精品解析：重庆市九龙坡区重庆实验外国语学校2024-2025学年九年级上学期开学考试数学试题

初2025届九上开学数学定时作业 （全卷共三个大题，满分150分，考试时间120分钟） 参考公式：抛物线的顶点坐标为，对称轴为． 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 下列四个实数中，是无理数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了无理数的识别，无限不循环小数叫无理数，初中范围内常见的无理数有：①π类，如2π，等；②开方开不尽的数，如，等；③具有特殊结构的数，如0.1010010001…（两个1之间依次增加1个0），0.2121121112…（两个2之间依次增加1个1）．据此解答即可． 【详解】解：，，是有理数； 是无理数． 故选C． 2. 下列四种图案是2024年巴黎奥运会中部分运动项目的示意图，其中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形．熟练掌握轴对称图形的概念，是解决问题的关键．轴对称图形：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形． 根据轴对称图形的概念逐一判断，即得． 【详解】解：A、该图形不是轴对称图形，本选项不符合题意； B、该图形不是轴对称图形，本选项不符合题意； C、该图形不是轴对称图形，本选项不符合题意； D、该图形是轴对称图形，本选项符合题意． 故选：D． 3. 如果单项式与单项式的和仍是一个单项式，则点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查同类项和象限内的点．熟练掌握同类项的性质，各象限内的点坐标性质，是解决问题的关键．同类项所含相同字母的指数相同，第一象限内的点坐标，第二象限内的点坐标，第三象限内的点坐标，第四象限内的点坐标． 根据同类项的性质求出a、b的值，再确定点的位置即可． 【详解】解：∵单项式与单项式的和仍是一个单项式， ∴与是同类项， ∴，， ∴，， ∴点为， ∴点在第二象限． 故选：B． 4. 估计的值在（ ） A. 2到3之间 B. 3到4之间 C. 4到5之间 D. 5到6之间 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的乘法，以及无理数的估算，先根据乘法法则化简，再估算即可． 【详解】解：， ∵， ∴， ∴的值在3到4之间． 故选B． 5. 一组图形按下列规律排序，其中第①个图形有5个圆球，第②个图形有8个圆球，第③个图形有13个圆球，…，按此规律排列下去，则第⑧个图形的圆球的个数是（ ） A. 53 B. 55 C. 68 D. 69 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了图形类规律探究，根据所给图形总结规律求解即可． 【详解】解：∵第①个图形有5个圆球，， 第②个图形有8个圆球，， 第③个图形有13个圆球，， …， ∴第n个图形的圆球的个数是， ∴第⑧个图形的圆球的个数是个． 故选C． 6. 如图，，，平分，过点作于点，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义，三角形内角和定理应用，根据，，求出，，根据角平分线定义得出，根据直角三角形两锐角互余得出，最后求出即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 7. 为了让大家都能用上实惠药，医保局与药商多次谈判，将一种原价每盒100元的药品，经过两次降价后每盒64元，两次降价的百分率相同，则每次降价的百分率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，在解答时根据降价率建立等量关系建立方程是方程．设每次降价的百分率为x，则第二次降价后的价格为，根据题意建立方程求出其解即可． 【详解】解：设每次降价的百分率为x，则第二次降价后的价格为，由题意，得， 解得：（舍去），， 故选A． 8. 如图，、、是的圆周上三点，与相切于点，连接、、，若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】连接，，由切线的性质得到，进一步求出，由得到，得到，则，由得到，即可求出的度数. 