题型6 一些函数、方程与不等式选填的解题技巧-2025年新高考数学冲刺宝典

参考答案 (一,一1)上单调递减:在(一1,1)上单调递增,在 (1.十o)上单调递减,符合图象,故D正确,故选D >.故选D. 题型05 比较函数值大小关系解题技巧 技法03 技法01 构造函数比较函数值大小关系解题技巧 泰勒不等式比较函数值大小关系解题技巧 【对点练习】 【对点练习】 1.D【解析】令/(x)=ln(x十1)- 斗.x(-1,+oo)则 0.1e1~0.1105~1 1 /()-1 -0 111ll-b.a<6:c=-ln0.9 叶1 G+1)*G)..当x>0时/(2)> )#。) 0.即f(x)在(0,+oo)上单调递增,..f(0.1)→f(0)-0,即 故选C. h'(x)<0,则h(x)为减函数.',h(x)h(o)-0,即ln(+1) -311-0.25. 2.A【解析】泰勒展开,设x-0.25,则a= 2 >0,故m(c)在x(o.吾)为减函数,..m(x)<m(0)=0. 3! 即xtanx;.ln(x十1)<r<tanx,x(o.吾),令x=0. 1.则ln(0.1+1)<0.1tan0.1.即b0.1c.b..a <c.故选D. 技法04 不等式放缩合集比较函数值大小关系解题技巧 2.A【解析】-a--1-2(e-1)- -2·+1- 【对点练习】 (e-1)0.v.ba,又a-c=2(et-1)-sin 1-tan 1..令(c)-2(e-1)-sinx-tanx.xe(o.吾),则 :ln<(r)(c>1)vc--ln0.9=1n10(0 1.则g'Cr)-2·e十sin,- 2sin当x(o.吾)时,2 cor coSx 题型06 一些函数、方程与不等式选填的解题技巧 ·e2,sinx>o, sin<sin.cosx>co. 2sin co{7 技法01 整数解的应用及解题技巧 【对点练习】 乙__ 1.A【解析】由题意,f(x)一kr>0 ### 恰有3个正整数解,转换为y-ln 函数,又:g(0)=0.,当xo.)时,(x)=g(x)0 x的图象与y--1十的 故(x)在(o,吾)上是增函数,故f()→f(0)-0,即a> 图象交点问题,作出y-lnx和y c.故bac.故选A. 技法02 两类经典超越不等式比较函数值大小关系解题技巧 【对点练习】 1[1n31+3) In47+4h 2.A【解析】函数/(c)的 y-g(x) 定义域为(0,十).由f (x)<o,即ln(1+x)<x,令-士,则有ln(1+)<1.:. y-a(x-1) lnxπ> 0 (x)>0,得 (x-1),则不等式ln→a(x-1)有3个整数解,设g _{ 1 高考数学冲刺宝典 ()-n,则(c)-1-21n,当x(ovE)时, 选B. 技法03 切线与公切线的应用及解题技巧 (x)0,g(x)单调递增,当xE(e,+o)时,g(x) 0. 【对点练习】 g(x)单调递减,当x(ve,+oo)时,g'(x)<0.g(x)<0,g 1.(0,2e]【解析】由题可知,/(x)-2r,g'(x)-.(r0). (x)单调递减,又g(1)-0..,当0 x 1时,g(x)<0,当 x1时,g(x)0.易知y-a(x-1)(x0)的图象恒过点 设与曲线f(x)=r一1相切的切点为(n,n),与g(x)-aln (1.0),在同一直角坐标系中,分别作出y=a r一1相切的切点为(s,1)(s0),则有公共切线斜率为2m (x一1)(x0)与函数g(x)的图象,如图所示.由图象可 -.又(-ans-1. 知ao.要使不等式na(x-1)有3个整数解,则 nr-1,可得n-I-m}-alns-2n-2ns,即有n}-2ms$ ((4-1)a~g(4) 解得10~2,故选A. -n*-2ms-alns-a-alns,可得a-4-4} ((5-1)ag(5) ln$,s>0,设h(s)-4-4slns,s0,h'(s)-8s-4(2slns 技法02 零点的应用及解题技巧 【对点练习】 +s)-4-8sns-4s(1-2lns),可得0 $ e时,h'()0 1.A 【解析】由f(4-x)=(4-x)-4(4-x)+ (s)在(0e)上单调递增,当se时,h'(s)0,h(s)在(e. (u-+--)--4r+a(e-”+)-f(x). 十o)上单调递减,h(e)一0,可得s一e处h(s)取得极大值, 得f(4一x)一f(x),即函数f(x)的图象关于x一2对称,要 且为最大值2e,则正实数a的取值范围(0,2e,故答案为(0 使函数f(x)一r一4r十a(-十)有唯一的零点,则 2. f(2)-0,即4-8+2a-0,得a-2.故选A 2.C 【解析】因品数/(x)是奇晶数,则由/(一x)十f(x)-0 2.C 【解析】画出函数/(x)的图像,y一r在y轴右侧的去掉, 得2(a-2)r2-0恒成立,则a-2,即有f(x)-2r-3x,/f 再画出直线y一一z,之后上下移动,可以发现当直线过点A (x)-6”-3,设过点P(-1,2)向曲线y-f(x)所作切线与 时,直线与函数图像有两个交点,并且向下可以无限移动,都 曲线y=f(x)相切的切点为Qxr,2x}-3x。).而点P(-1. 可以保证直线与函数的图像有两个交点,即方程((x)一一工 -a有两个解,也就是函数g(x)有两个零点,此时满足一a <1.即a二-1,故选C. 4$+6r-1-0,即(2x。+1)(2x+2r-1)-0,解得= 2 y=/r) (一1,2)向曲线y-/(r)可作的切线条数是3.故选C fx) 3.B【解析】作出函数/(x)的 图象如图所示,令/(x)一1. 题型7 3类导数综合问题解题技巧 则由图可知,当1(-,- 技法01 端点效应(必要性探索)与特殊点效应 4-401234 1)(2,log5]时,方程/ 【对点练习】 (r)一!只有一个根;当/ # 1.(2) 【解析】(2)设(c)一xe”一e十1,则(0)-0. 一1)U(0,2]时,方程/(x) 又h'(x)=(1+ax)-,设g(x)-(1+ax)*-,则g’ 一1有两个根;当t(一1,0]时,方程f(x)一1只有一个根; (x)-(2a+ax)e"-,若a>,则g(0)-2a-1>0,”: 显然1-0不是方程^-m-1-0的根;若1--1是方程r* -m-1-0的根,则n-0,此时1-士1,结合图象可知,此 g'(x)为连续不间断函数,故存在x(0,十),使得VxE 时方程f(x)一1和方程f(x)一一1共有4个根,则函数g (0.x),总有g(x)一0,故g(x)在(0,xo)为增函数,故g (x)有4个零点,不满足题意;.g(x)-(x)一nf(x)-1 (x)g(0)=0,故h(x)在(0.x)为增函数,故h(x)h(0) 恰有5个零点等价于方程/(x)一6恰有5个实根,等价于方 -0.与题设矛盾,若0<a<吾,则h(t)-(1+ax)"-= 程r-m-1-0的一个根在(-1,0),-个根在(0.2],令 &+h(1+)一,下证;对任意x>0.总有ln(1十x) x成立, (h(-1)-n0 (1)-r-m-1,则 (0)--10 ..故 (2)-4-2m-10 0.故S(x)在(0,+o)上为减函数,故S(x)S(0)一0即ln高考数学冲刺宝典 =故os477 17 s}=是<是=sim<4sin子故c∴b>ac>b>a,故选A 【解法二】（不等式放缩二）：治=4an子：当x∈(0，受)sim<<anam}>} 即哈>1>6：当x0,》m<取r=名得os1-2r名>1-2(g}-韶 故b>a,.c>b>a.故选A. 【答案】A 方对点练趴一 设a=0.1e1,b-c=-ln0.9,则 () A.a<b<c B.c<b<a C.c<a<b D.a<c<b 题型6一些函数、方程与不等式选填的解题技巧 技法01 整数解的应用及解题技巧 技法解读人一 在整数解问题中，通常用猜根法比较快，先找到临界条件得到端点值，再利用整数解区间为 一开一闭，能做到快速求解. 串典例剖析人 例1若关于x的不等式1nx十a一3a1<0有且只有一个整数解，则正实数a的取值范围是 () A(2,2n2+1]B(2,3n3+1] C.[2n2+1,3ln3+1)D.[ln2+2,3n3+1 【解析】原不等式可化简为xnx十1<3a-a.x,设f(x)=xnx十1， g(x)=3a-ax,由f(x)=xnx+1得，f(x)=lnx+1,令f(x)=0 可得x=是∴xe(0,)时，f(r)<0xe(,+o∞)时f()>0. 易知函数f(x)在(0，)单调递减，在（日。，十∞）单调递增，且f已) -1-,作出fx)的图象如右图所示，而函数g(x)=3a-ax恒过点C(3,0), 22 题型6一些函数、方程与不等式选填的解题技巧 要使关于x的不等式lnx十a一3-1<0有且只有一个整数解， 则函数g(x)的图象应介于直线AC与直线BC之间（可以为直线BC),又A(1,1),B(2,2n2十1）， ke-9号号a-0-g0g4》=-2h2-1-2n2-1长-a<-22<2n2+1. 3-2 【答案】A 对点练习人 l.