精品解析：广东省华南师范大学附属中学2025届高三上学期综合测试（月考）（一）数学试题

2025届高三综合测试（一） 数学 满分：150分 时间：120分钟 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 半径为2的圆上长度为4的圆弧所对的圆心角是（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，结合扇形的弧长公式，即可求解. 【详解】设圆弧所对的圆心角为，因为半径为2的圆上圆弧长度为4，可得，所以. 故选：B. 2. 直线过抛物线的焦点，且在轴与轴上的截距相同，则的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，求得抛物线的焦点为，设直线方程为，代入直线方程求得的值，即可求解. 【详解】由抛物线的焦点为， 又由直线在轴与轴的截距相同，可得直线方程为， 将点代入，可得，所以直线的长为. 故选：A. 3. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】A、B、C选项可用赋值法判断正误，D选项根据指数与对数计算法则判断. 【详解】设则 ，A错误； ，B错误； ，C错误； ，D正确. 故选：D. 4. 函数的图象不可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分，和三种情况讨论，结合函数的单调性及函数的零点即可得出答案. 【详解】①当时，，此时A选项符合； ②当时，， 当时，， 因为函数在上都是减函数， 所以函数在在上是减函数， 如图，作出函数在上的图象， 由图可知，函数的图象在上有一个交点， 即函数在在上有一个零点， 当时，，则， 由，得，由，得， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 当时，，故B选项符合； ③当时，， 当时，， 因为函数在上都是减函数， 所以函数在上是减函数， 如图，作出函数在上的图象， 由图可知，函数的图象在上有一个交点， 即函数在在上有一个零点， 当时，，则， 由，得，由，得， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 当时，，故C选项符合，D选项不可能. 故选：D. 5. 已知，，满足，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 根据指数与对数的关系，将指数式化为对数式，最后根据对数函数的单调性判断即可； 【详解】解：因为，，， 所以，，， 因为在定义域上单调递增，所以 所以， 所以 故选：A 【点睛】本题考查指数与对数互化以及对数函数的性质的应用，属于基础题. 6. 若正数满足，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意可得，利用基本不等式求解. 【详解】由可得， ， 当且仅当，即时，等号成立，此时符合题意. 所以的最小值为. 故选：A. 7. 已知.设甲：，乙：，则（ ） A. 甲是乙的充分条件但不是必要条件 B. 甲是乙的必要条件但不是充分条件 C. 甲是乙的充要条件 D. 甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】利用构造函数法，结合导数以及充分和必要条件等知识确定正确答案. 【详解】依题意，， 对于甲：，即， 设， 所以在上单调递增，故. 对于乙：，两边取以为底的对数得， 由于，所以，则， 设， 所以在区间上单调递增， 在区间上单调递减， 所以由，即，若或，则， 若不在的同一单调区间，则， 所以甲是乙的充分条件但不是必要条件. 故选：A 8. 已知正实数满足，，，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】依题意可得，，，令，，则问题转化为判断函数与对应函数的交点的横坐标的大小关系，数形结合即可判断. 【详解】因为，，为正实数，且满足，，， 则，，， 所以，，， 则，，， 令，， 由对勾函数的性质可得在上单调递减，在上单调递增，且， 满足的即为与的交点的横坐标， 满足的即为与的交点的横坐标， 满足的即为与的交点的横坐标， 在同一平面直角坐标系中画出、、、的图象如下所示： 由图可知. 故选：A 【点睛】关键点点睛：本题关键是将问题转化为函数与相应的指数型函数的交点的横坐标的大小关系问题，准确画出函数图象是关键. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分. 9. 已知函数，则（ ） A. 有两个极值点 B. 有一个零点 C. 点是曲线的对称中心 D. 直线是曲线的切线 【答案】ABC 【解析】 【分析】利用导数研究函数的单调性，结合极值点的概念、零点的存在性定理即可判断AB；根据奇函数图象关于原点对称和函数图象的平移变换即可判断C；根据导数的几何意义即可判断D. 