=sin。一sirg-(侵)广-（侵得）厂-品 【答案】 ⑦对点练习趴 在△ABC中，角A,B,C所对的边长分别为a,b,c,已知(a一b?)sin(A+B)=(a+)sin (A一B),判断△ABC的形状. 55参考答案 两式相减得：ln一ln=上一二，即：1=血一h,两 11 (0:是)单调递增，：F(层)=0.…Fx)<0,即h(x)<h 式相加：n面十n着一2张一2=1(+）.要证：< (层-小，周此十>2寺成立， e,只需证：ln(x)<ln(e),即：ln十lnx<2k,只需 题型10三角恒等变换解题技巧 技法1拼凑思想的应用及解题技巧 福：1（日+）+2+2<2，只需福：1（号+）K-2只 【对点练习】 1+ 需证，1，（侵+）K-2只需运 .A【解折：m2A=2A器 COs A cos 2A 2 sin A 11 n马 1 -2sinA2=mA又A为锐角，0sA>0,∴2sinA2 2sin Acos A cos A <-2.◆m-A(0<m<.则只需运：nm<-2.即 一mA=1-2mA,解得加A=子：A为钱角0 :血m2,构逢高数gm=hm一2=n m十1 A=平mA=e又mA-B=2语mB m-2+南0<m<1.则gm)=品-m tan[A-(A-B)刀=nA-tanA-B段 1十tan Atan(A-B) mm+1>>0心gm)在(0,1)上单调递增∴g(m)<g()） (m-1)” 1压_215 1515 =0,即nm2mD,得泛 悟故接入 m十1 1+零×2语 15 2.证明见解析【解析】(2)函数f(x)=(2.x十a)nx一3(x一 2.D【解析】由已知可将2a=(a十B)十(a-),23=(a十) 0.0>0.则fx)=2hx+2实-3=2nxr+是-1- (a-),则cos[(a十)十(a一B)]十cos[(a+B)-(a-)]+ 1=2cos(a-)+cos(a十)，2cos(a十3cos(a-3)-2cos(a a十2血x二，：函数x)有两个极值点小f(x)= )-cos(a+)+1=0,[cos(a+)-1][2cos(a-B)-1]=0, 0有两个正实数解一方程4=x一2nx有两个正实数解台 即cosa+m=1浅os(a-B=子，又0<BK登0<a 函数y=a与函数h(.x)=r一2xlnx,x∈(0，+o∞)的图象有 十K元，一受<a0os(a+)≠1选项AB错误， 两个交点.h'(x)=1-2-21nx=-2nx-1,令h'(x)=0, 即cos(a一)=号则a一月=一5…B-a=于，则C错，D 解得x=」，当0<<」时'(x)>0,期h(x)单调递增，当 e 对，故选D x>」时h(x)<0,则h(x)单调递减，∴函数h(x)的极大值 品A【解折：如。-9<号且0<a<要0<a<平 72 cosa=小-ma=马. r)>0,且当→0时，h(r)0,又h)=0∴0<a<是.不 又0<<-<a-<骨na)=士 e 设0明十>2e>是- V-os(a)=士E. 5 洁)<(层-)h()<h(层-)∈ 当sin(a一)=压时，in月=in(a-（a3D)=sin acos 5 (o:是）人令F(x)=Ax)-(层-）=-2an 5 5 (是-+2（层-n(层-xe(o)F(层）片 零0<平如>0∴如=需不合题多。 0F'(x)=1-21hx-2+1-2h(层-）-2=-2h 合去：当na一0=-少同理可求得血S持 5 合题意.综上所速n日=9压.故选A 35 [层-小--x是- 技法2升（降）幂公式的应用及解题技巧 一2=0，当且仅 【对点练习】 当I是-即是时取等号，画数F()在x 上kC【解折向se十原血a=9得如(e+吾）- 13 高考数学冲刺宝典 cos(2a+吾）=cos2(a+吾）=1-2sim(a+吾)=1-2 =一g(z)g(x)为奇函数，故D正确.