第五章 函数应用重难点检测卷 -2024-2025学年高一年级数学上册重难点专题提升精讲精练（北师大版2019必修第一册）

第五章 函数应用重难点检测卷 注意事项： 本试卷满分150分，考试时间120分钟，试题共19题。答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．（21-22高一上·北京西城·期中）已知函数，在下列说法中正确的是（    ） A．是函数的一个零点 B．函数只有两个零点 C．函数在上至少有一个零点 D．函数在上没有零点 2．（24-25高三上·重庆沙坪坝·开学考试）设，函数，若恰有三个不同的零点，且是其中的一个零点，则实数的值为（    ） A． B． C． D．1 3．（2023高一上·全国·专题练习）以下每个图象表示的函数都有零点，但不能用二分法求函数零点近似值的是（    ） A．   B．   C．   D．   4．（23-24高一上·安徽·阶段练习）已知函数在内有一个零点，且求得的部分函数值如下表所示： 0 1 0.5 0.75 0.625 0.5625 0.6875 0.65625 0.671875 1 0.1719 0.01245 若用二分法求零点的近似值（精确度为0.1），则对区间等分的最少次数和零点的一个近似值分别为（    ） A．4，0.7 B．5，0.7 C．4，0.65 D．5，0.65 5．（21-22高一·全国·课后作业）已知函数，，，则下列关于这三个函数的描述中，正确的是（    ） A．在上，随着的逐渐增大，增长速度越来越快于 B．在上，随着的逐渐增大，增长速度越来越快于 C．当时，的增长速度一直快于 D．当时， 6．（2023高一上·江苏·专题练习）今有一组实验数据如下： 现准备用下列函数中的一个近似地表示这些数据满足的规律，其中最接近的一个是（ ） A． B． C． D． 7．（24-25高一上·全国·课后作业）某股民购买一公司股票10万元，在连续十个交易日内，前5个交易日，平均每天上涨5％，后5个交易日内，平均每天下跌4.9％，则股民的股票盈亏情况（不计其他成本，精确到元）为（    ） A．赚723元 B．赚145元 C．亏145元 D．亏723元 8．（23-24高一下·湖北·阶段练习）中国的5G技术领先世界，5G技术中的数学原理之一是香农公式：，它表示在被高斯白噪音干扰的信道中，最大信息传送速率取决于信道带宽、信道内所传信号的平均功率S、信道内部的高斯噪音功率的大小，其中叫做信噪比.已知当比较大时，，按照香农公式，由于技术提升，宽带在原来的基础上增加，信噪比从1000提升至8000，则大约增加了（    ）（附：） A． B． C． D． 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.） 9．（23-24高三下·重庆·阶段练习）已知函数的零点为，的零点为，则（   ） A． B． C． D． 10．（24-25高三上·四川眉山·开学考试）已知函数，下列有关方程的实数解个数说法正确的是（    ） A．当实数解的个数为1时， B．当实数解的个数为2时， C．当实数解的个数为3时， D．当实数解的个数为3时， 11．（2023高一·上海·专题练习）（多选）已知函数，，，则下列关于这三个函数的描述中，正确的是（    ） A．在上，随着的逐渐增大，的增长速度越来越快于 B．在上，随着的逐渐增大，的增长速度越来越快于 C．当时，的增长速度一直快于 D．当时，的增长速度有时快于 三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12．（23-24高一上·黑龙江大庆·阶段练习）已知二次函数，若方程有三个不同的实数根，则实数的取值范围是 . 13．（23-24高一下·云南·阶段练习）某商店销售两款商品，利润（单位：元）分别为和，其中为销量（单位：袋），若本周销售两款商品一共20袋，则能获得的最大利润为 . 14．