题型1 不等式-2025年新高考数学冲刺宝典

题型1不等式 题型1不等式 技法01基本不等式链的应用及解题技巧 技法解读人 基本不等式链： 十世>“生≥ab22(a>0,>0,当且仅当a=6时，等号成 2 可利用上述不等式链在各平均数间进行放缩、转化 多典例剖析人一 例1（多选）若x,y满足x2十y2-xy=1,则 () A.x十y≤1 B.x十y≥-2 C.x2+y2≤2 D.x2+y≥1 要学子@>0w>0可样” 【解析】由√2 1 对于AB.由r+-y=1可支形为：+-1-33空，解得-2<r+y2。 当且仅当x=y=1时，x十y=一2，当且仅当x=y=1时，x十y=2,.A错误，B正确； 对于C.由r+y-y=1可变形为2+yr)-1=<生，解得+y<2, 当且仅当x=y=士1时取等号，.C正确.故选BC 【答案】BC 对点练习人 1.(多选)若a>0,b>0,a+b=4,则下列不等式对一切满足条件a,b恒成立的是 A.ab≤2 B.√a+√b≤2 c5+6>4 n+2>1 2.(多选)已知实数x,y满足3.x2+3y2一2.xy=5,则 A.xy≤1 B.x+y≥-5 C2+y> D->- 3 1 高考数学冲刺宝典 技法02权方和不等式的应用及解题技巧 技法解， 1.利用常数Xm=1代换法，可以代通过“分子分母相约和相乘”，相约去或者构造出“倒数”关 系，多称之为“1”的代换. (1)条件和结论有“分子分母”特征；(2)可以乘积出现对构型，再用均值不等式.注意取等条件： 结构形式：①m十w=,求号+夕：@经+乡一1：求m+m x y 2.权方和不等式的初级应用 若4，b.x,y心>0，则4+>≥a十b),当且仅当=时取等. xyx十y x y 注：熟练掌握权方和不等式的初级应用，足以解决高考中的这类型最值问题的秒杀 串典例剖析人一 例2-1已知u6c是正实数，且6什c=6,则法2a+。最小值为 bc 【解析】 装-后+是-后+号·-+号+后++导+品 新+是+≥影·+号+号2，当且仅当即6=2 6=-号时等号成立，则生的景小值为2， 3 bc r法a+>2a+-2u+10+-22a+0…a高 bc a+-2=6, 当且仅当2a十1)=中a=1时等号成立，则2a+。月最小值为6 bc 【答案】6 例2-2设a>0.6>2且a+6=4,则子+己2的最小值是 【得法-】用用牧方布不等式：a十6=42+2《②+2>-名+5 当且仅当的2,1 侣62时，取=”比时u=4-226=22,故号+2的最小值为受+②。 1 【解法=】a+b=4,∴a+(b-2)=2,2a+(b-2)]=1, 号+62+6-21(2+2）3+2.2+6品2>0.6>2. 2 题型1不等式 由蒸本不等式得+23+2。》+2≥儿3+②。·2]=是+， a=4-22 当且仅当 2.2》=6产2 时，等号成立， a+b=4 b=22 综上所建：名+2的最小值是号+巨.故答案为号区 【答案】 是+ 对点练习一 1.已知正实数a,b满足a十b=1,则2公十1+2步十4的最小值为 ( a b A.10 B.11 C.13 D.21 2.已知u>1.>2且2a+b=3,则。十2方的最小值为 A.1 C.9 D.i 3.已知正数y满足x十y=4,若a<希十千2恒成立，则实数✉的取值能周是 技法03普通型糖水不等式的应用及解题技巧 ⊙技法解读人 1.糖水不等式定理：若a>6>0,m>0,则一定有生mb a十ma 通俗的理解：就是a克的不饱和糖水里含有b克糖，往糖水里面加入m克糖，则糖水更甜， 2指水不等式的倒数形式：设a>>0,m>0,则有：号>公册 3.糖水不等式的应用 (1)设n∈N+,且n>1,则有1ogm+1<log+2(n十1)： (2)设a>b>1,m>0,则有logb<log+m(b十m): (3)上式的倒数形式：设a>b>1,m>0,则有loga>log+m(a十m). 串典例剖析人 例3一1（多选）已知实数a,b,c满足0<a<b<c,则下列说法正确的是 B.c aa+c 3 高考数学冲刺宝典 1 1 C.a(e-a)b(e-a) D.ab+e>ac+be 【解法-】由糖水不等式的倒数形式，b>a>0,c>0,则有>生S a-a+c 【解法=】>牛b(a十c>a(b十c)=bc>ac=6>a,故B正痛； aa+c 0<a<有-a>6>0,。。故A错误： aa>a>b>a故c正确： ab+c2>ac+bc=c(c-b)-a(c-b)>0台(c-a)(c-b)>0,故D正确. 【答案】BCD 例3一2已知9m=10,a=10m-11,b=8m-9,则 A.a0b B.ab0 C.ba0 D.b0>a 【解法一】（对数型糖水不等式），9m=10,∴.m=log10.在上述推论中取a=9,b=10, 可得m-log910>log1o11=1g11,且m=loge10logs9. ∴.a=10"-11>10g11-11=0,b=8m-9<8m,9-9=0,即a>0>b,选A. 【解法二】（普通型糖水不等式）由已知条件9"=10，可得m=log10.同公式2的证明过程， 可以得到m=1g10 lg10+lg号 g199 1g 9 1g9+1g9 g8-g1g0>g1,即m>g1n a>10-11=0,即a>0.又m=g10g10+g9_lg 8 80 1g9 logolog9. Ig 9+1g 9 ∴.b<8%9一9=0，即b0.综上，a>0>b,选A 【答案】A 万对点练习八 L.(多选)生活经验告诉我们，a克糖水中有b克糖，(a>0,b>0,且a>b),若再添加c克糖 (>0)后，（假设全部溶于水）.糖水会更霜，于是得出一个不等式：牛>名，称之为“糖水不等 式”，则下列命题一定正确的是 () A.若4>b>0,m>0,则士m与2大小关系不随m的变化面变化 a十ma B若a>b>0,-b<m<0,则2<b+m ad十m C若a>b>0,>>0,则++c a十da+c n若a>0,6>0.则。<1年a+年b b 4 题型1不等式 2.比较log23,log4,log5的大小？ 3.已知5<8,13<8.设a=1og53,b=1ogs5,c=log138,则 ( A.a<b<c B.b<a<c C.b<c<a D.c<a<b 技法04 因式分解双换元与三角代换 技法解读人，一 L.如果条件（或者结论）可以因式分解，则可以通过对分解后因式双换元来转化求解. 特征：条件式子复杂，一般有一次和二次（因式分解展开就是一次和二次），可能就符合因式分 解原理 最常见的因式分解：a十b十ab十1=(a十1)(b十1). 2.复合或者能转化为(x一a)十(y一b)2=R型，则可以通过三角换元（圆的参数方程型）来转化 构造，转化为三角函数辅助角为主的恒等变形来计算求解最值. 多典例剖析人一 例4-1已知x2-3.xy+2y2=1(x,y∈R),则x2+y2的最小值为 () A.10-6 B.10+6 C.210+6 D.210-6 【解法-】x2-3ay+2y2=(x-y)(x-2)=1可设x-y=1x-2y=u≠0)， -2-=1}代入所求式子得x+-(2}°+》厂=5+是-≥5r·是-6 =21而-6当且仅当5=是，f=时等号成立.∴+y的最小值为2而-6，故选D 【解法二】设x2+y=,x=tcos0,y=tsin0,代入已知等式得t产cos20-3sin0cos0+2sin0 =1.∴=cos0-3sn0os0叶2sim0=1-号n29+1g20=g号(3sn29+os20=号 2 n(20叶pe3+y共中sg=ewg0.≥ 2 =2/10-6, 3+√10 x2+y2的最小值为2/10一6.故选D. 【答案】D 例4一2已知0<a<1,0<b<1,且4(a+b)=4ab+3,则a+2b的最大值为 A.2 B.22 C.3-√2 D.3-22 【解析】.4(a十b)=4ab十3，.4ab一4a-4b+3=0,配凑得：4ab-4a-4b+4=1, 5 高考数学冲刺宝典 两边同时除以4得：ab-a-b十1=寻，即1-a)1-b)=},令x=1-a>0y=1-b>0, 则a=1-x6=1-y-衣a+2h=1-x+21-0=-一2+3=-x2+3 =-(+)+3<-3r·云+3=3-2（当且仅当x=公即红=号时，等号成立.故选C 2 【答案】C 方对点练习 1.若a,b∈R,且a2+2ab-3=1,则a2+的最小值为 2.已知x2-23.xy十5y2=1,x,y∈R,则x2+y2的最小值为 3.已知x,y∈R且满足2x2-y2+xy=2,则x2十2y的最小值是 题型2函数的基本性质 技法01函数单调性的应用及解题技巧 技法解人一 1.同一定义域内 (1)增函数()十增函数()=增函数入：(2)减函数()十减函数()=减函数4： (3)fx)为入，则-f)为0为：(4)增函数()-减函数八)=增函数： (5)减函数()一增函数()=减函数：(6)增函数()十减函数()=未知（导数）. 2.复合函数的单调性：换元分解十同增异减. 多典例剖析 例1-1设函数fx)=x2- 产，则fx) A.是奇函数，且在(0，十∞)单调递增 B.是奇函数，且在(0，十∞)单调递减 C.是偶函数，且在(0，十∞)单调递增 D.是偶函数，且在(0，十o∞)单调递减 【解析】h()=t在定义城内(0，十∞)是增函数，g(x)=是在定义战内(0，十∞)是减函载， “fx)=2-是在0，十o∞)单调递增 【答案】A 6参考答案 参考答案 题型1不等式 (atb) 22 技法1基本不等式链的应用及解题技巧 【对点练习】 +片产9，当盟仪己六即@ 12 1.ACD【解析】对于A,a>0,b>0,a+b≥2ab.即√ab≤ =名6=号时，等号成立.故选C 十b=2,当且仅当a=b=2时等号成立，∴A正确：对于B. 2 【解法=】2(2a-2+b-号)=(2)×2=11的代换) a>0,b>0,(Wa+b)2=a+b+2ab=4+2√ab≤4+2×2 =8,又a+b>0,则va十石≤22，当且仅当a=b=2时等 2(片+[2a-D+2%-]-[2+号号 号成立，.B错误：对于C,a十b=4,b=4-a>0,∴0<a<4, 则号+=号+4-a)=誓-a+16=号a-3)r+4 +2岛+]>9声且议当号器书-28脚 3 ≥4，并且4=3时等号成立.，∴C正确：对于D,>0,b>0, a=子6=号时，等号成立，故选C a+6=4…中-1，则。+方-（日+6）.时中-}× a(-,9] 【解析】已知正数x,y满足x十y=4,所以(x十 (+台+号)≥×(2+3√会号)=1.且仅当2 0+4+2)=,所以：号+学=1，则：而十并2 7 号，即a=b=2时等号成立D正确.故选ACD +.=出+ x十1 x+1 2.BCD【解析】对于A,由5=3x2+3y2-2xy≥3·2xy-2xy 士2=422+出，=x+1-2+h+y+2-4+ 1 y+2 =y当且仅当x=y=士号时等号成立，中<号，故A 1 错误：对于B,由3x2+3y2-2xy=5,得3(x+y)2-8xy= 1,=号+4+1 7 5,即3(+y)=8y叶5<8·（告）+5，当且仅当r= (y+2) +带+专+1≥ 4(x+1) y=士号时等号成立，印一后<十<5，故B正确对于 高+号-9要使<乐十并故成 √(y+2·7x++7= C,由3xr2+3y-2xy=5,得-2xy=5-3(x+y)≤+ 立，只需满足a≤（千十千2）mm即可，故u9故答 y,当且仅当=y=士时等号成立，即r+y≥号 案为(-0,9] 技法3普通型糖水不等式的应用及解题技巧 故C正确：对于D,由3r+3-2xy=5,得3(x-音)十 【对点练习】 号-5唧号-5-3(-)≥0，即-<一 1.ACD【解析】对于A,根据“糖水不等式”，若a>b>0,m> 3 0,则十m>6,故A正确；对于B,名一”口 a十m a 压，故D正确.故选BCD a十m 3 a(a十m) 技法02权方和不等式的应用及解题技巧 ata9m2-品.a>≥b>0,-Km<0. 【对点练习】 ∴b-a<0,a十m2>b+m>0,故名-m>0,即> 1.B【解析】正实数a,b满足a+b=1,则2@+中+2G+4 m,故B错误：简经：令什1=b一（一m)>0.