专题02 函数的表示方法重难点题型专训（16大题型+20道拓展培优）-2024-2025学年高一年级数学上册重难点专题提升精讲精练（苏教版2019必修第一册）

专题02 函数的表示方法重难点题型专训（16大题型+20道拓展培优） 题型一 已知函数类型求解析式 题型二 已知f(g(x))求解析式 题型三 求抽象函数的解析式 题型四 解析法表示函数 题型五 图象法表示函数 题型六 列表法表示函数 题型七 求分段函数解析式或求函数的值 题型八 分段函数的定义域 题型九 分段函数的性质及应用 题型十 己知分段函数的值求参数或自变量 题型十一 求解析式中的参数值 题型十二 根据分段函数的单调性求参数 题型十三 解分段函数不等式 题型十四 分段函数的单调性 题型十五 分段函数的值域或最值 题型十六 函数方程组法求解析式 知识点一：函数的表示法 1、函数的三种表示方法： 解析法：用数学表达式表示两个变量之间的对应关系．优点：简明，给自变量求函数值． 图象法：用图象表示两个变量之间的对应关系． 优点：直观形象，反应变化趋势． 列表法：列出表格来表示两个变量之间的对应关系． 优点：不需计算就可看出函数值． 2、分段函数： 分段函数的解析式不能写成几个不同的方程，而应写函数几种不同的表达式并用个左大括号括起来，并分别注明各部分的自变量的取值情况． 【方法技巧与总结】 函数解析式的求解策略有： （1）直接法：已知的解析式，求的解析式类型，直接将整体代入中的； （2）待定系数法：即由已知函数类型设出函数解析式（通常是一次函数和二次函数类型），再根据条件列方程（或方程组），通过解方程（或方程组）求出待定系数，进而得出函数的解析式； （3）换元法（或者叫配凑法）：已知抽象函数的解析式求的解析式，这个方法可以看成代入法的逆向思维，即令，反解出，然后代入中得到，进而得到的解析式； （4）解方程组法：该方法是针对含有关于两个不同变量的函数，而这两种变量存在某种特定的关系，在中学阶段这种关系通常是互为相反数或者互为倒数，然后“互换”两个变量建立一个新的关于这两个变量的关系，通过解方程组消去一个变量，从而得到只含一个的解析式，最后可以得到的解析式； （5）赋值法：赋值法是很常用的处理抽象函数之间的一种方法，对涉及任意量词（含，）题目，要特别注意可以通过赋特殊的值，求出特殊的值对应函数值，进而求出函数的解析式． 【经典例题一 已知函数类型求解析式】 【例1】（22-23高三·全国·对口高考）若二次函数满足，且，则的表达式为（    ） A． B． C． D． 1．（23-24高一上·云南·期中）若函数，则（    ） A． B． C． D． 2．（22-23高一上·江苏宿迁·期中）写出一个的二次函数的解析式 ． 3．（2024高三·北京·专题练习）如果为二次函数，，并且当时，取得最小值，求的解析式. 【经典例题二 已知f(g(x))求解析式】 【例2】（23-24高一上·江苏徐州·阶段练习）已知，则的解析式是（   ）. A． B． C． D． 1．（24-25高一上·上海·随堂练习）若函数，则（    ）． A． B． C． D． 2．（23-24高三下·江苏南京·强基计划）满足的非零有理系数多项式的最低次数为 . 3．（23-24高一下·全国·课堂例题）函数满足， 求函数的解析式; 【经典例题三 求抽象函数的解析式】 【例3】（2024高三下·全国·专题练习）已知是定义在上的函数，以下说法中正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 1．（22-23高三上·山东·阶段练习）设为常数，，，则（    ） A． B． C．满足条件的不止一个 D．恒成立 2．（23-24高三上·江苏扬州·开学考试）写出满足的函数的解析式 ． 3．（2023高一·全国·专题练习）已知函数满足：对一切实数、，均有成立，且.求函数的表达式. 【经典例题四 解析法表示函数】 【例4】（24-25高三上·江苏南通·开学考试）已知函数，则（   ） A． B． C． D． 1．（23-24高一上·山西·期中）如图，四边形是矩形，是等腰直角三角形．点从点出发，沿着边运动到点，点在边上运动，直线．设点运动的路程为的左侧部分的多边形的周长（含线段的长度）为．当点在线段上运动时，的解析式为（    ）    A． B． C． D． 2．（23-24高一下·全国·随堂练习）任何一个函数都有三种表示法. 3．（23-24高一·全国·课堂例题）任何一个函数都可以用解析法表示吗？ 【经典例题五 图象法表示函数】 【例5】（23-24高二下·四川绵阳·期中）小明骑车上学，开始时匀速行驶，中途因车流量大而减速行驶，后为了赶时间加速行驶，与以上事件吻合得最好的图象是（    ） A． B． C． D． 1．（23-24高一上·吉林长春·期中）俗话说，“一分耕耘，一分收获”．那么，在实际生活中，如果把收获看成付出的函数，它们之间的关系可以怎样描述呢？情境甲：当以匀速的方式驾驶汽车时，行驶的里程与所用的时间之间的关系；情境乙：家长过分宠爱孩子，有时还有可能付出增加会导致收获减少；情境丙：在我们学习新的知识时，可能一开始效率会比较高，单位时间的付出得到的收获会比较大，但随着付出的时间越来越多，单位时间的付出得到的收获会变少．请问依次与下面三个图象所表示的收获与付出的关系相对应的情境正确的一项是（   ）    A．甲、乙、丙 B．丙、甲、乙 C．甲、丙、乙 D．乙、丙、甲 2．（23-24高一上·甘肃武威·期中）函数的图象如图所示，函数的值域为 ．    3．（24-25高一上·全国·课前预习）除了我们所熟悉“列表、描点、连线”作图，还有哪些作图的方法？ 【经典例题六 列表法表示函数】 【例6】（23-24高一上·广东惠州·期末）已知定义在上的函数表示为: x 0 y 1 0 2 设，的值域为M，则（    ） A． B． C． D． 1．（23-24高一上·黑龙江哈尔滨·期中）中国清朝数学家李善兰在859年翻译《代数学》中首次将“function”译做“函数”，沿用至今，为什么这么翻译，书中解释说“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”，这个解释说明了函数的内涵：只要有一个法则，使得取值范围中的每一个值x，有一个确定的y和它对应就行了，不管这个对应的法则是公式、图象、表格还是其它形式，函数由下表给出，则的值为（    ） 1 2 3 A．1 B．2 C．3 D．4 2．（22-23高一上·江苏镇江·期中）已知函数分别由下表给出 4 5 6 2 3 2 1 2 3 5 4 2 则 ， ． 3．