2.5.1 直线与圆的位置关系（十六大题型）专项训练-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

2.5.1 直线与圆的位置关系 题型一 判断直线与圆的位置关系 1．已知圆，直线，则圆上到直线的距离等于的点有（    ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 2．当变化时，不在直线上的点构成区域，是区域内的任意一点，则的取值范围是 ． 3．已知圆. (1)过点作圆的切线，求的方程； (2)已知直线，判断直线与圆的位置关系；如果相交，求直线被圆所截得的弦长. 题型二 由直线与圆的位置关系求参数 4．若满足，则的最小值为 （    ） A． B． C． D． 5．直线 （，）截圆的弦长为，则 的最小值为 . 6．在平面直角坐标系中，过点的直线与圆交于两点，． (1)若，求的斜率； (2)若的斜率为，求的面积． 题型三 直线与圆的位置关系求距离的最值 7．直线分别与x轴，y轴交于A，B两点，点P在圆上，则面积的最大值是（    ） A． B． C．6 D．4 8．点为直线上的动点，过点作圆的切线，切点为，则的最小值为 .  9．设直线：，：，过点斜率为的直线与，分别交于点，（，纵坐标均为正数），为坐标原点． (1)求面积的最小值； (2)设点且满足． ①求点的轨迹方程； ②若为定值，求实数的取值范围． 题型四 求直线与圆交点坐标 10．已知在△ABC中，，，的角平分线与的外接圆相交于点，，则（  ） A．1 B． C． D． 11．1765年，数学家欧拉在他的著作《三角形的几何学》中首次提出：三角形的外心、重心、垂心三点共线，这条直线称为欧拉线. 中，已知，，且△ABC的欧拉线方程为，则点的横坐标为 . 12．已知圆O：交x轴于点A，B，P是直线x＝4上一点，直线PA，PB分别交圆O于点N，M． (1)若点，求点M的坐标； (2)探究直线MN是否过定点，若过定点，求出该定点；若不存在，请说明理由． 题型五 直线与圆相交的性质——韦达定理及应用 13．已知圆和直线交于两点，为坐标原点，若，则实数的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 14．已知圆：和直线交于，两点，定点，若，则的值 ． 15．已知圆经过点、，并且直线平分圆． (1)求圆的方程； (2)过点，是否存在斜率为的直线与圆有两个不同的交点M，N，使，若存在，求的值；若不存在，说明理由． 题型六 直线与圆中的定点定值问题 16．已知直线，圆，若直线与圆交于M，N两点，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 17．设圆，直线，P为上的动点，过点作圆的两条切线，，切点分别为，则直线过定点 ． 18．已知在平面直角坐标系中，，平面内动点满足，点轨迹记为曲线， (1)求点的轨迹方程； (2)若直线与曲线交于、两点，且，求实数的值； (3)若曲线与轴的交点为两点，为直线：上的动点，直线与曲线的另一个交点分别为，直线与轴交点为，探究是否为定值，若是定值，求出定值，不是，请说明理由． 题型七 过圆上一点的圆的切线方程 19．已知圆经过点，则圆在点处的切线方程为（   ） A． B． C． D． 20．已知圆，过点作圆C的切线，则与坐标轴围成的三角形面积为 ． 21．已知点，直线，圆：. (1)过点作圆的切线l，求直线l的方程； (2)若在圆上至少存在三个点到直线的距离为，求的取值范围. 题型八 过圆外一点的圆的切线方程 22．过点且与圆相切的直线方程是（    ） A． B．或 C． D．或 23．已知圆C：，写出一条过点且与C相切的直线方程 . 24．已知圆． (1)若点，求过点的圆的切线方程； (2)若点为圆的弦的中点，求弦的长． 题型九 切线长 25．从点向圆引切线，则切线长的最小值为（    ） A． B． C． D． 26．过点作圆的切线，则切线长为 . 27．已知圆的方程为. (1)过点的直线截圆所得弦长为，求直线的方程； (2)过直线上任意一点向圆引切线，切点为，求的最小值. 题型十 切点弦及其方程 28．设点P为直线l：上任意一点，过点P作圆O：的切线，切点分别为A，B，则直线AB必过定点（    ） A． B． C． D． 29．过圆外一点作圆的切线，切点分别为、，则 ． 30．已知点与两个定点，的距离的比为． (1)记点的轨迹为曲线，求曲线的轨迹方程． (2)若斜率为的直线与曲线交于不同的两点、，若为直角，求直线在轴上的截距． (3)过点作两条与曲线相切的直线，切点分别为、，求直线的方程． 题型十一 已知切线求参数 31．已知直线与圆相切，则（   ） A． B． C． D．0 32．已知圆的圆心为，且与直线相切，则圆被直线截得的弦长为 . 33．已知以点为圆心的圆与直线相切，过点的直线与圆相交于、两点.