已知函数f(x)=lnx 2+1,若0）-kx>0恰有3个正整数解，则k的取值范围为 () A[2-子3-) 2子3- 6 c2-31 2-子g-副 2.已知函数f(.x)=lnx一a(x3一x2),若不等式f(x)>0有3个整数解，则实数a的取值范围为 () A品) a[) c[s,) 7g劉 技法02 零点的应用及解题技巧 技法解慎人一 零点问题是新高考卷中常考内容，解决唯一零点问题在于观察发现零点的具体值，多个零点 数形结合能做到快速求解， 串典例剖析人 例2-1已知函数f(x)=x2一2x十a(e-1十er+1)有唯一零点，则a A B号 c号 D.1 【解析】通过观察发现x2一2.x关于x=1对称，e1+e+1也关于x=1对称， 则唯一零点为1，解得解得a=2故选C 【答案】C (x+1)2,x≤0， 例2一2已知函数f(x)= 若函数g(x)=f(x)一b有四个不同的零点，则实数b Igrl.x>0, 的取值范围为 A.(0,1] B.[0,1] C.(0,1) D.(1,+c∞) 23 高考数学冲刺宝典 【解析】依题意，函数g(x)一f(x)一b有四个不同的零，点，即 y=f(x) f(x)=b有四个解，转化为函数y=f(x)与y=b图象由四个 2 交点，由函数函数y=f(x)可知： Y=b 当x∈（一∞，一1）时，离数为单调递减函数，y∈[0，十o∞)： -3-2 -10 当x∈（一1,0]时，函数为单调递增函数，y∈(0,1]； 当x∈(0,1)时，函数为单调递减函数，y∈(0，十∞)； 当x∈[1，十)时，函数为单调递增函数，y∈[0，十o∞)； 结合图象，可知实数b的取值范围为(0,1].故选A. 【答案】A ⑦对点练习人 L.若函数f(x)=x2一4x十a(e2-1十e-r)有唯一零点.则实数a= ( A.2 B司 C.4 D.1 2.已知函数f(x)= e,x≤0， g(x)=f(x)十x十a.若g(x)存在2个零点，则a的取值范围是 In z.x>0, () A.[-1,0) B.[0,+o∞) C.[-1,+o∞) D.[1,+∞) 2+21-2,-4≤x≤-1， 3.已知f(x)= 若函数g(x)=fP(x)一mf(x)-1恰有5个零点，则实 log2(x十1)，-1<x≤4， 数m的取值范围是 () A,) Bo,2) C.(0,2) D.(0,2] 技法03 切线与公切线的应用及解题技巧 技法解读人一 对于切线及公切线问题，熟练掌握导数的几何意义及其应用，能做到基本题型求解，熟练解 方程也有助于快速解题 多典例剖析人一 例3一1若过点(a,b)可以作曲线y=e的两条切线，则 A.e<a B.e<b C.0<a<e D.0<<e" 【解析】画出函数曲线y=e的图象如图所示，根据直观即可判定点(a,b)在 P(a,b) 曲线下方和x轴上方时才可以作出两条切线.由此可知0<b.故选D. 24 题型73类导数综合问题解题技巧 【答案】D 例3一2若直线y=kx十b是曲线y=lnx+2的切线，也是曲线y=ln(.x+1)的切线，则b 【解析】对函数y=lnx十2求导得)y-,对y=n(x十+1)求导得y=设直线y=红十b 与曲线y=lnx十2相切于点P(x1,y),与曲线y=ln(x十1)相切于点P2(x2,y2),则y1=lnx 十2，=ln十1).由点P(n)在切线上得y-h+2)=-(-.由点P) 在切线上得y一血（十1)=中(x一心)，这两条直线表示同一条直线， 11 2+1 la+1)=ln西+2t+1 解得=2k==2,6=n十2-1=1-n2. 无1 2+1 【答案】1-ln2 对点练习八一 1.若两曲线y=x2一1与y=alnx一1存在公切线，则正实数a的取值范围是 2.已知f(x)=2x3+(a一2)x2一3x是奇函数，则过点P(一1,2)向曲线y=f(x)可作的切线条数 是 () A.1 B.2 C.3 D.不确定 题型73类导数综合问题解题技巧 技法01端点效应（必要性探索）与特殊点效应 技法解读 端点效应的类型 1.如果函数f(x)在区间[a,b们上，f(x)>≥0恒成立，则f(a)>≥0或fb)≥0. 2.如果函数f(x)在区问[a,b们上，f(x)≥0恒成立，且f(a)=0(或f(b)=0),则f(a)≥0 (或f(b)≤0). 3.如果函数f(x)在区间[a,b们上，f(x)≥0恒成立，且f(a)=0,f(a)=0(或f(b)=0, f(b)≤0)，则"(a)≥0（或f"(b)≤0）. 4.函数f(x)在区间[a,b]上，f(x)≥0恒成立，若3c∈(a,b)且f(c)=0,则f(c)=0. 25