（24-25高一上·全国·课前预习）什么是表示函数的方法呢？ 【经典例题七 求分段函数解析式或求函数的值】 【例7】（2024高二下·安徽·学业考试）已知函数，则（    ） A． B．1 C．2 D．3 1．（24-25高一上·全国·课后作业）设函数，则等于（    ） A． B．3 C． D． 2．（2024·四川达州·二模）已知，则 . 3．（23-24高一·上海·课堂例题）已知函数的表达式为求，及，其中a为实数． 【经典例题八 分段函数的定义域】 【例8】（23-24高一上·山西太原·阶段练习）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 1．（21-22高一上·上海奉贤·阶段练习）下面各组函数中表示相同函数的是（    ） A．， B．， C．， D．， 2．（19-20高一·全国·课后作业）函数的定义域是 . 3．（23-24高一·全国·课堂例题）分段函数的定义域部分可以相交吗？ 【经典例题九 分段函数的性质及应用】 【例9】（23-24高一下·四川泸州·期末）已知函数，若方程有4个不同的根，且，则的值为（    ） A．3 B．0 C．2 D．6 1．（23-24高一上·云南昆明·期中）已知，其中，若，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．（22-23高一上·上海宝山·期末）德国数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其命名函数，该函数被称为狄利克雷函数．若存在三个点、、，使得为等边三角形，则 ． 3．（23-24高一·全国·课堂例题）分段函数各段上的对应关系不同，那么分段函数是由几个函数构成的呢？ 【经典例题十 己知分段函数的值求参数或自变量】 【例10】（23-24高一上·安徽淮北·期中）设，则（    ） A． B． C．1 D． 1．（23-24高二下·福建龙岩·阶段练习）设函数，若，则实数a的值为（    ） A．或 B．或4 C．或 D．或4 2．（23-24高一上·上海长宁·期末）已知，若，则 . 3．（23-24高一上·湖南长沙·期中）已知函数，其中，. (1)求函数的解析式； (2)已知方程的解集. 【经典例题十一 求解析式中的参数值】 【例11】（2024·四川德阳·三模）已知，且，则（    ） A．3 B． C．1 D． 1．（22-23高一上·北京丰台·期中）在新冠肺炎疫情防控中，核酸检测是新冠肺炎确诊的有效快捷手段．某医院在成为新冠肺炎核酸检测定点医院并开展检测工作的第n天，每个检测对象从接受检测到检测报告生成平均耗时（单位：小时）大致服从的关系为（为常数）．已知第9天检测过程平均耗时为16小时，第36天和第40天检测过程平均耗时均为8小时，那么第25天检测过程平均耗时大致为（    ） A．8小时 B．9.6小时 C．11.5小时 D．12小时 2．（23-24高一上·甘肃天水·开学考试）若反比例函数的图象经过点，则一次函数的图象不经过第 象限. 3．（21-22高一上·广西·阶段练习）已知函数（、，且），，且方程有且仅有一个实数解．求函数的解析式． 【经典例题十二 根据分段函数的单调性求参数】 【例12】（23-24高一上·甘肃陇南·阶段练习）若函数在上是增函数，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 1．（22-23高一上·贵州六盘水·期末）已知函数是上的增函数，则实数k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（2024·天津·二模）已知函数若，，且，使得成立，则实数的取值范围是 ． 3．（21-22高一·全国·课前预习）已知函数是上的增函数，求的取值范围. 【经典例题十三 解分段函数不等式】 【例13】20-21高一·河南·阶段练习）已知函数若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 1．（22-23高一上·全国·课后作业）已知,则使成立的的取值范围是（　  ） A． B． C． D． 2．（24-25高一·上海·课堂例题）已知函数，若，则的取值范围是 ． 3．（23-24高一上·河南濮阳·阶段练习）已知函数. (1)画出函数的图象； (2)当时，求实数的取值范围， 【经典例题十四 分段函数的单调性】 【例14】（20-21高三上·安徽安庆·阶段练习）已知函数是R上的减函数，那么实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 1．（23-24高一上·福建福州·期中）函数是R上的减函数，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（2021·广东·模拟预测）若a＞0且a≠1，且函数在R上单调递增，那么a的取值范围是 ． 3．（22-23高一上·浙江台州·阶段练习）已知函数， (1)将写成分段函数的形式，并作出函数的图象，并写出其单调区间及单调性(不用证明)； (2)写出不等式时x的解集. 【经典例题十五 分段函数的值域或最值】 【例15】（23-24高一上·云南大理·期末）已知，，则函数的值域为（    ） A． B． C． D． 1．（22-23高一上·云南保山·期中）函数的值域是（    ） A． B． C． D． 2．（2024高一下·四川宜宾·竞赛）定义为中的最大值，设，则的最小值为 . 3．（23-24高一·全国·课堂例题）若分段函数各段上的对应关系不同，则该分段函数可以看成是由几个函数构成的吗？ 【经典例题十六 函数方程组法求解析式】 【例16】（23-24高一上·江苏盐城·阶段练习）函数满足，则函数（    ） A． B． C． D． 1．（23-24高一上·全国·课后作业）函数满足，则函数（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·全国·课后作业）设是定义在上的函数，已知满足，则的解析式为 ． 3．（23-24高一下·全国·课堂例题）函数满足，求函数的解析式. 1．（23-24高三上·上海闵行·期中）定义在区间上的函数满足：①；②当时，，则集合中的最小元素是（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 2．（23-24高一下·贵州毕节·期末）已知函数，若，则的值为（    ） A． B．或2 C．或2 D．或 3．