专题03 函数的单调性重难点题型专训（12大题型+20道拓展培优）-2024-2025学年高一年级数学上册重难点专题提升精讲精练（苏教版2019必修第一册）

专题03 函数的单调性重难点题型专训（12大题型+20道拓展培优） 题型一 定义法判断或证明函数的单调性 题型二 求函数的单调区间 题型三 根据函数的单调性求参数值 题型四 利用函数单调性求最值或值域 题型五 根据函数的最值求参数 题型六 复合函数的单调性 题型七 根据函数的单调性解不等式 题型八 比较函数值的大小关系 题型九 根据图像判断函数单调性 题型十 根据解析式直接判断函数的单调性 题型十一 函数不等式恒成立问题 题型十二 函数不等式能成立(有解)问题 知识点一：函数的单调性 1、增函数、减函数的概念 一般地，设函数的定义域为，区间 如果对于内的任意两个自变量的值，当时，都有，那么就说在区间上是增函数． 如果对于内的任意两个自变量的值，当时，都有，那么就说在区间上是减函数． 知识点诠释： （1）属于定义域内某个区间上； （2）任意两个自变量且； （3）都有； （4）图象特征：在单调区间上增函数的图象从左向右是上升的，减函数的图象从左向右是下降的． 上升趋势下降趋势 2、单调性与单调区间 （1）单调区间的定义 如果函数在区间上是增函数或减函数，那么就说函数在区间上具有单调性，称为函数的单调区间． 函数的单调性是函数在某个区间上的性质． 知识点诠释： ①单调区间与定义域的关系----单调区间可以是整个定义域，也可以是定义域的真子集； ②单调性是通过函数值变化与自变量的变化方向是否一致来描述函数性质的； ③不能随意合并两个单调区间，单调区间之间可用“，”分开，不能用“∪”，可以用“和”来表示； ④有的函数不具有单调性； ⑤遵循最简原则，单调区间应尽可能大． 3、证明函数单调性的步骤 （1）取值．设是定义域内一个区间上的任意两个量，且； （2）变形．作差变形（变形方法：因式分解、配方、有理化等）或作商变形； （3）定号．判断差的正负或商与1的大小关系； （4）得出结论． 4、函数单调性的判断方法 （1）定义法：根据增函数、减函数的定义，按照“取值—变形—判断符号—下结论”进行判断． （2）图象法：就是画出函数的图象，根据图象的上升或下降趋势，判断函数的单调性． （3）直接法：就是对我们所熟悉的函数，如一次函数、二次函数、反比例函数等，直接写出它们的单调区间． （4）记住几条常用的结论 ①若是增函数，则为减函数；若是减函数，则为增函数； ②若和均为增（或减）函数，则在和的公共定义域上为增（或减）函数； ③若且为增函数，则函数为增函数，为减函数；若且为减函数，则函数为减函数，为增函数． 5、单调性定义的等价形式 （1）函数在区间上是增函数： 任取，且，； 任取，且，； 任取，且，； 任取，且，． （2）函数在区间上是减函数： 任取，且，； 任取，且，； 任取，且，； 任取，且，． 6、复合函数单调性的判断 讨论复合函数的单调性时要注意：既要把握复合过程，又要掌握基本函数的单调性．一般需要先求定义域，再把复杂的函数正确地分解为两个简单的初等函数的复合，然后分别判断它们的单调性，再用复合法则，复合法则如下： （1）若在所讨论的区间上都是增函数或都是减函数，则为增函数； （2）若在所讨论的区间上一个是增函数，另一个是减函数，则为减函数． 列表如下： 增 增 增 增 减 减 减 增 减 减 减 增 复合函数单调性可简记为“同增异减”，即内外函数的单性相同时递增；单性相异时递减． 因此判断复合函数的单调性可按下列步骤操作： （1）将复合函数分解成基本初等函数：，； （2）分别确定各个函数的定义域； （3）分别确定分解成的两个基本初等函数的单调区间． 若两个基本初等函数在对应的区间上的单调性是同增或同减，则为增函数；若为一增一减或一减一增，则为减函数． 知识点诠释： （1）单调区间必须在定义域内； （2）要确定内层函数的值域，否则就无法确定的单调性． （3）若，且在定义域上是增函数，则都是增函数． 7、利用函数单调性求函数最值时应先判断函数的单调性，再求最值．常用到下面的结论： （1）如果函数在区间上是增函数，在区间上是减函数，则函数在处有最大值． （2）如果函数在区间上是减函数，在区间上是增函数，则函数在处有最小值． 若函数在上是严格单调函数，则函数在上一定有最大、最小值． （3）若函数在区间上是单调递增函数，则的最大值是，最小值是． （4）若函数在区间上是单调递减函数，则的最大值是，最小值是． 8、利用函数单调性求参数的范围 若已知函数的单调性，求参数的取值范围问题，可利用函数单调性，先列出关于参数的不等式，利用下面的结论求解． （1）在上恒成立在上的最大值． （2）在上恒成立在上的最小值． 实际上将含参数问题转化成为恒成立问题，进而转化为求函数在其定义域上的最大值和最小值问题． 知识点二：基本初等函数的单调性 1、正比例函数 当时，函数在定义域R是增函数；当k<0时，函数在定义域R是减函数． 2、一次函数 当时，函数在定义域R是增函数；当k<0时，函数在定义域R是减函数． 3、反比例函数 当时，函数的单调递减区间是，不存在单调增区间； 当时，函数的单调递增区间是，不存在单调减区间． 4、二次函数 若，在区间，函数是减函数；在区间，函数是增函数； 若，在区间，函数是增函数；在区间，函数是减函数． 知识点三：函数的最大（小）值 1、最大值：对于函数，其定义域为，如果存在，，使得对于任意的，都有，那么，我们称是函数的最大值，即当时，是函数的最大值，记作． 2、最小值：对于函数，其定义域为，如果存在，，使得对于任意的，都有，那么，我们称是函数的最小值，即当时，是函数的最小值，记作． 3、几何意义：一般地，函数最大值对应图像中的最高点，最小值对应图像中的最低点，它们不一定只有一个． 【经典例题一 定义法判断或证明函数的单调性】 【例1】（2024·江苏苏州·模拟预测）已知定义在区间上，值域为的函数满足：①当时，；②对于定义域内任意的实数a、b均满足：．则（    ） A． B． C．函数在区间上单调递减 D．函数在区间上单调递增 1．（23-24高一上·北京·期中）下列函数中，在区间上是减函数的是（   ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·河南郑州·期中）函数在区间内的单调性是 . 3．（2024高一·全国·专题练习）已知定义域为R，对任意都有，且当时，.试判断的单调性，并证明； 【经典例题二 求函数的单调区间】 【例2】（22-23高一上·全国·课后作业）已知的图象如图所示，则该函数的单调增区间为（    ） A． B．和 C． D．和 1．（20-21高二下·陕西宝鸡·期末）函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 2．