精品解析：浙江省杭州第十四中学2024-2025学年高二上学期限时训练（一）数学试卷

2024-2025学年浙江省杭州十四中高二（上）限时训练数学试卷（一） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知复数z满足zi=3+2i， 则复数z(1－i)的虚部为（ ） A. －5 B. －5i C. －3 D. －3i 2. 已知为空间的一组基底，则下列向量也能作为空间的一组基底的是（ ） A. B. C. D. 3. 某产品售后服务中心选取了10个工作日，分别记录了每个工作日接到的客户服务电话的数量（单位：次）：则这组数据的（ ） A. 众数是30 B. 分位数是30.5 C. 极差是37 D. 中位数是43 4. 已知直线：，：，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 已知，则点到平面的距离为（ ） A. B. C. D. 6. 著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事休．”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：可以转化为平面上点与点的距离．结合上述观点，可得的最小值为（ ） A. B. C. D. 7. 某校课外活动期间开展跳绳、踢键子、韵律操三项活动，甲、乙两位同学各自任选其中一项参加，则他们选择同一项活动的概率是（ ） A. B. C. D. 8. 过定点M的直线与过定点N的直线交于点P，则的最大值为(　　) A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9. 下列说法正确的是（    ） A. 直线的倾斜角的取值范围是 B. “”是“直线与直线互相垂直”的充要条件 C. 两个非零向量与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则这两个向量共线 D. 已知向量，，则在上的投影向量为 10. 某社团开展“建党100周年主题活动——学党史知识竞赛”，甲、乙两人能得满分的概率分别为，，两人能否获得满分相互独立，则（ ） A. 两人均获得满分的概率 B. 两人至少一人获得满分的概率 C. 两人恰好只有甲获得满分概率 D. 两人至多一人获得满分概率 11. 扎马钉（图1），是古代军事战争中的一种暗器.如图2所示，四个钉尖分别记作，连接这四个顶点构成的几何体为正四面体，组成该“钉”的四条等长的线段公共点为，设，则下列结论正确的是（ ） A. B. 为正四面体的中心 C. D. 四面体的外接球表面积为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 如图，在平行六面体中，底面是边长为的正方形，若，且，则的长为__________. 13. 将一张坐标纸对折，如果点与点重合，则点与点______重合. 14. 学校为了解学生身高单位：情况，采用分层随机抽样的方法从名学生（男女生人数之比为）中抽取了一个容量为的样本.其中，男生平均身高为，方差为，女生平均身高为，方差为，用样本估计总体，则该学校学生身高的方差为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 如图，在四棱锥中，，，平面，，、分别是棱、的中点． （1）证明：平面； （2）求平面与平面夹角的正弦值． 16. 为增强市民的节能环保意识，某市面向全市征召义务宣传志愿者.从符合条件的500名志愿者中随机抽取100名志愿者，其年龄频率分布直方图如图所示，其中年龄的分组区间是：第1组、第2组、第3组、第4组、第5组. （1）求图中值并根据频率分布直方图估计这500名志愿者中年龄在的人数； （2）估计抽出的100名志愿者年龄的第75百分位数； （3）若在抽出的第2组、第4组和第5组志愿者中，采用按比例分配分层抽样的方法抽取6名志愿者参加中心广场的宣传活动，再从这6名中采用简单随机抽样方法选取2名志愿者担任主要负责人.求抽取的2名志愿者中恰好来自同一组的概率. 17. 已知点，直线和 （1）过点作垂线，求垂足的坐标； （2）过点作分别于交于点，若恰为线段的中点，求直线的方程． 18. 已知函数满足，且在上有最大值. （1）求，的值； （2）当时，不等式恒成立，求实数的取值范围. 19. 