（2024高三·全国·专题练习），若是的最小值，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高二下·北京昌平·期末），，则的递减区间（    ） A． B． C． D． 5．（2022·全国·模拟预测）已知函数满足，则的值为（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高一上·山西·期中）已知一次函数满足，则的解析式可能为（    ） A． B． C． D． 7．（2024高二下·全国·专题练习）下列所给函数为复合函数的是（   ） A． B． C． D． 8．（23-24高一上·四川乐山·期中）已知函数则下列说法中，正确的有（    ） A．若，则方程有实数根 B．若，则方程有2个实数根 C．若方程有3个不同实数根，则 D．若方程有4个不同实数根，则 9．（23-24高一上·贵州铜仁·期中）若函数在R上单调递增，则实数a的值可以为（    ） A． B． C． D． 10．（23-24高二下·宁夏银川·期末）函数，被称为狄利克雷函数，则下列结论成立的是（    ） A．若，则 B． C．若，则 D．函数的值域为 11．（2024高三·北京·专题练习）已知是二次函数，且，，则 ． 12．（23-24高一下·全国·课前预习）函数的表示方法 函数的三种表示方法： 、 、 13．（20-21高一上·河南郑州·阶段练习）已知函数的图象如图所示，则此函数的定义域是 ，值域是 . 14．（23-24高一下·山东淄博·期中）已知函数，则不等式的解集为 ． 15．（23-24高二下·辽宁本溪·期末）已知函数满足，则 . 16．（23-24高一·上海·课堂例题）设是常数，求下列函数的定义域： (1)； (2). 17．（23-24高一上·全国·课后作业）试构建一个问题情境，使其中的变量关系可以用解析式来描述． 18．（2023高一·全国·专题练习）求函数的值域． 19．（20-21高一·上海·假期作业）若函数的值域为，求函数的值域. 20．（23-24高一上·浙江·期中）已知函数． （Ⅰ）若，求函数的定义域和值域； （Ⅱ）若函数的定义域为，值域为，求实数的值． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 函数的表示方法重难点题型专训（16大题型+20道拓展培优） 题型一 已知函数类型求解析式 题型二 已知f(g(x))求解析式 题型三 求抽象函数的解析式 题型四 解析法表示函数 题型五 图象法表示函数 题型六 列表法表示函数 题型七 求分段函数解析式或求函数的值 题型八 分段函数的定义域 题型九 分段函数的性质及应用 题型十 己知分段函数的值求参数或自变量 题型十一 求解析式中的参数值 题型十二 根据分段函数的单调性求参数 题型十三 解分段函数不等式 题型十四 分段函数的单调性 题型十五 分段函数的值域或最值 题型十六 函数方程组法求解析式 知识点一：函数的表示法 1、函数的三种表示方法： 解析法：用数学表达式表示两个变量之间的对应关系．优点：简明，给自变量求函数值． 图象法：用图象表示两个变量之间的对应关系． 优点：直观形象，反应变化趋势． 列表法：列出表格来表示两个变量之间的对应关系． 优点：不需计算就可看出函数值． 2、分段函数： 分段函数的解析式不能写成几个不同的方程，而应写函数几种不同的表达式并用个左大括号括起来，并分别注明各部分的自变量的取值情况． 【方法技巧与总结】 函数解析式的求解策略有： （1）直接法：已知的解析式，求的解析式类型，直接将整体代入中的； （2）待定系数法：即由已知函数类型设出函数解析式（通常是一次函数和二次函数类型），再根据条件列方程（或方程组），通过解方程（或方程组）求出待定系数，进而得出函数的解析式； （3）换元法（或者叫配凑法）：已知抽象函数的解析式求的解析式，这个方法可以看成代入法的逆向思维，即令，反解出，然后代入中得到，进而得到的解析式； （4）解方程组法：该方法是针对含有关于两个不同变量的函数，而这两种变量存在某种特定的关系，在中学阶段这种关系通常是互为相反数或者互为倒数，然后“互换”两个变量建立一个新的关于这两个变量的关系，通过解方程组消去一个变量，从而得到只含一个的解析式，最后可以得到的解析式； （5）赋值法：赋值法是很常用的处理抽象函数之间的一种方法，对涉及任意量词（含，）题目，要特别注意可以通过赋特殊的值，求出特殊的值对应函数值，进而求出函数的解析式． 【经典例题一 已知函数类型求解析式】 【例1】（22-23高三·全国·对口高考）若二次函数满足，且，则的表达式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，，根据得到，再根据得到，，从而得到函数的解析式. 【详解】设，， ∵，则， 又∵， 令，则，∴，即，， 令，则，，即，， ∴，，. 故选：D. 1．（23-24高一上·云南·期中）若函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据已知条件代入直接求解解析式即可. 【详解】因为，所以，，，. 故选：A 2．（22-23高一上·江苏宿迁·期中）写出一个的二次函数的解析式 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】设出二次函数的解析式，利用求得正确答案. 【详解】设， 由得， 不妨设，则，解得， 所以. 故答案为：（答案不唯一） 3．（2024高三·北京·专题练习）如果为二次函数，，并且当时，取得最小值，求的解析式. 【答案】 【分析】根据题意，设，列出方程，求得的值，即可求解. 【详解】因为为二次函数，并且当时，取得最小值， 所以可设， 又因为，所以，解得， 所以． 【经典例题二 已知f(g(x))求解析式】 【例2】（23-24高一上·江苏徐州·阶段练习）已知，则的解析式是（   ）. A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用换元法求出函数的解析式. 【详解】令，则，而，于是， 因此， 所以的解析式是. 故选：A 1．（24-25高一上·上海·随堂练习）若函数，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用配凑法，把原式变形即可. 【详解】，. 故选：. 2．（23-24高三下·江苏南京·强基计划）满足的非零有理系数多项式的最低次数为 . 【答案】 【分析】先对进行变形，构造出满足条件，然后证明如果非零有理系数多项式满足，则一定拥有个不同的零点，从而说明的次数至少为，即可得到答案. 【详解】设. 一方面，有. 所以，故. 从而，故有. 即. 移项，合并同类项，得. 这表明非零有理系数多项式满足条件； 另一方面，若非零有理系数多项式满足，即是的一个零点. 不妨设是非零整系数多项式，否则将乘以其系数的公分母，再替换即可. 设，则据假设有 . 再设，则. 设多项式展开后是. 根据的结构可以看出，每个都可以表示为的有理系数多项式形式. 从而每个都能表示为. 由于，故. 由于一定是整数或整数的倍，结合的形式，知一定存在，使得 . 从而，即. 比对每个根式的系数，即得. 所以亦有，故，即. 所以，这说明也是的零点. 采用相同的方法，可以证明，，，，，，，均为的零点. 所以非零多项式至少有个零点，从而的次数至少为. 综合以上两方面，可知的最低次数为. 故答案为：. 3．（23-24高一下·全国·课堂例题）函数满足， 求函数的解析式; 【答案】 【分析】根据题意，由换元法代入计算，即可求解. 【详解】令，则(R)，又， 所以， 所以函数的解析式为. 【经典例题三 求抽象函数的解析式】 【例3】（2024高三下·全国·专题练习）已知是定义在上的函数，以下说法中正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】通过反例可说明ABD错误，根据抽象函数关系式可直接说明C正确. 【详解】对于A，取函数（表示不超过的最大整数）， ①当时，； ②当时，； 此时满足； 令，则，， 不满足，A错误； 对于B，取函数， ①当时，； ②当时，； ③当且时，， 若，即时，， 若，即时，， 若且，； 综上：此时满足； 令，则， 不满足，B错误； 对于C，，，C正确； 对于D，取函数， ①当时，； ②当时，， i.若，即，则， ii.若，即，则， 当，即时，， 当，即时，； 综上：此时满足； 令，， 不满足，D错误. 故选：C. 【点睛】思路点睛：本题考查抽象函数的性质，本题解题的基本思路是通过构造反例的方式，采用排除法确定正确选项；而对于正确选项，则根据抽象函数关系式直接推导即可. 1．（22-23高三上·山东·阶段练习）设为常数，，，则（    ） A． B． C．满足条件的不止一个 D．恒成立 【答案】D 【分析】利用赋值法逐一对各选项进行验证. 【详解】令，可得， 因为，所以，故选项A不正确； 令，得， 代入，得， 原等式变形为，故选项B不正确； 在中， 令，得，即函数取值非负， 令，得，所以， 即恒成立，满足条件的只有一个， 故选项D正确，C不正确. 故选:D. 2．（23-24高三上·江苏扬州·开学考试）写出满足的函数的解析式 ． 【答案】 【分析】利用赋值法可得函数解析式. 【详解】中，令，得； 令得，故， 则． 故答案为：． 3．（2023高一·全国·专题练习）已知函数满足：对一切实数、，均有成立，且.求函数的表达式. 【答案】. 【分析】根据所给关系对于合理赋值后求出，再令可得解. 【详解】由已知等式， 令，，得． 又，所以． 再令，可得，即． 因此，函数的表达式为． 【经典例题四 解析法表示函数】 【例4】（24-25高三上·江苏南通·开学考试）已知函数，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据解析式代入验证即可. 【详解】因为，而， 所以. 故选：C 1．（23-24高一上·山西·期中）如图，四边形是矩形，是等腰直角三角形．点从点出发，沿着边运动到点，点在边上运动，直线．设点运动的路程为的左侧部分的多边形的周长（含线段的长度）为．当点在线段上运动时，的解析式为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题中条件可求得，依题分析即可得到结果. 【详解】因为是等腰直角三角形，， 所以．当点在线段上运动时， ． 故选：A. 2．（23-24高一下·全国·随堂练习）任何一个函数都有三种表示法. 【答案】错误 【分析】通过具体反例即可判断. 【详解】有些函数无法用解析法表示，如不超过的素数个数的函数，也无法用列表法或图象法表示，命题错误. 故答案为：错误. 3．（23-24高一·全国·课堂例题）任何一个函数都可以用解析法表示吗？ 【答案】答案见解析 【详解】不一定．如学校安排的月考，某一地区绿化面积与年份关系等受偶然因素影响较大的函数关系就无法用解析法表示． 【经典例题五 图象法表示函数】 【例5】（23-24高二下·四川绵阳·期中）小明骑车上学，开始时匀速行驶，中途因车流量大而减速行驶，后为了赶时间加速行驶，与以上事件吻合得最好的图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】直接根据速度的变化快慢得答案. 【详解】开始时匀速行驶，故图像为直线，然后减速行驶，故图像上升速度变慢，后为了赶时间加速行驶，故图像上升速度变快，选项C符合. 故选：C. 1．（23-24高一上·吉林长春·期中）俗话说，“一分耕耘，一分收获”．那么，在实际生活中，如果把收获看成付出的函数，它们之间的关系可以怎样描述呢？情境甲：当以匀速的方式驾驶汽车时，行驶的里程与所用的时间之间的关系；情境乙：家长过分宠爱孩子，有时还有可能付出增加会导致收获减少；情境丙：在我们学习新的知识时，可能一开始效率会比较高，单位时间的付出得到的收获会比较大，但随着付出的时间越来越多，单位时间的付出得到的收获会变少．请问依次与下面三个图象所表示的收获与付出的关系相对应的情境正确的一项是（   ）    A．甲、乙、丙 B．丙、甲、乙 C．甲、丙、乙 D．乙、丙、甲 【答案】C 【分析】根据函数的图象确定正确答案. 【详解】图-1所示呈正比例关系，与情境甲相对应； 图-2所示呈上升趋势，反应出单调递增的性质，但增加的速率在减小，与情境丙相对应； 图-3所示开始呈上升趋势，反应出单调递增性质，但后来出现下降趋势， 与情境乙所描述的“过犹不及”相对应． 故选：C 2．（23-24高一上·甘肃武威·期中）函数的图象如图所示，函数的值域为 ．    【答案】 【分析】根据函数图象即可得出函数的值域. 【详解】由图象可知，函数的值域为． 故答案为：． 3．（24-25高一上·全国·课前预习）除了我们所熟悉“列表、描点、连线”作图，还有哪些作图的方法？ 【答案】答案见解析 【详解】平移变换、对称变换、翻折变换． 【经典例题六 列表法表示函数】 【例6】（23-24高一上·广东惠州·期末）已知定义在上的函数表示为: x 0 y 1 0 2 设，的值域为M，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据自变量所在区间判断出的值，然后根据表中数据可知值域. 