且. (1)求圆的标准方程； (2)求直线的方程； (3)为圆上任意一点，求的最小值. 题型十二 圆的弦长与中点弦 34．过原点且倾斜角为的直线被圆：所截得的弦长为（   ） A． B．2 C． D．4 35．已知圆，、为圆上的两个动点，为圆内的一点，若，则线段中点的轨迹方程为 . 36．已知△ABC中，，，动点满足. (1)求动点的轨迹的方程； (2)设所在直线与轨迹的另一个交点为，当的面积最大且点在第一象限时，求的值. 题型十三 已知圆的弦长求方程或参数 37．已知直线与圆交于、两点，且，则（    ） A． B． C． D． 38．若直线被圆截得的弦长为2，则 . 39．已知圆经过，两点，且圆心在直线上. (1)求圆的方程； (2)过点的直线与圆交于，两点，如果，求直线的方程； (3)已知是圆上动点，求的最大值. 题型十四 圆内接三角形的面积 40．已知点M为圆与y轴负半轴的交点，直线与圆O交于A，B两点，则面积的最大值为（   ） A．3 B． C．4 D． 41．已知直线与交于，两点，则△ABC的面积为 . 42．在平面直角坐标系中，已知点，圆经过三点，直线的方程为. (1)若直线与圆相切，求的值； (2)若直线与圆相交于两点，求的面积的最大值. 题型十五 直线与圆的实际应用 43．某圆拱桥的水面跨度12米，拱高4米，现有一船宽8米，则这条船能从桥下通过的水面以上最大高度约为（   ）（参考数据，）. A．2.5米 B．2.7米 C．2.6米 D．3.1米 44．已知某岛屿正西方向处有一台风中心，它正向北偏东60°方向移动，移动速度的大小为.距台风中心以内的地区都将受到影响.若台风中心的这种移动趋势不变，则岛屿所在地受到影响的持续时间为 小时. 45．河道上有一座圆拱桥，在正常水位时，拱圈最高点距水面9m，拱圈内水面宽22m.一条船在水面以上部分高6.5m，船顶部宽4m，可以通行无阻.近日水位暴涨了3m，为此，必须加重船载，降低船身，才能通过桥洞.试问：船身应该降低多少？ （参考数据，精确0.01m. ） 题型十六 坐标法的应用——直线与圆的位置关系 46．已知某隧道内设双行线公路，车辆只能在道路中心线一侧行驶，隧道截面是半径为4米的半圆，若行驶车辆的宽度为2.5米，则车辆的最大高度应不超过（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 47．已知圆，是轴上的动点，直线分别与圆相切于点．若为中点，则点的轨迹方程为 ． 48．已知点到的距离是点到的距离的2倍． (1)求点的轨迹方程； (2)若点与点关于点对称，求的轨迹； (3)设为坐标原点，是否存在过点的直线与第（2）问中的轨迹交于两点，且．若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.5.1 直线与圆的位置关系 题型一 判断直线与圆的位置关系 1．已知圆，直线，则圆上到直线的距离等于的点有（    ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据圆的标准方程得到圆心和半径，计算圆心到直线的距离并判断直线和圆的位置关系，再结合半径，判断到直线的距离为的两条直线与圆的位置关系即可. 【详解】易知圆的圆心为，半径为，圆心到直线的距离，所以直线与圆相交，结合圆的半径为，到直线的距离为的直线有两条，    可得一条与圆相离，一条与圆相交，因此圆上有且仅有2个点到直线的距离等于. 故选：B. 2．当变化时，不在直线上的点构成区域，是区域内的任意一点，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】将方程整理为，知方程无根；当时，利用可得所求区域，将所求式子化为与夹角余弦值，通过确定向量夹角的范围可确定所求式子的范围；当时，知满足题意，代入可得式子的值；综合两种情况可得结果. 【详解】将直线方程转化为：， 区域表示不在直线上的点构成的集合， 方程无实数根； ①当时，，整理得：， 即在以为圆心，为半径的圆的内部. 令，则，，， 设与夹角为，则， 又直线与圆相切于点，且， ，； ②当时，直线方程为，令，解得：， 当时，必有取值，则当时，只有不在直线上. 此时； 综上所述： 的取值范围为. 故答案为：. 3．已知圆. (1)过点作圆的切线，求的方程； (2)已知直线，判断直线与圆的位置关系；如果相交，求直线被圆所截得的弦长. 【答案】(1)或 (2)相交，弦长为 【分析】（1）对直线的斜率是否存在进行分类讨论，在直线的斜率不存在时，直接验证即可；在直线的斜率存在时，设直线的方程为，利用圆心到直线的距离等于圆的半径求出的值，综合可得出直线的方程； （2）求出圆心到直线的距离，并与半径比较大小，结合勾股定理可求得直线截圆所得弦长. 【详解】（1）圆的圆心为，半径为. 若直线的斜率不存在，则直线的方程为，此时圆心到直线的距离为，符合题意， 若直线的斜率存在，设直线的方程为，即， 由题意可得，解得， 此时直线的方程为，即. 