7.5三角形内角和定理 （教案）-2024-2025学年北师大版数学八年级上册

《三角形内角和定理》 课 型:新课 教学目标: 1. 知识与能力:掌握三角形内角和定理的证明及简单应用。 2. 过程与方法:通过猜想、推理等数学活动,探究三角形内角和定理。 3. 情感态度与价值观:体会数学的划归思想,培养学生观察猜想和论证的能力。 教材分析: 1. 重点:三角形内角和定理及其证明。 2. 难点:三角形内角和定理的证明及灵活应用解决问题。 教学方法:讲授法,启发引导。 学法指导:实践操作,合作交流。 1、 教学过程: 创设情境,新知导入 师问:我们都知道,“三角形的内角和为180 ”,那你知道是谁最先发现的这个结论吗?是谁又对它进行了证明?下面我们就一块来了解三角形内角和的发现与证明史吧! (多媒体展示)泰勒斯,古希腊思想家古希腊思想家、数学家、科学家、哲学家,是史上第一位数学家,他通过拼图发现三角形的内角定理,但是这一发现只是实验性的,并未给出严谨的推理。随后,毕达哥拉斯和欧几里得先后通过几何推理的方法证明了三角形内角和定理。 师:我们从小学开始就一直在用三角形的内角和定理,意味着我们一直站在巨人的肩膀上在看世界,今天就让我们拉开历史的帷幕,一起来看看这些数学家们是如何发现和证明三角形内角和定理的。 处理方式:学生齐读,在读中感受数学文化,同时提出问题。 设计意图:让学生面对最熟悉的陌生人“三角形内角和为180 ”从不同的角度了解定理,追根溯源,了解数学家们对于定理的发现及证明过程,感受数学历史及数学文化。 实验操作 探究新知 第一篇章:发现篇 活动:请大家利用手上的工具来还原一下历史,探索三角形的内角和到底是多少度? (学生动手操作,教师在教室观察,并依次让学生起来展示自己的成果) 学生1:度量。(大多数学生采用这种方法,说明量化角度数首选的方法就是测量) 学生2:撕拼。(部分学生采用这种方法,将三角形的三个内角拼成了一个平角) 学生3:折叠。(用这种方法的人受方法二影响,为了不破坏三角形想出来的方法,也是将三个角拼成一个平角) 师问:大家通过操作后能否大胆猜想“三角形的内角和为180 ”呢? 生答:可以。 师问:那么,我们只通过动手操作就得出这个结论可靠吗? 生答:不可靠。 师:那么,接下来就让我进入第二篇章,证明篇,大家一起来证明一下三角形内角和为180 。 处理方式:让不同方法的学生起来说说自己的方法,然后让学生根据自己动手操作的结果进行猜想(三角形的内角和为180度),还原数学家当时发现这个结论时的场景。 设计意图:让学生感受实践是检验真理的唯一标准,解决问题可以采取不同的方法,同时让学生感受发现一个结论甚至定理所需要不断的实验和大胆的猜想,同时提出问题,引起学生的质疑,进而进行证明。 第二篇章:证明篇 活动:证明:三角形的内角和为180 。 回忆:与180 有关的知识有哪些: 1. 一个平角=180 ; 2. 两直线平行,同旁内角互补。 已知:如图, ABC. 求证:∠A+∠B+∠C=180 . 方法一(欧几里得): 证明:延长BC到D,过点C作CE∥BA,则 ∠2=∠A,(两直线平行,内错角相等) ∠1=∠B,(两直线平行,同位角相等) ∵∠ACB+∠1+∠2=180 , (平角的定义) ∴∠ACB+∠A+∠B=180 . (等量代换) 处理方式:回忆环节的设计主要是唤醒学生旧知,为学生指明证明的方向。同时带领学生复习文字命题证明时要先转化成符号语言。 方法一带领学生思考并完成辅助线的添加,同时给出标准的解答过程。 设计意图:让学生感受通过构造平行线可以进行角的转化,同时证明内角和为180 的目标就是将三个内角转化到一个平角上。 师问:除了以上方法,你还有其他方法吗?请前后四人为小组进行讨论。(学生进行展示) 方法二 证明:过点A作直线DE∥BC,则 1=∠B, ∠2=∠C, (两直线平行,内错角相等) ∵∠1+∠BAC+∠2=180 , (平角的定义) ∴ ∠B+∠BAC+∠C=180 .(等量代换) 方法三 证明:过点A作射线AD∥BC,则 ∠1=∠B , (两直线平行,内错角相等) ∠1+∠BAC+∠C=180,(两直线平行,同旁内角互补) ∴∠B+∠BAC+∠C=180 .(等量代换) 处理方式:让两名学生上黑板展示方法二、方法三,并给出具体的解答过程,教师从辅助线的添加到过程书写,甚至每一步的依据进行点评,正确的予以肯定,问题及时指出。其他学生从中任选一种进行证明,并且说明方法二为毕达哥拉斯的证法,方法三为克莱罗的证法。 设计意图:了解学生是否掌握定理的证明,书写的规范程度,另外,让学生知道自己能想到的方法同数学家一样,增加学生的成就感,提升对数学虚席的兴趣。 以上是最常见的方法,将学生的其他方法进行课件展示。 师问:以上多有的方法有什么共同的特点呢? 处理方式:让学生先简单叙述后面三种方法的过程,用自己的语言概括所有方法的共同点(即将三角形的三个内角转化到一个平角或者一组平行线间的同旁内角)。 设计意图:感受平角的顶点可以是平面内的任意一点,由特殊到一般。同时感受一题多解,殊途同归,渗透数学中转化的数学思想,通过平行进行角的转化方法。让学生进一步感受数学的魅力。 课堂小结 感悟收获 本节课“我知道了…”, “我发现了…”, “我学会了…”,“我想我以后将…” 三、板书设计:(使用课件:是) 四、教学反思: 本节课通过数学史引入,让学生对最熟悉的陌生人“三角形的内角和定理”又重新产生兴趣,将学生由发现篇代回历史的洪流中,重现数学家发现结论的场景,再进入证明篇,沿着数学家欧几里得和毕达哥拉斯的足迹对定理进行严格的证明,让学生走数学家曾经走过的路,感受定理发现及证明的过程,见证定理的产生,让学生明白任何一个定理的产生都需要进行反复的验证,最后进入应用篇,学生用所学进行问题解决。在授课过程中学生展示环节较少,特别是学生对于定理其他方法的证明应该以不同的形式进行呈现,提高学生的自信心,其次在最后总结过程中由于时间仓促,对于学生总结不到位的地方,没有及时进行补充总结提升。 学科网(北京)股份有限公司 $$