题型5 比较函数值大小关系解题技巧-2025年新高考数学冲刺宝典

题型5比较函数值大小关系解题技巧 万对点练习人 1.某个函数的大致图象如图所示，则该函数可能是 ( A.y-1 B.y=2sin x2+1 01234 C D.y=-+sin x2+1 2.如图是下列四个函数中某一个的部分图象，则该函数为 A.f(r)=Inz+2 B.fx)=x十L e+1-1 C.fx)=(x+1) D.fx)=(x+1) 题型5比较函数值大小关系解题技巧 技法01构造函数比较函数值大小关系解题技巧 技法解填人一 本题型在新高考卷中以小题形式考查，是高频考题：本题型可以用方法技巧作答，能用分析 法找打构造函数的本体是解决此类问题的突破口，需重点掌握. 串典例剖析人 例1设a=0.1e,6=)c=-ln0.9,则 () A.a<<c B.c<b<a C.c<a<b D.a<c<b 【解法一】 (分析法之假设待证法比较大小一构造函数)假设a<b成立，即0.1e1<=0.9e <1台ln0.9十0.1<0，令x=0.9,则等价证明：nx十(1一x)<0.即证：lnx<x一1（原式得证， 略).假设a<c成立，即0.1e1<-ln0.9台0.1e.1+ln0.9<0.令x=0.1,则等价证明：xe+ ln(1一x)<0,x∈(0,1)，（证明略）∴.函数g(x)=xe十ln(1一x)在x∈(0，√2-1)单调递增， ∴.g(0.1)>g(0),即：0.1e1+ln0.9>0,.假设a<c不成立，即a>c, 综上所述：cab,故选C. 【解法二】（构造法）设设八x)=ln1+)-x>-1D.:fx)=中x1=千云 当x∈(-1,0)时，f(x)>0,当x∈(0，十o∞)时f(x)<0, ·函数f(x)=n(1十x)一x在(0，十o)单调递减，在（一1,0）上单调递增， 哈)fo)=0n昌-日<0，故号>h9=-h0.9即>-)Kfo=0, 17 高考数学冲刺宝典 ln最+<0，故0<et∴bc*<g故a<h,设g()=e+hn1-0<<1D. 91 则g'x)=x+1De+1=DE+,令h()=C(c-1D+1.h')=ex+2z-1D. x-1 x-1 当0<x2-1时，h'(x)<0,函数h(x)=e(x2一1)+1单调递减， 当v2一1<x<1时，h'(x)>0,函数h(x)=e(x2-1)十1单调递增，又h(0)=0, ∴.当0≤x<2-1时，h(x)<0,.当0<x<2-1时，g'(x)>0,函数g(x)=xe十ln(1-x)单 调递增， ∴.g(0.1)>g(0)=0,即0.1e1>-ln0.9,∴.a>c,故选C. 【答案】C ⑦对点练趴 1.a-6=In 1.1,c=tan 0.1. ( A.c<a<b B.a<c<b. C.b<a<c D.a<b<c 2.设a=2et-1),6=ct-1c=sim}+am},则 A.ba>c B.bc>a C.a>b>c D.a>c>b 技法02两类经典超越不等式比较函数值大小关系解题技巧 技法解读 e>x+1,e≥ex,l-≤lnr<x-l,ln≤8 多典例剖析人一 例2已知a=d0b=e,c=ln80则a,b.c的大小关系为 () A.a<b<c B.a<c<b C.c<a<b D.b<a< 【解 】由睿用结论e>+1(≠0)，可得e>-一器+1=0故a<:c=n8<80-1 =1O0故c<ac<a<b,故选C 【答案】C 18 题型5比较函数值大小关系解题技巧 ⑦对点练习人 已知a=ln1+c),b=c,c=号，则 A.ba>c B.a>c>b C.b>c>a D.c>b>a 技法03 泰勒不等式比较函数值大小关系解题技巧 技法解速人一 1.常见函数的泰勒展开式 e=1+货+号+员++后+，共中0<： 2h1+=+黄-+(-1+R中R=(-1r十a (3)sin =x- 3！51 -十(-1)1- 261+R,其中R。=（1D2+,0s2x: ④m1-若+若-+(-12+R,共中R=(-1m: (⑤)z1+x+x+…+x+o(r): (6)1+x）=1+x+n0,Dx2+o(r): 2 (⑦)m=x+专+是r++o产： 8x=1+安g+62++or 由泰勒公式，得到如下常用的不等式： e≥l+,e>1+x+号（≥0），sinx≥x-r(x≥0)，osx≥1-，nx≤-1， e≥，am≥r+3r(>0v1H<1+lh1+x< 2.