（2024高一·全国·专题练习）函数的单调区间为 3．（23-24高一·上海·课堂例题）根据下列函数的图像（包括端点），分别指出这两个函数的单调区间，以及在每一个单调区间上函数的单调性． 【经典例题三 根据函数的单调性求参数值】 【例3】（23-24高一上·河北邯郸·期末）已知函数在区间上单调递增，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 1．（23-24高一上·北京·期中）函数在区间上单调递增，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·云南曲靖·阶段练习）函数在区间上单调递增，则实数的取值范围为 . 2．（24-25高一上·上海·随堂练习）已知函数．若函数在区间是严格增函数，利用函数单调性的定义，求实数m的取值范围． 3．（2024高三·全国·专题练习）已知函数，.若，，使得，求实数a的取值范围. 【经典例题四 利用函数单调性求最值或值域】 【例4】（23-24高一上·吉林长春·期中）已知，则的最大值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 1．（23-24高一上·甘肃定西·阶段练习）函数在区间上的最大值、最小值分别是（     ） A．，4 B．无最大值，最小值为7 C．4，0 D．最大值为4，无最小值 2．（23-24高二下·江苏苏州·阶段练习）若定义在区间上的函数满足：对于任意的，都有，且时，有，若的最大值为，最小值为，则的值为 ． 3．（23-24高一上·浙江·阶段练习）已知函数，其中为常数. (1)当时，求函数的单调区间； (2)当时，存在2023个不同的实数，使得，求实数的取值范围. 【经典例题五 根据函数的最值求参数】 【例5】（20-21高一上·上海普陀·期中）若关于的不等式的解集为，则实数的范围是（    ） A． B． C． D． 1．（23-24高一上·北京·期中）已知函数，则“”是“函数在区间上存在最小值”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（23-24高一上·江苏镇江·阶段练习）若函数 在 的最大值为2，则 的取值范围是 . 3．（24-25高一上·全国·课前预习）观察下面三个函数图象，他们的图象有什么变化规律？ 【经典例题六 复合函数的单调性】 【例6】（2023高一·江苏·专题练习）已知函数的图象如图所示，则该函数的减区间为（    ）    A． B． C． D． 1．（21-22高一上·山东泰安·期中）设函数，则（    ） A．的最大值为 B．在上单调递增，在上单调递减 C．的最小值为 D．在上单调递增，在上单调递减 2．（20-21高一上·江苏南通·期中）函数的单调递增区间为 . 3．（24-25高一上·上海·课堂例题）求函数的单调区间． 【经典例题七 根据函数的单调性解不等式】 【例7】（2023高一·全国·课后作业）关于函数的单调性的说法，正确的是（    ） A．在定义域内是减函数 B．在上单调递减，在上单调递增 C．在上单调递减，在上单调递减 D．在上单调递增，在上单调递减 1．（20-21高三上·江苏连云港·阶段练习）已知函数，则该函数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·江苏南京·阶段练习）函数的单调递减区间是 . 3．（24-25高一上·全国·课堂例题）已知函数是定义在上的减函数，且，则实数x的取值范围． 【经典例题八 比较函数值的大小关系】 【例8】（23-24高一上·甘肃白银·期中）函数是定义在上的增函数，则满足的的取值范围是（    ） A． B． C． D． 1．（23-24高一上·江苏南京·阶段练习）函数是定义在上的增函数，则不等式的解集为（　　） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·宁夏银川·期中）函数的定义域为，且在定义域内是增函数，若，则的取值范围是 ． 3．（22-23高一·全国·随堂练习）已知函数在R上是减函数，，且．请确定与的大小关系，并给出证明． 【经典例题九 根据图像判断函数单调性】 【例9】（22-23高一上·上海静安·期中）函数为定义在上的单调增函数，若，则（    ） A． B． C． D． 1．（23-24高一上·河北邢台·阶段练习）已知，且在上单调递减，则，，的大小顺序是（    ） A． B． C． D． 2．（20-21高一·江苏·课后作业）根据如图所示的函数的图象填空： （1） ， ， ； （2）若，则与的大小关系是 . 3．（24-25高一上·全国·课后作业）试举出几个有关函数单调性的具体例子． 【经典例题十 根据解析式直接判断函数的单调性】 【例10】（22-23高一上·江苏镇江·期中）已知函数，下列结论正确的是（   ） A．函数的减区间 B．函数在上单调递减 C．函数在上单调递增 D．函数的增区间是 1．（2022高一上·全国·专题练习）下列四个函数在是增函数的为（　　） A． B． C． D． 2．（21-22高一上·江苏·期中）写出一个同时具有下列性质①②的函数f(x)= . ①对任意，都有;  ②f(1)=1 3．（2024高一上·江苏·专题练习）已如函数，若对任意都有成立， 求的取值范围. 【经典例题十一 函数不等式恒成立问题】 【例11】（23-24高一上·江苏连云港·期中）当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 1．（23-24高一上·江苏连云港·期中）当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【经典例题十二 函数不等式能成立(有解)问题】 【例12】（22-23高一上·江苏宿迁·期中）定义域为R的函数满足，任意的实数都成立，且值域为．设函数若对任意的，都存在，使成立，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 1．（2024高一上·江苏·专题练习）设函数，，若对任意的，存在，使得，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（22-23高一上·江苏苏州·阶段练习）已知在上有解，则实数的取值范围是 . 3．（2024高三·全国·专题练习）函数，．若，，使得，求实数a的取值范围. 1．（23-24高一下·全国·课堂例题）函数y＝的单调递增区间为（　　） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·吉林·阶段练习）如果函数在区间上单调递增.