【详解】因为满足，所以， 由表中数据可知：的取值仅有三个值，所以， 故选：B. 1．（23-24高一上·黑龙江哈尔滨·期中）中国清朝数学家李善兰在859年翻译《代数学》中首次将“function”译做“函数”，沿用至今，为什么这么翻译，书中解释说“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”，这个解释说明了函数的内涵：只要有一个法则，使得取值范围中的每一个值x，有一个确定的y和它对应就行了，不管这个对应的法则是公式、图象、表格还是其它形式，函数由下表给出，则的值为（    ） 1 2 3 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】先求出，从而得到的值. 【详解】由表格可得，故. 故选：B 2．（22-23高一上·江苏镇江·期中）已知函数分别由下表给出 4 5 6 2 3 2 1 2 3 5 4 2 则 ， ． 【答案】 2 2 【分析】根据表格给出的函数值计算即可. 【详解】因为：，，所以； 又，，所以. 故答案为：2；2 3．（24-25高一上·全国·课前预习）什么是表示函数的方法呢？ 【答案】答案见解析 【详解】把一个函数的对应关系和定义域交代清楚的办法． 【经典例题七 求分段函数解析式或求函数的值】 【例7】（2024高二下·安徽·学业考试）已知函数，则（    ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】根据题意，结合分段函数的解析式，代入准确运算，即可求解. 【详解】由函数，则. 故选：D. 1．（24-25高一上·全国·课后作业）设函数，则等于（    ） A． B．3 C． D． 【答案】C 【分析】根据题中分段函数解析式运算求解. 【详解】因为，所以. 故选：C. 2．（2024·四川达州·二模）已知，则 . 【答案】1 【分析】应用分段函数解析式分层计算即可. 【详解】. 故答案为：1. 3．（23-24高一·上海·课堂例题）已知函数的表达式为求，及，其中a为实数． 【答案】答案见详解 【分析】根据题意分段函数解析式运算求解，注意讨论a的符号. 【详解】由题意可得：， 若，即，则； 若，即，则； 综上所述：. 【经典例题八 分段函数的定义域】 【例8】（23-24高一上·山西太原·阶段练习）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由对分段函数的定义域的理解可得. 【详解】由， 得函数的定义域为. 故选：C. 1．（21-22高一上·上海奉贤·阶段练习）下面各组函数中表示相同函数的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】两个函数定义域相同且对应关系相同，则这两个函数相同，进而判断答案. 【详解】对A，的定义域为R，的定义域为，则A错误； 对B，的定义域均为R，且，则B正确； 对C，的定义域为，的定义域为R，则C错误； 对D，的定义域为，的定义域为R，则D错误. 故选：B. 2．（19-20高一·全国·课后作业）函数的定义域是 . 【答案】[0，＋∞) 【分析】分段函数的定义域为每段函数的定义域的并集 【详解】解：因为 所以定义域为[0，1]∪(1，2)∪[2，＋∞)＝[0，＋∞). 故答案为：[0，＋∞) 【点睛】此题考查求分段函数的定义域，分段函数的定义域为每段函数的定义域的并集，属于基础题. 3．（23-24高一·全国·课堂例题）分段函数的定义域部分可以相交吗？ 【答案】答案见解析 【详解】分段函数的定义域部分是不可以相交的，这是由函数定义中的唯一性决定的． 【经典例题九 分段函数的性质及应用】 【例9】（23-24高一下·四川泸州·期末）已知函数，若方程有4个不同的根，且，则的值为（    ） A．3 B．0 C．2 D．6 【答案】A 【分析】作出函数图象，由对称性可知，，，计算得，再计算的结果； 【详解】作出函数的图象如下 由对称性可知，，因为， 由图可知， 所以 则， ， 故选：A. 1．（23-24高一上·云南昆明·期中）已知，其中，若，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意得出分段函数，分类解不等式即可． 【详解】由题意，， 当时，不等式，即，解得，又，则； 当时，不等式，即，解得或，又，则； 当时，不等式，即，解得，又，则； 综上，实数的取值范围是． 故选：D． 2．（22-23高一上·上海宝山·期末）德国数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其命名函数，该函数被称为狄利克雷函数．若存在三个点、、，使得为等边三角形，则 ． 【答案】1 【分析】由狄利克雷函数分析得出的位置有两种情况，逐一分析即可得出答案． 【详解】， 或1， 存在三个点、、，使得为等边三角形， 不同时为0或1， 不妨设， 分析得的位置有两种情况， 第一种情况： 当为有理数时，即，如图， 过点作，垂足为，得，，， 可知，为无理数，为无理数， 即，，与图形不一致，舍去； 第二种情况： 当为无理数时，即，如图， 过点作，垂足为，得，，， 可知，，， 存在，使得，且为无理数， 即，与图形一致，符合题意， 此时，， 故答案为：1． 3．（23-24高一·全国·课堂例题）分段函数各段上的对应关系不同，那么分段函数是由几个函数构成的呢？ 【答案】答案见解析 【详解】（1）分段函数是一个函数，切不可把它看成是几个函数，它只不过是在定义域的不同子集内解析式不一样而已． （2）分段函数在书写时用大括号把各段函数合并写成一个函数的形式，并且必须指明各段函数自变量的取值范围． 【经典例题十 己知分段函数的值求参数或自变量】 【例10】（23-24高一上·安徽淮北·期中）设，则（    ） A． B． C．1 D． 【答案】B 【分析】直接代入计算即可. 【详解】， ， . 故选：B. 1．（23-24高二下·福建龙岩·阶段练习）设函数，若，则实数a的值为（    ） A．或 B．或4 C．或 D．或4 【答案】C 【分析】根据给定的分段函数，先分类讨论求得的值，再分类讨论求得的值，从而得解. 【详解】设，则， 当时，由，解得，当时，由，解得， 于是或， 当时，由或，解得或，因此； 当时，由或，解得或，因此， 所以实数a的值为或. 故选：C 2．（23-24高一上·上海长宁·期末）已知，若，则 . 【答案】或 【分析】分别令分段函数中的每一段解析式的函数值为列方程，由此解得的值. 【详解】由，得； 由， 得； 由，得（舍）； 综上或. 故答案为：或. 3．（23-24高一上·湖南长沙·期中）已知函数，其中，. (1)求函数的解析式； (2)已知方程的解集. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据已知条件求出、的值，即可得出函数的解析式； （2）分、、三种情况解方程，即可得出原方程的解集. 【详解】（1）解：因为，则， 所以，，解得， ，可得，故. （2）解：因为. 当时，由，可得，舍去； 当时，由，可得； 当时，由，可得. 综上所述，方程的解集为. 【经典例题十一 求解析式中的参数值】 【例11】（2024·四川德阳·三模）已知，且，则（    ） A．3 B． C．1 D． 【答案】C 【分析】令，求出，代入解出. 【详解】， 且， 令，，解得， ，即, . 故选：C. 1．（22-23高一上·北京丰台·期中）在新冠肺炎疫情防控中，核酸检测是新冠肺炎确诊的有效快捷手段．某医院在成为新冠肺炎核酸检测定点医院并开展检测工作的第n天，每个检测对象从接受检测到检测报告生成平均耗时（单位：小时）大致服从的关系为（为常数）．已知第9天检测过程平均耗时为16小时，第36天和第40天检测过程平均耗时均为8小时，那么第25天检测过程平均耗时大致为（    ） A．8小时 B．9.6小时 C．11.5小时 D．12小时 【答案】B 【分析】根据题意得到，然后根据，，列方程解得，最后代入求即可. 【详解】由题意得，，则，解得，则. 故选：B. 2．（23-24高一上·甘肃天水·开学考试）若反比例函数的图象经过点，则一次函数的图象不经过第 象限. 【答案】三 【分析】代入点求，再根据一次函数的性质求解. 【详解】由题意可知，，得，则一次函数的图象过一，二，四象限，不过第三象限. 故答案为：三 3．（21-22高一上·广西·阶段练习）已知函数（、，且），，且方程有且仅有一个实数解．求函数的解析式． 【答案】. 【分析】根据以及有且仅有一个实数解列方程来求得，从而求得的解析式. 【详解】∵，∴，即，又 ∵只有一个实数解， ∴有且仅有一个实数解为0，∴， ∴解得：，， ∴函数的解析式为． 【经典例题十二 根据分段函数的单调性求参数】 【例12】（23-24高一上·甘肃陇南·阶段练习）若函数在上是增函数，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】要想使分段函数在R上的增函数，需要每段函数都是单调递增函数，且在分段处左边函数的端点值，小于等于右边函数的端点值，建立不等式组，解不等式即可解. 【详解】因为函数在上是增函数， 所以，即. 故选：C 1．（22-23高一上·贵州六盘水·期末）已知函数是上的增函数，则实数k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用分段函数的单调性可得答案. 【详解】因为是R上的增函数， 则，解得. 所以实数的取值范围为. 故选：D. 2．（2024·天津·二模）已知函数若，，且，使得成立，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】由题意可得函数在上不单调，分，结合二次函数的性质，作出图象即可. 【详解】当时，可得，易知在R上单调递减，不满足题意； 当时，当时，，对称轴为， 当时，，此时函数在上单调递减; 当时，， 当时，开口向上，大致图象如图所示： 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以，，且，使得成立，满足题意; 当时： 当时，函数的开口下，对称轴， ①当，即时， 易知函数在和上单调递减，在上单调递增， 大致图象如图所示： 由此可知，，且，使得成立，满足题意; ②当时，即时， 此时函数的大致图象如图所示： 易知函数在R上单调递减， 所以不存在，且，使得成立; 综上，的取值范围为：， 故答案为：. 【点睛】方法点睛: 本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，分段函数的图象和性质，正确理解分段函数的单调性，是解答的关键．对于分段函数的值域，应该是两段的值域并到一起，定义域也是两段并到一起，单调区间也是两段的区间总和．二次函数找最值一般情况要和对称轴比较，讨论轴和区间的关系． 3．（21-22高一·全国·课前预习）已知函数是上的增函数，求的取值范围. 【答案】 【分析】根据分段函数的单调性可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围. 【详解】因为函数是上的增函数. 函数在上为增函数，则，可得， 函数在上为增函数，则， 且有，解得. 综上所述，实数的取值范围是. 【经典例题十三 解分段函数不等式】 【例13】20-21高一·河南·阶段练习）已知函数若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】讨论、，结合函数解析式列不等式求参数a的范围即可. 【详解】由， 若，则，即，解得，所以 若，则，即，解得，所以， 综上，不等式的解为. 故选：D 1．（22-23高一上·全国·课后作业）已知,则使成立的的取值范围是（　  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】（方法1）分别在时，解不等式，在时，解不等式，再求并集得答案. （方法2）在同一坐标轴中画的图象，虚线，则函数图象在虚线及以上的部分中的取值范围，即不等式的解集，从而得答案. 【详解】（方法1）当时，不等式可化为，解得，又，所以； 当时，，不等式可化为，解得， 又，所以. 综上，使不等式成立的的取值范围是. 故选: A. （方法2）函数的图象如图所示，虚线表示，函数图象在虚线及以上的部分中的取值范围即不等式的解集. 由图可知，的取值范围就是点的横坐标与点的横坐标之间的范围. 在中，令，得，所以点的横坐标为. 在中，令，得（舍去）或， 所以点的横坐标为，所以使不等式成立的的取值范围是. 故选：A. 2．（24-25高一·上海·课堂例题）已知函数，若，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】按照分段函数解析式，分和两种情况分别代入解析式解不等式即可得解. 【详解】当时，， 所以； 当时，， 解得， 综上，的取值范围为. 故答案为：. 3．（23-24高一上·河南濮阳·阶段练习）已知函数. (1)画出函数的图象； (2)当时，求实数的取值范围， 【答案】(1)作图见解析； (2) 【分析】（1）根据函数解析式直接画出函数图象； （2）结合函数解析式分段得到不等式组，解得即可. 