【详解】A：， 令得或，令得， 所以在，上单调递增，上单调递减， 所以时取得极值，故A正确； B：因为，，， 所以函数只在上有一个零点，即函数只有一个零点，故B正确； C：令，该函数的定义域为，， 则是奇函数，是的对称中心，将的图象向上移动一个单位得到的图象， 所以点是曲线的对称中心，故C正确； D：令，可得，又， 当切点为时，切线方程为， 当切点为时，切线方程为，故D错误. 故选：ABC. 【点睛】关键点点睛：本题主要考查利用导数研究函数的性质和函数图象的平移变换，其中选项C，构造函数，奇函数图象关于原点对称推出的对称性是解决本题的关键. 10. 已知函数的定义域为，且为偶函数，则（ ） A. B. 为奇函数 C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】借助赋值法令，，可得，令，可得为奇函数，结合为偶函数，可得、，亦可得其周期，即可得. 【详解】令，，则有， 故，即， 令，则， 即恒成立，故， 又函数的定义域为，故为奇函数，故B正确； 则，又为偶函数， 故，则，故A错误；，故C正确； ，则，故函数的周期为， ，则，故D正确. 故选：BCD. 【点睛】结论点睛：解决抽象函数的求值、性质判断等问题的结论： （1）关于对称：若函数关于直线轴对称，则，若函数关于点中心对称，则，反之也成立； （2）关于周期：若，或，或，可知函数的周期为. 11. 已知函数，曲线.过不在上的点恰能作两条的切线，切点分别为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】求导函数，结合题意利用导数的几何意义转化为有两点问题，求导，分类讨论研究函数单调性，根据函数性质求出，从而判断AB，分类作出函数图象，结合函数图象分析数形结合判断CD. 【详解】因为，所以， 所以经过的切线方程为， 由切线过点知， 令，则恰有两个零点，且， 当时，，则在单调递增，不可能有两个零点； 当时，则若，当或时，当时， 则在和上单调递增，在上单调递减， 若，当或时，当时， 则在和上单调递增，在上单调递减， 故或时，函数才可能有两个零点， 又，故，此时显然有两条切线， 所以，即，当时，，故选项A错误，B正确； 由上述分析，，当时，，在和上单调递增， 在上单调递减，示意图如图： 显然，且，所以， 当时，，在和上单调递增，在上单调递减， 示意图如图： 显然，，由得， 所以，即， 综上，，，故选项C和D正确. 故选：BCD 【点睛】关键点点睛：本题考查了导数的几何意义与数形结合研究函数的零点问题，解题关键是采用数形结合的思想分析研究零点的范围.本题中根据曲线有两个切线结合拐点性质得到，然后数形结合分析即可求解，若利用单纯的代数运算求解判断比较困难． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 某中学的A､B两个班级有相同的语文､数学､英语教师，现对此2个班级某天上午的5节课进行排课，2节语文课，2节数学课，1节英语课，要求每个班级的2节语文课连在一起，2节数学课连在一起，则共有__________种不同的排课方式.（用数字作答） 【答案】8 【解析】 【分析】由表示数学课，表示语文课，表示英语课，按上午的第1、2、3、4、5节课顺序，列出所有可能情况可得答案. 【详解】由表示数学课，表示语文课，表示英语课， 按上午的第1、2、3、4、5节课排列，可得 若班排课为，则班排课为， 若班排课为，则班排课为， 若班排课为，则班排课为，或班排课为， 若班排课为，则班排课为，或班排课为， 若班排课为，则班排课为， 若班排课为，则班排课为， 则共有8种不同的排课方式. 故答案为：8. 13. 已知函数为定义在上的奇函数，则______． 【答案】4051 【解析】 【分析】由已知可得函数关于中心对称，然后利用中心对称的性质求解即可. 【详解】因为函数为定义在R上的奇函数，则, 且函数关于中心对称，所以, ． 故答案为：4051 14. 一段路上有100个路灯一开始它们都是关着的，有100名行人先后经过这段路，对每个，当第名行人经过时，他将所有下标为的倍数的路灯的开关状态改变.问当第100名行人经过后，有______个路灯处于开着的状态. 【答案】10 【解析】 【分析】将最终“灯开”转化为“当且仅当的正约数个数为奇数”，由此求得开启的路灯数量. 【详解】固定每个，考察路灯. 根据题意，被第名行人改变开关状态， 当且仅当为的正约数（注意的正约数都不超过100，故每个正约数均可对应到某一名行人）. 所以最终为开，当且仅当的正约数个数为奇数.以下证明这等价于为平方数. 事实上，的每个正约数均可对应到正约数， 其中，对应到自身当且仅当，即， 这意味着，的正约数个数为奇数当且仅当是的正约数，即为平方数. 因此，当所有人都经过后，恰好那些下标为平方数1，4，9，…，100的路灯是开着的， 所以共有10个路灯处于开着状态. 故答案为： 【点睛】思路点睛：将路灯最终是开着的，转化为“的正约数个数为奇数”；重视“举例”，利用“举例”检验是否理解和正确运用题意. 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 记的内角所对的边分别为，已知． （1）求； （2）若，，求的面积． 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理，边化角，结合三角形中角的取值范围，可得，从而确定角. （2）根据条件求角求边，再结合三角形面积公式求面积. 