题型3 Mm函数及f(a)+f(-a)解题技巧-2025年新高考数学冲刺宝典

题型3Mm函数及f(a)+f(-a)解题技巧 万对点练习小 1.已知定义在R上的函数f(x)满足f(x一1)为奇函数，f(x一2)为偶函数.若f(2)=2,则 f(2024)= () A.-2 B.0 C.2 D.2024 2.y=f(x)的定义域为R,y=f(x十2)为偶函数，f(2)=1且f(x)=g(2.x)一g(4一2.x),则下列 说法不正确的是 () A.y=f(x)的图象关于(1,0)对称 B.y=(x)的图象关于x=2对称 C.4为y=f(x)的周期 2=0 D. 3.已知定义在R上的函数y=fx)满足条件f(x+)=一f(x),且函数y=f（2x一子)为奇函 数，则下列说法中错误的是 () A.函数f(x)是周期函数 B函数fx)的图象关于点(-是，0)对称 C.函数f(x)为R上的偶函数 D.函数f(x)为R上的单调函数 题型3Mm函数及∫(a)+f(一a)解题技巧 技法01“奇函数十常函数”的最大值十最小值解题技巧 ⊙技法解读人 在定义域内，若F(x)=f(x)十A,其中f(x)为奇函数，A为常数，则最大值M,最小值m, 有M十m=2A即M十m=2倍常数. 1.与指数函数相关的奇函数和偶函数 f(x)=a十ar,(a>0,且a≠1)为偶函数；f(x)=a-ar,(a>0,且a≠1)为奇函数. )-和)-a>0,且a≠1D为共定文城上的青菌数：)=1-是 +1和 f八)=1十。昌a>0,且a≠D为共定义域上奇面数：r)=a为隔面数 2.与对数函数相关的奇函数和偶函数 f)=1og.(V1十7+hr,a>0且u≠1)为奇函数.fx)=log,(a>0且a≠1)为奇 函数 3 高考数学冲刺宝典 串典例剖析人一 例1函数f(x)=(x2一6x)sin(x-3)十x十a(x∈[0,6])的最大值为M,最小值为m,若M+m =8,则a= 【解析】f(x)=(x2-6.x)sin(x-3)十x十a=[(x-3)2-9]sin(x-3)+(.x-3)+a+3. 设x-3=t∈[-3,3]，则y=(-9)sint+t十a十3，记g(t)=y-(a+3)=(t-9)sint+t, ,g(-t)=一(2一9)sin1-t=一g(t),g(t)是在[一3,3]上的奇函数， 最大值为M-(a十3)，最小值为m-(a十3)，∴.M-(3十a)十m-(3十a)=0,又M什m=8,∴.a=1. 【答案】1 对点练习人 1,设函数f)=亡+（②士）2+3在区间[-2,2]上的最大值为M,最小值为N,则M+N的值 x2+1 为= 2sin(+)+2x+ 2.已知M、m分别是函数∫(x)= 2x2+cos x 一的最大值、最小值，则M+m= 技法02“奇函数十常函数”的∫(a)十f(一a)解题技巧 技法解读人 在定义域内，若F(x)=f(x)十A,其中f(x)为奇函数，A为常数，有f(a)十f(一a)=2A即 f(a)+f(-a)=2倍常数. 串典例剖析人 例2已知函数f(x)=ln(1+x2一x)十1，f(a)=4,则f(-a)= 【解析】ln(√1十x一x)在定义域内为奇函数，∴.f(a)十f(一a)=2倍常数=2， 解得f(-a)=一2. 【答案】-2 刀对点练习 1.已知f(.x)=x+sinx+5,若f(sinx)=9,则f[sin(x+x)] 2.若定义在R上的函数f(x)为奇函数，设F(x)=af(x)一1，且F(1)=3,则F(一1)的值为 14高考数学冲刺宝典 (--(x-5)=-f(-+(x-)=-f 出兰=<0，即>1时4(0)=白 (x2-1)8 (x-号)=-f(-是-3)=-f(-)=- 单调遥减>1时，f)=血（十）二工，在十ee单 x2-1 (r-3+2)=f(r-3)=f(x),…f)为偏画数，故C 调递增错误，B错误.