综上所述，直线的方程为或. （2）圆心到直线的距离为，故直线与圆相交， 直线被圆所截得的弦长为. 题型二 由直线与圆的位置关系求参数 4．若满足，则的最小值为 （    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意得方程表示圆心为、半径为的右半圆，然后结合截距的概念，利用直线与半圆的位置关系数形结合求解即可. 【详解】由题意，方程需满足， 将方程平方整理得，即圆心为、半径为的右半圆， 令，即，所以为直线在轴上的截距， 当直线过右半圆上顶点时，直线在轴上的截距最大，此时最小， 所以的最小值为． 故选：B 5．直线 （，）截圆的弦长为，则 的最小值为 . 【答案】9 【分析】求出圆心坐标和半径，由弦长得弦为直径，直线过圆心，圆心坐标代入直线方程得关系，然后由基本不等式求得最小值． 【详解】由题意圆的标准方程是，圆的圆心为，半径为， 弦长为，则弦为直径，已知直线过圆心， 所以，即， ，当且仅当即时等号成立． 故答案为：9． 6．在平面直角坐标系中，过点的直线与圆交于两点，． (1)若，求的斜率； (2)若的斜率为，求的面积． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）设的方程为，利用圆的弦长公式得到方程，解出即可； （2）写出直线方程，利用点到直线的距离公式得到方程，解出，再求出三角形的高，最后利用三角形面积公式即可. 【详解】（1）若的斜率为0，则，不合题意． 故设的方程为，点到直线的距离， 又，即，解得， 故的斜率． （2）由题知． 此时点到直线的距离，解得． 而点到的距离， 又，故的面积． 题型三 直线与圆的位置关系求距离的最值 7．直线分别与x轴，y轴交于A，B两点，点P在圆上，则面积的最大值是（    ） A． B． C．6 D．4 【答案】C 【分析】先求得的长，再求得圆心到直线距离，再求得点到直线的距离的范围，故可得面积的取值范围，结合选项可得答案． 【详解】直线分别与轴，轴交于，两点， ，，则， 点在圆上， 圆心为，则圆心到直线距离， 故点到直线的距离的范围为， 则．所以面积的最大值是 故选：C． 8．点为直线上的动点，过点作圆的切线，切点为，则的最小值为 . 【答案】 【分析】由题意可得，，要求的最小值，即求的最小值，的最小值即为到直线的距离，求解即可. 【详解】圆的圆心为， 过点作圆的切线，切点为，所以， 所以， 要求的最小值，即求的最小值， 的最小值即为到直线的距离， 所以， 所以. 故答案为：.    9．设直线：，：，过点斜率为的直线与，分别交于点，（，纵坐标均为正数），为坐标原点． (1)求面积的最小值； (2)设点且满足． ①求点的轨迹方程； ②若为定值，求实数的取值范围． 【答案】(1)12 (2)① ；② 【分析】（1）设l：，再得到点A，B，表示出面积，再通过换元法求最值即可； （2）①依据题意，再化简即可得到点的轨迹方程；②设直线m：，n：，则为定值，即该圆在两平行直线m，n之间，结合直线与圆的位置关系求解即可． 【详解】（1）设l的直线方程为，则l与的交点为， l与的交点为， 又A，B纵坐标均为正数，∴∴． ∴． 令，则，， ∴．当且仅当，即时等号成立． 故面积的最小值为12． （2）（i）依题意有．化简得． 点M的轨迹方程为． （ii）设直线m：，n：， 点M到平行直线m，n的距离之和为 若为定值，则T为定值． 而点M轨迹是圆心为，半径为的圆，则该圆在两平行直线m，n之间． 又圆心到直线n的距离为． 圆心到直线m的距离为． ∴∴或． 直线m的纵截距为，直线m在圆的下方，结合图象有．． 则a的取值范围为． 或解：依题意，点M轨迹是圆心为，半径为的圆， 令，则有， ∴， 若为定值，即为定值， ∴恒成立， ∴，即． 题型四 求直线与圆交点坐标 10．已知在△ABC中，，，的角平分线与的外接圆相交于点，，则（  ） A．1 B． C． D． 【答案】A 【分析】以为坐标原点，为轴，为轴建系，确定△ABC的外接圆方程，结合的角平分线方程，求得的坐标，即可求解. 【详解】    以为坐标原点，为轴，为轴建系， 设，则 则中点坐标为， 因为，， 所以△ABC的外接圆即为以中点为圆心，半径为1的圆， 方程为：， 由的角平分线的平分线方程为：， 两方程联立可得：， 解得或， 所以的坐标为， 又， 所以， 即，结合， 可得：， 即， 故选：A 11．1765年，数学家欧拉在他的著作《三角形的几何学》中首次提出：三角形的外心、重心、垂心三点共线，这条直线称为欧拉线. 中，已知，，且△ABC的欧拉线方程为，则点的横坐标为 . 【答案】5或 【分析】先求得AB的垂直平分线方程，与欧拉线联立，可得△ABC的外心坐标，进而可得外接圆半径，即可求得△ABC外接圆方程，设，可得△ABC重心坐标，代入欧拉线方程，可得，与外接圆方程联立，即可求得答案. 【详解】因为，， 所以AB的中点，AB所在直线的斜率， 则AB的垂直平分线的斜率， 所以AB的垂直平分线的方程为，整理得， 因为欧拉线方程为， 联立，解得，即外心为， 则外心到点A的距离即为△ABC外接圆半径， 所以△ABC外接圆方程为， 设，则的重心坐标为， 因为重心在欧拉线上， 所以，整理得， 联立，得， 整理可得， 所以，即或， 所以点的横坐标为5或. 故答案为：5或. 12．已知圆O：交x轴于点A，B，P是直线x＝4上一点，直线PA，PB分别交圆O于点N，M． (1)若点，求点M的坐标； (2)探究直线MN是否过定点，若过定点，求出该定点；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)过定点 【分析】（1）分别由斜截式得到直线AN和直线BP的方程，再解方程组可得点M的坐标； （2）设，由斜截式得到直线AN的方程，联立曲线方程解出点M的坐标；同理解出点N的坐标，分别讨论当直线MN垂直于x轴时和、、时四种情况可得. 【详解】（1）∵点，∴直线AN的方程为． 令，则．又，∴直线BP的方程为． 由及，解得． （2）设，∵点，∴直线AN的方程为． 由及，解得． ∵点，∴直线BM的方程为． 由及，解得． 当直线MN垂直于x轴时，则，解得， 或，直线MN的方程为； 当时，，直线MN的方程为， 故若直线MN过定点，则该定点为． 当时，直线MN的方程为，显然过点； 当时，，， ∴，∴M，N，C三点共线，即直线MN经过定点． 题型五 直线与圆相交的性质——韦达定理及应用 13．已知圆和直线交于两点，为坐标原点，若，则实数的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】（1）法一取的中点，根据条件，求出的坐标，进而得，，利用题设条件得，再利用，即可求解；法二，设，根据条件得，联立直线与圆的方程，利用根与系数间的关系得，代入即可求解. 【详解】法一：由，得到， 所以圆心为，半径为， 取的中点，则，又直线的斜率为， 所以直线的方程为，即， 由，解得，则， 故，， 由，知，所以， 在中，由，得到，解得. 法二：设，由，知. 又， 所以，即①， 由，消去得， 所以，代入①式得，解得. 故选：C. 14．已知圆：和直线交于，两点，定点，若，则的值 ． 【答案】 【分析】设，根据，可得，联立方程，结合韦达定理即可求出参数. 【详解】由题知，设， 因为， 所以 ， 联立， 可得， 所以， 所以，. 故答案为： 15．已知圆经过点、，并且直线平分圆． (1)求圆的方程； (2)过点，是否存在斜率为的直线与圆有两个不同的交点M，N，使，若存在，求的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)不存在，理由见解析. 【分析】（1）设标准方程，两点代入方程，圆心带入直线联立求解 （2）直线的方程与圆联立，得到韦达定理，代入解出答案，并由得的取值范围，判断是否符合要求即可 【详解】（1）设圆的标准方程为， 因为直线平分圆的面积，所以直线过圆心，即， 则，解得， 圆的方程为 （2）由题意直线的方程为， 联立，消去得， 设，， 则，得， 故，， 而， 所以 ， 故有，解得或，不满足，所以不存在． 题型六 直线与圆中的定点定值问题 16．已知直线，圆，若直线与圆交于M，N两点，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据直线方程确定其所过的定点，再判断定点与圆的位置关系，结合直线与圆相交弦长最小时定点与圆心连线与l垂直，最后应用几何法求弦长. 【详解】由题知即， 令得，所以直线过定点， 而圆，圆心为，半径为， 所以，即定点在圆C内， 所以定点与圆心的距离， 要使最小，即定点与圆心的连线与垂直，此时. 故选：D. 17．设圆，直线，P为上的动点，过点作圆的两条切线，，切点分别为，则直线过定点 ． 【答案】 【分析】设，进而求得以为直径的圆的方程，并与圆的方程作差即可得直线的方程，再根据方程判断定点问题即可. 【详解】由题可设，则以为直径的圆的圆心为，半径为， 所以以为直径的圆的方程为，化简得， 所以为圆C和以为直径的圆的公共弦， 联立可得，两式相减可得，即， 因该式对任意成立，故，解得定点为， 故直线过定点． 故答案为： 18．已知在平面直角坐标系中，，平面内动点满足，点轨迹记为曲线， (1)求点的轨迹方程； (2)若直线与曲线交于、两点，且，求实数的值； (3)若曲线与轴的交点为两点，为直线：上的动点，直线与曲线的另一个交点分别为，直线与轴交点为，探究是否为定值，若是定值，求出定值，不是，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)恒为定值． 