【详解】解：连接，， ∵与相切于点， ∴ ∵， ∴ ∵， ∴ ∴， ∴ ∵， ∴， ∴ 故选：C． 【点睛】此题考查了切线的性质、圆周角定理、等边对等角、三角形内角和定理等知识，熟练掌握切线的性质、圆周角定理是解题的关键. 9. 如图，在正方形中，点在边上，点在边上，连接、、，有，，若，求的长为（ ） A. 8 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】延长至点M，使，证明得，证明得，求出，设，则，然后根据求出x可知求解． 【详解】解：如图，延长至点M，使 ∵四边形是正方形 ∴， ∴ ∴ ∵， ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ 设，则 ∴， ∴ ∴， ∴ ∴ 故选C． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，分母有理化等知识，正确作出辅助线是解答本题的关键． 10. 在多项式（其中）中，任选两个字母，在两侧加绝对值后再去掉绝对值化简可能得到的式子，称为第一轮“绝对操作”．例如，选择，进行“绝对操作”，得到，…在第一轮“绝对操作”后的式子进行同样的操作，称为第二轮“绝对操作”，如：，…按此方法，进行第轮“绝对操作”． 以下说法： ①存在某种第一轮“绝对操作”的结果与原多项式相等； ②对原多项式进行第一轮“绝对操作”后，共有8种不同结果； ③存在第轮“绝对操作”，使得结果与原多项式的和为0． 其中正确的个数为（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是绝对值的含义，整式的加减运算，根据给定的定义，举出符合条件的说法①和②，③，并将结果进行比较，汇总得出答案． 【详解】解：①∵， 对“绝对操作”为： ， 其结果与原多项式一样，所以①正确； ②∵， ∴对“绝对操作”为： （1）， 对“绝对操作”为： 或（2）， 对“绝对操作”为： ， 对“绝对操作”为： ， 对“绝对操作”为： （3）或（4）， 对“绝对操作”为： （5）， 对“绝对操作”为： （6）， 对“绝对操作”为： ， 对“绝对操作”为： ， 对“绝对操作”为： （7）， ∴结果有7种；故②不符合题意； ③先对“绝对操作”后可以得到， 再对刚刚式子进行“绝对操作”后得到， ∴， ∴③正确． 故选C 二、填空题：（本大题8个小题，每小题4分，共32分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 计算：______________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的性质，乘方二行负整数指数幂的意义，先根据二次根式的性质，乘方二行负整数指数幂的意义化简，再算加减． 【详解】解：原式． 故答案为：． 12. 如果一个正多边形的每一个外角都是，那么这个正多边形的边数为______． 【答案】12 【解析】 【分析】此题考查了多边形的外角和，由每个外角都是，三角形外角和为即可求出多边形的边数． 【详解】解：∵一个正多边形的每个外角都是，外角和为， ∴多边形的边数为， 故答案为：12． 13. 式子有意义，则的取值范围是______________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了分式有意义的条件，二次根式有意义的条件，根据分式分母不等于零，二次根式的被开方数大于等于零，列式进行求解即可． 【详解】解：∵式子有意义， ∴， 解得：． 故答案为：． 14. 2024年暑假重庆各旅游景区持续火热，小明和小亮相约来到重庆旅游，两人分别从洪崖洞，磁器口，解放碑，李子坝四个景点中随机选择一个景点游览，小明和小亮选择不同景点的概率为______________． 【答案】##0.75 【解析】 【分析】本题主要考查了用树状图或列表法求等可能事件的概率，方法是用树状图或列表法列举出所有可能出现的结果总数，找出符合条件的结果数，用分数表示即可，注意每种情况发生的可能性相等．先根据题意画出树状图，然后根据概率公式进行计算即可． 【详解】分别用A，B，C，D表示洪崖洞，磁器口，解放碑，李子坝四个景点． 如图所示： ∵有16种等可能的情况数，其中两人恰好选择不同景点的情况数有12种， ∴两人恰好选择不同景点的概率是：． 故答案为：． 15. 