专题01 函数的概念和图象重难点题型专训（14大题型+20道拓展培优）-2024-2025学年高一年级数学上册重难点专题提升精讲精练（苏教版2019必修第一册）

专题01 函数的概念和图象重难点题型专训（14大题型+20道拓展培优） 题型一 函数关系的判断 题型二 求函数值 题型三 已知函数值求自变量或参数 题型四 具体函数的定义域 题型五 抽象函数的定义域 题型六 复合函数的定义域 题型七 实际问题中的定义域 题型八 常见(一次函数、二次函数、反比例函数等)的函数值域 题型九 复杂(根式型、分式型等)函数的值域 题型十 根据值域求参数的值或者范围 题型十一 抽象函数的值域 题型十二 已知函数的定义域求参数 题型十三 复合函数的值域 题型十四 根据函数的值域求定义域 知识点一：函数的概念 1、函数的定义 设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数和它对应，那么就称为从集合A到集合B的一个函数． 记作：，． 其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域． 知识点诠释： （1）A、B集合的非空性；（2）对应关系的存在性、唯一性、确定性；（3）A中元素的无剩余性；（4）B中元素的可剩余性． 2、构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域 ①构成函数的三个要素是定义域、对应关系和值域．由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全—致，即称这两个函数相等（或为同一函数）； ②两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全—致，而与表示自变量和函数值的字母无关． 知识点二：函数定义域的求法 （1）确定函数定义域的原则 ①当函数是以解析式的形式给出时，其定义域就是使函数解析式有意义的自变量的取值的集合．具体地讲，就是考虑分母不为零，偶次根号的被开方数、式大于或等于零，零次幂的底数不为零以及我们在后面学习时碰到的所有有意义的限制条件． ②当函数是由实际问题给出时，其定义域不仅要考虑使其解析式有意义，还要有实际意义． ③当函数用表格给出时，函数的定义域是指表格中实数的集合． （2）抽象函数定义域的确定 所谓抽象函数是指用表示的函数，而没有具体解析式的函数类型，求抽象函数的定义域问题，关键是注意对应法则．在同一对应法则的作用下，不论接受法则的对象是什么字母或代数式，其制约条件是一致的，都在同一取值范围内． （3）求函数的定义域，一般是转化为解不等式或不等式组的问题，注意定义域是一个集合，其结果必须用集合或区间来表示． 知识点三：函数值域的求法 实际上求函数的值域是个比较复杂的问题，虽然给定了函数的定义域及其对应法则以后，值域就完全确定了，但求值域还是特别要注意讲究方法，常用的方法有： 观察法：通过对函数解析式的简单变形，利用熟知的基本函数的值域，或利用函数的图象的“最高点”和“最低点”，观察求得函数的值域； 配方法：对二次函数型的解析式可先进行配方，在充分注意到自变量取值范围的情况下，利用求二次函数的值域方法求函数的值域； 判别式法：将函数视为关于自变量的二次方程，利用判别式求函数值的范围，常用于一些“分式”函数等；此外，使用此方法要特别注意自变量的取值范围； 换元法：通过对函数的解析式进行适当换元，将复杂的函数化归为几个简单的函数，从而利用基本函数的取值范围来求函数的值域． 求函数的值域没有通用的方法和固定的模式，除了上述常用方法外，还有最值法、数形结合法等．总之，求函数的值域关键是重视对应法则的作用，还要特别注意定义域对值域的制约． 【经典例题一 函数关系的判断】 【例1】（23-24高一上·广东韶关·阶段练习）设,如下选项是从M到N的四种应对方式,其中是M到N的函数是（    ） A． B． C． D． 1．（23-24高一上·广东佛山·期末）给定数集满足方程，下列对应关系为函数的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·全国·课前预习）分段函数 如果一个函数，在其定义域内，对于自变量的不同 ，有不同的 ，则称其为分段函数. 3．（24-25高一上·上海·课前预习）要构成一个函数需要满足怎样的对应关系？ 【经典例题二 求函数值】 【例2】（23-24高一上·北京·期中）已知下列表格表示的是函数，则的值为（    ） x 0 1 2 3 y 0 2 1 4 A． B． C．0 D．1 1．（23-24高一上·江苏淮安·期中）定义：，其中为的个位数字，，若（），则（    ） A．0 B．1 C．3 D．5 2．（2024·江苏·模拟预测）已知定义在上的满足，且对于任意的，有，则 . 3．（23-24高一·上海·课堂例题）设是常数，函数的表达式为．若，求． 【经典例题三 已知函数值求自变量或参数】 【例3】（23-24高一上·江苏徐州·阶段练习）已知函数，若，则的值等于（   ）. A．2 B． C． D． 1．（23-24高一上·河南·阶段练习）如图，表示从集合到集合的函数，若，则的值为（    ） A．1 B．2 C．1或2 D．3 2．（22-23高三上·重庆沙坪坝·开学考试）已知，若，则 . 3．（23-24高一上·新疆喀什·期中） 已知函数，满足. (1)求实数的值； (2)求当时，的值； 【经典例题四 具体函数的定义域】 【例4】（24-25高二上·云南昭通·开学考试）函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 1．（23-24高一上·福建龙岩·阶段练习）函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·江苏盐城·期中）函数的定义域为 . 3．（23-24高一·上海·课堂例题）设是常数，求下列函数的定义域： (1)； (2). 【经典例题五 抽象函数的定义域】 【例5】（22-23高二上·安徽马鞍山·开学考试）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 1．（24-25高三上·福建宁德·开学考试）已知函数的定义域是，则的定义域是（   ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·江苏扬州·期中）若函数的定义域为，则函数的定义域为 3．（24-25高一上·上海·课堂例题）（1）设函数的定义域为，求下列函数的定义域： ①；②. （2）函数的定义域是，求函数的定义域. 【经典例题六 复合函数的定义域】 【例6】（23-24高二下·辽宁·阶段练习）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 1．（23-24高一上·甘肃兰州·期末）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·广西柳州·阶段练习）已知函数的定义域为，则函数的定义域为 . 3．（23-24高一上·全国·课后作业）设函数的定义域是，求函数的定义域． 【经典例题七 实际问题中的定义域】 【例7】（23-24高一·全国·课后作业）等腰三角形的周长为20cm，底边长ycm是腰长xcm的函数，则此函数的定义域为（    ） A．(0，10) B．(0，5) C．(5，10) D．[5，10) 1．（23-24高一上·四川成都·期中）一枚炮弹发射后，经过落到地面击中目标．炮弹的射高为，且炮弹距地面的高度（单位：）与时间（单位：）的关系为．该函数定义域为（    ） A． B． C． D． 2．（22-23高一上·山东烟台·阶段练习）如图，某小区有一块底边和高均为40m的锐角三角形空地，现规划在空地内种植一边长为x（单位：m）的矩形草坪（阴影部分），要求草坪面积不小于，则x的取值范围为 . 3．（23-24高一上·全国·课后作业）试构建一个问题情境，使其中的变量关系可以用解析式来描述． 【经典例题八 常见(一次函数、二次函数、反比例函数等)的函数值域】 【例8】（22-23高一上·湖北咸宁·自主招生）某广场有一喷水池，水从地面喷出，如图，以水平面为轴，出水点为原点，建立平面直角坐标系，水在空中划出的曲线是抛物线（单位：米）的一部分，则水喷出的最大高度是（    ） A．4米 B．3米 C．2米 D．1米 1．（23-24高一上·福建厦门·期中）已知函数，函数的值域为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·江苏苏州·阶段练习）已知函数，则函数的定义域为 ，值域为 . 3．（24-25高一上·全国·课堂例题）求下列函数的值域： (1)，； (2)； (3)，； (4)． 【经典例题九 复杂(根式型、分式型等)函数的值域】 【例9】（24-25高一上·上海·随堂练习）函数，的值域为（    ）． A． B． C． D． 1．（23-24高一上·安徽宣城·开学考试）已知则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·江苏连云港·期中）若，函数的值域为 . 3．（2023高一·全国·专题练习）求函数的值域． 【经典例题十 根据值域求参数的值或者范围】 【例10】（2023·江西·模拟预测）已知函数，，若对任意的，存在，使，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 1．（20-21高一上·江苏·阶段练习）已知函数，，对于任意的，存在，使得，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（2023高一·江苏·专题练习）函数的定义域为，值域为，则 3．（20-21高一·全国·课后作业）请写出一个函数，使得的定义域为，且值域为. 【经典例题十一 抽象函数的值域】 【例11】（23-24高一上·河北石家庄·阶段练习）已知函数的值域为，则函数的值域为（    ） A． B． C． D． 1．（23-24高一上·湖南长沙·期中）函数的图象如图所示，则函数的定义域、值域分别是（    ）    A．， B．， C．， D．， 2．（23-24高一上·江苏苏州·阶段练习）已知函数的定义域为，值域为，则函数的定义域为 ; 值域为 ． 3．（20-21高一·上海·假期作业）若函数的值域为，求函数的值域. 【经典例题十二 已知函数的定义域求参数】 【例12】（23-24高一上·江苏盐城·期中）若函数的定义域是一切实数，则实数k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 1．（23-24高一上·山东临沂·期中）若函数的定义域是一切实数，则实数k的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（22-23高一上·天津西青·期末）若函数的定义域为，则实数的取值范围是 ． 3．（22-23高三·全国·对口高考）已知集合，且，是A到B的一个函数，并且B是函数的值域，求a，k的值. 【经典例题十三 复合函数的值域】 【例13】（22-23高一上·福建龙岩·阶段练习）若函数的值域是，则函数的值域为（    ） A． B． C． D． 1．（20-21高一上·浙江丽水·阶段练习）函数与函数（    ） A．是同一个函数 B．定义域相同 C．图象重合 D．值域相同 2．（19-20高三上·江苏淮安·期中）函数的值域为 . 3．（23-24高一上·广西桂林·阶段练习）（1）求下列函数的定义域：； （2）求下列函数的值域：. 【经典例题十四 根据函数的值域求定义域】 【例14】（20-21高一上·江苏镇江·阶段练习）要使分式的值为0，你认为x可取得数是（    ） A．9 B．±3 C．﹣3 D．3 1．（20-21高一上·河南开封·阶段练习）若函数f(x)=5x+4的值域是[9，+∞)，则函数f(x)的定义域为（    ） A．R B．[9，+∞) C．[1，+∞) D．(-∞，1) 2．（23-24高一上·江苏镇江·阶段练习）已知一个函数的解析式为，它的值域为，则这样的函数共有 个. 3．