【详解】（1）因为，所以的图象如图所示： （2）由题可得或或， 解得或或， 所以实数的取值范围为 【经典例题十四 分段函数的单调性】 【例14】（20-21高三上·安徽安庆·阶段练习）已知函数是R上的减函数，那么实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意知在R上为减函数有，即可求的取值范围. 【详解】由题意，要使在R上的减函数，故需要满足： ，解得， 故选：D 【点睛】本题考查了根据分段函数的单调性求参数范围，结合对数函数、一次函数的性质，注意分界点处函数值的大小关系，属于基础题. 1．（23-24高一上·福建福州·期中）函数是R上的减函数，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由分段函数的两段都是减函数，同时两个端点处的函数值左大右小可得． 【详解】由题意，解得． 故选：B． 【点睛】本题考查函数的单调性，分段函数在定义域上是单调的，则它在所有段上都是同单调的，同时相邻端点处的函数值满足相应的不等关系． 2．（2021·广东·模拟预测）若a＞0且a≠1，且函数在R上单调递增，那么a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】利用函数的单调性，列出不等式组，然后求解即可． 【详解】且，函数在上单调递增， 可得：，解得， 故答案为：. 3．（22-23高一上·浙江台州·阶段练习）已知函数， (1)将写成分段函数的形式，并作出函数的图象，并写出其单调区间及单调性(不用证明)； (2)写出不等式时x的解集. 【答案】(1) ，增区间，减区间，作图见解析. (2). 【分析】（1）按的正负分类讨论去掉绝对值号，得到分段函数的形式，观察图象得到函数的单调性及单调区间. (2)直接观察函数的图象得到时x的解集. 【详解】（1）当时，，当时，，故. 图象如下图: 单调递增区间:;单调递减区间: （2）由图像可知不等式时x的解集. 【经典例题十五 分段函数的值域或最值】 【例15】（23-24高一上·云南大理·期末）已知，，则函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先得到，再作出其图象求解. 【详解】解：由题意得：， 其图象，如图所示：    由图象知：函数y的值域为， 故选：A 1．（22-23高一上·云南保山·期中）函数的值域是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分段求解值域，再取并集即可. 【详解】当时，； 当时，； 当时，， 所以函数的值域为. 故选:A. 2．（2024高一下·四川宜宾·竞赛）定义为中的最大值，设，则的最小值为 . 【答案】 【分析】根据题意画出函数 的图象，再根据图象即可得到函数 的最小值. 【详解】分别画出 的图象，则函数 的图象为图中实线部分. 由图知：函数 的最低点为 由 ，解得 . 所以 的最小值为 . 故答案为：. 3．（23-24高一·全国·课堂例题）若分段函数各段上的对应关系不同，则该分段函数可以看成是由几个函数构成的吗？ 【答案】答案见解析 【详解】分段函数是一个函数，不要把它误认为是由几个函数构成的．分段函数各段的自变量的取值范围的交集为空集，这是由函数定义中的唯一性决定的．分段函数的定义域是各段自变量的取值范围的并集，值域是各段函数值取值范围的并集． 【经典例题十六 函数方程组法求解析式】 【例16】（23-24高一上·江苏盐城·阶段练习）函数满足，则函数（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由可得，运用解方程组法求解析式即可. 【详解】因为①，所以②， 得，即. 故选：B. 1．（23-24高一上·全国·课后作业）函数满足，则函数（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用方程组的方法求出函数解析式即得. 【详解】由，得， 联立两个等式消去，得， 所以. 故选：A 2．（25-26高一上·全国·课后作业）设是定义在上的函数，已知满足，则的解析式为 ． 【答案】 【分析】应用方程组法求解解析式. 【详解】由①， 用代替可得②， 由①②可得. 故答案为：. 3．（23-24高一下·全国·课堂例题）函数满足，求函数的解析式. 【答案】 【分析】用替换已知中的，解方程组即可求解. 【详解】因为， 用替换上式中的，得， 解方程组得. 1．（23-24高三上·上海闵行·期中）定义在区间上的函数满足：①；②当时，，则集合中的最小元素是（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【分析】由条件可知，再利用换元求出在的解析式解出满足的的最小值即可. 【详解】由可知， 因为当时，，所以，所以， 当时，令无解， 当时，，此时， 令无解， 令，则，， 所以当时，， 令解得， 所以集合中的最小元素是， 故选：C 2．（23-24高一下·贵州毕节·期末）已知函数，若，则的值为（    ） A． B．或2 C．或2 D．或 【答案】C 【分析】分与两段讨论，分别建立方程求解即可. 【详解】①当时，由，解得， 其中不满足题意，故； ②当时，由，解得，满足，故； 综上所述，则的值为或. 故选：C. 3．（2024高三·全国·专题练习），若是的最小值，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用基本不等式，先求出当时的函数最值，然后结合一元二次函数的性质进行讨论即可． 【详解】解：当时，， 当且仅当：，即时，等号成立， 此时函数的最小值为， 若，则函数的最小值为，此时不是的最小值，此时不满足条件， 若，则要使是的最小值，则满足， 即 解得， ， ， 故选：D． 4．（23-24高二下·北京昌平·期末），，则的递减区间（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先求，然后求得，进而求得的递减区间. 【详解】，， 所以的减区间为. 故选：B 5．（2022·全国·模拟预测）已知函数满足，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将换成，得到即，联立方程组求得 的解析式，进而求得的值. 【详解】由，将换成，可得， 即， 联立方程组，解得， 所以. 故选：B. 6．（23-24高一上·山西·期中）已知一次函数满足，则的解析式可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】根据题意，由待定系数法代入计算，即可得到结果. 【详解】设，则， 所以，解得或， 则或． 故选：AD. 7．（2024高二下·全国·专题练习）下列所给函数为复合函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】 根据题意，结合复合函数的定义，逐项判定，即可求解. 【详解】 对于A中，函数是由函数和符合而成，所以A符合题意； 对于B中，函数，不符合复合函数的定义，所以B不符合题意； 对于C中，函数，不符合复合函数的定义，所以C不符合题意； 对于D中，函数是由函数和符合而成，所以D符合题意. 故选：AD. 8．（23-24高一上·四川乐山·期中）已知函数则下列说法中，正确的有（    ） A．若，则方程有实数根 B．若，则方程有2个实数根 C．若方程有3个不同实数根，则 D．若方程有4个不同实数根，则 【答案】ACD 【分析】根据一次函数、指数函数的图象与性质判断各个选项； 【详解】函数大致图象如图所示， 对于A，可知时，有实数根，选项A正确； 对于B，若，则有1个实数根，选项B错误； 对于C，若有3个不同实数根，则，选项C正确； 对于D，若方程有4个不同实数根，则，选项D正确． 故选：ACD 9．（23-24高一上·贵州铜仁·期中）若函数在R上单调递增，则实数a的值可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】根据给定条件结合分段函数在R上单调递增的性质列出不等式组，解此不等式组即可作答. 【详解】因为函数在R上单调递增， 所以，解得. 故选：BC. 10．（23-24高二下·宁夏银川·期末）函数，被称为狄利克雷函数，则下列结论成立的是（    ） A．若，则 B． C．若，则 D．函数的值域为 【答案】BD 【分析】根据函数解析式判断A、D，利用特殊值判断B、C. 【详解】因为， 对于A：，则，所以，则，故A错误； 对于B：当，则，则，故B正确； 对于C：若，，则，满足，但是，故C错误； 对于D：因为，所以函数的值域为，故D正确. 故选：BD 11．（2024高三·北京·专题练习）已知是二次函数，且，，则 ． 【答案】 【分析】根据题意，利用待定系数，设，准确运算，即可求解. 【详解】设， 因为，可得， 又因为，可得， 即，所以, 解得，所以． 故答案为：. 12．（23-24高一下·全国·课前预习）函数的表示方法 函数的三种表示方法： 、 、 【答案】 解析法 列表法 图象法 【分析】略 【详解】略 13．（20-21高一上·河南郑州·阶段练习）已知函数的图象如图所示，则此函数的定义域是 ，值域是 . 【答案】 [-3，3] [-2，2] 【解析】由图像直接观察即可求解. 【详解】根据函数的定义域、值域的定义，由图可知， 函数的定义域为[-3，3]， 值域为[-2，2]. 故答案为：[-3，3]；[-2，2] 【点睛】本题考查了观察法求函数的定义域、值域，考查了基本知识的掌握情况，属于基础题. 14．（23-24高一下·山东淄博·期中）已知函数，则不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】分，和进行不等式求解. 【详解】当时，，， 得，所以； 当时，，， 得，所以； 当时，，， 得，所以无解； 综上所述，不等式的解集为. 故答案为： 15．（23-24高二下·辽宁本溪·期末）已知函数满足，则 . 【答案】 【分析】利用解方程组法和换元法即可求解. 【详解】由①， 得②， 由①②得，则， 令，则， 所以， 故. 故答案为：. 16．（23-24高一·上海·课堂例题）设是常数，求下列函数的定义域： (1)； (2). 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 【分析】（1）（2）利用具体函数定义域的求法，分类讨论的取值范围即可得解. 【详解】（1）当时，，此时函数的定义域为， 当时，，解得，此时函数的定义域为； 当时，，此时函数的定义域为； （2）令，解得或， 当时，此时的定义域为或， 当时，恒成立，此时的定义域为， 当时，此时的定义域为或. 17．（23-24高一上·全国·课后作业）试构建一个问题情境，使其中的变量关系可以用解析式来描述． 【答案】答案见解析 【分析】易知为二次函数，定义域为R，值域是，对应关系把定义域中任意一个实数，对应到中唯一确定的数. 【详解】若限制的取值范围，例如，则可以构建如下情境： 某地“桃花节”的观赏人数逐年增加，据有关部门统计，2021年约有10万人次，设观赏人数的年平均增长率为，2023年观赏人数为万，则. 其中x的取值范围是，y的取值范围是． 对应关系把每一个增长率x都对应到唯一确定的观赏人数. 18．（2023高一·全国·专题练习）求函数的值域． 【答案】 【分析】根据分式函数的特点，因定义域为，可将其化成关于的一元二次方程恒有实根的情况，通过根的判别式即可求得函数的值域. 【详解】因为恒成立，故， 则由可得，， 当时，，适合题意； 当时，由于，故恒有实数根， 故，解得且， 综上可得，的值域为. 19．（20-21高一·上海·假期作业）若函数的值域为，求函数的值域. 【答案】 【分析】由函数中的自变量取任意实数函数的值域都为可得值域不变. 【详解】函数的值域为， 由于函数中的自变量取任意实数函数的值域都为， 故函数值域也为. 20．（23-24高一上·浙江·期中）已知函数． （Ⅰ）若，求函数的定义域和值域； （Ⅱ）若函数的定义域为，值域为，求实数的值． 【答案】（Ⅰ）定义域为，值域为；（Ⅱ）. 【分析】（Ⅰ）由，得到，由，求解，即可得出定义域；令，得到，根据判别式法，即可求出结果； （Ⅱ）由定义域为可得：恒成立，即，令，由于的值域为，则，又，根据判别式大于等于0，解集为，得到和是方程的两个根，由根与系数关系，列出方程组，求解，即可得出结果. 【详解】（Ⅰ）若，则，由，得到 ，得到，故定义域为． 令，则 当时，符合． 当时，上述方程要有解，则，得到或， 又，所以， 所以，则值域为． （Ⅱ）由于函数的定义域为，则恒成立，则，即，令，由于的值域为，则，而 ，则由解得 ，故和是方程即的两个根，则，得到，符合题意．所以． 【点睛】本题主要考查求函数定义域，以及由函数值域求参数的问题，熟记函数求值域的方法，以及三个二次之间关系即可，属于常考题型. 学科网（北京）股份有限公司 $$