检测04 一元二次函数、方程和不等式（能力卷）- 2024-2025学年高一年级数学大单元复习与单元检测及期中、期末（新高考人教A版专用）

检测04 一元二次函数、方程和不等式（能力卷） 一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．（21-22高三上·山东菏泽·期中）已知不等式组的解集是关于的不等式的解集的子集，则实数a的取值范围为（    ） A．a≤0 B．a<0 C．a≤-1 D．a<-2 2．（23-24高二下·辽宁·期末）已知，且，则的最小值为（    ） A．3 B． C．2 D． 3．（2024·河南驻马店·二模）已知，则下列说法一定正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（2023高三上·广西·学业考试）二次函数的图象如图所示，不等式的解集为（    ）    A．R B． C． D． 5．（2023·陕西榆林·模拟预测）已知，，且，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 6．（2024高三下·浙江杭州·专题练习）某大学在校学生中，理科生多于文科生，女生多于男生，则下述关于该大学在校学生的结论中，一定成立的是（    ） A．理科男生多于文科女生 B．文科女生多于文科男生 C．理科女生多于文科男生 D．理科女生多于理科男生 7．（23-24高三上·浙江宁波·期末）设实数x，y满足，，不等式恒成立，则实数k的最大值为（    ） A．12 B．24 C． D． 8．（21-22高一上·上海浦东新·期中）已知实数，关于的不等式的解集为，则实数a、b、、从小到大的排列是(    ) A． B． C． D． 二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．（23-24高一上·四川雅安·开学考试）当时，不等式恒成立，则m的范围可以是（    ） A． B． C． D． 10．（23-24高二下·重庆·阶段练习）已知，，，则下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若， D．的最小值为 11．（23-24高二下·山东临沂·期末）已知（，，），且，则（    ） A． B． C．存在，使得 D． 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上) 12．（2025·江苏南通·一模）“”是“”的 ．（在“充分不必要条件”，“必要不充分条件”，“充要条件”，“既不充分又不必要条件”中选择一个填空） 13．（23-24高一上·江苏宿迁·期中）已知，则的最小值为 . 14．（2024高二下·浙江绍兴·学业考试）已知正数a，b，c满足，，则的最小值为 . 四、解答题(本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15. (13分) （24-25高一上·上海·课堂例题）（1）已知，求证：； （2）已知，，，求证：． 16. (15分) （24-25高一上·新疆省直辖县级单位·阶段练习）（1）求函数的最大值； （2）求函数的最小值； （3）已知，且，求使不等式恒成立的实数的取值范围． 17. (15分) （22-23高一上·广东惠州·阶段练习）已知二次函数. (1)当时，若在上的值域为，求m的取值范围； (2)求在上的最小值的解析式. 18. (17分) （2024高三·全国·专题练习）设正实数满足，不等式恒成立，求的最大值． 19. (17分) （23-24高一上·江苏南通·开学考试）设二次函数. (1)若对任意实数恒成立，求实数的取值范围； (2)若存在，使得函数值成立，求实数的取值范围. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 检测04 一元二次函数、方程和不等式（能力卷） 一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．（21-22高三上·山东菏泽·期中）已知不等式组的解集是关于的不等式的解集的子集，则实数a的取值范围为（    ） A．a≤0 B．a<0 C．a≤-1 D．a<-2 2．（23-24高二下·辽宁·期末）已知，且，则的最小值为（    ） A．3 B． C．2 D． 3．（2024·河南驻马店·二模）已知，则下列说法一定正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（2023高三上·广西·学业考试）二次函数的图象如图所示，不等式的解集为（    ）    A．