（20-21高一上·河北邯郸·阶段练习）（1）已知，，求的值域； （2）已知的值域为，求此函数的定义域. 1．（24-25高一上·广东梅州·开学考试）在下列集合E到集合F的对应中，不能构成E到F的函数的是（     ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·安徽淮北·期中）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高三下·湖南长沙·阶段练习）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 4．（21-22高三上·江苏扬州·阶段练习）已知，且的定义域为，值域为，设函数的定义域为，值域为，则（    ） A． B． C． D． 5．（2022高三·全国·专题练习）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高一上·广东惠州·期中）已知，则下列结论中正确的有（    ） A．若，则 B．若，则 C．函数的图象与x轴有两个交点 D．点在函数的图象上 7．（23-24高一上·福建南平·阶段练习）下列函数中，值域不是（0，+∞）的是（　　） A． B． C． D． 8．（23-24高一上·黑龙江齐齐哈尔·期中）若函数的值域为，则的可能取值为（    ） A． B． C． D．0 9．（23-24高一上·黑龙江牡丹江·期中）已知函数的定义域为，则的取值可以是（    ） A． B． C．1 D．2 10．（23-24高一上·广东广州·期中）已知函数的值域是，则它的定义域可能是（    ） A． B． C． D． 11．（24-25高一上·江西上饶·开学考试）函数，则 ． 12．（24-25高一上·全国·课堂例题）若的定义域是，则的定义域为 ． 13．（24-25高一上·四川成都·开学考试）函数（为确定的实数）的因变量取值范围是 . 14．（24-25高一上·上海·随堂练习）若的定义域为，值域，则的定义域为 ，值域为 ． 15．（23-24高一上·湖南长沙·期中）函数的值域为 . 16．（25-26高一上·全国·课前预习）阅读课本上的内容，并思考初中学过的函数概念是什么？ 17．（23-24高三上·河南南阳·阶段练习）（1）已知y＝f(x)的定义域为[0,1]，求函数y＝f(x2+1)的定义域； （2）已知y＝f(2x﹣1)的定义域为[0,1]，求y＝f(x)的定义域； 18．（23-24高一上·安徽·期末）设函数的定义域为集合A，集合． (1)求； (2)设函数的值域为集合C，若“”是“”的必要不充分条件，求m的取值范围. 19．（22-23高一上·重庆渝中·期中）已知函数的定义域是，值域是，，，的定义域和值域分别为，，的定义域为. (1)求，； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围. 20．（23-24高一上·全国·课后作业）求下列函数的值域． (1)； (2)； (3). 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 函数的概念和图象重难点题型专训（14大题型+20道拓展培优） 题型一 函数关系的判断 题型二 求函数值 题型三 已知函数值求自变量或参数 题型四 具体函数的定义域 题型五 抽象函数的定义域 题型六 复合函数的定义域 题型七 实际问题中的定义域 题型八 常见(一次函数、二次函数、反比例函数等)的函数值域 题型九 复杂(根式型、分式型等)函数的值域 题型十 根据值域求参数的值或者范围 题型十一 抽象函数的值域 题型十二 已知函数的定义域求参数 题型十三 复合函数的值域 题型十四 根据函数的值域求定义域 知识点一：函数的概念 1、函数的定义 设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数和它对应，那么就称为从集合A到集合B的一个函数． 记作：，． 其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域． 知识点诠释： （1）A、B集合的非空性；（2）对应关系的存在性、唯一性、确定性；（3）A中元素的无剩余性；（4）B中元素的可剩余性． 2、构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域 ①构成函数的三个要素是定义域、对应关系和值域．由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全—致，即称这两个函数相等（或为同一函数）； ②两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全—致，而与表示自变量和函数值的字母无关． 知识点二：函数定义域的求法 （1）确定函数定义域的原则 ①当函数是以解析式的形式给出时，其定义域就是使函数解析式有意义的自变量的取值的集合．具体地讲，就是考虑分母不为零，偶次根号的被开方数、式大于或等于零，零次幂的底数不为零以及我们在后面学习时碰到的所有有意义的限制条件． ②当函数是由实际问题给出时，其定义域不仅要考虑使其解析式有意义，还要有实际意义． ③当函数用表格给出时，函数的定义域是指表格中实数的集合． （2）抽象函数定义域的确定 所谓抽象函数是指用表示的函数，而没有具体解析式的函数类型，求抽象函数的定义域问题，关键是注意对应法则．在同一对应法则的作用下，不论接受法则的对象是什么字母或代数式，其制约条件是一致的，都在同一取值范围内． （3）求函数的定义域，一般是转化为解不等式或不等式组的问题，注意定义域是一个集合，其结果必须用集合或区间来表示． 