【分析】（1）设动点坐标，由题意，根据两点间距离公式，化简计算，即可得答案. （2）依题意可得为等腰直角三角形，且，故点到直线的距离为，根据点到直线距离公式，代入计算，即可得答案. （3）当直线垂直于轴时，根据相似，可得直线过，当直线不垂直于轴时，设出Q点坐标，可得直线MQ方程，与圆C联立，根据韦达定理，可得E点坐标，同理可得F点坐标，即可求出直线EF的方程，化简整理，可得直线过，根据相似，对应边成比例，即可求得答案. 【详解】（1）设动点坐标，因为动点满足，且，， 所以，化简可得， 所以点的轨迹方程为． （2）依题意可得为等腰直角三角形，且， 故点到直线的距离为， 直线即：，则，解得，即的值为． （3）曲线中，令，可得或，可知， 当直线垂直于轴时，设，x=6与x轴交于点P， 则， 所以，即， 所以，解得，即直线过； 当直线不垂直于轴时， 设且，则直线， 代入得， 由韦达定理可得，可得， 所以，即， 直线，代入C，可得， 由韦达定理可得，可得， 所以，即， 所以， 则， 整理得，即直线过； 综上可得，直线恒过定点，故， 在和中，， 故，故， 即恒为定值． 题型七 过圆上一点的圆的切线方程 19．已知圆经过点，则圆在点处的切线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据圆的方程确定圆心并求得，应用点斜式写出切线方程. 【详解】设圆心C，则，设切线斜率，则，， 点斜式，整理得. 故选：D 20．已知圆，过点作圆C的切线，则与坐标轴围成的三角形面积为 ． 【答案】. 【分析】先判断在圆上，再结合，求出，利用点斜式写出直线方程，找到与坐标轴的交点，再用三角形面积公式求解即可. 【详解】由题知：圆C的圆心，半径，     易知点满足圆的方程，故在圆上， 因为过点的直线与圆C相切， 故圆心与点所连直线与直线垂直， 故有，而，解得， 根据直线的点斜式可写直线方程为：， 写成一般式为：. 则直线与坐标轴的交点为和， 所以与坐标轴围成的三角形面积. 故答案为：. 21．已知点，直线，圆：. (1)过点作圆的切线l，求直线l的方程； (2)若在圆上至少存在三个点到直线的距离为，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）判断点在圆上，利用，得到切线的斜率，进而可得到切线的方程； （2）转化为圆心到直线的距离，利用点到直线的距离公式，可得答案. 【详解】（1）由圆，可得，圆心，半径. ∴在圆C上， 又，∴切线的斜率， ∴过点P的圆C的切线方程是， 即. （2）由题可知圆心到直线的距离， ∴， ∴. 题型八 过圆外一点的圆的切线方程 22．过点且与圆相切的直线方程是（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【分析】先求出圆的圆心和半径，再分别讨论切线的斜率不存在和存在两种情况求解.在斜率存在的情况下，先设切线方程为点斜式，整理成一般式，再利用圆心到直线的距离等于半径，列出斜率的等式，计算求出，从而得到切线方程. 【详解】，圆心，半径， 过点且与圆相切， 当此切线不存在斜率时，切线方程为，满足此直线与圆相切； 当此切线存在斜率时，设此切线方程为， 即， 则圆心到切线的距离，解得， 则切线方程为，即； 综上，所求的切线方程为或. 故选：D. 23．已知圆C：，写出一条过点且与C相切的直线方程 . 【答案】或 【分析】求出圆心和半径，分析斜率不存在的直线是否为切线，斜率存在的直线设出直线方程后，由圆心到切线的距离等于半径求得结论． 【详解】圆的标准方程是，圆心为，半径为1， 过且斜率不存在的直线为，它与圆相切， 过且斜率存在的直线设其方程为，即， 由，解得， 直线方程为， 故答案为：或 24．已知圆． (1)若点，求过点的圆的切线方程； (2)若点为圆的弦的中点，求弦的长． 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）求出圆的圆心与半径，分过点的直线的斜率不存和存在两种情况，利用圆心到直线距离等于半径，即可求出切线方程； （2）由点为圆的弦的中点，所以先求，根据弦长计算即可. 【详解】（1）由题意知圆心的坐标为，半径， 当过点的直线的斜率不存在时，方程为， 由圆心到直线的距离为：， 此时，直线与圆相切，满足题意， 当过点的直线的斜率存在时， 设方程为，即， 由题意知直线与圆相切可得：， 解得：， 所以切线方程为， 故过点的圆的切线方程为或． （2）由点为圆的弦的中点，且， 所以. 题型九 切线长 25．从点向圆引切线，则切线长的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用圆的切线长公式求解. 【详解】由圆，则圆心，半径为， 则切线长为， 当时，切线长取得最小值， 此时点，且，即点在圆外，满足题意. 故选：A 26．过点作圆的切线，则切线长为 . 【答案】 【分析】把圆的一般方程变形为圆的标准方程得出圆心坐标和半径，再根据勾股定理求解即可. 【详解】方程可化为，圆心，半径， 所以切线长为. 