精品解析：重庆市七校2024-2025学年高一上学期第一次联考数学试题

2024—2025学年度上期高一七校第一次联考 数学试题 满分：150分，考试时间：120分钟 注意事项： 1.答题前，务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡规定的位置上. 2.答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上. 4.考试结束后，将答题卷交回. 5.参考公式：二次函数的图象的顶点坐标是. 一、选择题（本题有10小题，每小题4分，共40分，每小题只有一个选项是正确的，不选，多选，错选，均不给分） 1. 下列各数中最小的数是（ ） A. B. C. 0 D. 2. 下面四个图形分别是节能、节水、低碳和绿色食品标志，是轴对称图形的是（ ） A B. C. D. 3. 反比例函数的图象一定经过的点是（ ） A B. C D. 4. 如图，直线，点在直线上，，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 若两个相似三角形相似比为，则这两个三角形面积的比是（ ） A. B. C. D. 6. 估计的值应在（ ） A. 8和9之间 B. 9和10之间 C. 10和11之间 D. 1和12之间 7. 下列图形都是由同样大小的基本图形按一定规律所组成的，其中第①个图形中一共有5个基本图形，第②个图形中一共有8个基本图形，第③个图形中一共有11个基本图形，第④个图形中一共有14个基本图形，…，按此规律排列，则第⑨个图形中基本图形的个数为（ ） A. 21 B. 24 C. 26 D. 29 8. 如图，是的直径，是上的点，，过点作的切线交的延长线于点，则等于（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在矩形中，，点为上一点，连接，将沿翻折后得到，点在上，连接交于点，已知，则的长度为（ ） A. B. C. D. 10. 在多项式中，先将其中任意两个加号变为减号，再对相邻的两个字母间添加绝对值，然后进行去绝对值运算，称此为“双减绝对操作”.例如：；.下列说法中正确的有（ ） ①不存在“双减绝对操作”，使其运算结果与原多项式相等；②不存在“双减绝对操作”，使其运算结果与原多项式之和为0；③所有的“双减绝对操作”共有7种不同的结果 A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 二、填空题：（本大题共8个小题，每小题4分，共32分）在每个小题中，请将正确答案书写在答题卡（卷）中对应的位置上. 11. 计算：______. 12. 某校开展读书日活动，小渝和小津分别从校图书馆的“社会科学”、“自然科学”、“文学”、“艺术”四类书籍中随机地抽取一本，抽到同一类书籍的概率是______. 13. 若一个多边形的每个外角都等于，则它的内角和等于______. 14. 随着新冠疫情趋于缓和，口罩市场趋于饱和，某口罩每盒原价为200元，连续两次降价后每盒的售价为72元，设每次下降的平均下降率为，根据题意，可列方程为______. 15. 如图，在中，，，，点为的中点，以为圆心，长为半径作半圆，交于点，则图中阴影部分的面积是______. 16. 若关于的一元一次不等式组无解，且关于的分式方程的解均为非负整数，则所有满足条件的整数的值之和是______. 17. 如图，为等边三角形，，于点为线段上一点，.以为边在直线右侧构造等边三角形与交于点，连接为的中点.连接，则线段的长为______. 18. 一个三位自然数，若其各个数位上的数字均不为，且百位数字等于十位数字减个位数字的差的绝对值，则称该三位数为“绝对数”.例如：三位数，是“绝对数”.则最小的“绝对数”是______；把一个“绝对数”的任意一个数位上的数字去掉，得到三个两位数，把这三个两位数的和记为，把的百位数字的5倍，个位数字的2倍和十位数字的和记为.例如：对“绝对数”，，.已知三位数是一个“绝对数”，且是一个完全平方数，则这个“绝对数”的最大值是______. 三、解答题：（本大题8个小题，第19题8分，其余每题各10分，共78分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上. 19. 计算： （1）； （2）. 20. 如图，是矩形的对角线，的平分线交于点. （1）用尺规完成以下基本作图：作的平分线交于点；连接；（不写作法和证明，保留作图痕迹） （2）在（1）所作的图形中，求证：四边形是平行四边形.（请补全下面的证明过程，除题目给的字母外，不添加其它字母或者符号） 证明：四边形是矩形，，①_____. ， 平分平分， ，， 四边形是矩形，. ②_____. . ，③_____. ④_____. 四边形是平行四边形， 21. 为了更好地关爱学生的用眼健康，某校开展了“健康用眼”知识答题竞赛.现从该校七、八年级中各随机抽取10名学生的竞赛成绩（百分制）进行整理、描述和分析（成绩得分用表示，共分成四组：A.，B.，C.，D.，下面给出了部分信息： 八年级抽取的学生竞赛成绩扇形统计图 七年级10名学生的竞赛成绩是：98，80，98，86，98，97，91，100，89，83.八年级10名学生的竞赛成绩在组中的数据是：94，92，90. 七、八年级抽取的学生竞赛成绩统计表： 年级 平均数 中位数 众数 七年级 92 94 c 八年级 92 97 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：______，______，______. （2）根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生掌握用眼健康知识较好？请说明理由（一条理由即可）； （3）该校七年级800人、八年级600人参加了此次答题竞赛活动，请估计两个年级参加竞赛活动的成绩不低于90分的共有多少人？ 22. 某中学准备开展植树活动，计划在荒坡上种植A、B两种树苗共1000株，其中A树苗的数量比B树苗的数量的一半多100株. （1）计划种植A、B两种树苗各多少株； （2）学校将36名青年志愿者分成两队种植这批树苗.其中第一队种植A树苗，每人每天平均能种植A树苗25株；第二队种植B树苗，每人每天平均能种植B树苗30株.要使两队同时完成任务，第一队应安排多少名青年志愿者？ 23. 如图，在中，，，，点为上一动点，过点作于点．设的长度为，点的距离为的周长与的周长之比为． （1）请直接写出分别关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中画出函数的图象；分别写出函数的一条性质； （3）结合函数图象，直接写出时的取值范围．（近似值保留一位小数，误差不超过0.2） 24. 随着互联网的普及，外卖已成为人们生活中不可或缺的一部分.如图所示，小明在位于点的家中购买了位于点处某商家的外卖食品，此时骑手在点正西方向的点处，与点的距离为1000米，地图显示，点在点的南偏西方向，点在点的西南方向. （参考数据：，，）. （1）求小明家点与商家点的直线距离；（精确到0.1） （2）骑手在商家点处取餐后，有两条路线可供选择：①，速度为每分钟240米；②，速度为每分钟320米.其中点在点的正东方向，在点的东南方向请你通过计算说明骑手应该选择哪条路线才能更快地将外卖送到小明家？（结果精确到0.1） 25. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点，交轴于点. （1）求抛物线的解析式； （2）点是直线上方抛物线上一动点，过点作轴于点，交于点，过点作于点，求最大值及此时点的坐标； （3）将该抛物线沿射线方向平移，使得新抛物线经过（2）中取得最大值时的点.点为新抛物线上的一个动点，当时，直接写出所有符合条件的点的坐标. 26. 如图，四边形是平行四边形，是以为斜边的等腰，其直角顶点恰好在线段上，点是线段上一动点，连接和. （1）如图1，若点位于的中点，，，求的长； （2）如图2，若，求证：； （3）如图3，以为直角边在上方作等腰，，连接，若，，请直接写出周长的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024—2025学年度上期高一七校第一次联考 数学试题 满分：150分，考试时间：120分钟 注意事项： 1.答题前，务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡规定的位置上. 2.答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上. 4.考试结束后，将答题卷交回. 5.参考公式：二次函数的图象的顶点坐标是. 一、选择题（本题有10小题，每小题4分，共40分，每小题只有一个选项是正确的，不选，多选，错选，均不给分） 1. 下列各数中最小的数是（ ） A. B. C. 0 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据实数的大小比较即可得. 【详解】. 故选：A. 2. 下面四个图形分别是节能、节水、低碳和绿色食品标志，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据轴对称图形的特征分析判断即可. 【详解】轴对称图形：可找到一条直线，使图形沿直线折叠后，直线两旁的部分互相重合. 根据轴对称图形的特征可知：选项ABC：均不是轴对称图形，选项D：是轴对称图形. 故选：D. 3. 反比例函数的图象一定经过的点是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据反比例函数解析式直接代入判断即可. 【详解】对A：若，则，所以反比例函数的图象不过，故A错误； 对B：若，则，所以反比例函数的图象不过，故B错误； 对C：若，则，所以反比例函数的图象过，故C正确； 对D：若，则，所以反比例函数图象不过，故D错误； 故选：C. 4. 如图，直线，点在直线上，，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 分析】根据两角互余，再根据同位角相等可求出. 【详解】根据题意知可知，，所以， 因为直线，所以为同位角，则. 故选：B 5. 若两个相似三角形的相似比为，则这两个三角形面积的比是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据相似三角形的知识求得正确答案. 【详解】面积比等于相似比的平方，所以两个三角形面积的比是. 故选：D 6. 估计的值应在（ ） A. 8和9之间 B. 9和10之间 C. 10和11之间 D. 1和12之间 【答案】B 【解析】 【分析】算式化简后得，由的范围，确定算式值的范围. 【详解】， 由，有，则，得， 所以的值应在9和10之间. 故选：B 7. 下列图形都是由同样大小的基本图形按一定规律所组成的，其中第①个图形中一共有5个基本图形，第②个图形中一共有8个基本图形，第③个图形中一共有11个基本图形，第④个图形中一共有14个基本图形，…，按此规律排列，则第⑨个图形中基本图形的个数为（ ） A. 21 B. 24 C. 26 D. 29 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，这些基本图形的个数成为等差数列，首项为5，公差为3，由此可以求出通项，进而求解. 【详解】记第个基本图形的个数为，由题意可得， 因为这些基本图形按一定规律所组成的， 所以是公差的等差数列， 所以， 所以第⑨个图形中基本图形的个数， 故选：D. 8. 如图，是的直径，是上的点，，过点作的切线交的延长线于点，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】连接OC，根据圆心角为圆周角的2倍得，又为的切线，根据直角三角形两锐角互余求解即可. 【详解】连接OC，如图： 因为圆心角与圆周角都对弧，所以， 又，所以， 又为的切线，所以，即， 所以. 故选：C 9. 如图，在矩形中，，点为上一点，连接，将沿翻折后得到，点在上，连接交于点，已知，则的长度为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】过点作的垂线，垂足记为，延长交于点,通过相似于,即可求解. 【详解】 设,则，因为 所以，又 所以，解得：， 所以, 又因为 所以，所以直角三角形与直角三角形相似， 所以，所以,则， 过点作的垂线，垂足记为，延长交于点,易知相似于， 则，解得： 同时易知相似于, 所以,代入数据，解得 故选:A 10. 在多项式中，先将其中任意两个加号变为减号，再对相邻的两个字母间添加绝对值，然后进行去绝对值运算，称此为“双减绝对操作”.例如：；.下列说法中正确的有（ ） ①不存在“双减绝对操作”，使其运算结果与原多项式相等；②不存在“双减绝对操作”，使其运算结果与原多项式之和为0；③所有的“双减绝对操作”共有7种不同的结果 A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 【答案】D 【解析】 【分析】利用列举法进行列举，从而确定正确答案. 【详解】“双减绝对操作”有如下情况： 双减运算 加绝对值运算 与原多项式 与原多项式和 （1） 不相等 （5） 不相等 （2） 不相等 （4） 不相等 （3） 不相等 （2） 不相等 （6） 不相等 （3） 不相等 （2） 不相等 （4） 不相等 （1） 不相等 （7） 不相等 由表格可知①②③正确，即正确的个数为. 故选：D 【点睛】方法点睛：解新定义题型步骤 (1)理解“新定义”——明确“新定义”的条件、原理、方法、步骤和结论. (2)重视“举例”,利用“举例”检验是否理解和正确运用“新定义”;归纳“举例”提供的解题方法.归纳“举例”提供的分类情况. (3)类比新定义中的概念、原理、方法，解决题中需要解决的问题. 二、填空题：（本大题共8个小题，每小题4分，共32分）在每个小题中，请将正确答案书写在答题卡（卷）中对应的位置上. 11. 计算：______. 【答案】1 【解析】 【分析】利用绝对值和幂指数的运算法则，即可求解. 【详解】原式. 故答案为：1. 12. 某校开展读书日活动，小渝和小津分别从校图书馆的“社会科学”、“自然科学”、“文学”、“艺术”四类书籍中随机地抽取一本，抽到同一类书籍的概率是______. 【答案】## 【解析】 【分析】利用列举法，结合概率的知识求得正确答案. 【详解】两人随机地抽取一本，基本事件如下： 小渝抽到“社会科学”且小津抽到“社会科学”；小渝抽到“社会科学”且小津抽到“自然科学”；小渝抽到“社会科学”且小津抽到“文学”；小渝抽到“社会科学”且小津抽到“艺术”； 小渝抽到“自然科学”且小津抽到“社会科学”；小渝抽到“自然科学”且小津抽到“自然科学”；小渝抽到“自然科学”且小津抽到“文学”；小渝抽到“自然科学”且小津抽到“艺术”； 小渝抽到“文学且小津抽到“社会科学”；小渝抽到“文学且小津抽到“自然科学”；小渝抽到“文学且小津抽到“文学”；小渝抽到“文学且小津抽到“艺术”； 小渝抽到“艺术”且小津抽到“社会科学”；小渝抽到“艺术”且小津抽到“自然科学”；小渝抽到“艺术”且小津抽到“文学”；小渝抽到“艺术”且小津抽到“艺术”， 共种，其中抽到同一类书籍有种，故概率为. 故答案为： 13. 若一个多边形的每个外角都等于，则它的内角和等于______. 【答案】 【解析】 【分析】由多边形的外角和为计算出内角个数，再由内角和定理计算即可； 【详解】因为多边形的外角和为， 又每个外角都等于， 所以共有个外角，即6个内角， 所以内角和等于， 故答案为：. 14. 随着新冠疫情趋于缓和，口罩市场趋于饱和，某口罩每盒原价为200元，连续两次降价后每盒的售价为72元，设每次下降的平均下降率为，根据题意，可列方程为______. 【答案】 【解析】 【分析】利用经过两次降价后的价格等于商品原价乘以（平均每次降价的百分率），即可列方程. 【详解】根据经过两次降价后的价格等于商品原价乘以（平均每次降价的百分率）知， . 故答案为： 15. 如图，在中，，，，点为的中点，以为圆心，长为半径作半圆，交于点，则图中阴影部分的面积是______. 【答案】 【解析】 【分析】作出辅助线，求出各边长，并得到及扇形的面积，从而利用求出阴影部分面积. 【详解】连接，过点作⊥于点， 在中，，，， 所以， 故， 因为，所以，故， 则，故， 其中扇形的面积为， 故图中阴影部分的面积为. 故答案为： 16. 若关于的一元一次不等式组无解，且关于的分式方程的解均为非负整数，则所有满足条件的整数的值之和是______. 【答案】 【解析】 【分析】先解不等式组，确定a的取值范围，再把分式方程去分母转化为整式方程，解得，由分式方程的解均为非负整数，确定出a的值，相加即可得到答案. 【详解】解不等式①得：，解不等式②得：， ∴不等式组无解，所以，解得：； ∵关于y的分式方程的解均为非负整数，∴ 解得：，即，，且为整数， 即，且a为奇数. ∴a的取值范围是，且a为奇数， ∴a可以取：1，3，7，∴. 故答案为：. 17. 如图，为等边三角形，，于点为线段上一点，.以为边在直线右侧构造等边三角形与交于点，连接为的中点.连接，则线段的长为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，由条件可得，再由全等三角形的证明可得，从而可得，即可得到. 【详解】 连接， 因为为等边三角形，， 所以，，， 所以，因为为等边三角形，所以， 所以，所以， 因为，所以， 所以， 因为，都为等边三角形， 所以，所以， 在和中，，所以， 所以， 因为，所以. 故答案为：. 18. 一个三位自然数，若其各个数位上的数字均不为，且百位数字等于十位数字减个位数字的差的绝对值，则称该三位数为“绝对数”.例如：三位数，是“绝对数”.则最小的“绝对数”是______；把一个“绝对数”的任意一个数位上的数字去掉，得到三个两位数，把这三个两位数的和记为，把的百位数字的5倍，个位数字的2倍和十位数字的和记为.例如：对“绝对数”，，.已知三位数是一个“绝对数”，且是一个完全平方数，则这个“绝对数”的最大值是______. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】结合所给定义分析计算即可得空一；设，结合所给定义计算出，结合各个数位上的数字的范围与完全平方数定义计算即可得空二. 【详解】对数字，有，故是“绝对数”，且不存在比更小的“绝对数”， 故最小的“绝对数”是； 设，则有， 则，， 则， 由题意可知，，且，故， 由是一个完全平方数，则一定是的倍数， 故有，则有或（舍去）或， 当时，这个“绝对数”取最大， 故，则有，解得或， 故当、、，即时，这个“绝对数”最大. 故答案为：；. 三、解答题：（本大题8个小题，第19题8分，其余每题各10分，共78分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上. 19. 