那么实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（2023高三上·广西·学业考试）在2小时内将某种药物注射进患者的血液中，在注射期间，血液中的药物含量呈线性增加；停止注射后，血液中药物含量呈指数衰减，能反映血液中药物含量Q随时间t变化的图象是（    ） A．  B．  C．   D．   4．（24-25高二上·四川南充·开学考试）定义在上的函数满足，且，有，且，，则不等式的解集为（    ）. A． B． C． D． 5．（2024·广东惠州·模拟预测）命题“对任意”为真命题的一个必要不充分条件是（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高一上·山东泰安·期中）下列说法中，正确的是（ ） A．若对任意，，，则在上单调递增 B．函数的递减区间是 C．函数在定义域上是增函数 D．函数的单调减区间是和 7．（2024高三·全国·专题练习）已知函数在上的最大值比最小值大，则的值可以是（ ） A．4 B．12 C． D． 8．（23-24高一上·广东茂名·期末）定义在上的函数满足，且，，则下列结论中正确的是（    ） A．不等式的解集为 B．不等式的解集为 C．不等式的解集为 D．不等式的解集为 9．（24-25高一上·广西钦州·开学考试）当时，函数值随的增大而增大，称函数为增函数.下列函数中，当时是增函数的有（    ） A． B． C． D． 10．（23-24高一上·江苏镇江·期末）已知，下列命题正确的是（    ） A．命题“，”的否定是“，使得成立” B．若命题“，恒成立”为真命题，则 C．“”是“方程有实数解”的充分不必要条件 D．若命题“，”为真命题，则 11．（24-25高二上·浙江·开学考试）已知函数，若对于，不等式恒成立，则正整数的最小值为 ． 12．（2024高一·全国·专题练习）设函数，其中.若对任意，恒有，则实数a的取值范围是 . 13．（24-25高一上·上海·随堂练习）函数的单调严格增区间为 ． 14．（24-25高一上·上海·课前预习）二次函数的单调性 （1）当时，在 上为严格减函数；在 上为严格增函数． （2）当时，在 上为严格减函数；在 上为严格增函数． 15．（25-26高一上·全国·单元测试）已知函数和，若在上恒成立，则 ， ． 16．（23-24高三上·安徽滁州·阶段练习）已知函数的定义域为R，且满． (1)若，求的值； (2)若时，，求的解析式，并直接写出的单调递减区间． 17．（2024高三·北京·专题练习）关于x的不等式的解集为，求实数a的取值范围． 18．（24-25高三上·甘肃兰州·开学考试）定义在上的函数满足：①，②，其中为任意正实数：③任意正实数满足时，恒成立． (1)求、； (2)试判断函数的单调性： (3)如果，试求的取值范围． 19．（23-24高三上·湖南衡阳·阶段练习）已知定义在上函数对任意正数都有，当时，，且 (1)求的值； (2)解关于的不等式：. 20．（2024高一上·江苏·专题练习）已知函数， (1)若，试用定义法证明：为单调递增函数； (2)若对任意的，都有，求实数的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 函数的单调性重难点题型专训（12大题型+20道拓展培优） 题型一 定义法判断或证明函数的单调性 题型二 求函数的单调区间 题型三 根据函数的单调性求参数值 题型四 利用函数单调性求最值或值域 题型五 根据函数的最值求参数 题型六 复合函数的单调性 题型七 根据函数的单调性解不等式 题型八 比较函数值的大小关系 题型九 根据图像判断函数单调性 题型十 根据解析式直接判断函数的单调性 题型十一 函数不等式恒成立问题 题型十二 函数不等式能成立(有解)问题 知识点一：函数的单调性 1、增函数、减函数的概念 一般地，设函数的定义域为，区间 如果对于内的任意两个自变量的值，当时，都有，那么就说在区间上是增函数． 如果对于内的任意两个自变量的值，当时，都有，那么就说在区间上是减函数． 知识点诠释： （1）属于定义域内某个区间上； （2）任意两个自变量且； （3）都有； （4）图象特征：在单调区间上增函数的图象从左向右是上升的，减函数的图象从左向右是下降的． 上升趋势下降趋势 2、单调性与单调区间 （1）单调区间的定义 如果函数在区间上是增函数或减函数，那么就说函数在区间上具有单调性，称为函数的单调区间． 函数的单调性是函数在某个区间上的性质． 知识点诠释： ①单调区间与定义域的关系----单调区间可以是整个定义域，也可以是定义域的真子集； ②单调性是通过函数值变化与自变量的变化方向是否一致来描述函数性质的； ③不能随意合并两个单调区间，单调区间之间可用“，”分开，不能用“∪”，可以用“和”来表示； ④有的函数不具有单调性； ⑤遵循最简原则，单调区间应尽可能大． 3、证明函数单调性的步骤 （1）取值．设是定义域内一个区间上的任意两个量，且； （2）变形．作差变形（变形方法：因式分解、配方、有理化等）或作商变形； （3）定号．判断差的正负或商与1的大小关系； （4）得出结论． 4、函数单调性的判断方法 （1）定义法：根据增函数、减函数的定义，按照“取值—变形—判断符号—下结论”进行判断． （2）图象法：就是画出函数的图象，根据图象的上升或下降趋势，判断函数的单调性． （3）直接法：就是对我们所熟悉的函数，如一次函数、二次函数、反比例函数等，直接写出它们的单调区间． （4）记住几条常用的结论 ①若是增函数，则为减函数；若是减函数，则为增函数； ②若和均为增（或减）函数，则在和的公共定义域上为增（或减）函数； ③若且为增函数，则函数为增函数，为减函数；若且为减函数，则函数为减函数，为增函数． 5、单调性定义的等价形式 （1）函数在区间上是增函数： 任取，且，； 任取，且，； 任取，且，； 任取，且，． （2）函数在区间上是减函数： 任取，且，； 任取，且，； 任取，且，； 任取，且，． 6、复合函数单调性的判断 讨论复合函数的单调性时要注意：既要把握复合过程，又要掌握基本函数的单调性．一般需要先求定义域，再把复杂的函数正确地分解为两个简单的初等函数的复合，然后分别判断它们的单调性，再用复合法则，复合法则如下： （1）若在所讨论的区间上都是增函数或都是减函数，则为增函数； （2）若在所讨论的区间上一个是增函数，另一个是减函数，则为减函数． 列表如下： 增 增 增 增 减 减 减 增 减 减 减 增 复合函数单调性可简记为“同增异减”，即内外函数的单性相同时递增；单性相异时递减． 因此判断复合函数的单调性可按下列步骤操作： （1）将复合函数分解成基本初等函数：，； （2）分别确定各个函数的定义域； （3）分别确定分解成的两个基本初等函数的单调区间． 