如图，的面积为4，将沿方向平移，使的对应点满足，则平移前后两三角形重叠部分的面积是______________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查平移的性质，相似三角形的判定和性质，根据平移的性质，推出，根据对应边线段比等于相似比，求，进行求解即可． 【详解】∵将沿方向平移， ∴，，， ∴， ∴ ∴， ∵，则， ∴， ∴ ∴； 故答案为：． 16. 若关于的一元一次不等式组恰有2个偶数解，且关于的分式方程的解为非负整数，则所有满足条件的整数的值之和是______________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的解，也考查了解一元一次不等式组； 先解不等式组得到，再由不等式组有2个偶数解得到，接着解分式方程得到，利用分式方程的解为非负整数得到，，从而得到结果． 【详解】解：解不等式 得 解得 一元一次不等式组恰有2个偶数解 解得， 解 解得， 关于的分式方程的解为非负整数 为非负整数，且 解得，， 整数的值之和为：． 故答案为：． 17. 如图，是的直径，是的切线，连接交于点，点为上一点，满足，连接交于点，若，，则______________，______________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】连接，由等弧所对的圆周角相等得，根据余角性质可证，从而；证明可求得，证明可求得． 【详解】如图，连接． ∵， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∵是的切线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：，． 【点睛】本题考查了圆周角定理，切线的性质，等腰三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，正确作出辅助线是解答本题的关键． 18. 若一个四位自然数的千位数字、百位数字与十位数字的和恰好等于个位数字的平方，则称这个四位数为“方和数”．若“方和数”且（），将“方和数”的千位数字与十位数字对调、百位数字与个位数字对调得到新数，规定，若为整数，除以13余7，则的值为______________，满足条件的的值为______________． 【答案】 ①. 10 ②. 6554 【解析】 【分析】本题考查了新定义，整式的加减，正确理解“方和数”是解答本题的关键． 由题意可得：，整理可得，由为整数可得；设，，由除以13余7可得是整数，进而可求出答案． 【详解】解：由题意可得：， ，∵为整数，； ， ∴，； 设，，， ， 故，， ，，，． 故答案为：10；6554． 三、解答题：（本大题8个小题，第19题8分，其余每题各10分，共78分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线）请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 19. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了整式的混合运算和分式的混合运算，熟练掌握整式的混合运算和分式的混合运算步骤是解题的关键． （1）利用整式的混合运算步骤计算即可； （2）利用分式的混合运算步骤计算即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 20. 为了解学生的暑期每日学习时间情况，学校开学进行了问卷调查．现从高二、高三的学生中各随机抽取20名学生的问卷调查进行收集、整理、描述、分析．所有学生的学习时长均高于2小时（时间用表示，共分成四组：A．；B．；C．；D．），下面给出了部分信息：高二年级20名学生的学习时长为：2.1，2.2，3，3，4.5，5.2，7，8，8，8，8，8.5，9，10，12，12，12.5，13，13，14． 高三年级20名学生的学习时长在C组的数据是：8.2，8.6，9，9.4，9.6，10． 高二、高三所抽取学生的学习时长统计表 年级 高二年级 高三年级 平均数 8.15 8.15 中位数 8 众数 7.5 高三所抽取学生的学习时长统计图 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中_____________，_____________，_____________； （2）根据以上数据分析，你认为该校高二、高三年级中哪个年级学生的学习时长较好？