故选ACD 2.BC【解析】f(x)=2 sin(cosr一sinx)-1=2sinx· ×()=子故选C cos axr -2 sin'aur-1=sin 2or+cos 2oxx-2=2 sin 2.B【解析c0s(x十0》=号c0s0=-子，又0是第二象 (2ar十子)一2”函数的最小正月期为x=经a 限角血0-号m号-19-区.故选B 1,故fx)=2sin(2x+于）-2.对于Af(-5)=2sim 3 3D【解析】由倍角公式可知cosa=1-2sin号，则sin号 （-开+开)-2=一2，故A错误：对于B,当x∈ =35-65=(5八.：a为能角.六号 [开受]时，2x+∈[职，]=[受，]，此时f)单 16 调递减，故B正确：对于C.f(x)=2sin(2r+)-2=一2 (o浮)则0血号号血号-5，就选n 技法3万能公式的应用及解题技巧 im(2r+晋)=02x+吾=xr=-吾+经k∈z 【对点练习】 当[0，受]时满足要求的有经，得，，警共有 16【解析】2sinA+sinB=2sinC→sinB=2(sinC-sinA) 2sin AC.cos AC-4sin CA.cos ACsin AC 5个零点，故C正确：对于D.当r∈[-晋，晋]时，2+晋 2 2 2 2 2 =2nCtan号=3am ∈[-，]则m(2x+)e[-号1小：故fx)e 令1=m则品十品= A 2+ 5 9=5+5+ [-32-2],D错误.故选BC 21 技法2三角函数异名伸缩平移的解题技巧 +万9+1 【对点练习】 73_18V1·=16 2 1B【解析】由)y=in(2x-吾)=cos(2x-香-受)=cos2 当1=m=m号=号时m4生>0A+C< 2 (x-晋)，即为了得到函数y=s血(2x-晋)的图象，可以 180,k(品品C)=16 将画数y=c0s2x的图象向右平移个单位长度，故选B 技法4正余弦平方差公式的应用及解题技巧 【对点练习】 2.D 【解析】由题意可得y=f(x一受）=sm 等腰三角形或直角三角形【解析】由正弦定理，原式等于 [(x-弩)+晋]=im(ar-晋w+晋】 (sin A-sin B)sin(A+B)=(sinA+sin B)sin(A-B)..'. sin (A+B)sin (A-B)sin (A+B)=<sin'A+sin'B)sin =cos(or)=sin(amr十受)-吾u十晋=2kx+变，k∈ (A一B).若A=B,等式成立，若A≠B,则sin2(A十B)=sin Z.解得w=一6k-1,k∈Z,又m>0,.当k=一1时，m取得 A+sinB,即simC=sinA+sinB,2=u+∥，∴.△ABC为等 最小值为5.故选D. 腰三角形或直角三角形. 技法3三角函数最值与值域的解题技巧 题型11三角函数选填解题技巧 【对点练习】 技法1三角函数图象与性质的解题技巧 1.B【解折J:f代x=cosr-6×1+gosr+5=os'x-3os 【对点练习】 2 1.ACD【解析】函数f(x)=2cos(2x+若)的最小正周期T .x+2,设t=cosx,1∈[-1,1].则g()=-31+2,t∈[-1. 1门，由二次函数性质可知当1∈[一1,1门时，g(1)单调递减， -经=，故A正确：/（倍）=2cos(2×吾+音）=20s受 当1=1时，g(t)取得最小值0，故f(x)的最小值为0.故 选B =0,∴fx)关于（吾，0）对称，故B错误：f(-晋)=20s 2.C【解析】：函数f(r)=sinx+cosx+2 sin .xcos+2,设 (-经+晋)=2s(-受)=0，∴(-号0)是函教f) sinx+cosx=2sin(x+)=1,1∈[-2w2],则2sin 图象的一个对称中心，故C正确：将函数f(x)的图象向左平 sx=-1,心y=f+t+1=(+号)广'+是，ie 移吾个单位长度得到g(x)=20s[2(x+晋)+吾]=260 [-2w2],当1=-之时，f()=是，当1=见时j (2x+g）=-2sin2x,则g(-x)=-2sin(-2x)=2sim2x (t)m=3+V2.故选C 14