常见函数的泰勒展开式 结论1：ln(1+x)≤x(x>-1). 结论2：lnx≤x-1(x>0). 结论31-<nx>0). <ln1 结论41十x <In(1+). 1一1十x 1十x 结论5：l+≤e:e≤（<l:7千≤nl+)r(>-1. 19 高考数学冲刺宝典 结论6：e≥1+x(x∈R). 结论7：er≥1一x(x∈R). 结论8：已≥e(x<1). 结论9已≤e(>1D。 串典例剖析一 例3设a=2ln1.01,b=ln1.02,c=√1.04-1.则 () A.a<<c B.b<c<a C.b<a<c D.c<a<b 【解法一】 由泰勒公式，可知ln(1十x)≈x- r+号，+)-1≈2-8r+6. n1+ae克r+号r.1+x)-17gr+e.将x=001x=002=0.04. 分别相应代入估算，得a≈0.01990，b≈0.019802，c≈0.019804.由此可知b<c<a. 【解法二】a=2ln1.01=1n1.01=ln(1+0.01)2=1n(1+2×0.01+0.012)>ln1.02=b, ∴.ba;下面比较c与a,b的大小关系.记f(x)=2ln(1+x)一1十4x+1,则f(0)=0, 2-2=2+4-1-卫，由于1+4x-(1+x)2=2x-2=x(2-x): f(x)=1千x十4x1+x)干4z .当0x<2时，1十4x一(1十x)2>0,即1+4x>(1+x),(x)>0,.f(x)在[0,2]上单调 递增， .f(0.01)>f(0)=0,即2ln1.01>1.04-1,即a>c；令g(x)=ln(1+2x)-√1+4.x+1, 22=2V1+4-1+2,由于1十4x-(1+2x)2=-42, 则g(0)=0,g(x)=1十2x1千4x(1+x)V1+4x 在x>0时，1十4x一(1十2.x)2<0,g'(x)<0,即函数g(x)在[0，十∞)上单调递减， ∴.g(0.01)<g(0)=0,即ln1.02<1.04-1,即bc:综上，b<c<a,故选B. 【解法】令=h生-一1c>.r)=<0, 即函数f(x)在(1，十o∞)上单调递减，f(√1+0.04)<f(1)=0,∴b<c. 令gx)=21hn(3)-x+1(1<x<3)g(x)=3->0,即画教gx)在1,3)上单调 x2+3 递增，∴g(√1+0.04)<g(1)=0,∴a>c.综上，b<c<a,故选B. 【答案】B 20 题型5比较函数值大小关系解题技巧 ⑦对点练习人 1.设a=0.1e1,6=司c=-lh0.9则 A.a<b<c B.c<b<a C.c<a<b D.a<c<h 2已知a-动：b=casc=4如子则 1 A.cba B.b>a>c C.a>b>c D.a>c>b 技法04不等式放缩合集比较函数值大小关系解题技巧 技法解读人一 sin<r<tanx,xe(o,）lnx<G-是(x>1),inx>-是0<r<I: lnx<x-3>1.nx>-20<<1D: nx>-2+2x-2x>10,nx<-+2x-20<r<1: In>D(r>D.I<D(0<<D. x+1 x+1 放缩程度综合 1-x2反2nx<2=-+2x2x-10<: x 1--+2x-2<2P<n<G-x-10<2: x+1 2 +2x2121>2 <e<(<D.j<(D). 多典例剖析人 例4已知a-影b=cos子c=4sin子则 () A.c>b>a B.b>a>c C.a>b>c D.a>c>b 【解法-】（不等式放缩一）：当x∈(0，引mx<x,取x=号得：0s}=1-2sim日>1-2 (g)广-影故b>a,4m+os子m(得+p小其中peo,》且sm帚og 帝当m十子币时十一音及一音子此时如气帝m血9 4 21 高考数学冲刺宝典 故o子清清如长m载>aic>>at线入 171 【解法二】（不等式放缩二）：治=4an子：当x∈(0，受)sim<<anam}>} 即后>1c>b:当x∈0，受}，smr<x,取r=名得cos}=1-2im名>1-2（信}-别 故b>a,.c>b>a.故选A. 【答案】A 力对点练趴一 设a=0.1e1,b-c=-ln0.9,则 A.a<b<c B.c<b<a C.c<a<b D.a<c<b 题型6一些函数、方程与不等式选填的解题技巧 技法01 整数解的应用及解题技巧 技法解读人一 在整数解问题中，通常用猜根法比较快，先找到临界条件得到端点值，再利用整数解区间为 一开一闭，能做到快速求解. 