请说明理由（写出一条理由即可） （3）该校高二年级有名学生、高三年级有名学生参加了此次问卷调查，估计该校高二、高三年级参加此次问卷调查学习时长的学生人数是多少？ 【答案】（1）8，，30 （2）整体上看高三年级学生学习时长较好，理由见解析 （3）该校高二、高三年级参加此次问卷调查学习时长的学生人数是1980人 【解析】 【分析】本题主要考查扇形统计图和统计表，中位数、众数、平均数，样本估计总体等知识，熟练掌握扇形统计图及中位数、众数、平均数是解题的关键． （）根据表格及题意，由众数、中位数的定义即可求出a、b的值，由1减去其他组的百分比即可求出m的值； （）根据平均分、中位数分析即可得出结果； （）分别利用两个年级的总人数乘以对应的的学生的百分比即可进行求解． 【小问1详解】 解：在高二年级20名学生的学习时长中，8出现的次数最多，共出现4次，故高二年级20名学生的学习时长的众数， 高三年级20名学生的学习时长中， A组：（人）， B组：（人）， C组：人，所占百分比为 D组：（人）所占百分比为，则， ∴八年级的中位数为第个同学竞赛成绩的平均数， 即高三年级20名学生的学习时长的中位数是第10个和11个数据的平均数，即， 故答案为：8，，30 【小问2详解】 高三年级学生学习时长较好，两个年级平均数相同，高三年级的中位数高于高二年级的中位数8，整体上看高三年级学生学习时长较好； 【小问3详解】 （人）， 答：该校高二、高三年级参加此次问卷调查学习时长的学生人数是人． 21. 在学习了矩形与菱形的相关知识后，重外数学兴趣小组进行了更深入的研究，他们发现，过菱形的一条对角线的两个端点分别作一组对边的垂线，与菱形两边相交的两点和这条对角线的两个端点构成的四边形是矩形，可先证得到的图形是平行四边形继而得到此结论．根据他们的想法与思路，完成以下作图和填空： （1）如图，在菱形中，于点．用尺规过点作的垂线交于点（不写作法，保留作图痕迹）． （2）已知：菱形中，于点，于点． 求证：四边形是矩形． 证明：四边形是菱形， ，，___①_____ 又 ． ，___②____ ， ___③___ ， 又， 四边形是平行四边形． ， 四边形是矩形． 进一步思考，如果“菱形”改为“平行四边形”还有相同的结论么？请你写出你猜想的结论： ______________________________④__________________________________ 【答案】（1）见解析；（2）①；②；③；④过平行四边形的一条对角线的两端点分别作一组对边的垂线，与平行四边形两边相交的两点和这条对角线的两个端点构成的四边形是矩形 【解析】 【分析】（1）根据垂线的作法作图即可； （2）由菱形的性质可证，证明得，进而可证四边形是矩形；如果“菱形”改为“平行四边形”，同理可证四边形是矩形 【详解】（1）如图所示，即为所求作； （2）证明：四边形是菱形， ，， 又 ． ， ， ， 又， 四边形是平行四边形． ， 四边形是矩形． 同理可证：如果“菱形”改为“平行四边形”结论仍然成立，即过平行四边形的一条对角线的两端点分别作一组对边的垂线，与平行四边形两边相交的两点和这条对角线的两个端点构成的四边形是矩形． 故答案为：①；②；③；④过平行四边形的一条对角线的两端点分别作一组对边的垂线，与平行四边形两边相交的两点和这条对角线的两个端点构成的四边形是矩形． 【点睛】本题考查了尺规作图，菱形的性质，矩形的判定，全等三角形的判定与性质，灵活运用各知识点是解答本题的关键． 22. 经重庆市发改委统筹考虑重庆电力供需状况、电网负荷特性、居民用电习惯等，在保持价格总水平基本稳定的前提下，现制定分时电价标准，分成三个时段计费，即高峰时段、低谷时段和平段． 1．高峰时段：11：00--17：00、20：00--22：00，在平段电价基础上提高0.10元/千瓦时． 2．低谷时段：00：00-08：00，在平段电价基础上降低0.18元/千瓦时． 3．平段：08：00-11：00、17：00-20：00、22：00-24：00，平段电价为国家规定的销售电价． （1）某家庭8月份总电量400千瓦时，其中平段电量为总电量，低谷电量占总电量，根据相关政策，使用新方案计算电费，低谷时段电费恰好是高峰时段电费的，则平段电价为多少元/千瓦时？ （2）电力公司采用新能源节约成本，9月份将所有时段电费单价在（1）中的费用的情况下均降低相同费用，若该家庭9月份高峰时段费用与低谷时段费用一样，而低谷时段电量为高峰时段电量的2倍，则降价后高峰时段电价为多少元/千瓦时？ 【答案】（1）平段电价为0.5元/千瓦时 （2）元/千瓦时 【解析】 【分析】本题考查的是一元一次方程的应用，分式方程的应用； （1）设平段电价为x元/千瓦时，则高峰电价为元/千瓦时，低谷电价为元/千瓦时， 利用低谷时段电费恰好是高峰时段电费的，建立方程求解即可； （2）设降价a元/千瓦时，9月份高峰时段费用，费用为y万元，利用低谷时段电量为高峰时段电量的2倍，再建立方程求解即可． 【小问1详解】 解：设平段电价为x元/千瓦时，则高峰电价为元/千瓦时，低谷电价为元/千瓦时，则 解得， 答：平段电价为0.5元/千瓦时． 【小问2详解】 解：高峰电价元/千瓦时，低谷电价为元/千瓦时， 设降价a元/千瓦时，9月份高峰时段费用，费用为y万元， 则， 解得， 经检验是原方程的解． 降价后高峰电价元/千瓦时， 答：降价后高峰电价元/千瓦时． 23. 如图1，在菱形中，对角线与交于点，点沿着的方向每秒1个单位运动，点沿着的方向每秒1个单位运动，连接，点，的距离为，两动点同时出发，设运动时间为秒，当两动点到达终点时即时，． （1）请直接写出关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中，画出函数的图象，并写出函数的一条性质； （3）结合函数图象，请直接写出有3个解时的取值范围． 【答案】（1）； （2）图见解析，时，随增大而增大，时，随增大而减小，时，随增大而增大； （3）. 【解析】 【分析】（1）先求出的长，然后分三段求解即可； （2）先画出函数图象，燃弧根据图象写出函数的一条性质即可； （3）结合图象，分别把和代入即可求解． 【小问1详解】 解：∵四边形是菱形， ∴， ∵时，， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴，即， ∴， 当时， 由题意得，，， ∴， ∴， ∴， ∴； 当时， ， ∴； 当时， ， ∴， 综上可知，； 【小问2详解】 解：当时，；当时，；当时，， 如图所示，即为所求： 性质：时，随增大而增大，时，随增大而减小，时，随增大而增大； 【小问3详解】 解：由可知直线与x轴平行， 如图， ， 当时，， 解得， 当时，， 解得， ∴. 【点睛】本题考查了菱形的性质，勾股定理，求函数解析式，由函数图象获取信息，相似三角形的判定与性质，待定系数法求函数解析式等知识，数形结合是解答本题的关键． 24. 小明和小玲游览一处景点，如图，两人同时从景区大门出发，小明沿正东方向步行60米到一处小山处，再沿着前往寺庙处，在处测得亭台在北偏东方向上，而寺庙在的北偏东方向上，小玲沿着的东北方向上步行一段时间到达亭台处，再步行至正东方向的寺庙处． （1）求小山与亭台之间的距离；（结果保留根号） （2）若两人步行速度一样，则谁先到达寺庙处．（结果精确到个位，参考数据：，，） 【答案】（1）小山与亭台之间的距离米 （2）小玲先到达寺庙处 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，正确作出辅助线是解答本题的关键． （1）作于点，在中求出，然后在中即可求解； （2）延长，作于点，作于点，则，在中求出，米，在中求出，，进而求出两人行走的路程可得答案． 【小问1详解】 作于点， 由题意知，，，，， 在中， 在中，，， 小山与亭台之间的距离米 【小问2详解】 延长，作于点，作于点，则， 由题意知，， ∴四边形是矩形， ∴． ∵，， ∴， 在中，，米， 在中，， 米， 米， 且两人速度一致， 小玲先到． 答：小玲先到达寺庙处． 25. 如图1，已知抛物线的图象与x轴交于A，B两点（A在B左侧），与y轴交于点C． （1）抛物线顶点为D，连接、、，求点D到的距离； （2）如图2，在y轴正半轴有一点E满足，点P为直线下方抛物线上的一个动点，连接、，过点E作交x轴于点F，M为y轴上一个动点，N为x轴上一个动点，平面内有一点，连接、、，当最大时，求的最小值； （3）如图3，连接、，将抛物线沿着射线平移得到新抛物线，上是否存在一点R，使得？