故选A 2.B【解析】由于函数的定义城为[一2,0)U(0,2],关于原 正确.对于D,由于f(x)是偶函数，函数图象关于y轴对 称，y轴两侧函数对应区间的单调性相反，D错误，故选D. 点对称，且f(-)=号十=f 题型03Mm函数及f(a)+f(一a)解题技巧 ()为锅函数，故图象关于y轴对称，且f(2)n2+ 4 技法1“奇函数十常函数”的最大值十最小值解题技巧 【对点练习】 0.故此时可排除AD.当r=e时，f(e0)=二101<0. e 1.8【解析】由fx)=+(2x+1P+3-2+42+4x+4 x2+1 x+1 因此排除C,故选B, -背+4，设)-背[-2.2，尉(- 技法2已知函数图象判断函数解析式解题技巧 【对点练习】 清=特=品数)[-22止 1.B【解析】4个选项函数定 义域均为R,对于A,f(x) 为奇函数，.g(x)m+g(x)m=0,由题意 一x M-g(r )m+4 f(-)=f 得 N=g(x)m十4，∴.M+N=g(x)m十g(x)mm+8=8. (x)=一f(一x),故y 2.2【解析】由22+osx≠0可得定义城为R,f(.x)= n+cosr+2r+上=1十 为奇西数，且f(4)> 2x+cos c0sx+2z,令g(x）= 0:对于八)-舞-)==-，故 x2+1 sm士2，则g(一x)=a千2=一g(x),则函数g c05x+2.x 为奇画数，4)=2<0：时于Cf)=芹 17 (x)=sinr+r 0sr干2豆是奇画数，设其最大值为A,别其最小值为 (一)=)=-故)为%函数，) -A,∴.M=A+1,m=一A十1，从而M+m=2.故答案为2. 技法02“奇函数+常函数"的f八a)+f(一a)解题技巧 240:对于D,f)=二士sin三，f-)=二n 17 x2+1 x2+1 【对点练习】 1.1【解析】令g(x)=x+sinx(x∈R),:g(-x)=(-x) =-fr,故fx)为奇画数，f4)=二64+in4-1,由 17 十sin(一x)=一x2一sinx=一g(x),.西数g(x)=x2十sin 图知为奇函数，故排除C:由f(4)<0,排除A,由f(4)>一 x(x∈R)为奇函数，：f(sinx)=9,即f（sinx)=g(sinx)+ 1,排除D.故选B 5=9,,∴.g(snx)=4,,.fsin(π十x)]=f(-sinx)=g(一 2.D【解析】对于A,要使函数了(x)有意义，则 sinx)+5=一g(sinx)+5=-4十5=1.故答案为1. 1|x+2|>0 x+2≠0 2.-5【解析】由F(1)=3可得a≠0，f(x)为奇函数，∴.f nlx+21≠o即x+21≠1K-3或-3<<-2 (x)的对称中心为(0,0)，则F(x)的对称中心为(0，一1)， 或一2<x<一1或x>一1，.函数f(x)的定义战为 又F(1)=3,则F(-1)=-5.枚答案为-5. (-6∞，-3)U(-3,-2)U(-2,-1)U(-1,+0),A 题型4函数图象问题解题技巧 技法01已知函数解析式判断函数图象解题技巧 不正确：对于Bf0)-0,而已知品数)图象过 【对点练习】 原点，B不正确：对于C对于画数f)=(千1)，则f 1.A【解析】：x≠士1，而f（-是）= (+)+号 <0. 3 )器当>0时了>0：对西数)在 (0,十∞)上单调递增，不符合题中图象，C不正确：对于D, C,D错误.令gx)=n(2+1)-2x,g(x)=百 -2 对于面数f(x)=千1，定义城为（-∞，-1)U 0,即g(x)单调递减，当x>1时，g(x)=n(+1)一2x<g (0),即ln(e+1)-2x<0,∴.x>1时，ln(e2r+1)-x<x, （-1+o,且f0)-0f)=品当K-l 时，了(x)<0,当-1<x<1时，f(x)<0f(x)>0,当x 令h(x)=x>1时，f（x)<h(x,而h'(x)= >1时，广(x)<0,·函数fx)=r千1在 4