2.5.1：直线与圆的位置关系【8大题型】-2024-2025学年高二数学《考点•题型 •技巧》精讲与精练高分突破系列(人教A版2019选择性必修第一册）

2.5.1：直线与圆的位置关系 【考点归纳】 · 考点一：判断直线与圆的位置关系 · 考点二：由直线与圆的位置关系求参数 · 考点三：圆的弦长问题 · 考点四：圆的弦长求参数或者切线方程 · 考点五：圆的切线方程 · 考点六：直线与圆的位置求距离的最值问题 · 考点七：直线与圆的应用 · 考点八：直线与圆的位置定点定值问题综合应用 【知识梳理】 知识点　直线Ax＋By＋C＝0与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系及判断 位置关系 相交 相切 相离 公共点个数 2个 1个 0个 判断方法 几何法： 设圆心到直线的距离为d＝ d<r d＝r d>r 代数法： 由消元得到一元二次方程，可得方程的判别式Δ Δ>0 Δ＝0 Δ<0 【例题详解】 题型一：判断直线与圆的位置关系 1．（23-24高二上·陕西渭南·期末）已知直线和圆，则直线l与圆C（    ） A．相切 B．相离 C．相交 D．相交且过圆心 2．（23-24高二上·湖北十堰·期末）直线与圆的公共点个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．不确定 3．（23-24高二上·福建福州·期中）设，则直线l：与圆的位置关系为（    ） A．相离 B．相切 C．相交或相切 D．相交 题型二：由直线与圆的位置关系求参数 4．（2024·福建福州·模拟预测）已知圆与轴相切，则（    ） A．1 B．0或 C．0或1 D． 5．（23-24高二下·云南红河·期末）已知直线l：与圆C：有公共点，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 6．（2024·全国·模拟预测）已知圆：，直线：，则直线与圆有公共点的必要不充分条件是（    ） A． B． C． D． 题型三：圆的弦长问题 7．（23-24高二上·江西上饶·期末）直线被圆所截得的弦长为（    ） A．2 B． C． D．10 8．（22-23高二上·河北保定·期末）直线与圆交于两点，则的面积为（    ） A． B．2 C． D． 9．（23-24高三上·山东青岛·期末）圆与圆相交于A、B两点，则（    ） A．2 B． C． D．6 题型四：圆的弦长求参数或者切线方程 10．（2024·陕西安康·模拟预测）已知直线与圆相交于两点，若的面积为50，则的值为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 11．（23-24高二上·山东威海·期末）已知直线与圆交于A，B两点，且，则实数（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 12．（23-24高二上·河南周口·阶段练习）已知直线，圆，当直线l被圆C截得的弦最短时，l的方程为（    ） A． B． C． D． 题型五：圆的切线方程 13．（23-24高二上·天津·期末）过点且与圆相切的直线方程为（    ） A． B． C．或 D．或 14．（23-24高二上·河北邯郸·期末）过直线上的动点向圆心为，半径为2的圆引两条切线（为切点），则四边形的面积的最小值为（    ） A． B． C． D． 15．（23-24高二上·浙江·期末）已知圆与直线，过上任意一点向圆引切线，切点为和，若线段长度的最小值为，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 题型六：直线与圆的位置求距离的最值问题 16．（23-24高二上·江苏南京·期末）已知为圆上两动点，且，则弦的中点到直线距离的最大值为（      ）． A． B． C． D．4 17．（23-24高二上·北京海淀·期末）已知直线恒过定点A，直线恒过定点B，且直线与交于点P，则点P到点的距离的最大值为（    ） A．4 B． C．3 D．2 18．（23-24高二上·四川成都·期末）已知圆，点为直线上的动点，过点作圆的两条切线，切点分别为，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 题型七：直线与圆的应用 19．（23-24高二上·安徽芜湖·期末）“陶辛水韵”于1999年被评为芜湖市新十景之一，每年入夏后，千亩水面莲叶接天，荷花映日，吸引远道游客纷至沓来，坐上游船穿过一座座圆拱桥，可以直达“香湖岛”赏荷．圆拱的水面跨度20米，拱高约5米．现有一船，水面以上高3米，欲通过圆拱桥，船宽最长约为（    ） A．12米 B．13米 C．14米 D．15米 20．（23-24高二上·北京顺义·期中）如图，已知一艘停在海面上的海监船上配有雷达，其监测范围是半径为的圆形区域，一艘轮船从位于海监船正东的处出发，径直驶向位于海监船正北的处岛屿，速度为.这艘轮船能被海监船监测到的时长为（    ）    A．1小时 B．0.75小时 C．0.5小时 D．0.25小时 21．（23-24高二上·江苏扬州·开学考试）一个小岛的周围有环岛暗礁，暗礁分布在以小岛中心为圆心，半径为的圆形区域内，已知小岛中心位于轮船正西处，港口位于小岛中心正北处，如果轮船沿直线返港，不会有触礁危险，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型八：直线与圆的位置定点定值问题综合应用 22．（23-24高二上·陕西宝鸡）如图，已知的方程为，点，过点A作的切线AP，P为切点. (1)求AP的长； (2)在x轴上是否存在点B（异于A点），满足对上任一点C，都有为定值？若存在，求B点的坐标；若不存在，请说明理由. 23．（23-24高二上·浙江金华·期中）已知圆分别与轴的正半轴交于两点，为圆上的动点（异于两点）. (1)若线段上有一点，满足，求点的轨迹方程； (2)若直线与轴交于点，直线与轴交于点，试证为定值. 24（23-24高二下·河南·阶段练习）已知直线交于两点. (1)若，求直线的方程； (2)若的中点为为坐标原点，求的最大值. 【高分演练】 一、单选题 25．（24-25高二上·江苏徐州·阶段练习）圆与直线相交所得弦长为（　　） A．1 B． C． D． 26．（24-25高二上·江苏徐州·阶段练习）直线与曲线恰有1个交点，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D．或 27．（24-25高二上·江苏徐州·阶段练习）圆的所有经过坐标原点的弦中最短弦长为（　　） A． B． C． D． 28．（2024·湖北·模拟预测）已知点是直线上的动点，由点向圆引切线，切点分别为且，若满足以上条件的点有且只有一个，则（    ） A． B． C．2 D． 29．（23-24高二下·福建福州·期末）若圆被直线平分，则（    ） A．-2 B． C． D． 30．（24-25高二上·全国·课后作业）已知某隧道内设双行线公路，车辆只能在道路中心线一侧行驶，隧道截面是半径为4米的半圆，若行驶车辆的宽度为2.5米，则车辆的最大高度应不超过（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 31．（23-24高二下·河南濮阳·阶段练习）已知直线与圆和圆都相切，则实数的值为（   ） A． B． C． D．或 32．（23-24高二下·江苏南京·期中）已知点在直线上运动，且，点在圆上，则的面积的最大值为（    ） A．8 B．5 C．2 D．1 33．（2024·湖南邵阳·三模）已知直线：与圆：，过直线上的任意一点作圆的切线，，切点分别为A，，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 34．（23-24高二上·云南迪庆·期末）已知直线：与圆：相交于，两点，则（    ） A．圆心的坐标为 B．圆的半径为 C．圆心到直线的距离为2 D． 35．（23-24高二上·新疆阿克苏·期末）过点作圆的切线，所得切线方程为（    ） A． B． C． D． 36．（2024·重庆·三模）已知直线，圆，则下列说法正确的是（    ） A．直线恒过定点 B．直线与圆相交 C．当直线平分圆时， D．当点到直线距离最大时， 37．（2024·全国·模拟预测）已知点在定圆内，经过点的动直线与交于两点，若的最小值为4，则（    ） A． B．若，则直线的倾斜角为 C．存在直线使得 D．的最大值为12 三、填空题 38．（24-25高二上·上海·随堂练习）已知直线与圆相交，则实数k的取值范围是 ． 39．（24-25高二上·上海·课堂例题）（1）已知直线被圆截得的弦长为，则ab的最大值为 ． （2）在平面直角坐标系xOy中，以点为圆心且与直线相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为 ． 40．（24-25高二上·上海·课堂例题）（1）已知圆C的圆心在x轴的正半轴上，点在圆C上，且圆心到直线的距离为，则圆C的方程为 ． （2）已知圆E的圆心为，直线：，：与圆E分别交于点A、B与C、D，若四边形ABCD是正方形，则圆E的标准方程为 ． 41．（2024·湖北·二模）已知直线与圆相交于A，B两点当的面积最大时， ， 四、解答题 42．（24-25高二上·江西赣州·开学考试）若圆C经过点和，且圆心在x轴上，则： (1)求圆C的方程． (2)直线与圆C交于E、F两点，求线段的长度． 43．（23-24高二上·贵州六盘水·期末）已知半径为2的圆的圆心在射线上，点在圆上． (1)求圆的标准方程； (2)求过点且与圆相切的直线方程． 44．（23-24高二上·河北邢台·期末）已知直线，半径为的圆与相切，圆心在轴的非负半轴上. (1)求圆的方程； (2)设过点的直线被圆截得的弦长等于，求直线的方程. 45．（24-25高二上·全国·课后作业）已知过原点的动直线与圆． (1)求直线与圆相交时，它的斜率的取值范围； (2)当与圆相交于不同的两点时，求线段的中点的轨迹方程． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.5.1：直线与圆的位置关系 【考点归纳】 · 考点一：判断直线与圆的位置关系 · 考点二：由直线与圆的位置关系求参数 · 考点三：圆的弦长问题 · 考点四：圆的弦长求参数或者切线方程 · 考点五：圆的切线方程 · 考点六：直线与圆的位置求距离的最值问题 · 考点七：直线与圆的应用 · 考点八：直线与圆的位置定点定值问题综合应用 【知识梳理】 知识点　直线Ax＋By＋C＝0与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系及判断 位置关系 相交 相切 相离 公共点个数 2个 1个 0个 判断方法 几何法： 设圆心到直线的距离为d＝ d<r d＝r d>r 代数法： 由消元得到一元二次方程，可得方程的判别式Δ Δ>0 Δ＝0 Δ<0 【例题详解】 题型一：判断直线与圆的位置关系 1．（23-24高二上·陕西渭南·期末）已知直线和圆，则直线l与圆C（    ） A．相切 B．相离 C．相交 D．相交且过圆心 【答案】A 【分析】计算圆心到直线的距离，将这个距离和半径比较即可. 【详解】由圆，可得圆心，半径， 则圆心到直线的距离为，即， 所以直线与圆相切. 故选：A. 2．（23-24高二上·湖北十堰·期末）直线与圆的公共点个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．不确定 【答案】C 【分析】求得直线所过定点，再判断该定点在圆的内部，从而得解. 【详解】因为直线可化为， 所以直线过定点， 而，所以该定点在圆的内部，故直线与圆有2个公共点. 故选：C. 3．（23-24高二上·福建福州·期中）设，则直线l：与圆的位置关系为（    ） A．相离 B．相切 C．相交或相切 D．相交 【答案】C 【分析】先求得直线恒过点，检验可得该点在圆上，即可得出答案. 【详解】直线可化为， 由可得，，所以直线恒过点. 又，即点在圆上， 所以，过点的直线与圆相交或相切. 故选：C. 题型二：由直线与圆的位置关系求参数 4．（2024·福建福州·模拟预测）已知圆与轴相切，则（    ） A．1 B．0或 C．0或1 D． 【答案】D 【分析】根据一般式得圆的标准式方程，即可根据相切得求解. 【详解】将化为标准式为：， 故圆心为半径为，且或， 由于与轴相切，故， 解得，或（舍去）， 故选：D 5．（23-24高二下·云南红河·期末）已知直线l：与圆C：有公共点，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据直线与圆恒有公共点，由求解. 【详解】圆C：，知， 圆心到直线的距离为：， 解得：. 故选：A 6．（2024·全国·模拟预测）已知圆：，直线：，则直线与圆有公共点的必要不充分条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据直线与圆的位置关系，借助点到直线的距离公式，求出的取值范围，即直线与圆有公共点的充要条件，再确定那个是必要不充分条件. 【详解】由题意可知圆的圆心坐标为，半径为1. 因为直线与圆有公共点，所以直线与圆相切或相交， 所以圆心到直线的距离，解得. 其必要不充分条件是把的取值范围扩大， 所以选项中只有是的必要不充分条件. 故选：A 题型三：圆的弦长问题 7．（23-24高二上·江西上饶·期末）直线被圆所截得的弦长为（    ） A．2 B． C． D．10 【答案】C 【分析】判断出圆心在直线上即可求解. 【详解】圆即，故圆心为， 显然圆心在直线上， 故直线被圆所截得的弦即为圆的直径，长为. 故选：C． 8．（22-23高二上·河北保定·期末）直线与圆交于两点，则的面积为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】B 【分析】依题意，作出图形，求出圆心坐标和半径，过圆心作于，分别计算和，即可求得的面积. 【详解】 如图，由圆配方得，，知圆心为,半径为， 过点作于，由到直线的距离为, 则, 故的面积为. 故选：B. 9．（23-24高三上·山东青岛·期末）圆与圆相交于A、B两点，则（    ） A．2 B． C． D．6 【答案】D 【分析】两圆方程相减得直线的方程，由点到直线的距离求得C到直线的距离，由圆的弦长公式求出，再由三角形的面积公式计算即可求得. 【详解】两圆方程相减得直线的方程为， 圆化为标准方程， 所以圆的圆心为，半径， 圆心到直线的距离为， 弦长， 所以. 故选：D 题型四：圆的弦长求参数或者切线方程 10．（2024·陕西安康·模拟预测）已知直线与圆相交于两点，若的面积为50，则的值为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】A 【分析】由圆的一般方程得到圆的圆心和半径，设圆心到直线的距离为，用表示出的面积，由面积为50解出，再结合点到直线的距离公式解出的值. 【详解】圆的圆心坐标为，半径. 设圆心到直线的距离为，则， 所以的面积，解得. 又，所以，化简，得，解得. 故选：A. 11．（23-24高二上·山东威海·期末）已知直线与圆交于A，B两点，且，则实数（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】D 【分析】由题意将圆的方程化为标准方程，结合点到直线的距离公式以及弦长公式即可列方程求解. 【详解】由题意圆即圆的圆心、半径分别为， 圆心到直线的距离为， 所以，解得. 故选：D. 12．（23-24高二上·河南周口·阶段练习）已知直线，圆，当直线l被圆C截得的弦最短时，l的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出直线过的定点及圆的圆心的坐标，再结合已知求出直线的斜率即可得解. 【详解】依题意，直线，由，解得， 于是直线过的定点，圆的圆心，半径， 显然，即点在圆内，直线斜率， 当时，直线l被圆C截得的弦最短，此时直线的斜率为，方程为，即. 故选：D 题型五：圆的切线方程 13．（23-24高二上·天津·期末）过点且与圆相切的直线方程为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】由题意分直线斜率是否存在再结合直线与圆相切的条件进行分类讨论即可求解. 【详解】圆， 即圆的圆心坐标，半径分别为， 显然过点且斜率不存在的直线为，与圆相切，满足题意； 设然过点且斜率存在的直线为，与圆相切， 所以，所以解得， 所以满足题意的直线方程为或. 故选：D. 14．（23-24高二上·河北邯郸·期末）过直线上的动点向圆心为，半径为2的圆引两条切线（为切点），则四边形的面积的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由圆的切线性质，四边形的面积，当时，最小，即可求出. 【详解】由圆的切线性质，四边形的面积    。 当时，最小，所以四边形的面积最小， 此时 所以. 故选：B. 15．（23-24高二上·浙江·期末）已知圆与直线，过上任意一点向圆引切线，切点为和，若线段长度的最小值为，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】推导出垂直平分，分析可知，当取最小值时，取最小值，此时，，利用点到直线的距离公式可得出关于的等式，解之即可. 【详解】圆的标准方程为，圆心为，半径为，如下图所示： 由圆的几何性质可知，， 因为，，，所以，， 所以，，则， 设，则为的中点， 由勾股定理可得， 由等面积法可得， 所以，当取最小值时，取最小值，由，可得， 所以，的最小值为，当与直线垂直时，取最小值， 则，因为，解得. 故选：D. 【点睛】方法点睛：本题考查圆的切点弦长的计算，一般方法有如下两种： （1）求出切点弦所在直线的方程，然后利用勾股定理求解； （2）利用等面积法转化为直角三角形斜边上的高，作为切点弦长的一般求解. 题型六：直线与圆的位置求距离的最值问题 16．（23-24高二上·江苏南京·期末）已知为圆上两动点，且，则弦的中点到直线距离的最大值为（      ）． A． B． C． D．4 【答案】C 【分析】根据题意画出图形，由数形结合即可求点到直线距离的最大值. 【详解】依题意，所以， 因为为的中点，所以， 如图所示，过点作直线的垂线，垂足为， 连接，则圆心到直线的距离为， 因为当且仅当三点共线时等号成立， 所以， 所以的最大值为. 故选：C    17．（23-24高二上·北京海淀·期末）已知直线恒过定点A，直线恒过定点B，且直线与交于点P，则点P到点的距离的最大值为（    ） A．4 B． C．3 D．