(一m)>0, a十m 2a+2+日+=2+（日+号）a+b)=7+台+0≥ a 0<b-(-m)<a十m=a-(-m)>0,则二二m< -(一m) 7计3√合，要=7+4=1，即2公出+2沙≥1，当且权 6-(-m)十-m=么，对于C,若a>6>0,c>d>0.则c a一（一m》十（一m）4 当日=光且0十b=1,即6=号a=号时取等号：2公 4 一>0，a+>6什>0，根据水不等式”合牛牛 十2近十的最小值为11.故选B b 号南牛牛气故C正确：时千D,若a>0.6>0,则1 2.C【解法-J:2a+b=3.六如+2=6由权方和不等式号 +a+b>1+a>0.1+a+b>1+b>0.六1+a+b<+a 1 1 1 高考数学冲刺宝典 中+b中心中0b+中0<年。+中即 1 1 2y的最小值等5-1)故答案为号(3-1). 平并b平a十年故D正确，故选AD a十b 题型2函数的基本性质 技法1函数单调性的应用及解题技巧 2.【解析】根据对数型糖水不等式得log3>log4>log5. 【对点练习】 3.A【解法-4一n5 -=n8<8a c得1 得：r≠士了f八x)定义城为 In 3 n3+n9h碧h8 (-,-3)U(-3号)U(分+∞)小又-)=a h5十h碧面店下位滑=周排修法，女链A -3x+1|+1nl-3x-1|=n|3.x-1|+n|3x+1|=f(.x), In 5 ∫(x)为定义域内的偶函数，可排除BD:当x∈ 【解法=1由题老可知a,ke∈0.D.号-思-最3 (-o-号)时，x)=la(-3x-)+a(-3x+1)=ln 最8g·(3生)=()=(0器) (9x-1),:1=92-1在(-©，-）上单调递减y <1.a<b:由b=log5,得8=5，由55<8，得8*<8， n1单调递增…(x)在（一，-一}）上单洞递减，可排除 5<4,可得K号：由c=log8,得13=8，南13<8，得13 A:f代为偶函数且在(-∞，-号)上单调递减f <13.5>4,可得c>子，综上所迷，a<故选A 在（号，十∞）上单调递增，C正确，故选C 技法4因式分解双换元与三角代换 2.A【解析】由-x2十x十6>0得，x∈（一2,3）.∴西数f(x) 【对点练习】 =log号(-x2十x十6)的定义域为(-2,3). 1.5十中【解析1由a+2ab-3=1得(a+36(a-b)=1. 令1=一x+x十6，则y=log则1是单调递减函数，又1=一x 4 令x=4十36y=4一b,则=1且a=,6= 十x+6,在(-2，受)上单润递增，在（号3）上单调递减， 4 由复合函数的单调性可得函数f(x)=g时 d+=()+(9=5+2≥ 8 (一十x十6)的单调递减区间为(-2,2).故选A 25+2_5中，当且仅当2-5=号时取￥.故 技法02函数奇偶性的应用及解题技巧 8 【对点练习】 答案为5 1.B【解析】fx)为偶函数，则f(1)=f(-1)..(1+a)n 23【解折：2-2y+5y=(一v>+(2 3=（-1+a)h3.解得a=0,当a=0时，f(x)=xn 22一1(2r+10>0:解得>号我<-子则共 =1令x一y=cos0区y=s血.解得x=号n0叶cms 定义域为{>或心一号}关于原点对称（一） 0.y-号n0.r+yr=(9n0叶cms0）+(号nj -h(hh(经》 =1+r0+6s血hs0=是+5如20-os29-=号十 =血2写故此时)为偶函载.故选B 号n(20-p.”-1s(2-g1…2+y的最小值 2.C 【解析】由题意可得：（号）=(1+号）=(-号） 为2 -f(号)，两f(号)=(1-3)=f(号)=- 3.号(3-1)【解析12r-y+xy=2(2x-y)(r+y)= (-寻)=-3，故（号）=号故选C 2今2红-y=m,十y=,则=m字y2。,且m 3.B【解析】f(r)= (3a-2).x+3,x≤ (a>0且a≠1) 3 logx+5a,1 2+2=(安）+2×(2"）=号+m-号≥ 是R上的单调函数，若∫(x)是R上的单调递增函数，则 3a-2>0 2-专=当且仅当驾=心时取等号，此时士十 a>1 ,解得a>1:若f(x)是R上的单 33 3 (3a-2)+3≤log1+5a 2