知识点三：函数值域的求法 实际上求函数的值域是个比较复杂的问题，虽然给定了函数的定义域及其对应法则以后，值域就完全确定了，但求值域还是特别要注意讲究方法，常用的方法有： 观察法：通过对函数解析式的简单变形，利用熟知的基本函数的值域，或利用函数的图象的“最高点”和“最低点”，观察求得函数的值域； 配方法：对二次函数型的解析式可先进行配方，在充分注意到自变量取值范围的情况下，利用求二次函数的值域方法求函数的值域； 判别式法：将函数视为关于自变量的二次方程，利用判别式求函数值的范围，常用于一些“分式”函数等；此外，使用此方法要特别注意自变量的取值范围； 换元法：通过对函数的解析式进行适当换元，将复杂的函数化归为几个简单的函数，从而利用基本函数的取值范围来求函数的值域． 求函数的值域没有通用的方法和固定的模式，除了上述常用方法外，还有最值法、数形结合法等．总之，求函数的值域关键是重视对应法则的作用，还要特别注意定义域对值域的制约． 【经典例题一 函数关系的判断】 【例1】（23-24高一上·广东韶关·阶段练习）设,如下选项是从M到N的四种应对方式,其中是M到N的函数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由函数对应关系可得,对于集合M中的每个数,集合N中都有唯一且确定的数与之对应. 【详解】对于A,集合M中的3对应了集合N中的两个数,A错误; 对于B,集合M中的2对应了集合N中的两个数,B错误; 对于C,集合M中的每个数在集合N中都有唯一的数对应,C正确; 对于D,集合M中的3对应了集合N中的两个数,D错误, 故选:C. 1．（23-24高一上·广东佛山·期末）给定数集满足方程，下列对应关系为函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】ACD选项，可举出反例；B选项，利用函数的定义作出判断. 【详解】A选项，，当时，，由于，故A选项不合要求； B选项，，存在唯一确定的，使得，故B正确； CD选项，对于，不妨设，此时，解得， 故不满足唯一确定的与其对应，不满足要求，CD错误. 故选：B 2．（23-24高一下·全国·课前预习）分段函数 如果一个函数，在其定义域内，对于自变量的不同 ，有不同的 ，则称其为分段函数. 【答案】 取值区间 对应方式 【分析】略 【详解】略 3．（24-25高一上·上海·课前预习）要构成一个函数需要满足怎样的对应关系？ 【答案】函数定义域中的每个值，都有唯一确定的函数值与之对应. 【分析】略 【详解】函数定义域中的每个值，都有唯一确定的函数值与之对应. 【经典例题二 求函数值】 【例2】（23-24高一上·北京·期中）已知下列表格表示的是函数，则的值为（    ） x 0 1 2 3 y 0 2 1 4 A． B． C．0 D．1 【答案】B 【分析】根据给定的数表，直接计算得解. 【详解】依题意，，所以. 故选：B 1．（23-24高一上·江苏淮安·期中）定义：，其中为的个位数字，，若（），则（    ） A．0 B．1 C．3 D．5 【答案】A 【分析】依据题给定义求得为的个位数字，再利用题给条件得到，进而得到的值. 【详解】 则为的个位数字，即为的个位数字， 则由（），可得, 则 故选：A 2．（2024·江苏·模拟预测）已知定义在上的满足，且对于任意的，有，则 . 【答案】 【分析】令得或，排除即可. 【详解】在中，令，有，解得或， 若，则在中，令，有恒成立，但这与矛盾， 所以只能，经检验符合题意. 故答案为：. 3．（23-24高一·上海·课堂例题）设是常数，函数的表达式为．若，求． 【答案】6 【分析】利用待定系数法求出函数的解析式，再将代入即可得解. 【详解】由，得，解得， 所以， 所以. 【经典例题三 已知函数值求自变量或参数】 【例3】（23-24高一上·江苏徐州·阶段练习）已知函数，若，则的值等于（   ）. A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定的函数，代入解方程即得. 【详解】函数，由，得，则，解得， 所以的值等于. 故选：C 1．（23-24高一上·河南·阶段练习）如图，表示从集合到集合的函数，若，则的值为（    ） A．1 B．2 C．1或2 D．3 【答案】C 【分析】结合函数关系图形即可得到答案. 【详解】由图可知，若，则或2. 故选：C. 2．（22-23高三上·重庆沙坪坝·开学考试）已知，若，则 . 【答案】/ 【分析】令，解出，代入求即可． 【详解】令，解得，则 故答案为： 3．（23-24高一上·新疆喀什·期中） 已知函数，满足. (1)求实数的值； (2)求当时，的值； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）把直接代入求解结果； （2）先求解，再代入求解结果. 【详解】（1）已知，，解得. （2）当时，， 所以. 【经典例题四 具体函数的定义域】 【例4】（24-25高二上·云南昭通·开学考试）函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数定义域的求法求得正确答案. 【详解】依题意，，解得， 所以函数的定义域为. 故选：A 1．（23-24高一上·福建龙岩·阶段练习）函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用函数有意义列出不等式组求解即得. 【详解】函数有意义，则，解得且， 所以所求定义域为. 故选：D 2．（23-24高一上·江苏盐城·期中）函数的定义域为 . 【答案】 【分析】根据函数定义域的求法求得正确答案. 【详解】依题意，，解得且， 所以的定义域为. 故答案为： 3．（23-24高一·上海·课堂例题）设是常数，求下列函数的定义域： (1)； (2). 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 【分析】（1）（2）利用具体函数定义域的求法，分类讨论的取值范围即可得解. 【详解】（1）当时，，此时函数的定义域为， 当时，，解得，此时函数的定义域为； 当时，，此时函数的定义域为； （2）令，解得或， 当时，此时的定义域为或， 当时，恒成立，此时的定义域为， 当时，此时的定义域为或. 【经典例题五 抽象函数的定义域】 【例5】（22-23高二上·安徽马鞍山·开学考试）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】依题意得，解出该不等式组即可得解. 【详解】因为函数的定义域为， 所以，， 所以函数的定义域为. 故选：A. 1．（24-25高三上·福建宁德·开学考试）已知函数的定义域是，则的定义域是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用抽样函数定义域列式求解即得. 【详解】由函数的定义域是，得， 因此在函数中，，解得， 所以所示函数的定义域为. 故选：A 2．（23-24高一上·江苏扬州·期中）若函数的定义域为，则函数的定义域为 【答案】 【分析】依题意可得，解得即可. 【详解】因为函数的定义域为，对于函数， 令，解得或， 所以函数的定义域为. 故答案为： 3．（24-25高一上·上海·课堂例题）（1）设函数的定义域为，求下列函数的定义域： ①；②. （2）函数的定义域是，求函数的定义域. 【答案】（1）①；②；（2） 【分析】（1）利用抽象函数定义域的性质求解即可. （2）利用抽象函数定义域的性质求解即可. 【详解】（1）①由已知，得，解得，故的定义域为. ②由已知，得，解得，故的定义域为. （2）先求的定义域： 因为的定义域是，所以， 所以，即的定义域是. 再求的定义域： 因为，解得， 所以的定义域是. 【经典例题六 复合函数的定义域】 【例6】（23-24高二下·辽宁·阶段练习）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据复合函数定义域的求法进行求解. 【详解】由题意可知，要使有意义，则，解得， 所以函数的定义域为． 故选：D． 1．（23-24高一上·甘肃兰州·期末）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据复合函数定义域的定义可知，，即可求解. 【详解】因为函数的定义域为， 所以中，，解得：， 所以函数的定义域为. 故选：B 2．（23-24高一上·广西柳州·阶段练习）已知函数的定义域为，则函数的定义域为 . 【答案】 【分析】根据复合函数的定义域的性质进行求解即可. 【详解】因为函数的定义域为， 所以满足，即， 又函数有意义，得，解得. 所以函数的定义域为. 故答案为： 3．（23-24高一上·全国·课后作业）设函数的定义域是，求函数的定义域． 【答案】 【分析】根据复合函数定义域的求解方法，列出不等式组求解即可. 【详解】∵函数的定义域是， ∴要使函数有意义， 则，解得. 故函数的定义域为. 【经典例题七 实际问题中的定义域】 【例7】（23-24高一·全国·课后作业）等腰三角形的周长为20cm，底边长ycm是腰长xcm的函数，则此函数的定义域为（    ） A．(0，10) B．(0，5) C．(5，10) D．[5，10) 【答案】C 【解析】利用两边之和大于第三边及边长为正数可得函数的定义域. 【详解】由题设有， 由得， 故选:C. 1．（23-24高一上·四川成都·期中）一枚炮弹发射后，经过落到地面击中目标．炮弹的射高为，且炮弹距地面的高度（单位：）与时间（单位：）的关系为．该函数定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据实际意义分析即可. 【详解】由题意可知，炮弹发射后共飞行了， 所以，即函数的定义域为. 故选：C 2．（22-23高一上·山东烟台·阶段练习）如图，某小区有一块底边和高均为40m的锐角三角形空地，现规划在空地内种植一边长为x（单位：m）的矩形草坪（阴影部分），要求草坪面积不小于，则x的取值范围为 . 【答案】 【分析】由三角形相似得，再根据面积不小于，即可求得x的取值范围. 【详解】设矩形另一边的长为m， 由三角形相似得：，（）, 所以, 所以矩形草坪的面积， 解得：. 故答案为： 3．（23-24高一上·全国·课后作业）试构建一个问题情境，使其中的变量关系可以用解析式来描述． 【答案】答案见解析 【分析】易知为二次函数，定义域为R，值域是，对应关系把定义域中任意一个实数，对应到中唯一确定的数. 【详解】若限制的取值范围，例如，则可以构建如下情境： 某地“桃花节”的观赏人数逐年增加，据有关部门统计，2021年约有10万人次，设观赏人数的年平均增长率为，2023年观赏人数为万，则. 其中x的取值范围是，y的取值范围是． 对应关系把每一个增长率x都对应到唯一确定的观赏人数. 【经典例题八 常见(一次函数、二次函数、反比例函数等)的函数值域】 【例8】（22-23高一上·湖北咸宁·自主招生）某广场有一喷水池，水从地面喷出，如图，以水平面为轴，出水点为原点，建立平面直角坐标系，水在空中划出的曲线是抛物线（单位：米）的一部分，则水喷出的最大高度是（    ） A．4米 B．3米 C．2米 D．1米 【答案】A 【分析】根据题意，求出的最大值，即为结果. 【详解】，故水喷出的最大高度是米. 故选：A. 1．（23-24高一上·福建厦门·期中）已知函数，函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据二次函数的性质即可得到值域. 【详解】， 因为，所以的值域为，即， 故选：A. 2．（23-24高一上·江苏苏州·阶段练习）已知函数，则函数的定义域为 ，值域为 . 【答案】 【分析】第一空：利用偶次根式被开方数非负即可得解；第二空，对平方，结合二次函数的性质即可得解. 【详解】因为， 所以，解得，即的定义域为； 易知． 又， 对于，其开口向下，对称轴为， 所以时，有最大值， 当或时，有最小值0， 所以当时，的值域为， 则的值域为，故求的值域为． 故答案为：；. 3．（24-25高一上·全国·课堂例题）求下列函数的值域： (1)，； (2)； (3)，； (4)． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)． 【分析】（1）根据给定的自变量值求出函数值即可. （2）利用二次根式的意义求出值域. （3）利用二次函数的性质求出值域. （4）利用分式函数，结合分离常数的思想求出值域. 