若两个基本初等函数在对应的区间上的单调性是同增或同减，则为增函数；若为一增一减或一减一增，则为减函数． 知识点诠释： （1）单调区间必须在定义域内； （2）要确定内层函数的值域，否则就无法确定的单调性． （3）若，且在定义域上是增函数，则都是增函数． 7、利用函数单调性求函数最值时应先判断函数的单调性，再求最值．常用到下面的结论： （1）如果函数在区间上是增函数，在区间上是减函数，则函数在处有最大值． （2）如果函数在区间上是减函数，在区间上是增函数，则函数在处有最小值． 若函数在上是严格单调函数，则函数在上一定有最大、最小值． （3）若函数在区间上是单调递增函数，则的最大值是，最小值是． （4）若函数在区间上是单调递减函数，则的最大值是，最小值是． 8、利用函数单调性求参数的范围 若已知函数的单调性，求参数的取值范围问题，可利用函数单调性，先列出关于参数的不等式，利用下面的结论求解． （1）在上恒成立在上的最大值． （2）在上恒成立在上的最小值． 实际上将含参数问题转化成为恒成立问题，进而转化为求函数在其定义域上的最大值和最小值问题． 知识点二：基本初等函数的单调性 1、正比例函数 当时，函数在定义域R是增函数；当k<0时，函数在定义域R是减函数． 2、一次函数 当时，函数在定义域R是增函数；当k<0时，函数在定义域R是减函数． 3、反比例函数 当时，函数的单调递减区间是，不存在单调增区间； 当时，函数的单调递增区间是，不存在单调减区间． 4、二次函数 若，在区间，函数是减函数；在区间，函数是增函数； 若，在区间，函数是增函数；在区间，函数是减函数． 知识点三：函数的最大（小）值 1、最大值：对于函数，其定义域为，如果存在，，使得对于任意的，都有，那么，我们称是函数的最大值，即当时，是函数的最大值，记作． 2、最小值：对于函数，其定义域为，如果存在，，使得对于任意的，都有，那么，我们称是函数的最小值，即当时，是函数的最小值，记作． 3、几何意义：一般地，函数最大值对应图像中的最高点，最小值对应图像中的最低点，它们不一定只有一个． 【经典例题一 定义法判断或证明函数的单调性】 【例1】（2024·江苏苏州·模拟预测）已知定义在区间上，值域为的函数满足：①当时，；②对于定义域内任意的实数a、b均满足：．则（    ） A． B． C．函数在区间上单调递减 D．函数在区间上单调递增 【答案】D 【分析】赋值：令代入可得，令代入可得函数为奇函数，再根据函数单调性定义可以证明函数在的单调性. 【详解】对A，令，则， ，即， 故，所以A不正确； 对B，取代入：， 即，即在上为奇函数， 设， 所以，且， 故： 即：，故B错误； 对C，由B知函数在上单调递增，故C错误； 对D，由C结合函数为奇函数且， 所以在上单调递增，故D正确. 故选：D. 1．（23-24高一上·北京·期中）下列函数中，在区间上是减函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】用函数单调性定义可判断得结果. 【详解】选项A：任取，则， 又，所以，即，所以函数在为减函数，故A正确； 选项B：任取，则， 又，所以，即，所以函数在为增函数，故B错误； 选项C：任取，则， 又，所以，即，所以函数在为增函数，故C错误； 选项D：任取，则， 又，所以，即，所以函数在为增函数，故D错误； 故选：A. 2．（23-24高一上·河南郑州·期中）函数在区间内的单调性是 . 【答案】单调递减 【分析】化简函数解析式，用定义证明函数的单调性即可. 【详解】因为， ，且，则 ， 由，则， 于是， ，即， 所以在单调递减. 故答案为：单调递减. 3．（2024高一·全国·专题练习）已知定义域为R，对任意都有，且当时，.试判断的单调性，并证明； 【答案】在上单调递增，证明见解析 【分析】利用赋值法，结合函数的单调性定义即可证明. 【详解】函数在上单调递增，证明如下： 设，则，所以，即， 任取，且，则， 所以， 即，所以在上单调递增. 【经典例题二 求函数的单调区间】 【例2】（22-23高一上·全国·课后作业）已知的图象如图所示，则该函数的单调增区间为（    ） A． B．和 C． D．和 【答案】B 【分析】根据函数图象直接确定递增区间即可. 【详解】由图象知：该函数的单调增区间为和. 故选：B 1．（20-21高二下·陕西宝鸡·期末）函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出定义域，再利用二次函数单调性判断出结果. 【详解】函数的定义域需要满足，解得定义域为， 因为在上单调递增，所以在上单调递增， 故选：D. 2．（2024高一·全国·专题练习）函数的单调区间为 【答案】增区间为和，无单调递减区间， 【分析】分离常数，即可求解. 【详解】，所以的单调递增区间为和 故答案为：单调递增区间为和，无单调递减区间， 3．（23-24高一·上海·课堂例题）根据下列函数的图像（包括端点），分别指出这两个函数的单调区间，以及在每一个单调区间上函数的单调性． 【答案】答案见详解 【分析】根据图象结合单调性的定义分析求解. 【详解】对于图（1）可知：的单调区间为， 其中单调递减区间为，单调递增区间为； 对于图（2）可知：的单调区间为， 其中单调递增区间为，单调递减区间为. 【经典例题三 根据函数的单调性求参数值】 【例3】（23-24高一上·河北邯郸·期末）已知函数在区间上单调递增，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用换元法求出定义域后求解参数即可. 【详解】根据题意，设，则，因为在上单调递增， 所以在区间上单调递增，则有，解得， 故选：B． 1．（23-24高一上·北京·期中）函数在区间上单调递增，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分类讨论，根据一次函数、二次函数性质运算求解即可. 【详解】当时，在区间上单调递增，符合题意； 当时，因为函数的对称轴为， 若函数在区间上是增函数， 则或，所以或； 综上，，故实数的取值范围是. 故选：D 2．（23-24高一上·云南曲靖·阶段练习）函数在区间上单调递增，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】利用二次函数的单调性即可得出答案. 【详解】函数的图象的对称轴为， 因为函数在区间上单调递增， 所以，解得，所以的取值范围为. 故答案为： 2．（24-25高一上·上海·随堂练习）已知函数．若函数在区间是严格增函数，利用函数单调性的定义，求实数m的取值范围． 【答案】． 【分析】首先设且，再计算，得到，再求 取值范围. 