计算： （1）； （2）. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用整式的乘法法则和加减运算法则化简计算； （2）利用分式混合运算法则计算出结果. 【小问1详解】 原式； 【小问2详解】 原式. 20. 如图，是矩形的对角线，的平分线交于点. （1）用尺规完成以下基本作图：作的平分线交于点；连接；（不写作法和证明，保留作图痕迹） （2）在（1）所作的图形中，求证：四边形是平行四边形.（请补全下面的证明过程，除题目给的字母外，不添加其它字母或者符号） 证明：四边形是矩形，，①_____. ， 平分平分， ，， 四边形是矩形，. ②_____. . ，③_____. ④_____. 四边形是平行四边形， 【答案】（1）作图见解析 （2）答案见解析 【解析】 【分析】（1）直接作的平分线及其与的交点，接着连接上即可.（2）由两直线平行内错角相等可得①，由和平分角条件可得②，由上得证，从而得③，再由内错角相等两直线平行可得④. 【小问1详解】 作图如下： 【小问2详解】 由两直线平行内错角相等可得①； 由、和得②； 由得③； 由内错角相等两直线平行得④. 21. 为了更好地关爱学生的用眼健康，某校开展了“健康用眼”知识答题竞赛.现从该校七、八年级中各随机抽取10名学生的竞赛成绩（百分制）进行整理、描述和分析（成绩得分用表示，共分成四组：A.，B.，C.，D.，下面给出了部分信息： 八年级抽取的学生竞赛成绩扇形统计图 七年级10名学生的竞赛成绩是：98，80，98，86，98，97，91，100，89，83.八年级10名学生的竞赛成绩在组中的数据是：94，92，90. 七、八年级抽取的学生竞赛成绩统计表： 年级 平均数 中位数 众数 七年级 92 94 c 八年级 92 97 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：______，______，______. （2）根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生掌握用眼健康知识较好？请说明理由（一条理由即可）； （3）该校七年级800人、八年级600人参加了此次答题竞赛活动，请估计两个年级参加竞赛活动的成绩不低于90分的共有多少人？ 【答案】（1）40，93，98 （2）七年级学生知识竞赛成绩较好，理由见解析 （3）900 【解析】 【分析】（1）根据扇形统计图的性质可求的值，根据中位数的概念求，根据众数的概念求. （2）可根据中位数、众数进行比较判断. （3）用频率估计概率，进行数据的估算. 【小问1详解】 根据八年级抽取的学生竞赛成绩扇形统计图，知：C组数据所占比例为：， 所以D组数据所占比例为：，所以. 把八年级学生竞赛成绩按从小到大的顺序排列，有2人，有1人，有3人分别为90,92,94分，有4人， 所以成绩的中位数为92与94的平均数：93，即. 观察七年级学生的成绩，98出现次数最多，为3次，故七年级成绩的众数为98，即. 【小问2详解】 七年级学生知识竞赛成绩较好，理由如下：（一条即可） ①七年级被抽取的学生知识竞赛成绩的中位数94大于八年级被抽取的学生知识竞赛成绩的中位数93： ②七年级被抽取的学生知识竞赛成绩的众数98大于八年级被抽取的学生知识竞赛成绩的众数97. 【小问3详解】 （人）， 答：两个年级参加竞赛活动的成绩不低于90分的共有900人. 22. 某中学准备开展植树活动，计划在荒坡上种植A、B两种树苗共1000株，其中A树苗的数量比B树苗的数量的一半多100株. （1）计划种植A、B两种树苗各多少株； （2）学校将36名青年志愿者分成两队种植这批树苗.其中第一队种植A树苗，每人每天平均能种植A树苗25株；第二队种植B树苗，每人每天平均能种植B树苗30株.要使两队同时完成任务，第一队应安排多少名青年志愿者？ 【答案】（1）A树苗种400株，B树苗种600株 （2）16 【解析】 【分析】（1）设A树苗种株，B树苗种株，则依题意可列方程组，解方程组即可得解；（2）设第一队应安排名青年志愿者，根据题意列方程即可得解. 【小问1详解】 设A树苗种株，B树苗种株， 则由题意得，解得， 答：计划A树苗种400株，B树苗种600株. 【小问2详解】 设第一队应安排名青年志愿者，则由题意得， 解得，经检验是原分式方程的解，且符合题意. 答：第一队应安排16名青年志愿者. 23. 如图，在中，，，，点为上一动点，过点作于点．设的长度为，点的距离为的周长与的周长之比为． （1）请直接写出分别关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中画出函数的图象；分别写出函数的一条性质； （3）结合函数图象，直接写出时的取值范围．