【详解】（1），且，则． 所以函数的值域为. （2）函数的定义域为，由，得， 所以的值域为. （3）函数图象的对称轴为，而， 当时，，当时，， 所以函数的值域为． （4）函数的定义域为， ， 所以函数的值域为． 【经典例题九 复杂(根式型、分式型等)函数的值域】 【例9】（24-25高一上·上海·随堂练习）函数，的值域为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由，得，再代入运算即可. 【详解】由，得， 所以． 故选：C. 1．（23-24高一上·安徽宣城·开学考试）已知则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，通过换元可得，结合反比例函数性质可得的取值范围. 【详解】由有意义可得， 设，则，， 所以， 所以， 故选：C. 2．（23-24高一上·江苏连云港·期中）若，函数的值域为 . 【答案】 【分析】根据题意利用基本不等式运算求解. 【详解】因为，则， 当且仅当，即时，等号成立， 所以函数的值域为. 故答案为：. 3．（2023高一·全国·专题练习）求函数的值域． 【答案】 【分析】根据分式函数的特点，因定义域为，可将其化成关于的一元二次方程恒有实根的情况，通过根的判别式即可求得函数的值域. 【详解】因为恒成立，故， 则由可得，， 当时，，适合题意； 当时，由于，故恒有实数根， 故，解得且， 综上可得，的值域为. 【经典例题十 根据值域求参数的值或者范围】 【例10】（2023·江西·模拟预测）已知函数，，若对任意的，存在，使，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出二次函数在上的值域为，分、、两种情况讨论，求出函数在上的值域，由题意可得出，当时，直接验证即可，在、两种情况下，可得出关于实数的不等式组，综合可得出实数的取值范围. 【详解】函数， 当时，，则，则， 函数在的值域记为， 对任意的，存在，使，则， ①当时，，则，则； ②当时，因为，则，则， 所以，，解得； ③当时，因为，则，即， 所以，，解得. 综上所述，实数的取值范围是. 故选：B. 1．（20-21高一上·江苏·阶段练习）已知函数，，对于任意的，存在，使得，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】分别求两个函数在区间的值域，再根据条件转化为子集关系求解. 【详解】时单调递增函数， 的值域是， 的对称轴是，在上，函数单调递减， 的值域是， 对于任意的，存在，使得， ， ，解得：. 故选：B 【点睛】关键点点睛：本题考查双变量函数相等问题，此类问题，转化为求函数值域，并转化为子集问问他解决. 2．（2023高一·江苏·专题练习）函数的定义域为，值域为，则 【答案】 【分析】根据函数值域，结合二次函数的性质进行求解即可. 【详解】当时，显然不符合题意， 当时，因为该函数的定义域为全体实数，值域为， 所以，解得， 故答案为：． 3．（20-21高一·全国·课后作业）请写出一个函数，使得的定义域为，且值域为. 【答案】，.（答案不唯一） 【分析】由题意，只需写出一个即可.为了简单，我们可以选择一次函数，因为定义域中可以取到最大值2，而值域中可以取到最小值1，所以要考虑函数值随自变量的增大而减小的函数. 【详解】不妨设，，则有 解得，. 所以，.（答案不唯一） 【经典例题十一 抽象函数的值域】 【例11】（23-24高一上·河北石家庄·阶段练习）已知函数的值域为，则函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据已知求得的范围，即可得到的范围. 【详解】因为函数的值域为，即， 所以， 所以，即函数的值域为. 故选：A 1．（23-24高一上·湖南长沙·期中）函数的图象如图所示，则函数的定义域、值域分别是（    ）    A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】根据函数的定义域和值域的定义，结合函数图象进行求解即可. 【详解】自变量可取或内的任意值，∴定义域为或. 函数值范围为或，即，∴值域为. 故选：C. 2．（23-24高一上·江苏苏州·阶段练习）已知函数的定义域为，值域为，则函数的定义域为 ; 值域为 ． 【答案】 【分析】令求出的取值范围，即可得到的定义域，再根据函数图象的变换得到值域不变. 【详解】因为函数的定义域为，值域为， 对于函数，令，解得，即函数的定义域为， 而的图象可以由的图象向左平移个单位得到， 所以的值域与的值域相同，即为. 故答案为：； 3．（20-21高一·上海·假期作业）若函数的值域为，求函数的值域. 【答案】 【分析】由函数中的自变量取任意实数函数的值域都为可得值域不变. 【详解】函数的值域为， 由于函数中的自变量取任意实数函数的值域都为， 故函数值域也为. 【经典例题十二 已知函数的定义域求参数】 【例12】（23-24高一上·江苏盐城·期中）若函数的定义域是一切实数，则实数k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意可知：对一切实数恒成立，分和两种情况，结合二次方程分析求解. 【分析】由题意可知：对一切实数恒成立， 若，则，符合题意； 若，则，解得； 综上所述：实数k的取值范围是. 故选：C. 1．（23-24高一上·山东临沂·期中）若函数的定义域是一切实数，则实数k的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意可知，对任意的，恒成立，分、两种情况讨论，结合已知条件可求得实数的取值范围. 【详解】因为函数的定义域为， 所以，对任意的，恒成立. ①当时，则有，合乎题意； ②当时，由题意可得，解得. 综上所述，实数的取值范围是. 故选：C. 2．（22-23高一上·天津西青·期末）若函数的定义域为，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】由题意可知：在上恒成立，分和两种情况，结合二次函数列式求解. 【详解】由题意可知：在上恒成立， 若，则，符合题意； 若，则，解得； 综上所述：实数的取值范围是. 故答案为：. 3．（22-23高三·全国·对口高考）已知集合，且，是A到B的一个函数，并且B是函数的值域，求a，k的值. 【答案】，. 【分析】由函数的概念与集合中元素的互异性求解即可. 【详解】是A到B的一个函数， 所以；，， 所以或， 又因为， 所以，解出. 所以，. 所以或， 解出或（舍）. 所以，. 【经典例题十三 复合函数的值域】 【例13】（22-23高一上·福建龙岩·阶段练习）若函数的值域是，则函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由可推导得到的范围，即为所求值域. 【详解】的值域为，，， 即的值域为. 故选：A. 1．（20-21高一上·浙江丽水·阶段练习）函数与函数（    ） A．是同一个函数 B．定义域相同 C．图象重合 D．值域相同 【答案】D 【解析】先判断两个函数中与的范围及对应关系f相同，即得结果. 【详解】由于函数中的范围与函数中的范围相同，且两个函数具有相同的对应关系f，故函数与函数的值域相同. 故选：D. 2．（19-20高三上·江苏淮安·期中）函数的值域为 . 【答案】 【分析】令，由于为增函数，结合复合函数单调性，得出在处取得最小值，代入即可得出答案. 【详解】解:因为 ，定义域， 令，则，且在为减函数，为增函数， 而的底数是，即为增函数， 所以在为减函数，为增函数， 得在处取得最小值， 因此， 所以函数的值域为. 故答案为：. 【点睛】本题考查复合函数的值域，运用到二次函数和对数函数的单调性以及复合函数单调性“同增异减”的性质. 3．（23-24高一上·广西桂林·阶段练习）（1）求下列函数的定义域：； （2）求下列函数的值域：. 【答案】（1）（2） 【分析】（1）要使函数有意义，解出，即可得到答案； （2）由，即可得到答案. 【详解】（1）要使函数有意义， 则有，解得且， 所以其定义域为. （2）， 所以函数的值域为. 【经典例题十四 根据函数的值域求定义域】 【例14】（20-21高一上·江苏镇江·阶段练习）要使分式的值为0，你认为x可取得数是（    ） A．9 B．±3 C．﹣3 D．3 【答案】D 【分析】解方程，即可. 【详解】令，解得（∵分母不为0，∴） 故选：D 1．（20-21高一上·河南开封·阶段练习）若函数f(x)=5x+4的值域是[9，+∞)，则函数f(x)的定义域为（    ） A．R B．[9，+∞) C．[1，+∞) D．(-∞，1) 【答案】C 【分析】解：由题意可得，从而可求出函数的定义域 【详解】解：因为函数f(x)=5x+4的值域是[9，+∞)， 所以，解得， 故选：C 【点睛】此题考查由函数的值域求函数的定义域，属于基础题 2．（23-24高一上·江苏镇江·阶段练习）已知一个函数的解析式为，它的值域为，则这样的函数共有 个. 【答案】9 【分析】根据值域得的取值情况，列举可得答案. 【详解】一个函数的解析式为，它的值域为， 则必取，至少取一个，至少取一个， 这样函数的定义域可为共9 个， 则这样的函数共有个. 故答案为：. 3．（20-21高一上·河北邯郸·阶段练习）（1）已知，，求的值域； （2）已知的值域为，求此函数的定义域. 【答案】（1）；（2）. 【解析】（1）将x分别取0，1，2，3时，可得y值依次为，，1，3，即可得答案； （2）解不等式，即可得答案； 【详解】解：（1）当x分别取0，1，2，3时，y值依次为，，1，3， 的值域为1，． （2）， ， 即 即函数的定义域为． 【点睛】本题考查具体函数的定义域和值域求解，考查运算求解能力，属于基础题. 1．（24-25高一上·广东梅州·开学考试）在下列集合E到集合F的对应中，不能构成E到F的函数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用函数的定义一一判定选项即可. 【详解】根据函数的定义可知，中的每一个元素在中都有唯一的元素与之对应， 显然A、B、C符合题意， 而D选项中，E中的元素在中有两个元素对应，不符合函数的定义. 故选：D 2．（23-24高一上·安徽淮北·期中）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用函数有意义列出不等式求解即得. 【详解】函数有意义，则，解得， 所以原函数的定义域为. 故选：A 3．（23-24高三下·湖南长沙·阶段练习）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】化简集合A和集合B,再利用交补运算求解. 【详解】因为， ， 所以，所以， 故选:C． 4．（21-22高三上·江苏扬州·阶段练习）已知，且的定义域为，值域为，设函数的定义域为，值域为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据已知可推得的定义域与值域，然后即可得出，根据交集的运算得出答案. 【详解】由已知的定义域为，值域为， 可得的定义域为，值域为， 所以， 所以，所以，. 所以，. 故选:C. 5．（2022高三·全国·专题练习）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】令，则，再根据二次函数的性质求出的最大值，进而可得的范围，再计算的范围即可求解. 【详解】令，则且 又因为， 所以，所以， 即函数的值域为， 故选：B. 6．（23-24高一上·广东惠州·期中）已知，则下列结论中正确的有（    ） A．若，则 B．若，则 C．函数的图象与x轴有两个交点 D．点在函数的图象上 【答案】AD 【分析】运用函数的定义与性质逐一判断. 【详解】解：选项A：由，可得，解得，故选项A正确； 选项B：由，可得，所以，故选项B错误； 选项C：因为，所以函数的图象与轴没有交点，故选项C错误； 选项D：因为，所以点在函数的图象上，故选项D正确. 故选：AD. 7．（23-24高一上·福建南平·阶段练习）下列函数中，值域不是（0，+∞）的是（　　） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】根据函数的值域即可解决. 【详解】A.值域为； B.值域为； C.值域为； D.值域为. 故选：ABC 8．（23-24高一上·黑龙江齐齐哈尔·期中）若函数的值域为，则的可能取值为（    ） A． B． C． D．0 【答案】BCD 【分析】对进行分类讨论，结合判别式求得的取值范围. 【详解】①时，，值域为，满足题意； ②时，若的值域为， 则； 综上，． 故选：BCD 9．（23-24高一上·黑龙江牡丹江·期中）已知函数的定义域为，则的取值可以是（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】BCD 【分析】根据题意，分与讨论，列出不等式，代入计算，即可得到结果. 【详解】由题意得：，即时，恒成立，符合题意； 时，的定义域是，只需， 解得：，综上所述：. 故选：BCD 10．（23-24高一上·广东广州·期中）已知函数的值域是，则它的定义域可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】对四个选项依次求解相应的值域，得到答案. 【详解】A选项，当时，，故，A错误； B选项，当时，，故，B正确； C选项，当时，，故，C正确； D选项，当时，，故，D正确. 故选：BCD 11．（24-25高一上·江西上饶·开学考试）函数，则 ． 【答案】 【分析】将代入函数解析式即可得. 【详解】. 故答案为：. 12．（24-25高一上·全国·课堂例题）若的定义域是，则的定义域为 ． 【答案】 【分析】根据题意，列出不等式求解即可. 【详解】∵， ∴， ∴的定义域为． 故答案为：. 13．（24-25高一上·四川成都·开学考试）函数（为确定的实数）的因变量取值范围是 . 【答案】当时，因变量的取值范围是；当时，因变量的取值范围是；当时，因变量的取值范围是. 【分析】对进行分类讨论，根据一次函数、二次函数的知识求得正确答案. 【详解】当时，，则； 当时，二次函数，则顶点的纵坐标为， 所以，当时，因变量的取值范围是；当时，因变量的取值范围是. 故答案为：当时，因变量的取值范围是；当时，因变量的取值范围是；当时，因变量的取值范围是. 14．（24-25高一上·上海·随堂练习）若的定义域为，值域，则的定义域为 ，值域为 ． 【答案】 【分析】由抽象函数定义域的求法列不等式组即可求解新函数定义域，由函数平移变换法则可得新函数值域. 【详解】因为的定义域为， 所以要使有意义，则，所以， 所以的定义域为， 的图象是的图象向左平移所得，所以值域不变，即的值域为． 故答案为：，. 15．（23-24高一上·湖南长沙·期中）函数的值域为 . 【答案】 【分析】先求出分母的范围，然后根据倒数关系即可得的值域. 【详解】因为二次函数的值域为， 所以的定义域是，值域为. 故答案为：. 16．（25-26高一上·全国·课前预习）阅读课本上的内容，并思考初中学过的函数概念是什么？ 【答案】答案见解析 【分析】略 【详解】如果在一个变化过程中有两个变量x和y，对于变量x的每一个值，变量y都有唯一的值与它对应，那么称y是x的函数，其中x是自变量，y是因变量. 17．（23-24高三上·河南南阳·阶段练习）（1）已知y＝f(x)的定义域为[0,1]，求函数y＝f(x2+1)的定义域； （2）已知y＝f(2x﹣1)的定义域为[0,1]，求y＝f(x)的定义域； 【答案】（1）；（2）． 【分析】根据函数的定义求解，注意整体思想的应用． 【详解】（1）由题意，解得，所以的定义域是； （2）由于中，因此，所以的定义域是． 18．（23-24高一上·安徽·期末）设函数的定义域为集合A，集合． (1)求； (2)设函数的值域为集合C，若“”是“”的必要不充分条件，求m的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据已知条件，结合交集的定义，即可求解； （2）先求出集合，再结合充分条件、必要条件的定义，即可求解． 【详解】（1）根据题意，可得 或， 因为，则 . （2）函数 在上单调递减， 所以，且， 因为“”是“ ”的必要不充分条件，所以是的真子集， 则，解得，即的取值范围是． 19．（22-23高一上·重庆渝中·期中）已知函数的定义域是，值域是，，，的定义域和值域分别为，，的定义域为. (1)求，； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）通过函数的定义域即可直接得到的定义域，通过求的单调性即可求出其值域； （2）先求出的范围，推出的定义域为所包含的区间，通过对的分类讨论，求出各种情况下的定义域，看是否包含，即可求出实数的取值范围. 【详解】（1）由题意在函数中，定义域是，值域是 ∴， 在中， 定义域为， 设，， 设且 ∴函数单调递增 ∴， ∴的值域为 （2）由题意及（1）得，， ∴ 在中，的定义域为 ∵“”是“”的充分不必要条件 ∴“”是“”的充分不必要条件 ∴的定义域包括 当时，，，解得：，不符题意，舍去 当时，， 当时，解得：或1 当时，， ，解得：，不符题意，舍去 当且，即时，，解得：或，符合题意 当且，即时， ，解得：或，不符题意，舍去 综上，实数的取值范围为 20．（23-24高一上·全国·课后作业）求下列函数的值域． (1)； (2)； (3). 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）采用分离常数法可知即可得其值域为； （2）利用换元法，将原函数表示为，根据二次函数单调性可求得结果； （3）求得函数定义域为，求出二次函数最值即可求得其值域. 【详解】（1）由于，且； 所以可得， 因此函数的值域是． （2）令，所以， 即， 当时，， 即函数的值域为. （3）易知需满足，即，即函数定义域为； ， 由二次函数性质可得， 所以的值域为． 学科网（北京）股份有限公司 $$