若存在，直接写出点R的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）D到的距离为 （2） （3）存在，， 【解析】 【分析】（1）先求出A、B、C、D的坐标，然后利用求出，最后根据等面积法求解即可； （2）先求出的解析式为；连接，作轴交于Q，根据，可得设，则，，故当时，，此时P的坐标为．将P点关于y轴对称得到坐标为，将G点关于x轴对称得到坐标为，连接交于y轴于点M，交于x轴于点N，则，然后利用两点间距离公式求解即可； （3）先求出平移后的新抛物线解析式，在y轴的负半轴上找点满足，连接并延长交于，证明，得出，则可求，求出直线解析式，联立方程组，求出方程组的解即可求出的坐标；在y轴的负半轴上找点满足，连接并延长交于，证明，得出，则可求 ，求出解析式，联立方程组，求出方程组的解即可求出的坐标． 【小问1详解】 解：当时，，故， ， 当时，或，故，， ， 对称轴， 当时，，故， 连接， ，， 设点D到的距离为h， ，得， ∴D到的距离为； 【小问2详解】 解：，， ，则， 设解析式为， 代入，，得， 解得， ∴的解析式为； 连接，作轴交于Q， ， 设，则， ， ， 当时，，此时P的坐标为． 将P点关于y轴对称得到坐标为，将G点关于x轴对称得到坐标为 连接交于y轴于点M，交于x轴于点N， 则； 【小问3详解】 解：抛物线沿着射线平移个单位时，函数图象向左平移2个单位，再向下平移4个单位， 平移后的新抛物线， 在y轴的负半轴上找点满足，连接并延长交于， 又， ， ， ，， ， ， 同理可求， 联立， 解得或（舍）， ， 在y轴的负半轴上找点满足，连接并延长交于， 则， 又， ， ， ， 同理可求， 联立， 解得或（舍） 综上，，． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，二次函数的平移，待定系数法求一次函数解析式，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质等知识，明确题意，添加合适辅助线，合理分类是解题的关键． 26. 如图，在中，，在边上，在边上，连接、，点为上一点且满足． （1）如图1，若平分，，，，求的面积； （2）如图2，若，取中点为，连接，求证：； （3）如图3，在（1）的条件下，点为直线上一点，连接，若，则最小时，直接写出的值． 【答案】（1） （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据，得到，由等角的余角相等推出，进而得到，设，，在中与，在中，利用勾股定理求出，，即得到，，由计算即可求解； （2）如图，倍长至点，连接，由（1）得，证明，推出，进而得到，再证明为等腰直角三角形，求出，证明为的中位线，推出，即可证明结论； （3）过点B作，使得，连接，交于点Q，连接，证明，得到，当三点共线时，即点D与点Q重合，有最小值，即有最小值，由，得到，再证明，易证，推出，推出，求出，在求出，，利用勾股定理求出，利用三角形面积公式即可解答． 【小问1详解】 证明：如图， 设，， 在中，， ， 在中，， ， ，即，， ； 【小问2详解】 解：，证明如下： 如图，倍长至点，连接， 由（1）得， ， ， ，， ， ， ， ， 为等腰直角三角形， ， 中点为，点G为中点， 为的中位线， ， ， ； 【小问3详解】 解：如图，过点B作，使得，连接，交于点Q，连接， ，， ， ， ， ， ，即， 如图，当三点共线时，即点D与点Q重合，有最小值，即有最小值， ， ， ， ， ， ， ， ， 由（1）知，， ， ， ， ，即， ， ，即， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了三角形相似的判定与性质、勾股定理、等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、三角形中位线、平行线、两点之间线段最短；正确作出辅助线构造全等三角形与相似三角形是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 初2025届九上开学数学定时作业 （全卷共三个大题，满分150分，考试时间120分钟） 参考公式：抛物线的顶点坐标为，对称轴为． 