（23-24高二下·上海·阶段练习）某企业欲实现在今后10年内产值翻两翻的目标，则该企业年产值的年平均增长率为 (结果精确到0.001) 四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.） 15．（23-24高一上·上海·阶段练习）已知函数和，其中，． (1)当时，函数只有一个零点，求该零点； (2)当时，讨论函数的奇偶性，并说明理由． 16．（23-24高一上·山东临沂·阶段练习）定义在上的奇函数，满足，且时，. (1)求在上的解析式； (2)判断在内的单调性，并给予证明； (3)当为何值时，关于的方程在上有实数解？ 17．（22-23高一·全国·随堂练习）判断方程在区间内是否有解；如果有，求出一个近似解．（精确度为0.1） 18．（21-22高一·湖南·课后作业）将温度探头放入一杯水中，随着时间变化记录水温数据，得到下表数据． 时间/min 1 2 3 4 5 温度/℃ 90.5 82.5 75.5 69.0 63.5 (1)描点画出水温随时间变化的大致图象； (2)建立一个能基本反映水温（）随时间变化的函数模型，并借助计算机软件作出其图象，观察它与描点画出的图象的吻合程度； (3)分析所得的函数模型图象，估计经过多少分钟水温才会降到26℃左右？ 19．（23-24高一上·吉林延边·阶段练习）我们一般使用分贝（符号是）来表示声音强度（瓦/平方米，符号是）的等级，强度为的声音对应的等级为，科学研究表明，它们满足关系：，其中为修正系数（常数），为普通人能听到的声音的最小强度（常数），清晨时风吹落叶的沙沙声其强度为，上学高峰时汽车川流不息声音强度达到，经某科技爱好者用分贝测试仪测得声音等级分别为和. (1)求与的值，并求当测得同学们早读声音等级为时，早读的声音强度； (2)某天上午体育课进行了测试，同学们非常疲倦，午间教室非常安静，比平常降低了，求平常中午的声音强度是这天中午声音强度的多少倍？ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第五章 函数应用重难点检测卷 注意事项： 本试卷满分150分，考试时间120分钟，试题共19题。答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．（21-22高一上·北京西城·期中）已知函数，在下列说法中正确的是（    ） A．是函数的一个零点 B．函数只有两个零点 C．函数在上至少有一个零点 D．函数在上没有零点 【答案】C 【分析】求出函数的零点，根据函数零点的概念依次讨论各选项即可得答案. 【详解】解：对于A选项，函数的零点不是坐标，故错误； 对于B选项，，故得，即函数有三个零点，故错误； 对于C、D选项，，故函数在上至少有一个零点，故C正确，D错误； 故选：C 2．（24-25高三上·重庆沙坪坝·开学考试）设，函数，若恰有三个不同的零点，且是其中的一个零点，则实数的值为（    ） A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】由函数奇偶性的判定得出为偶函数，则得出，再根据列出方程，求解即可． 【详解】因为，且定义域为， 所以为偶函数，则也为偶函数， 又恰有三个不同的零点， 所以有，即， 所以， 同除以得，，设， 当时，不成立； 当时，，解得，则，； 当时，，解得不合题意舍去， 所以， 故选：B． 3．（2023高一上·全国·专题练习）以下每个图象表示的函数都有零点，但不能用二分法求函数零点近似值的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】C 【分析】根据二分法求解函数零点的要求判断四个选项即可. 【详解】由二分法的定义，可知只有当函数在区间上的图象连续不断，且， 即函数的零点是变号零点时，才能将区间一分为二，逐步得到零点的近似值． 对各选项分析可知，选项A，B，D都符合，而选项C不符合， 因为在零点两侧函数值不异号，因此不能用二分法求函数零点的近似值． 故选：C. 4．