专题03 一元二次方程计算（七大题型）-【好题汇编】备战2024-2025学年九年级数学上学期期中真题分类汇编（辽宁专用）

专题03 一元二次方程计算 题型一 解一元二次方程 1．（23-24九年级上·辽宁大连·期中） 用适当的方法解方程． (1)； (2)． 2．（23-24九年级上·辽宁铁岭·期中）解下列方程： (1)； (2)． 3．（23-24九年级上·辽宁朝阳·期中）解下列一元二次方程： (1)； (2)． 4．（23-24九年级上·辽宁锦州·期中）按要求解方程： (1)用公式法解方程； (2)用因式分解法解方程． 5．（23-24九年级上·辽宁锦州·期中）解方程：（用适当的方法解方程） (1) (2) (3) (4) 6．（23-24九年级上·辽宁锦州·期中）解方程： (1)；（配方法） (2)；（公式法） (3)；（因式分解法） (4)．（选择适当的方法） 7．（23-24九年级上·辽宁丹东·期中）解下列一元二次方程 (1) (2) 8．（23-24九年级上·辽宁阜新·期中）请选择适当的方法解下列一元二次方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 9．（23-24九年级上·辽宁鞍山·期中）解方程： (1)； (2)． 10．（23-24九年级上·辽宁鞍山·期中）解下列方程： (1) (2)． 11．（23-24九年级上·辽宁丹东·期中）解下列方程： (1)（用公式法解方程）； (2)． 12．（23-24九年级上·辽宁营口·期中）解方程： (1) (2) 13．（23-24九年级上·辽宁葫芦岛·期中）解方程 (1) (2) 14．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期中）解下列方程： (1)； (2)． 15．（23-24九年级上·辽宁鞍山·期中）解下列一元二次方程 (1)（公式法） (2)（公式法） 16．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期中）用适当的方法解一元二次方程 (1) (2) 17．（23-24九年级上·辽宁抚顺·期中）解方程 (1)（配方法）； (2)． 18．（23-24九年级上·辽宁营口·期中）解一元二次方程 (1) (2) 19．（23-24九年级上·辽宁鞍山·期中）解方程： (1) (2) 20．（23-24九年级上·辽宁营口·期中）解方程： (1)； (2)． 21．（23-24九年级上·辽宁阜新·期中）解下列方程： (1)； (2)． 22．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期中）解方程 (1) (2) 题型二 分式方程与一元二次方程 23．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期中）化简，并求值，其中x是一元二次方程x2﹣7x+6＝0的解． 24．（23-24九年级上·辽宁营口·期中）先化简，再求值：，其中m是方程的根． 题型三 换元法解一元二次方程 25．（23-24九年级上·辽宁锦州·期中）阅读材料：为了解方程，我们可以将看作一个整体， 设…①， 那么原方程可化为，解得，， 当时，，∴，∴； 当时，，∴，∴， 故原方程的解为，，， 以上解题方法叫做换元法，在由原方程得到方程①的过程中，利用换元法达到了解方程的目的，体现了转化的数学思想； 请利用以上知识解方程： 题型四 根的判别式的应用 26．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期中）我们规定：对于任意实数a、b、c、d有，其中等式右边是通常的乘法和减法运算，如：． (1)求的值； (2)已知关于x的方程有两个实数根，求m的取值范围． 27．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期中）已知关于x的方程． (1)若此方程的一个根为1，求m的值； (2)求证：不论m取何实数，此方程都有两个不相等的实数根． 28．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期中）关于的一元二次方程． (1)当时，解此一元二次方程； (2)若方程的一个根是，求的值． 29．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期中）已知关于的一元二次方程有实数根． （1）求实数的取值范围； （2）当取满足条件的最大整数时，求方程的解． 题型五 配方法的应用 30．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期中）我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其他重要应用． 例如：求代数式的最小值．解答过程如下： 解： ∵ ∴ ∴当时，有最小值，是1 (1)仿照上述方法，求代数式的最小值； (2)有最______（直接填“大”或“小”）值，是_______（直接填空）． 题型六 判别式与等腰三角形的应用 31．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期中）已知关于x的一元二次方程，其中a、b、c分别为三边的长． (1)如果是方程的根，试判断的形状，并说明理由； (2)如果方程有两个相等的实数根，试判断的形状，并说明理由． 32．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期中）已知关于x的方程． (1)请你判断方程的解的情况； (2)若等腰三角形ABC的一边长 ，另两边长b，c恰好是这个方程的两个根，求 的周长． 33．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期中）已知关于x的一元二次方程 （1）求证：方程有两个不相等的实数根； （2）若△ABC的两边AB、AC的长是方程的两个实数根，第三边BC的长为5．当△ABC是等腰三角形时，求k的值 题型七 根与系数的关系与判别式 34．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期中）已知关于的方程（为常数）． (1)求证：无论为何值时，方程都有两个不相等的实数根； (2)设，为方程的两个实数根，且满足，试求的值． 35．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期中）已知关于x的一元二次方程． （1）若该方程有两个实数根，求m的最小整数值； （2）若方程的两个实数根为，且，求m的值． 36．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期中）已知关于的一元二次方程 (1)若方程有实数根，求实数的取值范围． (2)若方程的两实数根分别为，并且满足求m的值． 37．（23-24九年级上·辽宁朝阳·期中）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：方程有两个实数根； (2)若方程的两个根分别为，，且，求k的值． 38．（23-24九年级上·辽宁鞍山·期中）已知关于的方程． (1)求证：无论k取何值，此方程总有实数根； (2)设该方程的两个实数根为a，b，若，求k的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 一元二次方程计算 题型一 解一元二次方程 1．（23-24九年级上·辽宁大连·期中） 用适当的方法解方程． (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查了解一元二次方程-配方法，公式法： （1）利用解一元二次方程-配方法进行计算，即可解答； （2）利用解一元二次方程-公式法进行计算，即可解答． 【详解】（1） ， ， ∴． ∴． ∴，； （2） ，，， ， ∴方程有两个不相等的实数根， ∴． ∴，． 2．（23-24九年级上·辽宁铁岭·期中）解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)，． 【分析】本题主要考查解一元二次方程： （1）利用配方法解方程即可； （2）先移项得到，然后利用因式分解法解方程． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， ∴， （2）解：， ， ， ， 或， ∴，． 3．（23-24九年级上·辽宁朝阳·期中）解下列一元二次方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，常用的方法有直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，熟练掌握各种方法是解答本题的关键． （1）用配方法求解即可； （2）用因式分解法求解即可． 【详解】（1）∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，； （2）∵， ∴， ∴， ∴或， ∴，． 4．（23-24九年级上·辽宁锦州·期中）按要求解方程： (1)用公式法解方程； (2)用因式分解法解方程． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法和步骤是解题的关键． （1）先将方程化为一般式，再用公式法求解即可； （2）先移项，再用平方差公式进行因式分解，即可用因式分解法求解． 【详解】（1）用公式法解方程； 解：移项：， ，，， ∵ ∴， 解得：，； （2）用因式分解法解方程 ． 解：， ， ， ∴或， ∴  ． 5．（23-24九年级上·辽宁锦州·期中）解方程：（用适当的方法解方程） (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)， (2)， (3)， (4)， 【分析】（1）根据因式分解法即可求解； （2）根据公式法即可求解； （3）根据因式分解法即可求解； （4）先化简，再根据因式分解即可． 此题主要考查一元二次方程的求解，解题的关键是熟知其解法． 【详解】（1） ∴或 ∴，； （2） ∴ ∴， （3） ∴或 ∴，； （4） ∴或 ，． 6．（23-24九年级上·辽宁锦州·期中）解方程： (1)；（配方法） (2)；（公式法） (3)；（因式分解法） (4)．（选择适当的方法） 【答案】(1)， (2)， (3)， (4)， 【分析】本题考查了解一元二次方程， （1）根据配方法计算即可； （1）根据公式法计算即可； （3）根据因式分解法计算即可； （4）根据公式法计算即可． 【详解】（1）解：， 移项得：， 配方得：，即， 开方得：， 则，； （2）由题意可得：，，， ∴， ∴， ∴，； （3） ∴ 即 ∴或 解得，； （4）解： ， 解得：，． 7．（23-24九年级上·辽宁丹东·期中）解下列一元二次方程 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元二次方程． （1）利用解一元二次方程-配方法，进行计算即可解答； （2）利用解一元二次方程-因式分解法，进行计算即可解答． 【详解】（1）解： 解得：； （2）解： 或，即或 解得：． 8．（23-24九年级上·辽宁阜新·期中）请选择适当的方法解下列一元二次方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)， (2)， (3)， (4)， 【分析】本题考查了解一元二次方程，解一元二次方程的方法有：公式法、配方法、直接开平方法、因式分解法，选择合适的方法进行计算是解此题的关键． （1）利用配方法解一元二次方程即可； （2）先化为一般式，再利用因式分解法解一元二次方程即可； （3）利用因式分解法解一元二次方程即可； （4）利用因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】（1）解：， ， ， ，即， ， ，； （2）解：， ， ， 或， ，； （3）解：， ， 或， ，； （4）解：， ， ，即， 或， ，． 9．（23-24九年级上·辽宁鞍山·期中）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)方程无实数解 (2)， 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握解一元二次方程的方法，准确计算． （1）用公式法解一元二次方程即可； （2）用因式分解法解方程即可． 【详解】（1）解：， ∵，，， ∴， ∴方程无实数解； （2）解：， 移项得：， ∴， ∴或， 解得：，． 10．（23-24九年级上·辽宁鞍山·期中）解下列方程： (1) (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，选择适当解法是解题的关键． (1) 利用公式法求解即可． (2) 利用因式分解法法求解即可． 【详解】（1）解：      ∴， ∴，． （2）解： ∴或 ∴，． 11．（23-24九年级上·辽宁丹东·期中）解下列方程： (1)（用公式法解方程）； (2)． 【答案】(1)，； (2)，． 【分析】本题考查了一元二次方程的解法， （1）利用公式法解一元二次方程即可； （2）利用因式分解法解一元二次方程即可； 解题的关键是掌握一元二次方程的解法：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法等． 【详解】（1）解： ，，， ∵， ∴， ∴，； （2）解： ， 或， 解得，． 12．（23-24九年级上·辽宁营口·期中）解方程： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元二次方程： （1）运用配方法进行解一元二次方程，即可作答． （2）先移项，再提公因式，得，令每个因式为0，即可作答． 【详解】（1）解：∵ ∴ 则 即 解得 ∴ （2）解： ∴ ∴ 则或 解得 13．（23-24九年级上·辽宁葫芦岛·期中）解方程 (1) (2) 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题主要考查一元二次方程的解法，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键； （1）利用公式法求解方程即可； （2）利用因式分解法求解方程即可． 【详解】（1）解： ，，， ， ∴方程有两个不等的实数根， ， 即，； （2）解： 因式分解得： ， 于是得， 或， 解得，． 14．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期中）解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了解一元二次方程的能力． （1）利用因式分解法求解即可； （2）利用公式法求解即可． 【详解】（1）解：， ∴， ∴或， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 15．（23-24九年级上·辽宁鞍山·期中）解下列一元二次方程 (1)（公式法） (2)（公式法） 【答案】(1)，； (2)，． 【分析】（）先确定的值，求出的值，确定能否用公式法计算，若，即代入求根公式计算即可； （）先确定的值，求出的值，确定能否用公式法计算，若，即代入求根公式计算即可； 本题考查了用公式法解一元二次方程，解题的关键是熟记求根公式，掌握用公式法解一元二次方程的步骤． 【详解】（1），，， ， ∴， ∴，； （2），，， ， ∴， ∴，． 16．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期中）用适当的方法解一元二次方程 (1) (2) 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法． （1）利用求根公式解方程； （2）先移项，然后通过提取公因式法对等式的左边进行因式分解，进而即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴ ∴ ∴， （2）解： ∴ ∴ ∴， 17．（23-24九年级上·辽宁抚顺·期中）解方程 (1)（配方法）； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查了配方法、因式分解法解一元二次方程．熟练掌握配方法、因式分解法解一元二次方程是解题的关键． （1）配方法解一元二次方程即可； （2）因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， ∴， 解得，，； （2）解：， ， ， ∴或， 解得，，． 18．（23-24九年级上·辽宁营口·期中）解一元二次方程 (1) (2) 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查的是一元二次方程的解法，掌握因式分解的方法解方程是关键； （1）先把方程左边分解因式，再化为两个一次方程，再解一次方程即可； （2）先移项，再利用提公因式法把方程左边分解因式，再化为两个一次方程，再解一次方程即可. 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴或， 解得：，； （2）∵， ∴ ∴， ， 解得：． 19．（23-24九年级上·辽宁鞍山·期中）解方程： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据因式分解法解一元二次方程即可，熟练把方程左边正确进行因式分解是解题的关键； （2）根据公式法解一元二次方程即可，熟练掌握求根公式是解题的关键． 【详解】（1）解：， ， 令或， 解得： （2）∵， ∴， ∴， ∴． 20．（23-24九年级上·辽宁营口·期中）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查了解一元二次方程，解一元二次方程的方法有直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法，选择合适的方法是解此题的关键． （1）利用因式分解法解一元二次方程即可； （2）利用公式法解一元二次方程即可． 【详解】（1）解：， ， ，即， 或， 解得：，； （2）解：， ，，， ， ， 解得：，． 21．（23-24九年级上·辽宁阜新·期中）解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法和步骤是解题的关键． （1）用配方法求解即可； （2）用因式分解法求解即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， 解得：； （2）解：， ， ， ， ， 解得：． 22．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期中）解方程 (1) (2) 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题主要考查了解一元二次方程的知识， （1）利用因式分解法计算即可； （2）利用配方法求解即可． 【详解】（1） ∴，或， ∴，； （2） ， ∴，． 题型二 分式方程与一元二次方程 23．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期中）化简，并求值，其中x是一元二次方程x2﹣7x+6＝0的解． 【答案】 【分析】根据分式的除法可以化简题目中的式子，然后根据一元二次方程x2﹣7x+6＝0，可以得到x的值，然后将使得原分式有意义的值代入化简后的式子即可解答本题． 【详解】解： ＝ ＝， 由x2﹣7x+6＝0， 解得x1＝6，x2＝1， 当x＝1时，原分式无意义， ∴x＝6， 当x＝6时， 原式＝． 【点睛】本题考查了分式的化简求值，也考查了一元二次方程的解法，正确地把分式化简是解题的关键．注意：代入求值时，要满足分式有意义的的值． 24．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期中）先化简，再求值：，其中m是方程的根． 【答案】； 【分析】根据分式的混合运算法则把原式化简，再根据一元二次方程解的定义，得出，再整体代入计算，即可得解． 【详解】解： ， ∵m是方程的根， ∴，即 ； 【点睛】本题考查了分式的化简求值、一元二次方程的解，熟练掌握分式的混合运算法则是解题关键．注意整体代入思想的运用． 题型三 换元法解一元二次方程 25．（23-24九年级上·辽宁锦州·期中）阅读材料：为了解方程，我们可以将看作一个整体， 设…①， 那么原方程可化为，解得，， 当时，，∴，∴； 当时，，∴，∴， 故原方程的解为，，， 以上解题方法叫做换元法，在由原方程得到方程①的过程中，利用换元法达到了解方程的目的，体现了转化的数学思想； 请利用以上知识解方程： 【答案】， 【分析】运用换元法解一元二次方程即可求解，本题主要考查解一元二次方程的特殊解法，掌握换元法解一元二次方程是解题的关键． 【详解】解：设， ∴原方程可化为，解得，，， 当时，， ∵， ∴原方程无解； 当时，， ∴，解得  ； 故原方程的解为：，． 题型四 根的判别式的应用 26．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期中）我们规定：对于任意实数a、b、c、d有，其中等式右边是通常的乘法和减法运算，如：． (1)求的值； (2)已知关于x的方程有两个实数根，求m的取值范围． 【答案】(1)10； (2)且． 【分析】（1）根据新定义计算即可求解； （2）根据新定义得到一元二次方程，利用根的判别式列式计算即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）解：∵， ∴， 整理得， ∵关于x的方程有两个实数根， ∴，且， 解得且． 【点睛】本题考查了新定义运算，根的判别式，牢记“当时，方程有两个实数根”是解题的关键． 27．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期中）已知关于x的方程． (1)若此方程的一个根为1，求m的值； (2)求证：不论m取何实数，此方程都有两个不相等的实数根． 【答案】（1）；（2）证明见解析 【分析】（1）直接把x=1代入方程求出m的值； （2）计算出根的判别式，进一步利用配方法和非负数的性质证得结论即可． 【详解】解：（1）根据题意，将x=1代入方程， 得：， 解得：m=． （2）∵， ∴不论m取何实数，该方程都有两个不相等的实数根． 【点睛】本题考查根的判别式，一元二次方程的解，熟记根的判别式与一元二次方程根的关系是解题的关键. 28．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期中）关于的一元二次方程． (1)当时，解此一元二次方程； (2)若方程的一个根是，求的值． 【答案】(1)， (2)的值为 【分析】本题考查了公式法解一元二次方程，一元二次方程的根与系数的关系．熟练掌握公式法解一元二次方程，一元二次方程的根与系数的关系是解题的关键． （1）当时，一元二次方程为，公式法解一元二次方程即可； （2）由题意，令，由题意知，，，计算求解即可． 【详解】（1）解：当时，一元二次方程为． ∴， ∴， 解得，，； （2）解：由题意，令， 由题意知，，， 将代入解得，， ∴， ∴的值为． 29．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期中）已知关于的一元二次方程有实数根． （1）求实数的取值范围； （2）当取满足条件的最大整数时，求方程的解． 【答案】（1）；（2），． 【分析】（1）利用判别式的意义得到△=（2m-1）2-4×（m2-3）≥0，然后解不等式即可； （2）先确定m的最大整数为3，代入原方程，用因式分解法解方程即可． 【详解】（1）∵方程有实数根， ∴ 解得： （2）∵取最大的整数， ∴ ∴一元二次方程为 ∴方程的解为：， 【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2-4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根． 题型五 配方法的应用 30．（22-23九年级上·辽宁沈阳·期中）我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其他重要应用． 例如：求代数式的最小值．解答过程如下： 解： ∵ ∴ ∴当时，有最小值，是1 (1)仿照上述方法，求代数式的最小值； (2)有最______（直接填“大”或“小”）值，是_______（直接填空）． 【答案】(1)3 (2)大；15 【分析】（1）利用配方法把原式变形，根据偶次方的非负性解答即可； （2）利用配方法把原式变形，根据偶次方的非负性解答即可； 【详解】（1）， ， ， ∵， ∴， ∴当时，代数式的最小值是3． （2）, ， ， ∵， ∴， ∴， ∴当时，代数式的最小值是15． 故答案为：大，15． 【点睛】本题主要考查了配方法，非负数的性质，掌握配方法的一般步骤和偶次方的非负性是解题的关键． 题型六 判别式与等腰三角形的应用 31．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期中）已知关于x的一元二次方程，其中a、b、c分别为三边的长． (1)如果是方程的根，试判断的形状，并说明理由； (2)如果方程有两个相等的实数根，试判断的形状，并说明理由． 【答案】(1)等腰三角形，理由见解析 (2)直角三角形，理由见解析 【分析】（1）把是一元二次方程，得出，，即可得出三角形的形状； （2）根据方程有两个相等的实数根，得出，即可得出，说明三角形为直角三角形． 【详解】（1）解：∵是一元二次方程的根， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴为等腰三角形． （2）解：∵方程有两个相等的实数根， ∴， ∴， ∴为直角三角形． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，等腰三角形的判定，勾股定理逆定理的应用，根据一元二次方程根的情况，得出a、b、c之间的关系，是解题的关键． 32．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期中）已知关于x的方程． (1)请你判断方程的解的情况； (2)若等腰三角形ABC的一边长 ，另两边长b，c恰好是这个方程的两个根，求 的周长． 【答案】(1)方程有两个实数根 (2)5 【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式即可判断出方程的解的情况； （2）根据等腰三角形的性质分情况讨论求出b、c的长，并根据三角形三边关系检验，综合后求出的周长． 【详解】（1）由题意知：， ∵，即， ∴方程有两个实数根； （2）当时，，则， 方程化为，解得， ∴的周长； 当或时， 把代入方程得，解得， 方程化为，解得，， 不符合三角形三边的关系，此情况舍去； 综上所述，的周长为5． 【点睛】本题考查了根的判别式、等腰三角形的性质以及三角形三边的关系．注意：在判别式中，①当时，方程有两个不相等的实数根；②当时，方程有两个相等的实数根；③当时，方程没有实数根． 33．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期中）已知关于x的一元二次方程 （1）求证：方程有两个不相等的实数根； （2）若△ABC的两边AB、AC的长是方程的两个实数根，第三边BC的长为5．当△ABC是等腰三角形时，求k的值 【答案】（1）详见解析 （2）或 【分析】（1）先计算出△=1，然后根据判别式的意义即可得到结论； （2）先利用公式法求出方程的解为x1=k，x2=k+1，然后分类讨论：AB=k，AC=k+1，当AB=BC或AC=BC时△ABC为等腰三角形，然后求出k的值． 【详解】（1）证明：∵△=（2k+1）2-4（k2+k）=1＞0， ∴方程有两个不相等的实数根； （2）解：一元二次方程x2-（2k+1）x+k2+k=0的解为x=， 即x1=k，x2=k+1， ∵k＜k+1， ∴AB≠AC． 当AB=k，AC=k+1，且AB=BC时，△ABC是等腰三角形，则k=5； 当AB=k，AC=k+1，且AC=BC时，△ABC是等腰三角形，则k+1=5，解得k=4， 所以k的值为5或4． 【点睛】本题考查了：1．根的判别式；2．解一元二次方程；3．三角形三边关系；4．等腰三角形的性质． 题型七 根与系数的关系与判别式 34．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期中）已知关于的方程（为常数）． (1)求证：无论为何值时，方程都有两个不相等的实数根； (2)设，为方程的两个实数根，且满足，试求的值． 【答案】(1)见详解 (2)或 【分析】本题考查根据判别式判断一元二次方程根的情况，一元二次方程的根与系数的关系． （1）将原方程改为一元二次方程的一般形式，再求出其根的判别式的值即可判断； （2）由一元二次方程根与系数的关系可求出，．再将变形为，最后代入，解出k的值即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴关于x的一元二次方程，无论k取何值时，方程均有两个不相等的实数根； （2）解：∵为方程的两个实数根， ∴，． ∵ ∴， ∴ ∴． 将，代入， 得：， 解得：， ∴k的值为或． 35．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期中）已知关于x的一元二次方程． （1）若该方程有两个实数根，求m的最小整数值； （2）若方程的两个实数根为，且，求m的值． 【答案】（1）-2；（2）2 【分析】（1）根据判别式即可求出m的取值范围，进而得到答案； （2）根据根与系数的关系即可求出答案． 【详解】解：（1）根据题意得，解得， ∴m的最小整数值为； （2）根据题意得， ∵， ∴， ∴，整理得，解得， ∵， ∴m的值为2． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式及根与系数的关系，掌握相关公式是解决本题的关键． 36．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期中）已知关于的一元二次方程 (1)若方程有实数根，求实数的取值范围． (2)若方程的两实数根分别为，并且满足求m的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意可得根的判别式，据此得到不等式求解即可； （2）由根与系数的关系可得；然后代入求出的值即可． 【详解】（1）解：∵方程有实数根， ∴， 解得：， ∴实数m的取值范围是； （2）解：由两根关系得， ∵， ∴， 即 解得：（不符合要求，舍去）或， ∴． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式、根与系数的关系等知识点，熟练掌握一元二次方程根的判别式和根与系数的关系是解题的关键． 37．（23-24九年级上·辽宁朝阳·期中）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：方程有两个实数根； (2)若方程的两个根分别为，，且，求k的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）列出一元二次方程根的判别式，通过配方，可得，即可得到结论； （2）根据一元二次方程根与系数的关系，得，，结合，可得关于k的方程，解方程即可． 本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根与系数关系定理，熟练掌握两个重要知识点是解题的关键．一元二次方程的根与有如下关系：①当时，方程有两个不相等的两个实数根；②当时，方程有两个相等的两个实数根；③当时，方程无实数根；两根，与a、b、c有如下关系：，． 【详解】（1）∵是关于x的一元二次方程， ∴， ∴方程有两个实数根； （2）设方程的两个根分别为，， 则，， ∵， ∴ 解得，． 38．（23-24九年级上·辽宁鞍山·期中）已知关于的方程． (1)求证：无论k取何值，此方程总有实数根； (2)设该方程的两个实数根为a，b，若，求k的值． 【答案】(1)见解析 (2)， 【分析】本题主要方程的判别式，根与系数的关系，利用因式分解法解一元二次方程， （1）根据表示出方程的判别式，并证明其非负即可； （2）方法一：解方程，可得，，即有，，代入可得方程，解方程节课求解；方法二：根据根于系数的关系可得，，将展开、配方可得 ，代入可得，解方程即可求解． 【详解】（1）证明：，， ∵， ∴ ∴此方程总有实数根． （2）方法一：， ， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，； 方法二：，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$