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 下列四个实数中，是无理数的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列四种图案是2024年巴黎奥运会中部分运动项目的示意图，其中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 如果单项式与单项式的和仍是一个单项式，则点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 4. 估计的值在（ ） A. 2到3之间 B. 3到4之间 C. 4到5之间 D. 5到6之间 5. 一组图形按下列规律排序，其中第①个图形有5个圆球，第②个图形有8个圆球，第③个图形有13个圆球，…，按此规律排列下去，则第⑧个图形的圆球的个数是（ ） A. 53 B. 55 C. 68 D. 69 6. 如图，，，平分，过点作于点，则的度数是（ ） A. B. C. D. 7. 为了让大家都能用上实惠药，医保局与药商多次谈判，将一种原价每盒100元的药品，经过两次降价后每盒64元，两次降价的百分率相同，则每次降价的百分率为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，、、是的圆周上三点，与相切于点，连接、、，若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在正方形中，点在边上，点在边上，连接、、，有，，若，求的长为（ ） A. 8 B. C. D. 10. 在多项式（其中）中，任选两个字母，在两侧加绝对值后再去掉绝对值化简可能得到的式子，称为第一轮“绝对操作”．例如，选择，进行“绝对操作”，得到，…在第一轮“绝对操作”后的式子进行同样的操作，称为第二轮“绝对操作”，如：，…按此方法，进行第轮“绝对操作”． 以下说法： ①存在某种第一轮“绝对操作”的结果与原多项式相等； ②对原多项式进行第一轮“绝对操作”后，共有8种不同结果； ③存在第轮“绝对操作”，使得结果与原多项式的和为0． 其中正确的个数为（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 二、填空题：（本大题8个小题，每小题4分，共32分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 计算：______________． 12. 如果一个正多边形的每一个外角都是，那么这个正多边形的边数为______． 13. 式子有意义，则的取值范围是______________． 14. 2024年暑假重庆各旅游景区持续火热，小明和小亮相约来到重庆旅游，两人分别从洪崖洞，磁器口，解放碑，李子坝四个景点中随机选择一个景点游览，小明和小亮选择不同景点的概率为______________． 15. 如图，的面积为4，将沿方向平移，使的对应点满足，则平移前后两三角形重叠部分的面积是______________． 16. 若关于的一元一次不等式组恰有2个偶数解，且关于的分式方程的解为非负整数，则所有满足条件的整数的值之和是______________． 17. 如图，是的直径，是的切线，连接交于点，点为上一点，满足，连接交于点，若，，则______________，______________． 18. 若一个四位自然数的千位数字、百位数字与十位数字的和恰好等于个位数字的平方，则称这个四位数为“方和数”．若“方和数”且（），将“方和数”的千位数字与十位数字对调、百位数字与个位数字对调得到新数，规定，若为整数，除以13余7，则的值为______________，满足条件的的值为______________． 三、解答题：（本大题8个小题，第19题8分，其余每题各10分，共78分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线）请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 19. 计算： （1）； （2）． 20. 为了解学生的暑期每日学习时间情况，学校开学进行了问卷调查．现从高二、高三的学生中各随机抽取20名学生的问卷调查进行收集、整理、描述、分析．所有学生的学习时长均高于2小时（时间用表示，共分成四组：A．；B．；C．；D．），下面给出了部分信息：高二年级20名学生的学习时长为：2.1，2.2，3，3，4.5，5.2，7，8，8，8，8，8.5，9，10，12，12，12.5，13，13，14． 高三年级20名学生的学习时长在C组的数据是：8.2，8.6，9，9.4，9.6，10． 