已知中，角，，的对边分别是，，，. （1）若，求的值； （2）若的平分线交于点，且，求周长的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年浙江省杭州十四中高二（上）限时训练数学试卷（一） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知复数z满足zi=3+2i， 则复数z(1－i)的虚部为（ ） A. －5 B. －5i C. －3 D. －3i 【答案】A 【解析】 【分析】由复数的运算法则求得复数z(1－i)，然后根据复数的定义得结论． 【详解】由已知，，其虚部为． 故选：A 2. 已知为空间的一组基底，则下列向量也能作为空间的一组基底的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据空间基底的概念，结合选项，判断每组向量是否共面，即可求解. 【详解】对于A中，由，所以不能作为一组空间基底； 对于B中，假设共面，则存在，使得， 即，可得，此时方程组无解，所以不共面，所以向量可以作为空间的一组基底； 对于C中，由，所以不能作为空间的一组基底； 对于D中，由，所以不能作为空间的一组基底. 故选：B. 3. 某产品售后服务中心选取了10个工作日，分别记录了每个工作日接到的客户服务电话的数量（单位：次）：则这组数据的（ ） A. 众数是30 B. 分位数是30.5 C. 极差是37 D. 中位数是43 【答案】B 【解析】 【分析】由众数定义可判断A错误，将数据从小到大排列后根据中位数、极差、百分位数定义可判断CD错误，B正确. 【详解】根据题意可知，每个数出现的次数都是一次，即众数不是30，即A错误； 将这10个数据从小到大排列为； 易知为整数，所以分位数是第一个数与第二个数的平均值，即为，即B正确； 易知其极差为，即可得C错误； 中位数为第5个数和第6个数的平均数，即，可得D错误. 故选：B 4. 已知直线：，：，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】根据两直线平行与斜率的关系即可求解. 【详解】因为，所以，解得， 所以“”是“”的充要条件， 故选：C. 5. 已知，则点到平面的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件求出平面的法向量，再利用空间向量求出点到平面的距离. 【详解】依题意，， 设平面的法向量，则，令，得， 则点到平面的距离为， 所以点到平面的距离为. 故选：A 6. 著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事休．”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：可以转化为平面上点与点的距离．结合上述观点，可得的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】y可看作x轴上一点到点与点的距离之和，可知当A，P，B三点共线时取得最小值可得答案. 【详解】， 则y可看作x轴上一点到点与点的距离之和， 即，则可知当A，P，B三点共线时，取得最小值， 即． 故选：A. 7. 某校课外活动期间开展跳绳、踢键子、韵律操三项活动，甲、乙两位同学各自任选其中一项参加，则他们选择同一项活动的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】画出树状图，利用概率公式求解即可 【详解】设跳绳、踢毽子、韵律操分别为A、B、C， 画树状图如下， 共有9种等可能的结果，甲、乙恰好选择同一项活动的有3种情况， 故他们选择同一项活动的概率是， 故选：C． 8. 过定点M的直线与过定点N的直线交于点P，则的最大值为(　　) A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】求出直线与直线过的定点，由得到两直线垂直，从而得到，由勾股定理得到，结合基本不等式求出最大值. 【详解】动直线经过定点， 动直线，即， 令，解得：，故直线过定点， 因为直线， 所以过定点的直线与定点的直线始终垂直， 又是两条直线的交点， ， ， 故（当且仅当时取“=”）. 故选：D. 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9. 下列说法正确的是（    ） A. 直线的倾斜角的取值范围是 B. “”是“直线与直线互相垂直”的充要条件 C. 两个非零向量与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则这两个向量共线 D. 