故答案为： 27．已知圆的方程为. (1)过点的直线截圆所得弦长为，求直线的方程； (2)过直线上任意一点向圆引切线，切点为，求的最小值. 【答案】(1)或； (2). 【分析】（1）根据已知得圆心，半径，讨论直线的斜率的存在性，结合圆的弦长公式、点线距离公式列方程求参数，即可得直线方程； （2）由圆的切线长，结合（为圆心到直线的距离），进而求其最小值，注意取值条件. 【详解】（1）由题意，圆的标准方程为，圆心，半径， 当斜率不存在时，直线，则圆心到直线的距离， 所以直线截圆所得弦长为，符合题意， 当斜率存在时，设直线，圆心到直线的距离为， 根据垂径定理，得，即，解得， 故直线的方程为或； （2）由题意， 而到直线的距离，则， 所以，当且仅当时取等号，故最小值为. 题型十 切点弦及其方程 28．设点P为直线l：上任意一点，过点P作圆O：的切线，切点分别为A，B，则直线AB必过定点（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，设为直线上的一点，由切线的性质得点、在以为直径的圆上，求出该圆的方程，与圆的方程联立可得直线的方程，将其变形分析可得直线恒过的定点. 【详解】如图，连接，， 根据题意，设为直线上的一点，则， 由于为圆的切线，则有，， 则点、在以为直径的圆上， 以为直径的圆的圆心为，半径， 则其方程为，变形可得， 联立可得直线AB：， 又由，则有AB：， 变形可得， 则有，解可得，故直线恒过定点. 故选：B. 29．过圆外一点作圆的切线，切点分别为、，则 ． 【答案】 【分析】作图，结合图象利用两点间距离公式得，由勾股定理得，最后通过等面积法即可得出结果. 【详解】结合题意，作图如下： 圆的圆心，半径，， 则，， 由圆的对称性可知， 则，解得. 故答案为：. 30．已知点与两个定点，的距离的比为． (1)记点的轨迹为曲线，求曲线的轨迹方程． (2)若斜率为的直线与曲线交于不同的两点、，若为直角，求直线在轴上的截距． (3)过点作两条与曲线相切的直线，切点分别为、，求直线的方程． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）设点的坐标为，则，利用两点间的距离公式得到方程，整理即可得解； （2）由，则点到的距离为，由点到直线的距离公式得直线的纵截距； （3）连接，，，求出以为圆心，为半径的圆的方程，再跟圆求公共弦，即切点弦方程； 【详解】（1）设点的坐标为，则， 得，整理得：， 所以曲线的方程是； （2）设直线l的方程为， 依题意可得为等腰直角三角形， 则圆心到直线l的距离，解得：， 所以直线在轴上的截距为 （3）过点作两条与曲线相切的直线，点在圆外， 连接，，，由题意知，， 以为圆心，为半径的圆的方程为①， 又圆的方程为②， 由①②整理得直线的方程是； 题型十一 已知切线求参数 31．已知直线与圆相切，则（   ） A． B． C． D．0 【答案】A 【分析】圆的方程化为标准式并确定圆心和半径，根据直线与圆相切及点线距离公式列方程求参数. 【详解】由，则， 所以圆心，半径，， 由题设，则. 故选：A. 32．已知圆的圆心为，且与直线相切，则圆被直线截得的弦长为 . 【答案】4 【分析】根据直线和圆的位置关系先求出圆的半径及圆心到直线的距离，再结合求解弦长. 【详解】因为圆与直线相切， 所以圆的半径为， 而圆心到直线的距离为， 所以圆被直线截得的弦长为. 故答案为：4. 33．已知以点为圆心的圆与直线相切，过点的直线与圆相交于、两点.且. (1)求圆的标准方程； (2)求直线的方程； (3)为圆上任意一点，求的最小值. 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）计算出圆的半径，可得出圆的标准方程； （2）利用勾股定理计算出圆心到直线的距离为，然后对直线的斜率是否存在进行分类讨论，在直线轴时，直接验证即可；在直线的斜率存在时，设出直线的方程，利用点到直线的距离公式求出参数值，综合可得出直线的方程； （3）记点，则，分析可知当为线段与圆的交点时，取最小值，求出的最小值，即可得解. 【详解】（1）因为以点为圆心的圆与直线相切， 所以圆的半径， 因此圆的标准方程为. （2）由题意可知，圆心到直线的距离. ①当直线轴时，直线的方程为，此时圆心到直线的距离为，符合题意； ②当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即， 由题意可得，解得， 此时，直线的方程为，即. 综上所述，直线的方程为或. （3）记点，则， ，所以点在圆外，如下图所示：    由图可知，当为线段与圆的交点时，取最小值，且， 因此，的最小值为. 题型十二 圆的弦长与中点弦 34．过原点且倾斜角为的直线被圆：所截得的弦长为（   ） A． B．2 C． D．4 【答案】D 【分析】先由点斜式求出直线的方程，再利用圆的弦长公式求解即得. 【详解】过原点且倾斜角为的直线方程为， 即， 圆：，圆心，半径， 圆心到的距离， 故直线被圆所截得的弦长为. 故选：D 35．已知圆，、为圆上的两个动点，为圆内的一点，若，则线段中点的轨迹方程为 . 【答案】 【分析】根据圆的性质，以及两点间的距离公式，列出方程，求出点的轨迹方程. 【详解】 由题意得，圆的半径为3，如图，设线段的中点为，连接，，， 易得，在中，，所以， 得， 化简得， 即. 所以线段中点的轨迹方程为. 故答案为：. 36．已知△ABC中，，，动点满足. (1)求动点的轨迹的方程； (2)设所在直线与轨迹的另一个交点为，当的面积最大且点在第一象限时，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设，根据条件得，化简即可求解； （2）根据条件得，进而求出直线的方程，再利用弦长公式，即可求解. 【详解】（1）设，由，得， 整理得到，又点不能在轴上， 所以点的轨迹的方程为. （2）由题意可得，当到x轴距离最大时，即纵坐标最大时满足题意， 此时，所以， 所在直线方程为，即， 又圆心到直线的距离，半径， 可得. 题型十三 已知圆的弦长求方程或参数 37．已知直线与圆交于、两点，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出圆心到直线的距离，以及圆的半径，利用勾股定理可求得实数的值. 【详解】圆的标准方程为，则，可得， 圆心为，半径为， 圆心到直线的距离为， 由勾股定理可得，解得. 故选：A. 38．若直线被圆截得的弦长为2，则 . 【答案】 【分析】先根据弦长求出圆心到直线的距离，结合点到直线的距离公式，即可得出的值. 【详解】圆的圆心为，半径为， 由垂径定理，得点到直线距离为， 根据点到直线距离公式，知圆心到直线的距离， 化简可得，又，所以. 故答案为： 39．已知圆经过，两点，且圆心在直线上. (1)求圆的方程； (2)过点的直线与圆交于，两点，如果，求直线的方程； (3)已知是圆上动点，求的最大值. 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）计算线段的垂直平分线，再计算线段的垂直平分线与直线交点得到圆心，再计算半径得到答案； （2）考虑直线斜率存在和不存在两种情况，根据点到直线的距离公式结合弦长公式计算得到答案； （3）设，原问题转化为求的最大值，当直线与圆相切时，能取得最值，再结合点到直线的距离公式得解. 【详解】（1）因为，， 所以，的中点坐标为， 所以的垂直平分线为，即， 联立，解得，所以圆心的坐标为， 又圆的半径为， 所以圆的方程为； （2）若直线的斜率不存在，则直线的方程为， 圆心到直线的距离为，所以，满足条件； 若直线的斜率存在，则设直线的方程为，即， 所以圆心到直线的距离为， 又，所以圆心到直线的距离为， 所以，解得， 所以直线的方程为，即， 综上所述，直线的方程为或； （3）设，则求的最大值即求的最大值， 当直线与圆相切时，能取最值， 此时圆心到该直线的距离为，即， 解得或， 所以的最大值为，即的最大值为    题型十四 圆内接三角形的面积 40．已知点M为圆与y轴负半轴的交点，直线与圆O交于A，B两点，则面积的最大值为（   ） A．3 B． C．4 D． 【答案】B 【分析】注意到直线过点C，将直线与圆方程联立，设，则面积为，然后由韦达定理可得面积关于k的表达式，据此可得答案. 【详解】注意到直线过点C，将直线方程与联立， 可得，其判别式为， 设，则. 又，， 则 ， 当且仅当时取等号. 故选：B 41．已知直线与交于，两点，则△ABC的面积为 . 【答案】 【分析】利用弦长公式求得，进而求得三角形的面积. 【详解】的圆心坐标为，半径， 圆心到直线的距离， 直线被圆截得的弦长为. 面积为. 故答案为：. 42．在平面直角坐标系中，已知点，圆经过三点，直线的方程为. (1)若直线与圆相切，求的值； (2)若直线与圆相交于两点，求的面积的最大值. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）先由待定系数法求出圆的方程，再根据直线与圆相切可得； （2）先可得三角形一边的长，再计算圆上到这一边的距离的最大值即可得面积的最大值. 【详解】（1）设圆的方程为， 因为圆经过点，所以， 解得，经检验，符合题意， 所以圆的方程为，即， 因为直线与圆相切， 所以圆心到直线的距离为， 所以，解得； （2）可化为，即直线恒过点， 因为点在圆上，故不妨设为， 所以直线，且， 设点到直线的距离为， 所以的面积， 因为点在圆上，所以的最大值等于圆心到直线的距离加上半径， 所以. 所以. 故的面积的最大值为. 题型十五 直线与圆的实际应用 43．某圆拱桥的水面跨度12米，拱高4米，现有一船宽8米，则这条船能从桥下通过的水面以上最大高度约为（   ）（参考数据，）. A．2.5米 B．2.7米 C．2.6米 D．3.1米 【答案】C 【分析】建立平面直角坐标系，设图中矩形EFGH为船刚好能通过桥下时的位置，先求得圆的方程，再将代入求得纵坐标判断. 【详解】解：如图，以圆拱桥横跨水面上的正投影为轴，过桥的最高点垂直于轴的直线为轴，建立平面直角坐标系，设图中矩形EFGH为船刚好能通过桥下时的位置， 则，，，， 设圆拱桥所在圆的方程为， 由已知得：； 解得，. 故圆的方程为 令，解得 结合题意可得这条船能从桥下通过的水面以上最大高度为2.6（米）， 故选：C. 44．已知某岛屿正西方向处有一台风中心，它正向北偏东60°方向移动，移动速度的大小为.距台风中心以内的地区都将受到影响.若台风中心的这种移动趋势不变，则岛屿所在地受到影响的持续时间为 小时. 【答案】 【分析】设直角坐标系的原点为台风中心，求出以为圆心，以为半径的圆与直线所得弦长即可. 【详解】如图，设直角坐标系的原点为台风中心，轴正半轴上存在岛屿， 且台风中心在第一象限沿着直线运动，    以为圆心，以为半径的圆与直线交于两点， 因为点到直线的距离， 则， 则岛屿所在地受到影响的持续时间为小时. 故答案为： 45．河道上有一座圆拱桥，在正常水位时，拱圈最高点距水面9m，拱圈内水面宽22m.一条船在水面以上部分高6.5m，船顶部宽4m，可以通行无阻.近日水位暴涨了3m，为此，必须加重船载，降低船身，才能通过桥洞.试问：船身应该降低多少？ （参考数据，精确0.01m. ） 【答案】0.68m 【分析】法1，建立坐标系，利用待定系数法确定圆的一般方程，再令，即可求得通过桥洞，船身至少应该降低多少；法2，建立坐标系，利用几何法确定圆的方程，再令，即可求得通过桥洞，船身至少应该降低多少. 【详解】（方法1）如图，以正常水位时河道中央为原点，过点垂直于水面的直线为轴，建立平面直角坐标系. 设拱桥所在的圆的方程为，则圆过点， 故，解得， 所以拱桥所在圆的方程是. 当时，. 即船能通过的最低要求为船身在水面以上8.82， 正常水位时，船身在水面以上部分的高为6.5，则， 即要保证船顺利通过，水位上涨不能超过m，又水位暴涨了3m. 所以船身要降低m，才能顺利地通过桥洞. 答：为使船能通过桥洞，应至少降低船身0.68m. （方法2）如图，以正常水位时河道中央为原点，过点垂直于水面的直线为轴，建立平面直角坐标系. 设桥拱圆的圆心，半径为，则圆的方程为. 桥拱最高点的坐标为，桥拱与水面的交点的坐标为. 为直角三角形，依题意得， 解得，，则. 圆的方程为， 当船行驶在河道正中央，船顶最宽处点的坐标为， 则当时，使船能通过的最低要求，是点在圆上. 当时，. 即船能通过的最低要求为船身在水面以上8.82， 正常水位时，船身在水面以上部分的高为6.5，则， 即要保证船顺利通过，水位上涨不能超过m，又水位暴涨了. 所以船身要降低m，才能顺利地通过桥洞. 答：为使船能通过桥洞，应至少降低船身0.68m. 题型十六 坐标法的应用——直线与圆的位置关系 46．已知某隧道内设双行线公路，车辆只能在道路中心线一侧行驶，隧道截面是半径为4米的半圆，若行驶车辆的宽度为2.5米，则车辆的最大高度应不超过（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】C 【分析】建立平面直角坐标系，求出半圆的方程可得答案. 【详解】建立如图所示的平面直角坐标系，   O为圆心，易得半圆的方程为，， 因为B在半圆上，且轴，所以， 即．故车辆的最大高度应不超过米． 故选：C. 47．已知圆，是轴上的动点，直线分别与圆相切于点．若为中点，则点的轨迹方程为 ． 【答案】（限制条件写成或也可以） 【分析】转化为三点共线，以及，即可列式求解. 【详解】设，，， 由三点共线，则①， 且，，所以，即②， 联立①②，消去，为， ，即， 由图可知，，所以，整理为， 故答案为：（限制条件写成或也可以） 48．已知点到的距离是点到的距离的2倍． (1)求点的轨迹方程； (2)若点与点关于点对称，求的轨迹； (3)设为坐标原点，是否存在过点的直线与第（2）问中的轨迹交于两点，且．若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)； (3)存在，或. 【分析】（1）设出点坐标，借助两点间距离公式计算化简即可得； （2）设出点坐标，则可得、坐标关系，结合（1）中的轨迹方程计算即可得； （3）分直线斜率存在与不存在，结合数量积公式与韦达定理讨论即可得. 【详解】（1）设点，由题意可得，即， 化简可得，则点的轨迹方程为； （2）设，由（1）得点满足的方程，又点是线段的中点， 则，即，则有， 化简得，即的轨迹为； （3）设、， 当直线斜率不存在时，， 联立，解得， 则，符合； 当直线斜率存在时，设， 联立，消去得， 则，， 则 ， 故，故，即； 综上所述：直线的方程为或.    1 学科网（北京）股份有限公司 $