高二、高三所抽取学生的学习时长统计表 年级 高二年级 高三年级 平均数 8.15 8.15 中位数 8 众数 7.5 高三所抽取学生的学习时长统计图 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中_____________，_____________，_____________； （2）根据以上数据分析，你认为该校高二、高三年级中哪个年级学生的学习时长较好？请说明理由（写出一条理由即可） （3）该校高二年级有名学生、高三年级有名学生参加了此次问卷调查，估计该校高二、高三年级参加此次问卷调查学习时长的学生人数是多少？ 21. 在学习了矩形与菱形的相关知识后，重外数学兴趣小组进行了更深入的研究，他们发现，过菱形的一条对角线的两个端点分别作一组对边的垂线，与菱形两边相交的两点和这条对角线的两个端点构成的四边形是矩形，可先证得到的图形是平行四边形继而得到此结论．根据他们的想法与思路，完成以下作图和填空： （1）如图，在菱形中，于点．用尺规过点作的垂线交于点（不写作法，保留作图痕迹）． （2）已知：菱形中，于点，于点． 求证：四边形是矩形． 证明：四边形是菱形， ，，___①_____ 又 ． ，___②____ ， ___③___ ， 又， 四边形是平行四边形． ， 四边形是矩形． 进一步思考，如果“菱形”改为“平行四边形”还有相同的结论么？请你写出你猜想的结论： ______________________________④__________________________________ 22. 经重庆市发改委统筹考虑重庆电力供需状况、电网负荷特性、居民用电习惯等，在保持价格总水平基本稳定的前提下，现制定分时电价标准，分成三个时段计费，即高峰时段、低谷时段和平段． 1．高峰时段：11：00--17：00、20：00--22：00，在平段电价基础上提高0.10元/千瓦时． 2．低谷时段：00：00-08：00，在平段电价基础上降低0.18元/千瓦时． 3．平段：08：00-11：00、17：00-20：00、22：00-24：00，平段电价为国家规定的销售电价． （1）某家庭8月份总电量400千瓦时，其中平段电量为总电量，低谷电量占总电量，根据相关政策，使用新方案计算电费，低谷时段电费恰好是高峰时段电费的，则平段电价为多少元/千瓦时？ （2）电力公司采用新能源节约成本，9月份将所有时段电费单价在（1）中的费用的情况下均降低相同费用，若该家庭9月份高峰时段费用与低谷时段费用一样，而低谷时段电量为高峰时段电量的2倍，则降价后高峰时段电价为多少元/千瓦时？ 23. 如图1，在菱形中，对角线与交于点，点沿着的方向每秒1个单位运动，点沿着的方向每秒1个单位运动，连接，点，的距离为，两动点同时出发，设运动时间为秒，当两动点到达终点时即时，． （1）请直接写出关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中，画出函数的图象，并写出函数的一条性质； （3）结合函数图象，请直接写出有3个解时的取值范围． 24. 小明和小玲游览一处景点，如图，两人同时从景区大门出发，小明沿正东方向步行60米到一处小山处，再沿着前往寺庙处，在处测得亭台在北偏东方向上，而寺庙在的北偏东方向上，小玲沿着的东北方向上步行一段时间到达亭台处，再步行至正东方向的寺庙处． （1）求小山与亭台之间的距离；（结果保留根号） （2）若两人步行速度一样，则谁先到达寺庙处．（结果精确到个位，参考数据：，，） 25. 如图1，已知抛物线的图象与x轴交于A，B两点（A在B左侧），与y轴交于点C． （1）抛物线顶点为D，连接、、，求点D到的距离； （2）如图2，在y轴正半轴有一点E满足，点P为直线下方抛物线上的一个动点，连接、，过点E作交x轴于点F，M为y轴上一个动点，N为x轴上一个动点，平面内有一点，连接、、，当最大时，求的最小值； （3）如图3，连接、，将抛物线沿着射线平移得到新抛物线，上是否存在一点R，使得？若存在，直接写出点R的坐标，若不存在，请说明理由． 26. 如图，在中，，在边上，在边上，连接、，点为上一点且满足． （1）如图1，若平分，，，，求的面积； （2）如图2，若，取中点为，连接，求证：； （3）如图3，在（1）的条件下，点为直线上一点，连接，若，则最小时，直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $