专题训练3：集合新定义精练34题-2024-2025学年高一数学单元速记•巧练（人教B版2019必修第一册）

专题训练3 集合新定义 一、单选题 1．（22-23高一下·江西赣州·期中）定义运算：.若集合，则（    ） A． B． C． D． 2．（2022·江西九江·模拟预测）设集合，集合，定义，则中元素个数是（    ） A．7 B．10 C． D． 3．（23-24高一上·北京通州·期中）有限集合中元素的个数记作，若都为有限集合,则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 4．（23-24高一上·陕西榆林·期中）若一个集合是另一个集合的子集，则称两个集合构成“鲸吞”；若两个集合有公共元素，且互不为对方的子集，则称两个集合构成“蚕食”，对于集合，，若这两个集合构成“鲸吞”或“蚕食”，则的取值集合为（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高一上·江苏宿迁·期中）若一个位正整数的所有数位上数字的次方和等于这个数本身，则称这个数是水仙花数，如，所以1是水仙花数．已知所有的水仙花数组成集合，集合，则的子集个数为（    ） A．4 B．8 C．16 D．128 6．（23-24高一上·天津南开·期中）已知有限集，，定义集合且，表示集合中的元素个数．若，，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 7．（23-24高三下·湖北·阶段练习）已知集合，，若定义集合运算：，则集合的所有元素之和为（    ） A．6 B．3 C．2 D．0 8．（23-24高一上·北京丰台·期中）定义集合的新运算如下：，若集合，，则等于（    ） A． B． C． D． 9．（23-24高一上·北京·期中）已知两个数集和，定义，.则下列命题正确的个数是（    ） ①任意A，，都有成立； ②任意A，，都有成立； ③存在A，，使成立； ④存在A，，使成立. A．0 B．1 C．2 D．3 10．（23-24高一上·四川·期中）给定集合，若对于任意，有，且，则称集合为闭集合，以下结论正确的是（    ） A．集合不为闭集合； B．集合为闭集合； C．集合为闭集合； D．若集合为闭集合，则为闭集合． 11．（23-24高一上·上海·期中）设集合为实数集的非空子集，若对任意，，都有，，，则称集合S为“完美集合”，给出下列命题： ①若为“完美集合”，则一定有； ②“完美集合”一定是无限集； ③集合为“完美集合”； ④ 若为“完美集合”，则满足的任意集合也是“完美集合”. 其中真命题是（    ） A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 12．（2023·北京海淀·模拟预测）已知集合满足：①，②，必有，③集合中所有元素之和为，则集合中元素个数最多为（    ） A．11 B．10 C．9 D．8 13．（23-24高一上·福建厦门·阶段练习）整数集中，被5除所得余数为的所有整数组成一个“类”，记为，即，其中.以下判断中不正确的是（    ） A． B． C． D．若，则整数，属同一类 14．（23-24高一上·山西大同·期中）对于非空数集，，其所有元素的算术平均数记为，即.若非空数集B满足下列两个条件：（1）；（2）.则称B为A的一个“保均值子集”.据此推理，集合的“保均值子集”有（    ） A．5个 B．6个 C．7个 D．8个 15．（23-24高一上·上海浦东新·期中）若X是一个非空集合，M是一个以X的某些子集为元素的集合，且满足：①，；②对于X的任意子集A，B，当且时，有；③对于X的任意子集A，B，当且时，有，则称M是集合X的一个“M-集合类”.例如：是集合得一个“M—集合类”.若，则所有含的“M—集合类”的个数为（    ） A．9 B．10 C．11 D．12 二、多选题 16．（23-24高一上·山东烟台·期中）给定集合，定义且，若，，则（    ） A． B． C． D． 17．（19-20高二下·广东佛山·阶段练习）设P是一个数集，且至少含有两个数．若对于任意，都有，且若，则，则称P是一个数域．例如，有理数集Q是数域．下列命题正确的是（    ） A．数域必含有0，1两个数 B．整数集是数域 C．若有理数集，则数集M一定是数域 D．数域中有无限多个元素 18．（23-24高二下·湖南长沙·期中）若集合含有个元素，则称为元集，的子集中含有个元素的子集叫做的元子集.已知集合，，则（    ） A．是2元集 B．的2元子集有10个 C．是5元集 D．是的9元子集 19．（2024·江苏泰州·模拟预测）对任意，记，并称为集合的对称差．例如：若，则．下列命题中，为真命题的是（    ） A．若且，则 B．若且，则 C．若且，则 D．存在，使得 20．（23-24高一上·江苏南京·期中）在教材的“阅读”材料中谈到如下内容.德国数学家康托尔根据人们在计数时运用的“一一对应”思想给出了两个集合“等势”的概念：若两个无限集的元素之间能建立起一一对应，则称这两个集合等势.由此，下列四组无限集合中等势的有（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 21．（23-24高一上·河南开封·期中）当两个集合中一个集合为另一个集合的子集时，称这两个集合构成“全食”；当两个集合有公共元素，但互不为对方子集时，称这两个集合成“偏食”.对于集合，，若与B构成“全食”或“偏食”，则实数的取值可以是（    ） A．-2 B． C．0 D．1 22．（22-23高一上·江苏宿迁·期中）设集合是实数集的子集，如果点满足：对任意，都存在，使得，称为集合的聚点，则在下列集合中，以0为聚点的集合有（    ） A． B． C． D． 三、填空题 23．（23-24高一上·江苏徐州·期中）对于集合，，我们把集合叫做集合与的差集，记作.若，，则 . 24．（23-24高一下·上海杨浦·期中）定义集合且，设全集为，集合满足，则下列结论正确的是 （填序号） ①；②；③；④；⑤ 25．（24-25高一上·上海·期中）设全集，集合A、B是I的子集，若，就称为“好集”，那么所有“好集”的个数为 ． 26．（23-24高一上·上海·期中）设全集U=Z，定义A❀B=，若，则❀= . 27．（2024·辽宁·模拟预测）若集合，满足都是的子集，且，，均只有一个元素，且，称为的一个“有序子集列”，若有5个元素，则有多少个“有序子集列” . 28．（23-24高三下·重庆·期中）已知集合，集合满足：①每个集合都恰有4个元素；②.集合中元素的最大值与最小值之和称为集合的特征数，记为，则的最大值与最小值的差为 ． 四、解答题 29．（23-24高一上·北京顺义·期中）已知，是的子集，定义集合，若，则称集合A是的恰当子集．用表示有限集合X的元素个数． (1)若，，求并判断集合A是否为的恰当子集； (2)已知是的恰当子集，求a，b的值并说明理由； (3)若存在A是的恰当子集，并且，求n的最大值． 30．（23-24高二下·北京·期中）集合，集合，若集合中元素个数为，且所有元素从小到大排列后是等差数列，则称集合为“好集合”． (1)判断集合是否为“好集合”； (2)若集合是“好集合”，求的值． 31．（23-24高一下·安徽宿州·期中）定义1:对于一个数集，定义一种运算，对任意都有，则称集合关于运算是封闭的（例如:自然数集对于加法运算是封闭的）. 定义2:对于一个数集，若存在一个元素，使得任意，满足，则称为集合中的零元，若存在一个元素，使得任意，满足，则称为集合中的单位元（例如:0和1分别为自然数集中的零元和单位元）. 定义3:对于一个数集，如果满足下列关系: ①有零元和单位元； ②关于加、减、乘、除（除数不为0）四种运算都是封闭的； ③对于乘法和加法都满足交换律和结合律，且满足乘法对加法的分配律，则称这个数集是一个数域. (1)指出常用数集中，那些数集可以构成数域（不需要证明）； (2)已知集合，证明:集合关于乘法运算是封闭的； (3)已知集合，证明:集合是一个数域. 32．（23-24高二下·云南昆明·期中）设是非空实数集，且.若对于任意的，都有，则称集合具有性质；若对于任意的，都有，则称集合具有性质. (1)写出一个恰含有两个元素且具有性质的集合，并证明； (2)若非空实数集具有性质，求证：集合具有性质； (3)设全集，是否存在具有性质的非空实数集，使得集合具有性质？若存在，写出这样的一个集合；若不存在，说明理由. 33．