R B． C． D． 5．（2023·陕西榆林·模拟预测）已知，，且，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 6．（2024高三下·浙江杭州·专题练习）某大学在校学生中，理科生多于文科生，女生多于男生，则下述关于该大学在校学生的结论中，一定成立的是（    ） A．理科男生多于文科女生 B．文科女生多于文科男生 C．理科女生多于文科男生 D．理科女生多于理科男生 7．（23-24高三上·浙江宁波·期末）设实数x，y满足，，不等式恒成立，则实数k的最大值为（    ） A．12 B．24 C． D． 8．（21-22高一上·上海浦东新·期中）已知实数，关于的不等式的解集为，则实数a、b、、从小到大的排列是(    ) A． B． C． D． 二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．（23-24高一上·四川雅安·开学考试）当时，不等式恒成立，则m的范围可以是（    ） A． B． C． D． 10．（23-24高二下·重庆·阶段练习）已知，，，则下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若， D．的最小值为 11．（23-24高二下·山东临沂·期末）已知（，，），且，则（    ） A． B． C．存在，使得 D． 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上) 12．（2025·江苏南通·一模）“”是“”的 ．（在“充分不必要条件”，“必要不充分条件”，“充要条件”，“既不充分又不必要条件”中选择一个填空） 13．（23-24高一上·江苏宿迁·期中）已知，则的最小值为 . 14．（2024高二下·浙江绍兴·学业考试）已知正数a，b，c满足，，则的最小值为 . 四、解答题(本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15. (13分) （24-25高一上·上海·课堂例题）（1）已知，求证：； （2）已知，，，求证：． 16. (15分) （24-25高一上·新疆省直辖县级单位·阶段练习）（1）求函数的最大值； （2）求函数的最小值； （3）已知，且，求使不等式恒成立的实数的取值范围． 17. (15分) （22-23高一上·广东惠州·阶段练习）已知二次函数. (1)当时，若在上的值域为，求m的取值范围； (2)求在上的最小值的解析式. 18. (17分) （2024高三·全国·专题练习）设正实数满足，不等式恒成立，求的最大值． 19. (17分) （23-24高一上·江苏南通·开学考试）设二次函数. (1)若对任意实数恒成立，求实数的取值范围； (2)若存在，使得函数值成立，求实数的取值范围. 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A B D B C C B A AB BC 题号 11 答案 ABD 1．A 【分析】先求出不等式组的解集，然后根据是的解集的子集，用二次函数的性质来列出不等式组，解出的取值范围. 【详解】，解得：，因为是不等式的解集的子集，故要满足：，解得：， 故选：A 2．B 【分析】结合基本不等式，用“1的代换”即可求解. 【详解】，， 又， ， 当且仅当即，时等号成立. 故选：B． 3．D 【分析】利用赋值法来举反例比较大小，利用作差法来比较大小，利用不等式的性质来比较大小. 【详解】当时，，且，故，C项错误； 因为，，所以，故B项错误； ，故D项正确. 故选：D. 4．B 【分析】根据函数的图象数形结合得出解集. 【详解】根据函数的图象可得的解集为. 故选：B. 5．C 【分析】由已知结合基本不等式可得，令，则转化为，求出的范围可得答案. 【详解】因为，，且， 所以， 即，当且仅当时取等号， 令，则， 所以，得， 所以，得， 即，所以的最小值为4. 故选：C 6．C 【分析】将问题转化为不等式问题，利用不等式性质求解. 【详解】根据已知条件设理科女生有人，理科男生有人， 文科女生有人，文科男生有人； 根据题意可知，， 根据异向不等式可减的性质有， 即有，所以理科女生多于文科男生，C正确.其他选项没有足够证据论证. 故选：C. 7．B 【分析】令，不等式变形为，求出的最小值，从而得到实数的最大值. 【详解】，，变形为， 令， 则转化为 ，即， 其中      当且仅当，即时取等号，可知. 故选：B 【点睛】思路点睛：不等式恒成立问题，先分离参数后，然后利用基本不等式求最值. 利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数； （2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值； （3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方. 8．A 【分析】由题可知，再利用中间量，根据与之间的关系求出的取值范围，即可判断a、b、、之间的关系. 【详解】由题可得：，.由，，设，则.所以，所以，.又，所以，所以.故，.又，故. 故选：A. 9．AB 【分析】将时，不等式恒成立，转化为时，不等式恒成立求解. 【详解】解：因为时，不等式恒成立， 所以时，不等式恒成立， 令，由对勾函数的性质得在上递减， 所以，则， 所以， 所以m的范围可以是，， 故选：AB 10．BC 【分析】利用特征值判断A，根据不等式的性质判断B，利用基本不等式判断C，根据对勾函数的性质判断D. 【详解】对于A，当时，故A错误； 对于B，若，则，即，所以，故B正确； 对于C，因为，所以，当且仅当时取等号， 所以，显然， 所以，当且仅当时取等号，故C正确； 对于D，因为， 令，则，令， 由对勾函数的性质可知，函数在上单调递增， 所以， 所以 ，当且仅当时取等号，故D错误. 故选：BC 11．ABD 【分析】对于A，据已知条件即可证明；对于B，使用基本不等式即可证明；对于C，据已知条件即可否定；对于D，将条件变形为，再利用即可证明结论. 【详解】对于A，，，所以，故A正确； 对于B，，，所以，可得，同理可得， 又因，所以，故，，故B正确； 对于C，，，由B知，，又，存在，使得可知，代入可得与已知相矛盾，故C错误； 对于D，将条件变形为，，由A知，由B知，所以，即，故D正确. 故选：ABD 12．充分不必要条件 【分析】分别从充分性、必要性两个方面，结合特殊值法判断条件间的关系即可. 【详解】由，即同号， 当，则； 当，则； 所以充分性成立， 由，存在或使之成立， 但此时不成立， 所以必要性不成立， 综上，“”是“”的充分不必要条件. 故答案为：充分不必要条件 13．16 【分析】将目标式化为，结合及二次函数性质求最大值即可. 【详解】由，则， 而，故当时，目标式最小值为16. 故答案为：16 14．2 【分析】使用不等式将放缩，使用“1”的代换及基本不等式求得目标最小值. 【详解】由题意知，当时取等号， 故 ，当时取等号， 综上，当时，的最小值为2. 故答案为：2 【点睛】关键点点睛：本题求最小值关键是第一步用放缩法将放掉，第二步是将中的2代换为，将整式处理为，再用“1”的代换求最小值. 15．（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【分析】（1）（2）利用不等式的性质推理即得. 【详解】（1）由，得，则， 又，则，即， 不等式两边同乘，得， 而，所以． （2）由，，得，即， 又，所以． 16．（1）；（2）9；（3） 【分析】（1）（2）对函数解析式变形，利用基本不等式求解最值； （3）先常数代换变形，再利用基本不等式求解最值； 【详解】（1）由，得， 因此， 当且仅当，即时取等号，所以原函数的最大值为. （2）由，得， 因此， 当且仅当，即时取等号，所以原函数的最小值为9. （3）由， 则． 当且仅当，即时取到最小值16． 若恒成立，则． 17．(1) (2) 【分析】（1）结合二次函数的对称轴及端点值，即可求解参数范围. （2）根据对称轴与区间的位置关系分类讨论求解最小值即可. 【详解】（1）当时，，所以， 又因为，， 所以在上的值域为时，； （2）由题意可知，的对称轴为，且图象开口向上， ①当时，在上单调递增， 故； ②当时，在上单调递减，在上单调递增， 故； ③当时，在上单调递减， 故． 综上所述，． 18． 【分析】利用换元法，将不等式左边转化为 的表达式，再多次利用基本不等式求得其最小值，从而得解. 【详解】因为，，所以，， 令，，则，，，， 所以 ， 当且仅当且且且，即， 即，时，等号成立， 又不等式恒成立，所以，即的最大值为. 19．(1) (2) 【分析】(1)转化自变量，为参数，根据已知条件列方程式即可求解； (2)若存在，使得成立，经变形后，只需要其最小值满足条件即可，根据不等式性质求出最小值，即可求出的取值范围. 【详解】（1）对任意实数恒成立， 即对任意实数恒成立， 因为是关于的一次函数， 所以 所以实数的取值范围是； （2）存在，使得成立，即， 只需成立，即需成立， 因为 所以（当且仅当时等号成立）， 则， 所以， 综上得实数的取值范围是：. 学科网（北京）股份有限公司 $$