已知向量，，则在上的投影向量为 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用直线的倾斜角与斜率的关系及三角函数的性质即可判断A选项，利用两直线的垂直及充要条件的定义即可判断B选项，利用空间向量的基本定理可判断C选项；利用投影向量的定义可判断D选项. 【详解】对于A选项，直线的倾斜角为，则，因为，所以，所以，故A正确； 对于B选项，因为直线与直线互相垂直，所以，即，解得或，所以“”是“或”的充分不必要条件，所以“”是“直线与直线互相垂直”的充分不必要条件，故B错误； 对于C选项，若两个非零向量与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，不妨设这两个非零向量不共线，设这两个非零向量为，由空间向量的基本定理可知，在空间中必存在非零向量，使得为空间的一个基底，假设不成立，故这两个非零向量共线，故C正确; 对于D选项，因为向量，所以在上的投影向量为，故D正确. 故选：ACD. 10. 某社团开展“建党100周年主题活动——学党史知识竞赛”，甲、乙两人能得满分的概率分别为，，两人能否获得满分相互独立，则（ ） A. 两人均获得满分的概率 B. 两人至少一人获得满分概率 C. 两人恰好只有甲获得满分的概率 D. 两人至多一人获得满分的概率 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用独立事件的概率乘法公式和对立事件的概率公式逐一求解即得. 【详解】设“甲获得满分”， “乙获得满分”，则, 对于A，“两人均获得满分”可表示为,因两人能否获得满分相互独立， 故, 即A正确； 对于B，因“两人至少一人获得满分”的对立事件为 “两人都没获得满分”, 则“两人至少一人获得满分”的概率为：，故B错误； 对于C，“两人恰好只有甲获得满分”可表示为，其概率为：，故C正确； 对于D，因“两人至多一人获得满分”的对立事件为“两人都获得满分”， 则“两人至多一人获得满分”为：,故D正确. 故选：ACD . 11. 扎马钉（图1），是古代军事战争中的一种暗器.如图2所示，四个钉尖分别记作，连接这四个顶点构成的几何体为正四面体，组成该“钉”的四条等长的线段公共点为，设，则下列结论正确的是（ ） A. B. 为正四面体的中心 C. D. 四面体的外接球表面积为 【答案】AB 【解析】 【分析】容易判断B；将图形还原成正四面体，取CD中点F， 进而证明平面ABF，然后判断A；设E为A在平面BCD上的投影，设出正四面体的棱长，进而根据勾股定理求出棱长，然后判断C；根据球的表面积公式可以判断D. 【详解】如图，正四面体ABCD，由题意，，则O为正四面体ABCD的中心，B正确； 设E为A在平面BCD上的投影，易知点E为三角形BCD的中心，连接CF交CD于F，则F为CD的中点，连接AF，则，而，所以平面ABF，所以.A正确； 设该正四面体棱长为，则，因为，，联立解得.C错误； 易知该四面体外接球半径为1，则外接球的表面积为. 故选：AB. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 如图，在平行六面体中，底面是边长为的正方形，若，且，则的长为__________. 【答案】 【解析】 【分析】由，借助模长公式得出的长. 【详解】因为 所以 即 故答案为： 13. 将一张坐标纸对折，如果点与点重合，则点与点______重合. 【答案】 【解析】 【分析】先求线段的中垂线方程，再根据点关于直线对称列式求解即可. 【详解】已知点与点，可知线段的中点为， 且，则线段的中垂线的斜率， 则线段的中垂线方程为，即， 设点关于直线的对称点为， 则，解得， 所以所求点为. 故答案为：. 14. 学校为了解学生身高单位：情况，采用分层随机抽样的方法从名学生（男女生人数之比为）中抽取了一个容量为的样本.其中，男生平均身高为，方差为，女生平均身高为，方差为，用样本估计总体，则该学校学生身高的方差为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，求出样本的平均数和方差，结合用样本估计总体的思路，即可得答案． 【详解】根据题意，由于男女生人数之比，则样本中男女生人数之比为， 其中，男生平均身高为，方差为，女生平均身高为，方差为， 则样本的平均数， 样本的方差， 用样本估计总体，则该学校学生身高的方差为． 故答案为：． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 如图，在四棱锥中，，，平面，，、分别是棱、的中点． （1）证明：平面； （2）求平面与平面的夹角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2）． 【解析】 【分析】（1）由中位线易证明四边形是平行四边形，进而得到，进而得到平面； （2）由题易知，，两两垂直，建立空间直角坐标系，求出平面和平面的法向量，通过平面与平面的夹角计算公式计算余弦值，再用同角三角函数的基本关系计算正弦值； 【小问1详解】 如图所示，连接． 因为，分别是棱，的中点， 所以， 因为，， 所以，， 所以四边形是平行四边形， 则． 因为平面，平面， 所以平面． 【小问2详解】 因为平面， 平面, 所以， 又因为， 所以，，两两垂直， 以为坐标原点，，，的方向分别为，，轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系． 由题中数据可得，， ，． 设平面的法向量为， 则 令，得． 因为，，平面， 所以平面 平面的一个法向量为． 设平面与平面的夹角为， 则． 故， 即平面与平面的夹角的正弦值为． 16. 为增强市民的节能环保意识，某市面向全市征召义务宣传志愿者.从符合条件的500名志愿者中随机抽取100名志愿者，其年龄频率分布直方图如图所示，其中年龄的分组区间是：第1组、第2组、第3组、第4组、第5组. （1）求图中的值并根据频率分布直方图估计这500名志愿者中年龄在的人数； （2）估计抽出的100名志愿者年龄的第75百分位数； （3）若在抽出的第2组、第4组和第5组志愿者中，采用按比例分配分层抽样的方法抽取6名志愿者参加中心广场的宣传活动，再从这6名中采用简单随机抽样方法选取2名志愿者担任主要负责人.求抽取的2名志愿者中恰好来自同一组的概率. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由直方图频率和为1，列方程求，再根据直方图求500名志愿者中年龄在的人数； （2）由第75百分位数分直方图左侧面积为0.75，列方程求第75百分位数. （3）由分层抽样的等比例抽取的性质求出6名志愿者的分布，再应用古典概型的概率求法求抽取的2名志愿者中恰好来自同一组的概率. 小问1详解】 由直方图知：，可得， ∴500名志愿者中年龄在的人数为人. 【小问2详解】 因为，， 所以第百分位数在区间内，若该数为， ∴，解得. 【小问3详解】 由题设，第2组、第4组和第5组的频率之比为，知6名志愿者有2名来自，3名来自，1名来自， 不妨设第2组、第4组和第5组抽取的志愿者为， 则抽取两人的基本事件有， ，共15个， ∴抽取的2名志愿者中恰好来自同一组的概率. 17. 已知点，直线和 （1）过点作的垂线，求垂足的坐标； （2）过点作分别于交于点，若恰为线段的中点，求直线的方程． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由直线的位置关系求方程，再联立求解交点坐标， （2）设出点坐标，由中点表示点坐标，分别代入直线方程联立求解． 【小问1详解】 ，即， 则，直线为， 即，联立方程，解得，故． 【小问2详解】 不妨设，则，则， 解得，故直线过点和点， 故直线方程为，即． 18. 已知函数满足，且在上有最大值. （1）求，的值； （2）当时，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）首先代入，再利用基本不等式求最值，列式求得； （2）求出的解析式，将不等式进行转化，利用参数分离法进行求解即可. 【小问1详解】 ，， ，即， ， 在上有最大值. ，即， 由得，； 【小问2详解】 由（1）得的解析式， 由题意得当，则只有当或时，才恒有意义， 当时，，等价为， 等价为的最大值， 易知对称轴为，在上单调递增， 即，得，（舍去）； 当时，由得， 即， 设，对称轴为， 当时，，得， 当时，，得（舍）； 综上，的取值范围为. 19. 已知中，角，，的对边分别是，，，. （1）若，求值； （2）若的平分线交于点，且，求周长的最小值. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理得到，消去B后进行弦化切即可得到； （2）利用面积公式求出，利用基本不等式求出的最小值，利用余弦定理求出，即可求出周长的最小值. 【详解】（1）已知中，角，，的对边分别是，，，. 若，所以，整理得：， 整理得：， 解得. （2）的平分线交于点，且， 利用三角形的面积： 所以， 整理得， 所以， 当且仅当时，等号成立. 所以，解得， 所以周长的最小值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$