（23-24高一上·安徽·阶段练习）已知函数在内有一个零点，且求得的部分函数值如下表所示： 0 1 0.5 0.75 0.625 0.5625 0.6875 0.65625 0.671875 1 0.1719 0.01245 若用二分法求零点的近似值（精确度为0.1），则对区间等分的最少次数和零点的一个近似值分别为（    ） A．4，0.7 B．5，0.7 C．4，0.65 D．5，0.65 【答案】C 【分析】根据题意，结合二分法代入计算，即可得到结果 【详解】由题意可知，对区间内，设零点为， 因为，，，所以，精确度为， 又，，，精确度为， 又，，，精确度为 又，，，精确度为， 需要求解的值， 然后达到零点的近似值精确到0.1，所以零点的近似解为0.65，共计算4次. 故选：C 5．（21-22高一·全国·课后作业）已知函数，，，则下列关于这三个函数的描述中，正确的是（    ） A．在上，随着的逐渐增大，增长速度越来越快于 B．在上，随着的逐渐增大，增长速度越来越快于 C．当时，的增长速度一直快于 D．当时， 【答案】B 【分析】在同一坐标系中画出三个函数的图像，观察四个特殊点，可知A错误；B正确；C错误；D错误. 【详解】在同一平面直角坐标系中画出函数，，的图像， 如图所示，在上，随着的逐渐增大，的增长速度越来越快，且快于，故A错误；B正确； 对于C，当时，的增长速度不是一直快于，故C错误； 对于D，当时，，故D错误. 故选：B. 6．（2023高一上·江苏·专题练习）今有一组实验数据如下： 现准备用下列函数中的一个近似地表示这些数据满足的规律，其中最接近的一个是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】选代入四个选项的解析式中选取所得的最接近的解析式即可. 【详解】对于选项A：当时，，与相差较多，故选项A不正确； 对于选项B：当时，，与相差较多，故选项B不正确； 对于选项C：当时，，故选项C正确； 对于选项D：当时，，与相差较多，故选项D不正确； 故选：C. 7．（24-25高一上·全国·课后作业）某股民购买一公司股票10万元，在连续十个交易日内，前5个交易日，平均每天上涨5％，后5个交易日内，平均每天下跌4.9％，则股民的股票盈亏情况（不计其他成本，精确到元）为（    ） A．赚723元 B．赚145元 C．亏145元 D．亏723元 【答案】D 【分析】根据题意知先求得前5个工作日和后5个工作日股票价值变化，再与初始投入比较即可知道盈亏情况. 【详解】由题意知第10个工作日股票剩余价值为， 所以万元，也就是亏723元. 故选：D 8．（23-24高一下·湖北·阶段练习）中国的5G技术领先世界，5G技术中的数学原理之一是香农公式：，它表示在被高斯白噪音干扰的信道中，最大信息传送速率取决于信道带宽、信道内所传信号的平均功率S、信道内部的高斯噪音功率的大小，其中叫做信噪比.已知当比较大时，，按照香农公式，由于技术提升，宽带在原来的基础上增加，信噪比从1000提升至8000，则大约增加了（    ）（附：） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用对数的运算性质，由香农公式分别计算信噪比为1000和8000时的比值即可求解. 【详解】由题意可得，当时，， 当时，， 所以 ， 所以的增长率约为. 故选：D 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.） 9．（23-24高三下·重庆·阶段练习）已知函数的零点为，的零点为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】将零点问题转化为交点问题，根据互为反函数的两个函数的性质逐一判断即可. 【详解】∵函数的零点为，的零点为， ∴函数与函数图象的交点的横坐标为， 函数与函数图象的交点的横坐标为， 作函数、函数、函数的图象如图6，点A的横坐标为，点B的横坐标为， ∵函数与函数的图象关于直线对称，函数的图象关于直线对称， ∴点A、B关于直线对称，又∵点A、B在直线上，∴点A、B关于原点对称， 对于A：∴，故选项A错误； 对于B：易知，故选项B正确； 对于C：∵，，，∴，即选项C正确； 对于D：由零点存在定理易知，，∴，即，，故选项D正确， 故选:BCD． 10．（24-25高三上·四川眉山·开学考试）已知函数，下列有关方程的实数解个数说法正确的是（    ） A．当实数解的个数为1时， B．当实数解的个数为2时， C．当实数解的个数为3时， D．当实数解的个数为3时， 【答案】AC 【分析】把方程看作两个函数：和，在同一直角坐标系中画出图象分析即可判断选项. 【详解】根据题意，函数的图象且，如图所示： 当时，方程有一个解，故正确； 当或时，方程有两个解，故错误； 当时，方程有三个解，故正确，不正确. 故选：. 11．（2023高一·上海·专题练习）（多选）已知函数，，，则下列关于这三个函数的描述中，正确的是（    ） A．在上，随着的逐渐增大，的增长速度越来越快于 B．在上，随着的逐渐增大，的增长速度越来越快于 C．当时，的增长速度一直快于 D．当时，的增长速度有时快于 【答案】BD 【分析】在同一坐标系中画出三个函数的图像，观察即可判断. 【详解】解：在同一平面直角坐标系中画出函数，，的图象，如图所示．    对于、B，在上，随着的逐渐增大，的增长速度越来越快于，故A错误，B正确 对于C，当时，的增长速度不是一直快于的，故C错误 对于D，当时，的增长速度有时快于，故D正确． 故选:BD． 三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12．（23-24高一上·黑龙江大庆·阶段练习）已知二次函数，若方程有三个不同的实数根，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据题意，转化为方程与直线的图象有3个不同的交点，画出函数的图象，结合图象和二次函数的性质，列出不等式（组），即可求解. 【详解】由方程有三个不同的实数根， 等价于方程与直线的图象有3个不同的交点， 当时，显然不符合题意，所以， 令， 直线过定点且斜率为 （1）当时，如图所示，要使得与有3个交点， 则满足，即， 由，整理得， 因为直线与抛物线相交，所以，解得， 所以； （2）当时，如图所示，要使得与有3个交点， 则满足，即， 由，整理得， 因为直线与抛物线相交，所以，解得， 所以； 综上可得，实数的取值范围为, 故答案为：. 13．（23-24高一下·云南·阶段练习）某商店销售两款商品，利润（单位：元）分别为和，其中为销量（单位：袋），若本周销售两款商品一共20袋，则能获得的最大利润为 . 【答案】170 【分析】设该商店销售商品袋，则商品袋，根据题意求得利润的函数解析式，结合二次函数的性质，即可求解． 【详解】设该商店销售商品袋，则商品袋， 所以可获得的利润， ，当或10时，利润最大，最大利润为170元. 故答案为：170. 14．（23-24高二下·上海·阶段练习）某企业欲实现在今后10年内产值翻两翻的目标，则该企业年产值的年平均增长率为 (结果精确到0.001) 【答案】/ 【分析】翻两翻就是变成原来的4倍，再利用增长率公式即可得到方程，然后借助指数、对数运算及利用计算器辅助求解. 【详解】设该企业的年平均增长率为，则依题意得：， 则， 即， 所以， 即， 故答案为：. 四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.） 15．（23-24高一上·上海·阶段练习）已知函数和，其中，． (1)当时，函数只有一个零点，求该零点； (2)当时，讨论函数的奇偶性，并说明理由． 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）采用换元法将零点问题转变为一元二次方程根的问题，然后分析确定出方程的根，从而函数的零点可知； （2）记，然后根据的对应关系分析出不同的取值下的奇偶性. 【详解】（1）因为， 令，且为单调函数， 所以在上有一个零点， 即在上有一个解，记， 当时，此时显然不成立， 当时，，解得，即，满足； 当时，，此时，所以均为正数，不符合； 综上，的唯一零点为； （2）记，定义域为且关于原点对称， 又， 若为偶函数，则有，所以， 化简可得，且不恒为，所以； 若为奇函数，则有，所以， 化简可得，且，所以，所以； 综上可知，当时，为偶函数； 当时，为奇函数； 当时，为非奇非偶函数. 16．（23-24高一上·山东临沂·阶段练习）定义在上的奇函数，满足，且时，. (1)求在上的解析式； (2)判断在内的单调性，并给予证明； (3)当为何值时，关于的方程在上有实数解？ 【答案】(1)答案见解析 (2)减函数，证明见解析 (3) 【分析】（1）根据题意，当时，得到，再结合函数的周期和奇函数的性质，即可求解； （2）根据题意，利用函数单调性的定义和判定方法，即可求解； （3）由（2）知函数在内是减函数，结合函数为奇函数，求得函数的值域进而求得实数的范围. 【详解】（1）解：当时，，    因为函数为奇函数，可得， 当时，有，得， 又因为有周期4，可得， 因为，所以， 综上可知，函数的解析式为. （2）解：函数在上为减函数， 证明：设，则， 因为，可得，，且， 所以，即，故在内是减函数. （3）解：由（2）知，函数在内是减函数，且当时，， 又因为为奇函数，可得时，， 且，所以函数的值域， 要使得关于的方程在上有实数解， 则满足或或， 即实数的范围为. 17．（22-23高一·全国·随堂练习）判断方程在区间内是否有解；如果有，求出一个近似解．（精确度为0.1） 【答案】1.3 【分析】求函数在区间内的一个零点，利用二分法可得答案. 【详解】设， 利用二分法，列表计算如下： x 1 1.5 1.25 1.375 1.3125 1.34375 0.875 0.0826 由表中数据可得， 因为题中要求精确度为0.1，而左右端点的近似值都为1.3. 所以近似解为1.3. 18．（21-22高一·湖南·课后作业）将温度探头放入一杯水中，随着时间变化记录水温数据，得到下表数据． 时间/min 1 2 3 4 5 温度/℃ 90.5 82.5 75.5 69.0 63.5 (1)描点画出水温随时间变化的大致图象； (2)建立一个能基本反映水温（）随时间变化的函数模型，并借助计算机软件作出其图象，观察它与描点画出的图象的吻合程度； (3)分析所得的函数模型图象，估计经过多少分钟水温才会降到26℃左右？ 【答案】(1)答案见解析； (2)答案见解析； (3)答案见解析． 【分析】（1）由已知数据描点，连线作图； （2）由（1）猜想函数模型为一次函数，设出解析式，代入开始两点坐标求出解析式，用计算机作图，比较可得； （3）由（2）中图象可估计出结果，也可用（2）中函数解析式计算估计． 【详解】（1）如图所示，建立平面直角坐标系，描出下列各点：，，，，，顺次连接各点得水温随时间变化的大致图象如下： （2）由（1）绘制的大致图象可猜想水温（）随时间变化的函数模型为一次函数（），把点，代入得 ，解得， 所以水温（）随时间变化的函数关系为， 以时间为横轴，水温（）为纵轴，建立平面直角坐标系，由计算机绘出其图象，如下图， 通过观察，计算机作出的图象与（1）中描点法作出图象较吻合． （3）由，得，结合（2）中函数图象可知，估计经过9分钟水温才会降到26左右． 19．（23-24高一上·吉林延边·阶段练习）我们一般使用分贝（符号是）来表示声音强度（瓦/平方米，符号是）的等级，强度为的声音对应的等级为，科学研究表明，它们满足关系：，其中为修正系数（常数），为普通人能听到的声音的最小强度（常数），清晨时风吹落叶的沙沙声其强度为，上学高峰时汽车川流不息声音强度达到，经某科技爱好者用分贝测试仪测得声音等级分别为和. (1)求与的值，并求当测得同学们早读声音等级为时，早读的声音强度； (2)某天上午体育课进行了测试，同学们非常疲倦，午间教室非常安静，比平常降低了，求平常中午的声音强度是这天中午声音强度的多少倍？ 【答案】(1)，； (2)倍. 【分析】（1）利用给定条件求解出，再分别代入求值即可. （2）利用给定条件建立方程得到，利用对数的运算性质求解出，得到答案即可. 【详解】（1）当时，，当，， ，， 两式解得，即， ， 即， 所以早读声音强度为； （2）设平时中午的声音强度为，今天中午的声音强度为， ，，即， ，解得， 所以平时中午的声音强度是今天的倍. 学科网（北京）股份有限公司 $$