（23-24高二上·北京西城·期中）已知，，，记，用表示有限集合的元素个数. (1)若，，分别指出和时，集合的情况（直接写出结论）； (2)若，，求的最大值； (3)若，，则对于任意的A，是否都存在，使得？说明理由. 34．（23-24高一下·浙江·期中）设集合．定义：和集合，积集合，分别用表示集合中元素的个数． (1)若，求集合； (2)若，求的所有可能的值组成的集合； (3)若，求证：． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题训练3 集合新定义 一、单选题 1．（22-23高一下·江西赣州·期中）定义运算：.若集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】运用集合的新定义和交集运算即可. 【详解】由题意得， 所以. 故选：C. 2．（2022·江西九江·模拟预测）设集合，集合，定义，则中元素个数是（    ） A．7 B．10 C． D． 【答案】B 【分析】根据交集和并集的定义求得，再根据的定义求解即可. 【详解】集合，集合 ， ， 共有10个元素. 故选：B． 3．（23-24高一上·北京通州·期中）有限集合中元素的个数记作，若都为有限集合,则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据集合新定义以及集合交集、子集的含义即可判断. 【详解】因为，所以，又因为都为有限集合， 所以，则正向可以推出， 若，举例，，但，则反向无法推出， 则“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 4．（23-24高一上·陕西榆林·期中）若一个集合是另一个集合的子集，则称两个集合构成“鲸吞”；若两个集合有公共元素，且互不为对方的子集，则称两个集合构成“蚕食”，对于集合，，若这两个集合构成“鲸吞”或“蚕食”，则的取值集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分、两种情况讨论，当时可得或，解得即可. 【详解】当时，此时，即两个集合构成“鲸吞”， 当时，此时两个集合不能构成“鲸吞”， 则两个集合构成“蚕食”，所以或，解得或， 当时，两个集合构成“蚕食”， 当时，两个集合构成“蚕食”， 综上可得的取值集合为. 故选：C 5．（23-24高一上·江苏宿迁·期中）若一个位正整数的所有数位上数字的次方和等于这个数本身，则称这个数是水仙花数，如，所以1是水仙花数．已知所有的水仙花数组成集合，集合，则的子集个数为（    ） A．4 B．8 C．16 D．128 【答案】B 【分析】确定集合中的水仙花数，求出后即可得其子集的个数. 【详解】，其中符合水仙花数特点的有 所以，其子集个数为. 故选：B. 6．（23-24高一上·天津南开·期中）已知有限集，，定义集合且，表示集合中的元素个数．若，，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】根据所给定义求出，，即可求出，从而得解. 【详解】因为，， 所以，， 所以， 则. 故选：A 7．（23-24高三下·湖北·阶段练习）已知集合，，若定义集合运算：，则集合的所有元素之和为（    ） A．6 B．3 C．2 D．0 【答案】A 【分析】计算出的所有取值即可得. 【详解】可为、，可为、，有、、， 故，所以集合的所有元素之和为6. 故选：A． 8．（23-24高一上·北京丰台·期中）定义集合的新运算如下：，若集合，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】计算出，，，即可求出的值. 【详解】由题意， ，，， ∴，， ，， 故选：B. 9．（23-24高一上·北京·期中）已知两个数集和，定义，.则下列命题正确的个数是（    ） ①任意A，，都有成立； ②任意A，，都有成立； ③存在A，，使成立； ④存在A，，使成立. A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】利用题给定义得到与的关系判断①；利用题给定义得到与的关系判断②；举例验证③④的正确性. 【详解】或 或， 则成立.故①判断正确； 或， 或， 则不成立.故②判断错误； 令，则，故③判断正确； 令，则，故④判断正确. 故选：D 10．（23-24高一上·四川·期中）给定集合，若对于任意，有，且，则称集合为闭集合，以下结论正确的是（    ） A．集合不为闭集合； B．集合为闭集合； C．集合为闭集合； D．若集合为闭集合，则为闭集合． 【答案】C 【分析】由闭集合的定义判断AC；举例判断BD. 【详解】对于A，，有，且，则集合为闭集合，故A错误； 对于B，因为，但，故B错误； 对于C，设，，则， ，则集合为闭集合，故C正确； 对于D，设， 则，但，故D错误. 故选：C. 11．（23-24高一上·上海·期中）设集合为实数集的非空子集，若对任意，，都有，，，则称集合S为“完美集合”，给出下列命题： ①若为“完美集合”，则一定有； ②“完美集合”一定是无限集； ③集合为“完美集合”； ④ 若为“完美集合”，则满足的任意集合也是“完美集合”. 其中真命题是（    ） A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 【答案】A 【分析】对于①③，可以利用完美集合的定义分析判断，对于②④可以举反例分析判断. 【详解】对于①，若为“完美集合”，对任意的，，①对； 对于②，完美集合不一定是无限集，例如，②错； 对于③，集合， 在集合中任意取两个元素，，，其中、、、为整数， 则，， ， 集合为“完美集合”，③对； 对于④，，，也满足④，但是集合不是一个完美集合，④错. 故选：A. 12．（2023·北京海淀·模拟预测）已知集合满足：①，②，必有，③集合中所有元素之和为，则集合中元素个数最多为（    ） A．11 B．10 C．9 D．8 【答案】B 【分析】根据集合满足的条件①②可知要使得集合中元素尽可能多，则相邻的两个自然数最少差为，故先考虑集合中元素是由公差为的等差数列构成，判断集合元素的个数的最多情况，再对部分元素进行调整即可得答案. 【详解】对于条件①，②，必有， 若集合中所有的元素是由公差为的等差数列构成，例如，集合中有个元素， 又则该集合满足条件①②，不符合条件③，故符合条件③的集合中元素个数最多不能超过10个， 故若要集合满足：①，②，必有，③集合中所有元素之和为，最多有10个元素， 例如. 故选：B. 13．（23-24高一上·福建厦门·阶段练习）整数集中，被5除所得余数为的所有整数组成一个“类”，记为，即，其中.以下判断中不正确的是（    ） A． B． C． D．若，则整数，属同一类 【答案】C 【分析】根据“类”的定义，对选项进行分析，得到答案. 【详解】A选项，，故，A正确； B选项，全体整数被5除的余数只能是0，1，2，3，4， 故，B正确； C选项，，故，C错误； D选项，由题意可知能被5整除，故分别被5除的余数相同， 故整数，属同一类，D正确. 故选：C. 14．（23-24高一上·山西大同·期中）对于非空数集，，其所有元素的算术平均数记为，即.若非空数集B满足下列两个条件：（1）；（2）.则称B为A的一个“保均值子集”.据此推理，集合的“保均值子集”有（    ） A．5个 B．6个 C．7个 D．8个 【答案】C 【分析】根据“保均值子集”的定义，列举出所有符合题意的子集即可求得结果. 【详解】非空数集中，所有元素的算术平均数， 在所有子集中选出平均数为的子集即可， 所以集合的“保均值子集”有，，，，，，共7个： 故选：C． 15．（23-24高一上·上海浦东新·期中）若X是一个非空集合，M是一个以X的某些子集为元素的集合，且满足：①，；②对于X的任意子集A，B，当且时，有；③对于X的任意子集A，B，当且时，有，则称M是集合X的一个“M-集合类”.例如：是集合得一个“M—集合类”.若，则所有含的“M—集合类”的个数为（    ） A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】D 【分析】确定M中一定含有，再分类讨论，一一列举出能含有的其他元素，综合即可得答案. 【详解】的子集有， 由题意知M中一定含有， 则M中可以含有的其他元素从剩余的5个集合中选取； 当剩余的5个集合都不选时，，共1个； 当只取1个时，或， 或，满足题意，此时M有3个； 当取2个时，或， 或，满足题意，此时M有3个； 当取3个时，或， 或或，满足题意，此时M有4个； 当取4个时，没有符合题意的情况； 当5个全选时，，共1个， 故所有含的“M—集合类”的个数为， 故选：D 二、多选题 16．（23-24高一上·山东烟台·期中）给定集合，定义且，若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】利用基本不等式求得集合，根据新定义进行求解判断即可. 【详解】∵，∴，∴， 当且仅当时取等号，则，故A正确； ∵，， 由新定义可知，，故B正确； ，故C错误； ，故D正确. 故选：ABD. 17．（19-20高二下·广东佛山·阶段练习）设P是一个数集，且至少含有两个数．若对于任意，都有，且若，则，则称P是一个数域．例如，有理数集Q是数域．下列命题正确的是（    ） A．数域必含有0，1两个数 B．整数集是数域 C．若有理数集，则数集M一定是数域 D．数域中有无限多个元素 【答案】AD 【分析】根据数域的定义逐项进行分析即可． 【详解】因为P是一个数集，且至少含有两个数，可知P中必有一个非零实数， 对于选项A：当时，、，故A正确； 对于选项B：例如，，但，不满足条件，故B错误； 对于选项C：例如，取，，但， 所以数集M不是一个数域，故C错误； 对于选项D：由选项A可知：数域必含有0，1两个数， 根据数域的性质可知：数域必含有，必为无限集，故可知D正确． 故选：AD. 18．（23-24高二下·湖南长沙·期中）若集合含有个元素，则称为元集，的子集中含有个元素的子集叫做的元子集.已知集合，，则（    ） A．是2元集 B．的2元子集有10个 C．是5元集 D．是的9元子集 【答案】BCD 【分析】按照集合新定义规定，分别求出选项中的集合，或者计算出集合中的元素个数，一一判断即得. 【详解】对于A项，是1元集，故A错误； 对于B项，，则的2元子集有个，故正确； 对于C项，是5元集，故C正确； 对于D项，有个元素， 因表示的点都在圆上或圆内， 故是的子集， 则是的9元子集，故D正确． 故选：BCD. 19．（2024·江苏泰州·模拟预测）对任意，记，并称为集合的对称差．例如：若，则．下列命题中，为真命题的是（    ） A．若且，则 B．若且，则 C．若且，则 D．存在，使得 【答案】AB 【分析】集合的新定义，结合选项以及交并补的性质逐一判断即可． 【详解】对于，因为，所以， 所以，且中的元素不能出现在中，因此，即正确； 对于，因为，所以， 即与是相同的，所以，B正确； 对于，因为，所以， 所以，即错误； 对于，由于 , 而，故，即错误． 故选：AB． 20．（23-24高一上·江苏南京·期中）在教材的“阅读”材料中谈到如下内容.德国数学家康托尔根据人们在计数时运用的“一一对应”思想给出了两个集合“等势”的概念：若两个无限集的元素之间能建立起一一对应，则称这两个集合等势.由此，下列四组无限集合中等势的有（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】AC 【分析】根据集合等势的定义逐项判断即可. 【详解】对于A，对任意，可建立到的一一对应；所以A正确； 对于C，对任意时对应中的，时对应中的，可建立一一对应；所以C正确； 对于，整数集与实数集，自然数集与实数集，之间都无法建立一一对应，所以错误； 故选：AC. 21．（23-24高一上·河南开封·期中）当两个集合中一个集合为另一个集合的子集时，称这两个集合构成“全食”；当两个集合有公共元素，但互不为对方子集时，称这两个集合成“偏食”.对于集合，，若与B构成“全食”或“偏食”，则实数的取值可以是（    ） A．-2 B． C．0 D．1 【答案】BCD 【分析】考虑时，，时，，依次将各个选项中的数据带入，计算集合，再判断和之间的关系得到答案. 【详解】当时，， 当时，， 对选项A：若，，此时，不满足； 对选项B：若，，此时，满足； 对选项C：若，，此时，满足； 对选项D：若，，此时，满足； 故选：BCD. 22．（22-23高一上·江苏宿迁·期中）设集合是实数集的子集，如果点满足：对任意，都存在，使得，称为集合的聚点，则在下列集合中，以0为聚点的集合有（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据集合聚点的定义，逐一分析每个集合中元素的性质，并判断是否满足集合聚点的定义，从而得到答案. 【详解】对于集合，对任意的，都存在，使得， 所以0是集合的聚点，A选项正确； 对于集合，对于某个实数，比如， 此时对任意的，都有， 也就是说不可能，从而0不是集合的聚点，B选项错误； 对于集合，对任意的，都存在，即， 使，所以0是集合的聚点，C选项正确； 对于集合，，随着n增大而增大， 的最小值为，故当时，即不存在x，使得，D选项错误. 故选：AC 【点睛】关键点点睛：集合新定义的应用，其中解答中认真审题，正确理解集合的新定义——集合中聚点的含义，结合集合的表示及集合中元素的性质，逐项判定是解答的关键，着重考查推理与论证能力. 三、填空题 23．（23-24高一上·江苏徐州·期中）对于集合，，我们把集合叫做集合与的差集，记作.若，，则 . 【答案】 【分析】利用定义进行直接计算. 【详解】由差集的定义，，, 则. 故答案为：. 24．（23-24高一下·上海杨浦·期中）定义集合且，设全集为，集合满足，则下列结论正确的是 （填序号） ①；②；③；④；⑤ 【答案】②③⑤ 【分析】依题意可得且，再一一判断即可. 【详解】因为且，且， 且， 所以且，故③，⑤正确，①错误， 所以，，则，，故②正确，④错误. 故答案为：②③⑤ 25．（24-25高一上·上海·期中）设全集，集合A、B是I的子集，若，就称为“好集”，那么所有“好集”的个数为 ． 【答案】9 【分析】根据题意，依次写出符合条件的“好集”. 【详解】 . 故答案为：9 26．（23-24高一上·上海·期中）设全集U=Z，定义A❀B=，若，则❀= . 【答案】 【分析】根据定义，先求A❀B，再求其补集即可. 【详解】因为U=Z, 所以A❀B=， 所以❀= 故答案为：. 27．（2024·辽宁·模拟预测）若集合，满足都是的子集，且，，均只有一个元素，且，称为的一个“有序子集列”，若有5个元素，则有多少个“有序子集列” . 【答案】960 【分析】结合韦恩图，根据题意先选择3个元素均分给，，三个位置，在排剩余元素，结合组合数和分步乘法计数原理运算求解. 【详解】因为，，均只有一个元素，且，作出韦恩图，    则从的5个元素中选择3个元素均分给，，三个位置，共有种不同排法， 剩余2个元素，每个均有4个位置可以排，共有有种不同排法； 所以“有序子集列”共有个. 故答案为：960. 【点睛】关键点点睛：本题关键是将集合问题转化为元素分配问题，先排重叠部分，再排剩余元素即可. 28．（23-24高三下·重庆·期中）已知集合，集合满足：①每个集合都恰有4个元素；②.集合中元素的最大值与最小值之和称为集合的特征数，记为，则的最大值与最小值的差为 ． 【答案】 【分析】判断集合中元素的最小值与最大值的可能情况，然后按照特征数定义求解即可. 【详解】因为满足:①每个集合都恰有4个元素；②， 所以一定各包含4个不同数值， 集合中元素的最小值分别是1，2，3，最大值是12，11，9， 特征数的和最小，如：，特征数为13； ，特征数为11；，特征数为9； 则最小，最小值为； 当集合中元素的最小值分别是1，4，7，最大值是12，11，10时， 特征数的和最大，如：，特征数为13； ，特征数为15；，特征数为17； 则最大，最大值为， 故的最大值与最小值的差为. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题考查了集合新定义问题，解答本题的关键在于理解题中所给新定义的含义，明确其内容，利用子集知识求解即可. 四、解答题 29．（23-24高一上·北京顺义·期中）已知，是的子集，定义集合，若，则称集合A是的恰当子集．用表示有限集合X的元素个数． (1)若，，求并判断集合A是否为的恰当子集； (2)已知是的恰当子集，求a，b的值并说明理由； (3)若存在A是的恰当子集，并且，求n的最大值． 【答案】(1)，集合A是的恰当子集； (2)，或，. (3)10 【分析】（1）由定义求并判断集合A是否为的恰当子集； （2）已知是的恰当子集，则有，列方程求a，b的值并检验； （3）证明时，存在A是的恰当子集；当时，不存在A是的恰当子集， 【详解】（1）若，有，由，则， 满足，集合A是的恰当子集； （2）是的恰当子集，则， ，由则或， 时，，此时，，满足题意； 时，，此时，，满足题意； ，或，. （3）若存在A是的恰当子集，并且， 当时，，有，满足， 所以是的恰当子集， 当时，若存在A是的恰当子集，并且，则需满足，由，则有且；由，则有或， 时，设，经检验没有这样的满足； 当时，设，经检验没有这样的满足；， 因此不存在A是的恰当子集，并且， 所以存在A是的恰当子集，并且，n的最大值为10. 30．（23-24高二下·北京·期中）集合，集合，若集合中元素个数为，且所有元素从小到大排列后是等差数列，则称集合为“好集合”． (1)判断集合是否为“好集合”； (2)若集合是“好集合”，求的值． 【答案】(1)为“好集合”； 不是“好集合” (2) 【分析】（1）先由集合求出，再由“好集合”定义进行判断即可. （2）由先求，再结合和中元素结构特征即可推导求解. 【详解】（1）因为， 所以由， 得，显然中的元素从小到大排列后是等差数列， 又由集合中元素个数为可知中元素个数应分别为， 故根据“好集合”定义可知为“好集合”， 不是“好集合”. （2）因为集合是“好集合”， 所以集合中元素个数为，且和是它的最小的两个元素， 所以集合接下来的四个元素从小到大排列应为， 所以，. 31．（23-24高一下·安徽宿州·期中）定义1:对于一个数集，定义一种运算，对任意都有，则称集合关于运算是封闭的（例如:自然数集对于加法运算是封闭的）. 定义2:对于一个数集，若存在一个元素，使得任意，满足，则称为集合中的零元，若存在一个元素，使得任意，满足，则称为集合中的单位元（例如:0和1分别为自然数集中的零元和单位元）. 定义3:对于一个数集，如果满足下列关系: ①有零元和单位元； ②关于加、减、乘、除（除数不为0）四种运算都是封闭的； ③对于乘法和加法都满足交换律和结合律，且满足乘法对加法的分配律，则称这个数集是一个数域. (1)指出常用数集中，那些数集可以构成数域（不需要证明）； (2)已知集合，证明:集合关于乘法运算是封闭的； (3)已知集合，证明:集合是一个数域. 【答案】(1)； (2)证明见解析； (3)证明见解析. 【分析】（1）利用数域的定义直接判断即可. （2）利用关于乘法运算封闭的定义推理即得. （3）利用数域的定义，逐一验证各个条件被满足即可. 【详解】（1）由于，而，因此不是数域； 由于，而，因此不是数域； 中，都有零元：0和单位元：1； 关于加、减、乘、除（除数不为0）四种运算都是封闭的； 对于乘法和加法都满足交换律和结合律，且满足乘法对加法的分配律， 所以可以是数域. （2）设(都为整数)，显然,且， 则 显然，因此， 所以集合A关于乘法运算是封闭的. （3）①显然,当时，；当时，， 显然对任意，都有，所以集合中有零元0和单位元1； ②设，则， 因为都为有理数，则也都为有理数， 因此； 又由（2）同理可得，都为有理数时，也都为有理数， 于是； 当时，令， 显然都是有理数，则，于是， 因此集合A关于加、减、乘、除运算都是封闭的； ③显然任意，都有，由中加法、乘法运算都满足交换律、结合律，还满足乘法对加法的分配律， 因此集合A中加法、乘法运算都满足交换律、结合律，还满足乘法对加法的分配律， 所以集合A是一个数域. 32．（23-24高二下·云南昆明·期中）设是非空实数集，且.若对于任意的，都有，则称集合具有性质；若对于任意的，都有，则称集合具有性质. (1)写出一个恰含有两个元素且具有性质的集合，并证明； (2)若非空实数集具有性质，求证：集合具有性质； (3)设全集，是否存在具有性质的非空实数集，使得集合具有性质？若存在，写出这样的一个集合；若不存在，说明理由. 【答案】(1)，证明见解析 (2)证明见解析 (3)不存在，理由见解析 【分析】（1）根据题意直接写出根据定义证明即可； （2）根据性质可知，分别说明集合中元素为1个、2个、大于2个时，集合中元素满足性质即可； （3）令集合，设，可得，令，且，①， ，这与矛盾；②，得，因此，这与矛盾综上可得到结论． 【详解】（1）恰含有两个元素且具有性质的集合； 证明：； （2）若集合具有性质，不妨设，由非空数集具有性质，有. ①，易知此时集合具有性质. ②数集只含有两个元素，不妨设， 由，且，解得：，此时集合具有性质. ③实数集含有两个以上的元素，不妨设不为1的元素， 则有，由于集合具有性质， 所以有，这说明集合具有性质； （3）不存在具有性质的非空实数集，使得集合具有性质， 由于非空实数集具有性质，令集合， 依题意不妨设， 因为集合具有性质，所以， 若，则， 因为非空实数集具有性质，故，这与矛盾， 故集合不是单元素集， 令，且， ①，可得，即，这与矛盾； ②，由于，所以，因此，这与矛盾 综上可得：不存在具有性质的非空实数集，使得集合具有性质. 【点睛】方法点睛：集合新定义问题，命题新颖，且存在知识点交叉，常常会和函数的性质，包括单调性，值域等进行结合，很好的考虑了知识迁移，逻辑推理，综合运用能力，对于此类问题，一定要解读出题干中的信息，正确理解问题的本质，转化为熟悉的问题来进行解决. 33．（23-24高二上·北京西城·期中）已知，，，记，用表示有限集合的元素个数. (1)若，，分别指出和时，集合的情况（直接写出结论）； (2)若，，求的最大值； (3)若，，则对于任意的A，是否都存在，使得？说明理由. 【答案】(1) (2)10 (3)不一定存在，理由见解析 【分析】（1）由已知得，其中，当时，相差3；由此可求得，当时，同理可得； （2）若，，，当时，则相差5，所以，A中至多有5个元素，所以也至多有5个元素，求出得出结果； （3）举反例和，根据题意检验即可说明. 【详解】（1）若，则，其中， 否则，， 若，当时，，， 所以，则，相差3， 因为，， 所以； 当时，，，， 所以， 因为，， 所以不存在； （2）若，，， 当时，，，，，，， 所以，，所以不存在； 所以A中至多有5个元素； 当时，，，，， 所以，则，相差5，所以； ， 所以，，. 因为中至多有5个元素，所以，也至多有5个元素， 所以的最大值为10. （3）不一定存在，理由如下： 例如， 则，，，，， 则，相差不可能1，2，3，4，5，6， 这与矛盾，故不都存在； 例如，不妨令， 则，满足. 【点睛】关键点点睛：对于新定义问题，要充分理解定义，并把定义进行转化为已知的知识点或结论，方便解题. 34．（23-24高一下·浙江·期中）设集合．定义：和集合，积集合，分别用表示集合中元素的个数． (1)若，求集合； (2)若，求的所有可能的值组成的集合； (3)若，求证：． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）根据新定义直接求解B,C; （2）令，由和集合得到数的大小关系，再讨论大小关系分类求解； （3）记集合为，且，由和集合得到数的大小关系，求出B有两种可能，当得，由及数的大小关系分别讨论和，讨论五种情况即可求解. 【详解】（1）（1）由，则， ． （2）当，不妨记集合为， 且令， 则必有， 和中剩下的满足， 并且，下列有四种可能： 一是，则； 二是与与与三对数有两对相等， 另一对不相等，则； 三是与与与三对数有一对相等， 其它两对不相等，则； 四是与与与三对数全不相等，则； 综上述，的所有可能的值组成的集合为. （3）当，不妨记集合为，且， 则必有， 和中剩下的元素为，满足， 所以有两种可能，当，；当，； ⅰ）当，不妨记这6个元素为，且让， 则必有，所以； ⅱ）当，， 不妨记，，，，， 则，则必有， 积中剩下的满足，则， 下面先证明． 假设，由，则， 即，所以， 令，由，则， 所以，则，与事实不符，所以． 下面再证明． 由上述分析知：要使，积中剩下的满足， 必有两对积与七对中的两对相等，有如下五种情况： 一是，则可推得，令其比值为，则， 于是，由， 则，则，显然无解，故此情况不能； 二是，则可推得，令， 显然，由，则， 所以，而显然，故此情况不可能； 三是，则可推得，令其比值为，则，由， 又，则，这与矛盾，故此情况不可能； 四是，可推得，令其比值为，则， 于是，，，， 于是由，则， 所以，代入得，推得，所以， 所以，有，所以，这与是有理数相矛盾，所以此情况不能； 五是，可推得，令其比值为，则，于是， 由，则，则， 显然无解，故此情况不可能．所以． 综上，所以． 【点睛】关键点点睛:本题考查集合新定义，关键是对集合元素数的大小关系进行讨论，推出矛盾证明第三问. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！22 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$