（近似值保留一位小数，误差不超过0.2） 【答案】（1）， （2）答案见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据勾股定理得出，再根据三角函数表示出，即可求解； （2）根据一次函数及反比例函数的解析式画图即可，结合图象即可得出函数的性质； （3）数形结合，找到时的图象，根据图象写出的范围即可． 【小问1详解】 在中，， 所以周长为，， 在中，，， 所以的周长为， 所以，． 【小问2详解】 如图所示， 的图象性质：在随的增大而增大， 的图象性质：在随的增大而减小． 【小问3详解】 令， 由图象得，时的取值范围是． 24. 随着互联网的普及，外卖已成为人们生活中不可或缺的一部分.如图所示，小明在位于点的家中购买了位于点处某商家的外卖食品，此时骑手在点正西方向的点处，与点的距离为1000米，地图显示，点在点的南偏西方向，点在点的西南方向. （参考数据：，，）. （1）求小明家点与商家点的直线距离；（精确到0.1） （2）骑手在商家点处取餐后，有两条路线可供选择：①，速度为每分钟240米；②，速度为每分钟320米.其中点在点的正东方向，在点的东南方向请你通过计算说明骑手应该选择哪条路线才能更快地将外卖送到小明家？（结果精确到0.1） 【答案】（1）1410米 （2） 【解析】 【分析】（1）过作于点，构造直角三角形，再根据题意找出直角三角形中的角度，利用等腰直角三角形中直角边是斜边的，以及所对的直角边是斜边的一半计算可得； （2）过作于点，构造直角三角形，利用等腰直角三角形和含角的直角三角形中直角边与斜边的关系，求出两个路线的路程，再根据速度求出时间作比较即可得解. 【小问1详解】 过作于点， 由题意得：，， 在中，米， （米）， 在中，， 米， 答：小明家点与商家点的直线距离为1410米. 【小问2详解】 过作于点， 由题意得：，，， 在中，米， 在中， 米 的距离为： 米， 所用时间为：， 在中，米， 米，米， 在中，米， 米， 的距离为： 米 所用时间为：分钟 走路线才能更快地将外卖送到. 25. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点，交轴于点. （1）求抛物线的解析式； （2）点是直线上方抛物线上一动点，过点作轴于点，交于点，过点作于点，求的最大值及此时点的坐标； （3）将该抛物线沿射线方向平移，使得新抛物线经过（2）中取得最大值时的点.点为新抛物线上的一个动点，当时，直接写出所有符合条件的点的坐标. 【答案】（1） （2）， （3）、 【解析】 【分析】（1）将代入抛物线解析式计算即可； （2）由坐标求出直线的解析式，设坐标，可得E坐标，结合图形特征判定出，利用参数结合二次函数的性质计算即可； （3）由（2）知新抛物线为原抛物线向右及向下平移得出，计算其解析式，观察图象可将角度关系化为等于与坐标轴方向的夹角相同，从而得出相应直线解析式，与抛物线联立计算即可. 【小问1详解】 把代入得： 解得：抛物线的解析式为：. 【小问2详解】 设直线的解析式为， 把代入得：解得：， 直线的解析式为， 设则， ，， ， 当时，最大值为， 此时的坐标为. 【小问3详解】 由（2）知，则新抛物线为原抛物线向右及向下各平移个单位得出， 即其解析式为， 过E作横轴的平行线，取， 注意到， 所以有或，易知， （i）当时，取，满足， 则Q为直线与抛物线的交点， 设，代入坐标得， 与抛物线联立得，解之得； （ii）当时，取，满足， 则Q为直线与抛物线的交点，设， 同理，代入坐标得，与抛物线联立得； 综上所述：的坐标为、. 26. 如图，四边形是平行四边形，是以为斜边的等腰，其直角顶点恰好在线段上，点是线段上一动点，连接和. （1）如图1，若点位于的中点，，，求的长； （2）如图2，若，求证：； （3）如图3，以为直角边在上方作等腰，，连接，若，，请直接写出周长的最小值. 【答案】（1） （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）解直角三角形可得，作于，再解锐角三角形即可； （2）延长交于，利用旋转全等证，再证即可； （3）作，解直角三角形得，再构造旋转全等判定G在定直线上，借助对称求出最小值. 【小问1详解】 过作于， 是的中点， 设，， ， 解得：， ∵是平行四边形 . 【小问2详解】 延长交于， 是，， 是平行四边形 ， 是平行四边形 【小问3详解】 过分别作，设，则， 所以，解之得， 延长 至，使得，取中点，连接， 有，则，即为等腰直角三角形， 易知，所以， 由，可知， 则，所以，即关于直线对称， 有，则，当且仅当共线时取等号， 所以周长的最小值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$