2 【答案】A 【分析】首先求点的坐标，并判断两条直线的位置关系，则点P到点的距离的最大值等于点P到圆心的距离与半径之和即点P到线段AB中点距离与半径之和 【详解】设 由直线，可得 由直线，可得， 因为直线与直线满足， 所以， 所以点P在以AB为直径的圆上，所以点P到点的距离的最大值等于点P到圆心的距离与半径之和即点P到线段AB中点距离与半径之和， 由，，得AB中点为，半径为1， 所以点P到点的距离的最大值为， 故选：A    18．（23-24高二上·四川成都·期末）已知圆，点为直线上的动点，过点作圆的两条切线，切点分别为，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出圆心和半径，根据四边形面积得到，要想最小，只需最小，求出最小值，进而得到答案. 【详解】的圆心为，半径为2， 圆心到直线的距离为， 故直线与圆相离， 由题意得⊥，⊥，且与全等， 则四边形的面积为， 可得⊥， 四边形的面积为， 故，其中， 故， 要想最小，只需最小， 显然当⊥直线时，最小，最小值为， 此时. 故选：C 题型七：直线与圆的应用 19．（23-24高二上·安徽芜湖·期末）“陶辛水韵”于1999年被评为芜湖市新十景之一，每年入夏后，千亩水面莲叶接天，荷花映日，吸引远道游客纷至沓来，坐上游船穿过一座座圆拱桥，可以直达“香湖岛”赏荷．圆拱的水面跨度20米，拱高约5米．现有一船，水面以上高3米，欲通过圆拱桥，船宽最长约为（    ） A．12米 B．13米 C．14米 D．15米 【答案】B 【分析】建立平面直角坐标系，根据已知条件求出圆的方程为.代入，得出，即可得出答案. 【详解】 如图，拱形桥， 以所在的直线为轴，以线段的垂直平分线为轴，如图建立平面直角坐标系， 则，，，圆心在轴上，设为， 则有，即， 整理可得，解得， 所以，圆心为，半径为， 所以，圆的方程为. 设，则有，解得. 所以，要使小船通过圆拱桥，船宽最长为. 因为，所以. 故选：B. 20．（23-24高二上·北京顺义·期中）如图，已知一艘停在海面上的海监船上配有雷达，其监测范围是半径为的圆形区域，一艘轮船从位于海监船正东的处出发，径直驶向位于海监船正北的处岛屿，速度为.这艘轮船能被海监船监测到的时长为（    ）    A．1小时 B．0.75小时 C．0.5小时 D．0.25小时 【答案】C 【分析】以为原点，东西方向为轴建立直角坐标系，求出直线与圆的方程，计算圆心到直线的距离和半径比较，可知这艘外籍轮船能否被海监船监测到；计算弦长，可求得持续时间为多长． 【详解】如图，以为原点，东西方向为轴建立直角坐标系,    则，，圆方程， 直线方程：，即， 设到距离为，则， 所以外籍轮船能被海监船检测到， 设监测时间为，则（小时）， 外籍轮船能被海监船检测到的时间是0.5小时. 故选：C. 21．（23-24高二上·江苏扬州·开学考试）一个小岛的周围有环岛暗礁，暗礁分布在以小岛中心为圆心，半径为的圆形区域内，已知小岛中心位于轮船正西处，港口位于小岛中心正北处，如果轮船沿直线返港，不会有触礁危险，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】建立平面直角坐标系，写出轮船沿直线返港时直线的方程及暗礁分布的圆形区域的边界的方程，由轮船沿直线返港不会有触礁危险可得直线与相离，进而可求得结果. 【详解】以小岛中心为原点O，东西方向为x轴，南北方向为y轴建立平面直角坐标系，则设轮船所在位置为点B，港口所在位置为点A，如图所示，    则，（），暗礁分布的圆形区域的边界的方程为， 所以轮船沿直线返港时直线的方程为，即， 又因为轮船沿直线返港不会有触礁危险， 所以直线与相离， 即圆心O到直线的距离（），解得. 故选：A. 题型八：直线与圆的位置定点定值问题综合应用 22．（23-24高二上·陕西宝鸡）如图，已知的方程为，点，过点A作的切线AP，P为切点. (1)求AP的长； (2)在x轴上是否存在点B（异于A点），满足对上任一点C，都有为定值？若存在，求B点的坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)4； (2)存在点B，为定值. 【分析】（1）利用勾股定理求出切线长. （2）设出点、点坐标，根据题意列出等式化简，转化为恒成立问题求解即可. 【详解】（1）依题意，，且，而， 所以. （2）设，则， 假设存在这样的点，使得为常数，且，则， 即，将代入消去, 得对恒成立， ，而，解得， 所以存在点B ，使得对于上任一点，都有为定值. 23．（23-24高二上·浙江金华·期中）已知圆分别与轴的正半轴交于两点，为圆上的动点（异于两点）. (1)若线段上有一点，满足，求点的轨迹方程； (2)若直线与轴交于点，直线与轴交于点，试证为定值. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）设，根据，求出，代入圆的方程，可得解； （2）设，求出直线，从而得到点的坐标，化简，得证. 