【详解】任取且， 设则 ， 因为，，所以， 即． 因为，所以，所以． 3．（2024高三·全国·专题练习）已知函数，.若，，使得，求实数a的取值范围. 【答案】 【分析】根据存在性的定义、二次函数的对称性、一次函数的单调性，结合集合交集的性质、补集的思想进行求解即可. 【详解】因为，对称轴为， 当时，， 所以此时函数的值域为， 一次函数是实数集上的增函数， 所以当时，函数的值域为， 因为，，使得， 所以函数的值域与函数的值域的交集不是空集， 先求交集是空集情况或，所以或， 所以a的取范围是. 【经典例题四 利用函数单调性求最值或值域】 【例4】（23-24高一上·吉林长春·期中）已知，则的最大值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】化简函数解析式，根据函数的单调性求得正确答案. 【详解】设， 则， 在区间上单调递减；在区间上单调递增. ，所以最大值为. 故选：C 1．（23-24高一上·甘肃定西·阶段练习）函数在区间上的最大值、最小值分别是（     ） A．，4 B．无最大值，最小值为7 C．4，0 D．最大值为4，无最小值 【答案】D 【分析】将函数化为判断区间单调性，进而确定最值. 【详解】函数在上单调递减， 所以，在处取得最大值4，而取不到，则最小值取不到. 故选：D 2．（23-24高二下·江苏苏州·阶段练习）若定义在区间上的函数满足：对于任意的，都有，且时，有，若的最大值为，最小值为，则的值为 ． 【答案】4048 【分析】利用赋值法求得，再利用定义法得到的单调性，代入数值即可求解. 【详解】因为对于任意的，都有， 所以令，得， 再令，将代入可得， 设， 则，， 所以， 所以在上单调递增， 所以的最大值为，最小值为， 所以. 故答案为：4048 3．（23-24高一上·浙江·阶段练习）已知函数，其中为常数. (1)当时，求函数的单调区间； (2)当时，存在2023个不同的实数，使得，求实数的取值范围. 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）分区间讨论去掉绝对值符号，根据二次函数直接写出函数单调区间即可； （2）分类讨论，根据二次函数的单调性及函数最大值最小值的分析求解. 【详解】（1）， 可知开口向上，对称轴为， 且开口向上，对称轴为， 当，即时，的单调递增区间为； 当，即时，的单调递增区间为，单调递减区间为； 当，即时，的单调递增区间为，单调递减区间为. （2）， （i）当，即时，在上单调递增， 因为，所以， 则 ， 即，解得； （ⅱ）当，即时，在上单调递增， 因为， 由（i）可得，解得； （ⅲ）当，即时，则在内单调递增，在内单调递减， 则， 即，矛盾； （ⅳ）当，即时，不单调， 则， 即，矛盾. 综上所述，的取值范围是. 【点睛】关键点睛：本题的关键在于求 的最大值或利用放缩法求函数的最大值的上界，最大值只需满足不小于12，而最大值的上界小于12不符合题意即可得出参数的取值范围，结合二次函数及绝对值不等式的性质对需结合单调性分类讨论. 【经典例题五 根据函数的最值求参数】 【例5】（20-21高一上·上海普陀·期中）若关于的不等式的解集为，则实数的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】令，，由，画出的图象，结合图象得出实数的范围. 【详解】令，，则恒成立，即任意满足，作出的图象，由图可知. 故选：D    1．（23-24高一上·北京·期中）已知函数，则“”是“函数在区间上存在最小值”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】利用对勾函数性质求出的范围，然后利用充分条件、必要条件判断即可. 【详解】因为函数在区间上存在最小值，所以函数不单调，且为先减再增函数， 故，由对勾函数单调性知，在单调递减，在上单调递增，则， 所以，则反向成立； 若，则，根据对勾函数单调性知，在单调递减，在上单调递增，所以在时取得最小值，故正向成立， 所以“”是“函数在区间上存在最小值”的充分必要条件. 故选：C. 2．（23-24高一上·江苏镇江·阶段练习）若函数 在 的最大值为2，则 的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据必要性，最值的定义以及二次函数图象对称轴位置分类讨论即可解出． 【详解】设，，， 因为函数在 的最大值为2，， 所以，解得：， 当时，函数在上先递减再递增， 而， 所以，，且，即函数在 的最大值为2，符合题意； 当时，函数在上递减，所以， 而，所以函数在 的最大值为2，符合题意， 综上，． 故答案为： 3．（24-25高一上·全国·课前预习）观察下面三个函数图象，他们的图象有什么变化规律？ 【答案】答案见解析 【详解】函数的图象从左向右看是上升的； 函数的图象从左向右看在y轴左侧是下降的，在y轴右侧是上升的； 函数的图象从左向右看在y轴左侧是上升的，在y轴右侧是下降的． 【经典例题六 复合函数的单调性】 【例6】（2023高一·江苏·专题练习）已知函数的图象如图所示，则该函数的减区间为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由图象上升下降的情况判断即可. 【详解】函数的图象在区间和是下降的，在区间和是上升的， 故该函数的减区间为． 故选：C. 1．（21-22高一上·山东泰安·期中）设函数，则（    ） A．的最大值为 B．在上单调递增，在上单调递减 C．的最小值为 D．在上单调递增，在上单调递减 【答案】B 【分析】作出函数的图象，逐项判断. 【详解】函数的定义域为，其图象如下图所示： 由图象知： A. 无最大值，故错误； B. 在上单调递增，在上单调递减，故正确； C. 无最小值，故错误； D. 在上单调递减，在上单调递增，故错误； 故选：B 2．（20-21高一上·江苏南通·期中）函数的单调递增区间为 . 【答案】 【分析】将函数解析式转化为分段函数，再画出函数图象，数形结合即可判断； 【详解】解：因为，所以函数图象如下所示： 由函数图象可得函数的单调递增区间为 故答案为： 3．（24-25高一上·上海·课堂例题）求函数的单调区间． 【答案】单调减区间为，单调增区间为 【分析】首先求函数的定义域，再结合复合函数的单调性，判断函数的单调性. 【详解】令，则函数． ∵，即，得， 即函数的定义域为． ∵的对称轴为直线， ∴当时，为增函数，∴函数为减函数， ∴函数的单调减区间为； 当时，为减函数，∴函数为增函数， ∴函数的单调增区间为． 【经典例题七 根据函数的单调性解不等式】 【例7】（2023高一·全国·课后作业）关于函数的单调性的说法，正确的是（    ） A．在定义域内是减函数 B．在上单调递减，在上单调递增 C．在上单调递减，在上单调递减 D．在上单调递增，在上单调递减 【答案】C 【分析】由复合函数的单调性的结论即可判断. 【详解】函数的定义域为， 函数是由函数和复合而成， 而函数在和上单调递增， 在和上单调递减， 由复合函数的单调性可知，函数在上单调递减，在上单调递减. 故选：C 1．（20-21高三上·江苏连云港·阶段练习）已知函数，则该函数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出的定义域，结合复合函数的单调性求解即可 【详解】由，解得或，所以函数的定义域为 可看作是由，复合而成的， 的单调递增区间为， 在上单调递增， 由复合函数的单调性的判定知， 函数的单调递减区间为 故选：D 2．（23-24高一上·江苏南京·阶段练习）函数的单调递减区间是 . 【答案】（开闭区间均可） 【分析】求出函数的定义域，再结合复合函数单调性可得． 【详解】由得，又在上递减，在上是增函数， 所以的减区间是， 故答案为：（写成开区间也正确）． 3．（24-25高一上·全国·课堂例题）已知函数是定义在上的减函数，且，则实数x的取值范围． 【答案】 【分析】根据函数的单调性，即可列不等式求解. 【详解】由题意可知， 解得， ∴x的取值范围为， 【经典例题八 比较函数值的大小关系】 【例8】（23-24高一上·甘肃白银·期中）函数是定义在上的增函数，则满足的的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数的单调性，可得关于x的不等式，即可求得答案. 【详解】由题意知函数是定义在上的增函数， 则由，得， 解得，即， 故选：D 1．（23-24高一上·江苏南京·阶段练习）函数是定义在上的增函数，则不等式的解集为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据定义域以及单调性列出关于的不等式组，由此求解出解集. 【详解】函数是定义在上的增函数， 有，解得， 不等式的解集为， 故选：A． 2．（23-24高一上·宁夏银川·期中）函数的定义域为，且在定义域内是增函数，若，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据函数的单调性逆用解抽象不等式. 【详解】由得， 因为函数的定义域为，且在定义域内是增函数， 所以，解得， 所以的取值范围是. 故答案为：. 3．（22-23高一·全国·随堂练习）已知函数在R上是减函数，，且．请确定与的大小关系，并给出证明． 【答案】，证明过程见解析 【分析】根据函数单调性得到和，相加后得到答案. 【详解】，证明如下： 因为，所以， 因为在R上是减函数，所以， 同理可得，故， 两式相加得 【经典例题九 根据图像判断函数单调性】 【例9】（22-23高一上·上海静安·期中）函数为定义在上的单调增函数，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，由函数单调性的定义和性质依次分析选项，综合可得答案. 【详解】函数为定义在上的单调增函数， 当时，，故错误； 当时，，故错误； 当时，，故正确； 当时，，故错误； 故选：C． 1．（23-24高一上·河北邢台·阶段练习）已知，且在上单调递减，则，，的大小顺序是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据得到，，然后根据单调性比较大小即可. 【详解】因为，所以，， 因为在上单调递减，所以. 故选：A. 2．（20-21高一·江苏·课后作业）根据如图所示的函数的图象填空： （1） ， ， ； （2）若，则与的大小关系是 . 【答案】 【分析】直接由图象即可得、、的值，利用利用单调性即可比较大小. 【详解】由图知，，， 由图知在上单调递增， 所以当，所以， 故答案为：；；；. 3．（24-25高一上·全国·课后作业）试举出几个有关函数单调性的具体例子． 【答案】答案见解析（答案不唯一） 【分析】对几个常见函数的单调性进行说明即可. 【详解】①一次函数，随着的增大，随之增大，则其是定义在上的增函数； ②二次函数是开口方向向上，对称轴为的二次函数， 则其在上单调递减，在上单调递增； ③反比例函数，当时，随着的增大，随之减小；当时，随着的增大，随之减小； 在和上均单调递减. 【经典例题十 根据解析式直接判断函数的单调性】 【例10】（22-23高一上·江苏镇江·期中）已知函数，下列结论正确的是（   ） A．函数的减区间 B．函数在上单调递减 C．函数在上单调递增 D．函数的增区间是 【答案】C 【分析】利用图象的变换知识作出的图象，可得单调区间，进而可得答案. 【详解】由，作出函数的图象， 利用图象的变换可得，如图所示： 所以函数在和上单调递减，在和上单调递增. 故选：C. 1．（2022高一上·全国·专题练习）下列四个函数在是增函数的为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据各个函数的性质逐个判断即可 【详解】对A，二次函数开口向上，对称轴为轴，在是减函数，故A不对． 对B，为一次函数，，在是减函数，故B不对． 对C，，二次函数，开口向下，对称轴为，在是增函数，故C不对． 对D，为反比例类型，，在是增函数，故D对． 故选：D 2．（21-22高一上·江苏·期中）写出一个同时具有下列性质①②的函数f(x)= . ①对任意，都有;  ②f(1)=1 【答案】答案不唯一. 【分析】利用函数的单调性和函数直判断. 【详解】因为对任意，都有， 所以函数是减函数， 又 f(1)=1， 故函数为：答案不唯一. 3．（2024高一上·江苏·专题练习）已如函数，若对任意都有成立， 求的取值范围. 【答案】 【分析】结合二次函数的性质可得，解出即可得. 【详解】函数开口向上， 故对任意都有成立， 只需满足， 解得. 【经典例题十一 函数不等式恒成立问题】 【例11】（23-24高一上·江苏连云港·期中）当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，结合函数在上为单调性，求得其最小值，即可求解. 【详解】由题意，当时，不等式恒成立， 因为函数在上为单调递增函数， 所以，当时，，所以， 即实数的取值范围是. 故选：D. 1．（23-24高一上·江苏连云港·期中）当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，结合函数在上为单调性，求得其最小值，即可求解. 【详解】由题意，当时，不等式恒成立， 因为函数在上为单调递增函数， 所以，当时，，所以， 即实数的取值范围是. 故选：D. 【经典例题十二 函数不等式能成立(有解)问题】 【例12】（22-23高一上·江苏宿迁·期中）定义域为R的函数满足，任意的实数都成立，且值域为．设函数若对任意的，都存在，使成立，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数的奇偶性和值域可得，作出函数的函数图象，结合当时及时函数的图象要位于的下方，得到，即可求解. 【详解】由， 得，解得或， 因为为偶函数，且值域为， 所以； 由，在一个平面直角坐标系中画出两者的函数图象，如图， 要想满足任意的，存在，使得成立， 则当时，，解得， 且时，函数的图象要位于函数图象的下方， 故只需，解得. 综上，实数m的取值范围为. 故选：A. 1．（2024高一上·江苏·专题练习）设函数，，若对任意的，存在，使得，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意可得函数的值域的值域为函数的值域的子集，计算出函数的值域后，分、及计算出函数的值域，再借助子集定义计算即可得. 【详解】由题意可得函数的值域的值域为函数的值域的子集， 当时，，即的值域为， 若，则，即的值域为，而，符合要求； 若，则由一次函数的性质可得， 则有，解得，又，故； 若，则由一次函数的性质可得， 则有，解得，又，故； 综上所述，. 故选：B. 2．（22-23高一上·江苏苏州·阶段练习）已知在上有解，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】先求出的范围，再根据题意可得大于其最小值，从而可求得结果. 【详解】因为，所以， 所以有解，即， 所以实数的取值范围是， 故答案为： 3．（2024高三·全国·专题练习）函数，．若，，使得，求实数a的取值范围. 【答案】 【分析】根据存在性的定义、二次函数的对称性、一次函数的单调性进行求解即可. 【详解】因为，对称轴为， 当时，， 所以此函数的值域为， 一次函数是实数集上的增函数， 所以当时，函数的值域为， 因为，，使得，所以，所以，所以a的取值范围是. 1．（23-24高一下·全国·课堂例题）函数y＝的单调递增区间为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由反比例函数的性质即可求解. 【详解】由反比例函数的性质可得函数的单调递增区间为. 其中C项中，单调区间是不能用“”的． 故选：D. 2．（23-24高一上·吉林·阶段练习）如果函数在区间上单调递增.那么实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据二次函数的开口方向和对称轴得到不等式，求出答案. 【详解】开口向上，对称轴为， 要想函数在区间上单调递增，则需，解得， 故实数的取值范围是 故选：A 3．（2023高三上·广西·学业考试）在2小时内将某种药物注射进患者的血液中，在注射期间，血液中的药物含量呈线性增加；停止注射后，血液中药物含量呈指数衰减，能反映血液中药物含量Q随时间t变化的图象是（    ） A．  B．  C．   D．   【答案】C 【分析】根据题意结合单调性判断. 【详解】根据题意函数先递增再递减，进而判断C选项符合题意. 故选：C. 4．（24-25高二上·四川南充·开学考试）定义在上的函数满足，且，有，且，，则不等式的解集为（    ）. A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据以及求出，再根据函数的单调性以及定义域即可求解. 【详解】解： ， 即， ， ，可转化为：， 即， 即， 满足，且，有， 在上单调递增， 即 ， 解得：， 即不等式的解集为：. 故选：C. 5．（2024·广东惠州·模拟预测）命题“对任意”为真命题的一个必要不充分条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先利用恒成立求出参数范围，然后利用必要不充分性的定义求解即可. 【详解】，即， 故任意，即， 故“对任意”为真命题的一个必要不充分条件是. 故选：B 6．（23-24高一上·山东泰安·期中）下列说法中，正确的是（ ） A．若对任意，，，则在上单调递增 B．函数的递减区间是 C．函数在定义域上是增函数 D．函数的单调减区间是和 【答案】ABD 【分析】根据函数的单调性定义判断A，利用函数图象判断B，由反比例函数性质判断CD． 【详解】对于A：若对任意，，，显然， 当时，则有；当时，则有； 由函数单调性的定义可知在上是增函数，故A正确． 对于B：作出函数的图象，如图所示， 由图象可知：函数的递减区间是，故B正确； 对于C：由反比例函数单调性可知，在和上单调递增，故C错误； 对于D：由反比例函数单调性可知，单调减区间是和，故D正确． 故选：ABD． 7．（2024高三·全国·专题练习）已知函数在上的最大值比最小值大，则的值可以是（ ） A．4 B．12 C． D． 【答案】AD 【分析】根据对勾函数的单调性，对进行分类讨论，从而得到的可能取值. 【详解】依题意可得在上单调递减，在上单调递增， 当，即时在上单调递增，所以， ， 所以，解得； 当，即时，在上单调递减，所以， ， 所以，解得，不符合题意，故舍去； 当，即时在上单调递减，在上单调递增， 所以，， 若且，即，， 所以，解得或，两个解均舍去； 若且，即，， 所以，解得或（舍去）； 综上可得或. 故选：AD 8．（23-24高一上·广东茂名·期末）定义在上的函数满足，且，，则下列结论中正确的是（    ） A．不等式的解集为 B．不等式的解集为 C．不等式的解集为 D．不等式的解集为 【答案】BC 【分析】先得到的单调性，AB选项，变形得到，故，根据函数单调性得到不等式，求出解集；CD选项，由得，故，根据函数单调性得到不等式，求出解集. 【详解】，不妨设，故， 即，令，则， 故在上单调递减， AB选项，，不等式两边同除以得：， 因为，所以，即， 根据在上单调递减，故，综上：，A错误，B正确； CD选项，由得， 因为，所以，即， 因为在上单调递减，所以，C正确，D错误 故选：BC 9．（24-25高一上·广西钦州·开学考试）当时，函数值随的增大而增大，称函数为增函数.下列函数中，当时是增函数的有（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】根据题意，由一次函数与反比例函数的增减性，逐一判断，即可得到结果. 【详解】，一次函数，，函数值随的增大而减小，故A错误； ，一次函数，，函数值随的增大而增大，故B正确； ，反比例函数，，在二四象限内，函数值随的增大而增大， 将函数图像向左平移1个单位长度可得， 则当，的函数值随的增大而增大，故C正确； ，反比例函数，，在一三象限内，函数值随的增大而减小，故D错误； 故选：BC 10．（23-24高一上·江苏镇江·期末）已知，下列命题正确的是（    ） A．命题“，”的否定是“，使得成立” B．若命题“，恒成立”为真命题，则 C．“”是“方程有实数解”的充分不必要条件 D．若命题“，”为真命题，则 【答案】BCD 【分析】对于A：根据全称命题的否定是特称命题分析判断；对于B：根据恒成立问题结合二次函数分析求解；对于C：根据二次方程的根的判别式结合充分、必要条件分析判断；对于D：根据存在性问题结合二次函数的性质分析求解. 【详解】对于选项A：命题“，”的否定是“，使得成立”，故A错误； 对于选项B：若命题“，恒成立”为真命题， 注意到的图象开口向上，则，解得，故B正确； 对于选项C：若，则，可知方程有实数解，即充分性成立； 例如，方程有实数解，不满足，即必要性不成立， 所以“”是“方程有实数解”的充分不必要条件，故C正确； 对于选项D：若命题“，”为真命题， 注意到的图象开口向上，对称轴为， 则，解得，故D正确； 故选：BCD. 11．（24-25高二上·浙江·开学考试）已知函数，若对于，不等式恒成立，则正整数的最小值为 ． 【答案】3037 【分析】先利用定义判定函数在上的单调递增，得到当时，；并利用分子实数化变形和不等式放缩得到时，，进而得到的取值范围是，然后利用不等式恒成立的意义得到，从而求得的取值范围，得到的最小值. 【详解】设，则 ， 又∵， 同理， ∴， ∴，即， ∴在上单调递增， 又∵，∴当时，； 又∵时， ，∴时，， 且当趋近于时，无限趋近于， ∵，∴的取值范围是， 为使不等式恒成立，必须且只需， ∴，∴正整数的最小值为3037， 故答案为：3037. 【点睛】难点点睛：本题难点在于利用分子有理化方法进行恒等变形，并利用放缩法得到有关不等关系，进而证明函数的单调性和求得函数的值域. 12．（2024高一·全国·专题练习）设函数，其中.若对任意，恒有，则实数a的取值范围是 . 【答案】 【分析】分类讨论的取值范围，去掉绝对值后将问题转化为求二次函数最小值问题，结合二次函数的性质，得到关于的不等式，求解即得. 【详解】因为，对任意，恒有， 当时，，显然恒有，满足题意； 当时，， 此时， ①当，即时，， 由可得，，故； ②当，即时，在上单调递减， 所以，解得，故； 综合①②知，当时，恒有； 当时，， ①若，则， 因，故在上单调递增， 则，解得，故； ②若，则， 因，故在上单调递增， 则，显然成立，故； 综合①②知，当时，恒有； 当时，， 此时， 因为，所以在上单调递增， 所以，解得，故； 综上可得，，即实数a的取值范围为. 故答案为： 13．（24-25高一上·上海·随堂练习）函数的单调严格增区间为 ． 【答案】和 【分析】首先去绝对值，画出函数的图象，由图象判断函数的增区间. 【详解】， 由图像知，    该函数的单调增区间为和． 故答案为：和 14．（24-25高一上·上海·课前预习）二次函数的单调性 （1）当时，在 上为严格减函数；在 上为严格增函数． （2）当时，在 上为严格减函数；在 上为严格增函数． 【答案】 【分析】根据二次函数的单调性即可求解. 【详解】二次函数的单调性指的是在某一区间内函数随的变化而变化的情况，具体解析如下： 二次函数 当时，是这个函数的单调减区间，是它的单调增区间，“左降右升”，此时函数有最小值可理解为“落入低谷”； 当时是这个函数的单调增区间，是它的单调减区间，“左升右降”，此时函数有最大值可理解为“到达顶峰”. 故答案为：；；；. 15．（25-26高一上·全国·单元测试）已知函数和，若在上恒成立，则 ， ． 【答案】 -1 0 【分析】分别令、，结合平方数的非负性可依次求得的值. 【详解】当时，． 当时，． 当时，时， ， 故满足题意. 故答案为：-1，0. 16．（23-24高三上·安徽滁州·阶段练习）已知函数的定义域为R，且满． (1)若，求的值； (2)若时，，求的解析式，并直接写出的单调递减区间． 【答案】(1) (2)；单调递减区间为， 【分析】（1）由及即可直接求出解析式； （2）令得，再由的解析式及即可求得当时的解析式，则的解析式可得，结合分段函数的性质即可得单调递减区间. 【详解】（1）因为 所以， 所以， 故， 所以． （2）中，令得，， 当时，，， 因为， 所以， 所以 则的单调递减区间为，． 17．（2024高三·北京·专题练习）关于x的不等式的解集为，求实数a的取值范围． 【答案】 【分析】设函数，根据分段函数的性质，求得的最小值，结合题意，即可求解. 【详解】设函数， 当时，可得；当时，可得； 当时，可得，所以函数的最小值为， 若关于x的不等式的解集为，则， 即实数的取值范围为. 18．（24-25高三上·甘肃兰州·开学考试）定义在上的函数满足：①，②，其中为任意正实数：③任意正实数满足时，恒成立． (1)求、； (2)试判断函数的单调性： (3)如果，试求的取值范围． 【答案】(1)；； (2)在上单调递增 (3) 【分析】（1）利用赋值法可求； （2）由已知可得，设；可得，结合单调性的定义可得结论； （3）由已知可得，结合单调性求解即可. 【详解】（1）取得，； ；； （2）令，可得， 设，则，所以，即， 在上单调递增； （3）根据满足的条件②及，由得，； 根据为增函数得：； 再由的定义域，便得到不等式组； 解得，的取值范围为． 19．（23-24高三上·湖南衡阳·阶段练习）已知定义在上函数对任意正数都有，当时，，且 (1)求的值； (2)解关于的不等式：. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）通过赋值即可求解； （2）先确定函数单调性，再将不等式化为的形式，然后利用单调性求解即可． 【详解】（1），所以，解得 （2）任取，且，则 因为，所以，则， 所以在上是增函数，因为 所以 即   所以，解得 20．（2024高一上·江苏·专题练习）已知函数， (1)若，试用定义法证明：为单调递增函数； (2)若对任意的，都有，求实数的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2)． 【分析】（1）根据函数单调性的定义，分区间讨论即可得证； （2）由二次不等式的恒成立，列出不等式式组得解. 【详解】（1）证明：当时，， 当时， ， 由于，则，，， 则，，即； 当时，， 由于，则，则， ，即； 当时，， 由于，则， ，即； 综上，为单调递增函数； （2）①当时，恒成立，即恒成立， 或，解得； ②当时，恒成立，即恒成立，即在上恒成立，则； 综上，实数的取值范围为． 学科网（北京）股份有限公司 $$