【小问1详解】 由 得，而为三角形内角， 故 ,得，而为三角形内角，或 【小问2详解】 由得， 又，∴， ，故 ， 由（1）得，故， ∴，而为三角形内角， ∴. 又即， 又，而为三角形内角，故， . 16. 如图，在四棱锥中，四边形ABCD是边长为2的正方形，平面平面ABCD，，点E是线段AD的中点，. （1）证明：//平面BDM； （2）求平面AMB与平面BDM的夹角. 【答案】（1） 如图，连接交于，连接, 由是的中点可得， 易得与相似，所以， 又，所以//， 又平面平面，所以//平面； （2）. 【解析】 【分析】（1）连接交于，连接,根据条件证明//即得； （2）先证明平面，依题建系，求出相关点和向量的坐标，分别求得平面AMB与平面BDM的法向量，最后由空间向量的夹角公式求解即得. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因平面平面，且平面平面，由，点E是线段AD的中点可得 又平面，故得平面.如图，取的中点为,分别以为轴的正方向，建立空间直角坐标系. 则，， ，则，. 设平面的法向量为，由， 则，故可取； 设平面的法向量为，由， 则，故可取. 故平面与平面的夹角余弦值为， 所以平面与平面的夹角为. 17. 某中学在运动会期间，随机抽取了200名学生参加绳子打结计时的趣味性比赛，并对学生性别与绳子打结速度快慢的相关性进行分析，得到数据如下表： 性别 速度 合计 快 慢 男生 65 女生 55 合计 110 200 （1）根据以上数据，能否有99%的把握认为学生性别与绳子打结速度快慢有关？ （2）现有n根绳子，共有2n个绳头，每个绳头只打一次结，且每个结仅含两个绳头，所有绳头打结完毕视为结束. （i）当，记随机变量X为绳子围成的圈的个数，求X的分布列与数学期望； （ii）求证：这n根绳子恰好能围成一个圈的概率为 附： 0.100 0.050 0.025 0.010 k 2.706 3.841 5.024 6.635 【答案】（1）有的把握，认为学生性别与绳子打结速度快慢有关 （2） 1 2 3 （ii）不妨令绳头编号为，可以与绳头1打结形成一个圆的绳头除了1，2外有种可能， 假设绳头1与绳头3打结，那么相当于对剩下根绳子进行打结， 令根绳子打结后可成圆的种数为， 那么经过一次打结后，剩下根绳子打结后可成圆的种数为， 由此可得，， 所以， 所以， 显然，故； 另一方面，对个绳头进行任意2个绳头打结，总共有 ； 所以. 【解析】 【分析】（1）利用计算卡方进行检验即可； （2）（i）依题意，先得到的所有可能取值，再依次求得对应的概率即可得解；（ii）利用分步计数原理，结合数列的累乘法与古典概型的概率公式即可得解. 【小问1详解】 依题意，完善列联表如下， 性别 速度 合计 快 慢 男生 65 35 100 女生 45 55 100 合计 110 90 200 所以. 故有的把握，认为学生性别与绳子打结速度快慢有关. 【小问2详解】 （i）由题知，随机变量的所有可能取值为， ， ， 所以的分布列为 1 2 3 所以. （ii）略 【点睛】关键点睛：本题第二小问第二步的解决关键是利用分步计数原理得到数列的递推式，从而利用数列的累乘法求得结果. 18. 费马原理，也称为时间最短原理：光传播的路径是光程取极值的路径．在凸透镜成像中，根据费马原理可以推出光线经凸透镜至像点的总光程为定值（光程为光在某介质中传播的路程与该介质折射率的乘积）．一般而言，空气的折射率约为1．如图是折射率为2的某平凸透镜的纵截面图，其中平凸透镜的平面圆直径为6，且与轴交于点．平行于轴的平行光束从左向右照向该平凸透镜，所有光线经折射后全部汇聚在点处并在此成像．（提示：光线从平凸透镜的平面进入时不发生折射） （1）设该平凸透镜纵截面中的曲线为曲线，试判断属于哪一种圆锥曲线，并求出其相应的解析式． （2）设曲线为解析式同的完整圆锥曲线，直线与交于，两点，交轴于点，交轴于点（点不与的顶点重合）．若，，试求出点所有可能的坐标 【答案】（1）为双曲线的一部分，解析式为 （2）或 【解析】 【分析】（1）设，根据光线经凸透镜至像点的总光程为定值建立等量关系，化简、整理即可得解； （2）设出，的坐标，根据向量的坐标运算得到，的坐标，将点，的坐标代入的方程，得到两个方程，根据根与系数的关系及建立方程，解方程即可. 【小问1详解】 设上任意一点，，光线从点至点的光程为，光线穿过凸透镜后从点折射到点的光程为， 则，， 由题意得，得，化简得， ，．令，得， 为双曲线的一部分，解析式为； 【小问2详解】 由题意知． 设，，，， 则，，， ，，， 易知，，得，， 即，． 将点的坐标代入，得， 化简整理得． 同理可得， 与为方程的两个解， ． 由题知，，解得， 点的坐标可能为或. 19. 已知函数. （1）当时，记函数的导数为，求的值. （2）当，时，证明：. （3）当时，令，的图象在，处切线的斜率相同，记的最小值为，求的最小值. （注：是自然对数的底数）. 【答案】（1） （2） 当时，，∴， 令，则， 当时，；当时，， 所以当时，取得最小值， 则，即， ∴，∴， ∴在上单调递增， ∴，得证； （3） 【解析】 【分析】（1）由得到，然后求导后求解； （2）当时，，利用导数法证明； （3）求导，由，得到，从而，令，得到，再利用导数法求解. 