串典例剖析人 例1若关于x的不等式1nx十a一3a1<0有且只有一个整数解，则正实数a的取值范围是 () A(2,2n2+1]B(2,3n3+1] C.[21n2+1,3n3+1)D.[n2+2,3n3+1 【解析】原不等式可化简为xnx十1<3a-a.x,设f(x)=xnx十1， g(x)=3a-a.x,由f(x)=xlnx+1得，f(x)=lnx+1,令f(x)=0 可得x=。∴x∈(0，)时，f()<0xe(信，+o∞)时f(x)>0, 易知函数f(x)在(0，)单调递减，在（合，十∞）单调递增，且f已） =1- 作出f(x)的图象如右图所示，而函数g(x)=3a一a.x恒过点C(3,0), 22参考答案 (一，一1)上单调递减，在（一1,1）上单调递增，在 6又-公=号-=（售-1）>0，综上可得6> (1,十©∞)上单调递减，符合图象，故D正确.故选D 题型05比较函数值大小关系解题技巧 >a,故选D 技法3泰勒不等式比较函数值大小关系解题技巧 技法1构造函数比较函数值大小关系解题技巧 【对点练习】 【对点练习】 1.D【解桥】玲)=hx+I)-千E（-1.+o),则 L.C【解析1水泰勒公式法)e1≈1+0.1+0.=1105. 2 fx)=当>0时fx1D 0.1e≈0.1l05<号=0.1l=6,a<ac=-lh0.9 0,即f(x)在(0，十∞)上单调递增，.f(0.1)>f(0)=0,即 1 合，合)=成 @,1+1)0h>0,即n11D即>a,令hx) =n9=n(+1≈号-+ nr+1)-,则)=一1=青在x(0,吾)时， 287入号-0.006=0.105<aic<A.棕上所速1e<a<h. 1 故透C h'(x)<0,则h(x)为减函数，，h(x)<h(0)=0,即n(x十1) <令m(x)=x--tan z.长(0，受），则m'(x)=1- 2A【解标]泰物展开，设=025，则a=是-1-0受， 2 cosr 1 >0,故n(x)在x∈(0，受)为减画数，m(x)<m(0)=0. c0≈1-025+025 2 -}-器 1 3！ 即x<tanx:∴ln(r十1)<x<Ctan r.∈(0，变)，令x=0. +0票，计算得>>0，故选A 1,则ln(0.1十1)0.1<tan0.1,即b<0.1<c,,.e,,.a <b<c故选D. 技法4不等式放缩合集比较函数值大小关系解题技巧 2.A【解析】b-a=e时-1-2(e寸-1)=e寸-2·et+1= 【对点练习】 (ct-1)>06>a,又at=2(ed-1)-sm}-tm C【解桥水放编法)x+1<e<<1Dl.1<e1< 1 子令f)=2(e-D-血-mx∈(0，吾)则 Q011Ka=0.1ei<01X07号=6，即a<b, f(x)=2·e-cosx- s令gr)=2·e-cosT 1 n<2r-x>0∴c=-h0.9=h9<g9 929 则k)=2e十r一2当r(0,吾)时2 1 易）品<01<a,即(a上所递a故选C 题型06一些函数、方程与不等式选填的解题技巧 ·e>2,血r>0,mrKm吾oe>ms吾∴ cos'r 技法01整数解的应用及解题技巧 2登-2，故gr>0,放)(0.音)上是增 【对点练习】 1.A【解析】由题意，f(x)-kx>0 恰有3个正整数解，转换为y=n 函数，又g(0)=0,当x∈(0，若)时，了(z)=g(x)>0 x的图象与y=弓-1计虹的 32 故f(x)在(0，吾)上是增函数，故f十)>f0)=0,脚> 图象交，点问题，作出y=lnx和y 245 c,故b>a>e,故选A =之-1十红的图象，知图：要 技法2两类经典超越不等式比较函数值大小关系解题技巧 使nx>是2-1十缸怡有3个正垫数解，则需满是： 【对点练习】 D【解析】玲fx)=lh(1+x)-x,c>0,则f(x)=1十x-1 n3>号-1+ 解得：2子<3故选入 4 (In 4<7+4 =1<0画数八)在(0，十o∞)单调递减，且0)=0. 2.A【解析】函数f(x)的 x)<0,即1n1+)<,令x=是，则有1n(1+是)<心 定义域为(0，十∞).由f =a(x-1) (x)>0,得h>a m(1+)+ne<+1,即n(1+e)<+1,又由m x (+号)K},可得1+<c<,n1+e<6,牌u< (r-1D,则不等式>a(x-1)有3个整数解.设g 5