【详解】（1）根据题意，，， 设，则， 由于，所以， 则，得，将其代入， 得，故点的轨迹方程为； （2）设，则， 直线方程是，代入，得， 直线方程是，代入，得， 所以 ，即为定值．    【点睛】方法点睛：求轨迹方程的常用方法： （1）直译法：若动点运动的条件是一些已知（或通过分析得出）几何量的等量关系，可转化成含的等式，就得到轨迹方程。 （2）相关点法：若轨迹点与已知曲线上的动点有关联，则可先列出关于的方程组，利用表示出，把代入已知曲线方程便得动点的轨迹方程。 （3）定义法：运用解析几何中一些常用定义（圆锥曲线的定义），再从曲线定义出发直接写出轨迹方程。 （4）参数法（交轨法）：如果不易直接找出动点的坐标之间的关系，可考虑借助中间变量（参数），把联系起来．其实某种意来说，交轨法也可看作参数法。 （5）点差法：圆锥曲线中与弦的中点有关的问题一般可用点差法， 24（23-24高二下·河南·阶段练习）已知直线交于两点. (1)若，求直线的方程； (2)若的中点为为坐标原点，求的最大值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）结合点到直线距离公式，根据垂径定理列式求解，即可求解； （2）设，利用结合数量积的坐标运算求得点的轨迹，再根据点与圆的位置关系求解最值即可. 【详解】（1）由题意知，圆心到直线的距离为， 故，故， 故直线的方程为，即. （2）设，因为是的中点，所以，所以， 又直线过定点，所以， 所以， 整理得，故点的轨迹是以为圆心，为半径的圆， 故的最大值为.    【高分演练】 一、单选题 25．（24-25高二上·江苏徐州·阶段练习）圆与直线相交所得弦长为（　　） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】代入弦长公式，即可求解. 【详解】圆心到直线的距离， 所以弦长. 故选：C 26．（24-25高二上·江苏徐州·阶段练习）直线与曲线恰有1个交点，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】画出直线与曲线的图象，数形结合可得答案. 【详解】曲线，整理得，画出直线与曲线的图象， 当直线与曲线相切时， 则圆心到直线的距离为， 可得（正根舍去）， 当直线过时，， 如图，直线与曲线恰有1个交点，则或. 故选：D. 27．（24-25高二上·江苏徐州·阶段练习）圆的所有经过坐标原点的弦中最短弦长为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用配方法化简圆的方程，结合垂径定理与勾股定理，可得答案. 【详解】由，则圆的标准方程为，如下图： 图中，，为圆的圆心，为直线与圆的交点， 易知为所有经过坐标原点的弦中最短弦，. 故选：B. 28．（2024·湖北·模拟预测）已知点是直线上的动点，由点向圆引切线，切点分别为且，若满足以上条件的点有且只有一个，则（    ） A． B． C．2 D． 【答案】D 【分析】连接，结合圆的切线性质可推得点在以点为圆心，为半径的圆上，再由题意可知该圆与直线相切，利用点到直线的距离公式，即可求得答案. 【详解】连接，则. 又，所以四边形为正方形，， 于是点在以点为圆心，为半径的圆上. 又由满足条件的点有且只有一个，则圆与直线相切， 所以点到直线的距离，解得. 故选：D. 29．（23-24高二下·福建福州·期末）若圆被直线平分，则（    ） A．-2 B． C． D． 【答案】D 【分析】由直线经过圆心进行求解． 【详解】由题意得圆心在直线上，则，解得. 故选：D. 30．（24-25高二上·全国·课后作业）已知某隧道内设双行线公路，车辆只能在道路中心线一侧行驶，隧道截面是半径为4米的半圆，若行驶车辆的宽度为2.5米，则车辆的最大高度应不超过（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】C 【分析】建立平面直角坐标系，求出半圆的方程可得答案. 【详解】建立如图所示的平面直角坐标系，   O为圆心，易得半圆的方程为，， 因为B在半圆上，且轴，所以， 即．故车辆的最大高度应不超过米． 故选：C. 31．（23-24高二下·河南濮阳·阶段练习）已知直线与圆和圆都相切，则实数的值为（   ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】由已知可得，可求，根据直线和圆相切，可求实数的值. 【详解】因为直线与圆相切，所以，解得， 由直线和圆相切， 所以或，解得或， 故实数的值为或. 故选：D. 32．（23-24高二下·江苏南京·期中）已知点在直线上运动，且，点在圆上，则的面积的最大值为（    ） A．8 B．5 C．2 D．1 【答案】A 【分析】设圆心到直线的距离为到直线的距离为，易知当最大时，，此时的面积最大，由此容易得解． 【详解】设圆心到直线的距离为到直线的距离为， 又圆心坐标为，则， 又半径为，则当最大时，， 此时面积也最大，． 故选：A． 33．（2024·湖南邵阳·三模）已知直线：与圆：，过直线上的任意一点作圆的切线，，切点分别为A，，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意可得，可知当OP最小时，最大，结合点到直线的距离公式运算求解. 【详解】由题意可知：圆的圆心为，半径为1， 则圆心到直线的距离为，可知直线与圆相离， 因为，且， 当最小时，则最大，可得最大，即最大， 又因为的最小值即为圆心到直线的距离为， 此时，所以取得最大值． 故选：C． 二、多选题 34．（23-24高二上·云南迪庆·期末）已知直线：与圆：相交于，两点，则（    ） A．圆心的坐标为 B．圆的半径为 C．圆心到直线的距离为2 D． 【答案】ACD 【分析】化圆的方程为 标准形式判断AB；求出圆心到直线距离判断C；利用圆的弦长公式计算判断D. 【详解】对于AB，圆：的圆心，半径，A正确，B错误； 对于C，点到直线：的距离，C正确； 对于D，，D正确. 故选：ACD 35．（23-24高二上·新疆阿克苏·期末）过点作圆的切线，所得切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】根据切线斜率是否存在分类讨论，利用圆心到切线距离等于半径可求结果． 【详解】 由圆心为，半径为1，过点斜率存在时，设切线为， 则，可得，所以，即； 斜率不存在时，，显然与圆相切， 综上，切线方程为：或． 故选：AB． 36．（2024·重庆·三模）已知直线，圆，则下列说法正确的是（    ） A．直线恒过定点 B．直线与圆相交 C．当直线平分圆时， D．当点到直线距离最大时， 【答案】ACD 【分析】对于A，将直线方程变形即可进一步判断；对于B，举反例即可判断；对于C，将圆心坐标代入直线方程即可验算参数；对于D，当点到直线距离最大值时，有，结合它们的斜率关系即可判断. 【详解】对于A，即，令，有，所以直线恒过定点，故A正确； 对于B，圆的圆心、半径为， 点到直线的距离为， 从而， 取，则此时有，故B错误； 对于C，当直线平分圆时，有点在直线上， 也就是说有成立，解得，故C正确； 对于D，点到直线距离满足，等号成立当且仅当， 而的斜率为， 所以当等号成立时有，解得，故D正确. 故选：ACD. 37．（2024·全国·模拟预测）已知点在定圆内，经过点的动直线与交于两点，若的最小值为4，则（    ） A． B．若，则直线的倾斜角为 C．存在直线使得 D．的最大值为12 【答案】BC 【分析】A选项，根据点在圆的内部得到不等式，求出，利用垂径定理得到，而，从而得到方程，求出；B选项，在A选项基础上得到，结合求出直线的斜率和倾斜角；C选项，假设存在，结合满足要求，故C正确；D选项，由三角形面积公式和相交弦定理得到D错误. 【详解】A．因为点在圆的内部，所以，解得． 设点到直线的距离为，则，其中为定值， 所以当时，最大，最小． 又圆心，所以， 所以，解得，A错误． B．由选项可知，当时，直线，而，所以， 所以直线的倾斜角为，B正确． C．假设存在直线使得，则此时点到直线的距离为，满足要求， 所以假设成立，C正确． D．由三角形面积公式得 ，    因为弦一定经过点，设直线与圆相交于点， 因为，所以∽， 故，故， 因为， 所以， 所以， 当，即时等号成立，故D错误． 故选：BC． 三、填空题 38．（24-25高二上·上海·随堂练习）已知直线与圆相交，则实数k的取值范围是 ． 【答案】 【分析】利用几何法求解直线与圆相交时，k的取值范围. 【详解】的圆心为 则当直线与圆相交时， 圆心到直线的距离小于半径，则 解得： 故答案为： 39．（24-25高二上·上海·课堂例题）（1）已知直线被圆截得的弦长为，则ab的最大值为 ． （2）在平面直角坐标系xOy中，以点为圆心且与直线相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为 ． 【答案】 // 【分析】空1：分析可知直线过圆心，可得，利用基本不等式运算求解；空2：分析可知直线过定点，则圆的半径最大值为，即可得圆的方程. 【详解】（1）由圆，知圆心为，半径为． 又因为直线被圆截得的弦长为， 所以直线过圆心， 即，可得， 所以，当且仅当时取等号， 即，所以ab的最大值为； （2）因为直线，即， 可知直线过定点， 且点到定点的距离， 所以圆心到直线的距离的最大值为， 即圆的半径最大值为，所以圆的方程为； 故答案为：；. 40．（24-25高二上·上海·课堂例题）（1）已知圆C的圆心在x轴的正半轴上，点在圆C上，且圆心到直线的距离为，则圆C的方程为 ． （2）已知圆E的圆心为，直线：，：与圆E分别交于点A、B与C、D，若四边形ABCD是正方形，则圆E的标准方程为 ． 【答案】 【分析】（1）设，则运用点到直线距离求出，再求出半径即可； （2）根据题意得到圆心E在直线上，求得圆心，再根据四边形ABCD是正方形，由圆的直径等于两直线间距离的倍求解. 【详解】（1）设，则， 又在圆上，则，故圆C的方程为 （2）设半径为r，这时圆E的标准方程为． 由题意及对称性知，圆心E在直线上，所以． 又，两直线间的距离，且四边形ABCD是正方形， 所以，解得， 所以圆E的标准方程为． 故答案为：；. 41．（2024·湖北·二模）已知直线与圆相交于A，B两点当的面积最大时， ， 【答案】0或 【分析】结合的面积最大求出，继而求出圆心到直线l的距离，利用点到直线的距离公式，即可求得答案. 【详解】由圆得：圆心，圆的半径， 因为， 所以当的面积最大时，，此时， 则为等腰直角三角形，则圆心到直线的距离为， 由点到直线的距离公式得， 解得或， 故答案为：0或 四、解答题 42．（24-25高二上·江西赣州·开学考试）若圆C经过点和，且圆心在x轴上，则： (1)求圆C的方程． (2)直线与圆C交于E、F两点，求线段的长度． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由圆心既在线段的垂直平分线上，又在x轴上，可联立直线方程求圆心，进而得半径与圆的方程； （2）利用几何法，先求圆心到直线的距离，再利用勾股定理求半弦长即可得. 【详解】（1）因为和，线段的中点为，且， 则的垂直平分线方程为，由圆的性质可知，圆心在该直线上， 又已知圆心在轴上，令，得， 故圆心为，半径， 则圆圆C的方程为. （2）由圆心到直线的距离，. 故线段的长度为.    43．（23-24高二上·贵州六盘水·期末）已知半径为2的圆的圆心在射线上，点在圆上． (1)求圆的标准方程； (2)求过点且与圆相切的直线方程． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）设圆心坐标为，根据点在圆上列方程可得，可得方程； （2）分斜率存在和不存在求解，当斜率存在时，设切线的方程为，根据圆心到直线的距离等于半径列方程求解可得. 【详解】（1）由圆C的圆心在直线上，可设圆心C的坐标为， 又圆的半径为2，点在圆上，有， 解得（舍去）或， 故圆的标准方程为； （2）①当切线的斜率不存在时，直线与圆相切； ②当切线的斜率存在时，设切线的方程为，整理为， 由题知，解得， 可得切线方程为，整理为， 由①②知，过点且与圆相切的直线方程为或.    44．（23-24高二上·河北邢台·期末）已知直线，半径为的圆与相切，圆心在轴的非负半轴上. (1)求圆的方程； (2)设过点的直线被圆截得的弦长等于，求直线的方程. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）设圆心的坐标为，根据直线与圆相切，可得出关于的等式，解出实数的值，即可得出圆的方程； （2）利用勾股定理求出圆心到直线的距离，对直线的斜率是否存在进行分类讨论，在直线的斜率不存在时，直接验证即可；在直线的斜率存在时，设出直线的方程，利用点到直线的距离公式求出参数的值，综合可得出直线的方程. 【详解】（1）解：由题意，设圆心的坐标为， 因为直线，半径为的圆与相切， 则，因为，解得，因此，圆的方程为. （2）解：由勾股定理可知，圆心到直线的距离为. 当直线的斜率不存在时，直线的方程为，此时圆心到直线的距离为， 合乎题意； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即， 则，解得，此时，直线的方程为，即. 综上所述，直线的方程为或. 45．（24-25高二上·全国·课后作业）已知过原点的动直线与圆． (1)求直线与圆相交时，它的斜率的取值范围； (2)当与圆相交于不同的两点时，求线段的中点的轨迹方程． 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）利用直线与圆的位置关系计算即可； （2）设坐标，联立直线与圆方程，根据韦达定理用坐标表示M坐标，消参化简即可. 【详解】（1）圆，整理可得标准方程为， 圆的圆心坐标为，半径为2． 设直线的方程为，即， 直线与圆相交， 圆心到直线的距离， 解得， 即的取值范围是； （2）由（1）知直线的方程为，． 设, 将直线与圆的方程联立，可得． 由根与系数的关系可得，所以． 线段的中点的轨迹的参数方程为， 其中，则，即 消去得， 线段的中点的轨迹的方程为，其中． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$