【小问1详解】 解：当时，， ∴， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 当时，， ，所以，， 所以在上递增，，上递减， 由题意，，得， ， 由得到，记， 则， ，所以，， ∴在上递减，在上递增. ∴， 设，则,故在上为增函数， 当时，， ∴. 【点睛】方法点睛：利用导数法证明不等式，一般是构造函数，转化为证. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025届高三综合测试（一） 数学 满分：150分 时间：120分钟 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 半径为2的圆上长度为4的圆弧所对的圆心角是（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 2. 直线过抛物线的焦点，且在轴与轴上的截距相同，则的方程是（ ） A. B. C. D. 3. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 4. 函数的图象不可能是（ ） A. B. C. D. 5. 已知，，满足，，，则（ ） A. B. C. D. 6. 若正数满足，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 2 7. 已知.设甲：，乙：，则（ ） A. 甲是乙的充分条件但不是必要条件 B. 甲是乙的必要条件但不是充分条件 C. 甲是乙的充要条件 D. 甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 8. 已知正实数满足，，，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分. 9. 已知函数，则（ ） A. 有两个极值点 B. 有一个零点 C. 点是曲线的对称中心 D. 直线是曲线的切线 10. 已知函数的定义域为，且为偶函数，则（ ） A. B. 为奇函数 C. D. 11. 已知函数，曲线.过不在上的点恰能作两条的切线，切点分别为，则（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 某中学的A､B两个班级有相同的语文､数学､英语教师，现对此2个班级某天上午的5节课进行排课，2节语文课，2节数学课，1节英语课，要求每个班级的2节语文课连在一起，2节数学课连在一起，则共有__________种不同的排课方式.（用数字作答） 13. 已知函数为定义在上的奇函数，则______． 14. 一段路上有100个路灯一开始它们都是关着的，有100名行人先后经过这段路，对每个，当第名行人经过时，他将所有下标为的倍数的路灯的开关状态改变.问当第100名行人经过后，有______个路灯处于开着的状态. 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 记的内角所对的边分别为，已知． （1）求； （2）若，，求的面积． 16. 如图，在四棱锥中，四边形ABCD是边长为2的正方形，平面平面ABCD，，点E是线段AD的中点，. （1）证明：//平面BDM； （2）求平面AMB与平面BDM的夹角. 17. 某中学在运动会期间，随机抽取了200名学生参加绳子打结计时的趣味性比赛，并对学生性别与绳子打结速度快慢的相关性进行分析，得到数据如下表： 性别 速度 合计 快 慢 男生 65 女生 55 合计 110 200 （1）根据以上数据，能否有99%的把握认为学生性别与绳子打结速度快慢有关？ （2）现有n根绳子，共有2n个绳头，每个绳头只打一次结，且每个结仅含两个绳头，所有绳头打结完毕视为结束. （i）当，记随机变量X为绳子围成的圈的个数，求X的分布列与数学期望； （ii）求证：这n根绳子恰好能围成一个圈的概率为 附： 0.100 0.050 0.025 0.010 k 2.706 3.841 5.024 6.635 18. 费马原理，也称为时间最短原理：光传播的路径是光程取极值的路径．在凸透镜成像中，根据费马原理可以推出光线经凸透镜至像点的总光程为定值（光程为光在某介质中传播的路程与该介质折射率的乘积）．一般而言，空气的折射率约为1．如图是折射率为2的某平凸透镜的纵截面图，其中平凸透镜的平面圆直径为6，且与轴交于点．平行于轴的平行光束从左向右照向该平凸透镜，所有光线经折射后全部汇聚在点处并在此成像．（提示：光线从平凸透镜的平面进入时不发生折射） （1）设该平凸透镜纵截面中的曲线为曲线，试判断属于哪一种圆锥曲线，并求出其相应的解析式． （2）设曲线为解析式同的完整圆锥曲线，直线与交于，两点，交轴于点，交轴于点（点不与的顶点重合）．若，，试求出点所有可能的坐标 19. 已知函数. （1）当时，记函数的导数为，求的值. （2）当，时，证明：. （3）当时，令，的图象在，处切线的斜率相同，记的最小值为，求的最小值. （注：是自然对数的底数）. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $