专题05 有理数混合计算（五大题型45题）-【好题汇编】备战2024-2025学年七年级数学上学期期中真题分类汇编（辽宁专用）

专题05 有理数综合计算 题型一 有理数四则混合计算 1．（23-24七年级上·辽宁丹东·期中）计算： (1)； (2)； (3)． 2．（23-24七年级上·辽宁沈阳·期中）计算题： (1)； (2)． 3．（23-24七年级上·辽宁沈阳·期中）计算题 (1) (2) 4．（23-24七年级上·辽宁抚顺·期中）（1）     （2） （3）     （4） 5．（23-24七年级上·辽宁大连·期中）计算： (1)； (2)． 6．（23-24七年级上·辽宁沈阳·期中）计算下列各题： (1)； (2)． 7．（23-24七年级上·辽宁沈阳·期中）计算； (1)； (2)． 8．（23-24七年级上·辽宁本溪·期中）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 9．（23-24七年级上·辽宁沈阳·期中）计算 (1) (2) (3) (4) 10．（23-24七年级上·辽宁盘锦·期中）计算： (1) (2) (3) (4) (5) 11．（23-24七年级上·辽宁丹东·期中）计算： (1) ； (2) ； (3) ； (4) ． 12．（23-24七年级上·辽宁大连·期中）计算： (1)； (2)． 13．（23-24七年级上·辽宁鞍山·期中）计算： (1)； (2)； 14．（23-24七年级上·辽宁营口·期中）计算 (1) (2) (3) (4) 15．（23-24七年级上·辽宁鞍山·期中）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 16．（23-24七年级上·辽宁沈阳·期中）计算： (1)； (2)． 17．（23-24七年级上·辽宁朝阳·期中）计算： (1) (2) (3) (4) 18．（23-24七年级上·辽宁丹东·期中）计算题 (1) (2)用简便方法计算： (3) (4) 19．（23-24七年级上·辽宁锦州·期中）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 20．（23-24七年级上·辽宁沈阳·期中）计算： (1) (2) 21．（23-24七年级上·辽宁葫芦岛·期中）计算： (1)； (2) 22．（23-24七年级上·辽宁鞍山·期中）计算： (1)； (2)． 23．（23-24七年级上·辽宁沈阳·期中）计算： (1)； (2)； (3)． 24．（23-24七年级上·辽宁沈阳·期中）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 25．（23-24七年级上·辽宁葫芦岛·期中）（1）计算：； （2）计算：； （3）计算：． （4）先化简，再求值：，其中，． 26．（23-24七年级上·辽宁丹东·期中）计算： (1) (2) 27．（23-24七年级上·辽宁鞍山·期中）计算： (1)； (2)． 28．（23-24七年级上·辽宁·期中）计算： (1)； (2)． 29．（23-24七年级上·辽宁鞍山·期中）计算： (1) (2) (3) (4) 30．（23-24七年级上·辽宁丹东·期中）计算 (1) (2) (3) (4) 31．（23-24七年级上·辽宁沈阳·期中）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 32．（23-24七年级上·辽宁沈阳·期中）计算题： (1)； (2)； (3)（简便运算）； (4)（简便运算）； (5)； (6)． 题型二 绝对值的应用 33．（23-24七年级上·辽宁沈阳·期中）已知， (1)若，求的值； (2)若，求的值． 34．（23-24七年级上·辽宁大连·期中）已知，． (1)求，的值； (2)若，求的值． 题型三 拆项与消项计算 35．（23-24七年级上·辽宁葫芦岛·期中）阅读并解答后面的问题． ，； ，； ，；… (1)等于吗？请验证． (2)计算：． (3)用含（是正整数）的式子表示你发现的规律． 36．（23-24七年级上·辽宁大连·期中）请你观察： ；；；… ； ； 以上方法称为“裂项相消求和法”． 请类比完成： (1)求的值； (2)计算：的值． (3)求的值． 37．（23-24七年级上·辽宁沈阳·期中）观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； … 请解答下列问题： （1）按以上规律列出第5个等式：a5=　　=　　； （2）用含有n的代数式表示第n个等式：an=　　=　　（n为正整数）； （3）求a1+a2+a3+a4+…+a100的值． 38．（23-24七年级上·辽宁沈鞍山·期中）观察下列各式： …… (1)按照上述规律，第4个等式是：________________________________ (2)第个等式是：________________________ (3)运用你发现的规律计算： (4)________ 题型四 定义新运算 39．（23-24七年级上·辽宁大连·期中）材料阅读：传说夏禹治水时，在黄河支流洛水中浮现出一只大乌龟，背上有一个奇怪的图案.这个图案被后人称为“洛书”，即现在的三阶幻方.三阶幻方即为九宫格，它是由数字组成的一个三行三列的矩阵，其对角线、横向、纵向的数字之和均相等，这个和叫做幻和. (1)图1是一个“幻方”，则________；________；________；请直接写出图1中所有数的和与其“幻和”之间的倍数关系； (2)小明要将，，，0，2，4，6，8，10这9个数填入如图2所示的“幻方”中，他经过研究，发现在“幻方”中，正中间那个数叫中心数，且“幻和”恰好等于中心数的3倍，并且图2中的中心数是上述9个数的平均数. ①求中心数的值； ②请你帮小明将图2所示的“幻方”的空白方格填满.    40．（23-24七年级上·辽宁沈阳·期中）阅读：给定一列数，我们把这列数中的第一个数记为，第二数记为，第三个数记为，依此类推，第n个数记为（n为正整数）．规定运算，即从这列数的第一个数开始依次加到第n个数． (1)已知一列数，则_______，_______． (2)已知一列有规律的数：按照规律，这列数可以无限的写下去． ①直接写出的值； ②若正整数n满足等式，请直接写出_______． 题型五 乘方相关计算 41．（23-24七年级上·辽宁朝阳·期中）探索规律，观察下面算式，解答问题． ；；；；…… (1)请猜想________ (2)请猜想________：（n是整数且） (3)试计算： 42．（22-23七年级上·陕西西安·期中）观察算式，找规律： ； ； ； ； …… (1)由以上算式可知：__________ ； (2)计算：． 43．（2021·安徽蚌埠·二模）观察下列等式： 第1个等式：12＝13； 第2个等式：（1+2）2＝13+23； 第3个等式：（1+2+3）2＝13+23+33； 第4个等式：（1+2+3+4）2＝13+23+33+43 …… 按照以上规律，解决下列问题： （1）写出第5个等式：　 　； （2）写出第n（n为正整数）个等式：　 　（用含n的等式表示）； （3）利用你发现的规律求113+123+133+…+1003值． 44．（23-24七年级上·辽宁阜新·期中）已知，按照这个规律完成下列问题： (1)__________________． (2)猜想：______． (3)利用（2）中的结论计算：（写出计算过程）． 45．（23-24七年级上·辽宁大连·期中）【概念探究】在学习了有理数的乘方运算后．小芳对类似于这样几个相同有理数（均不等于0）的除地运算产生了兴趣，决定通行探究学习．经过查阅资料，类比有道数的乘方运算，小芳知道达种除法运据叫做除方，并把记作，读作的4次商． 【概念归纳】（1）一般地，我们把n个a（a≠0）相除记作a，读作_______的 _______次商”． 【概念理解】（2）直接写出结果：＝_______． （3）关于除方，下列说法正确的是：_______（填序号）． ①任何非零数的2次商都等于1 ②对于任何正整数n， ③ ④负数的奇数次商结果是负数，负数的偶数次商结果是正数 【概念运用】（4）结过探究，小芳发现有理数的除方运算可转化为乘方运算，例：，仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成乘方（幂）的形式＝_______；＝_______． （5）计算：． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 有理数综合计算 题型一 有理数四则混合计算 1．（23-24七年级上·辽宁丹东·期中）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3)17 【分析】本题考查有理数的混合运算： （1）先乘方，再乘除，最后算加减； （2）利用乘法分配律进行计算即可； （3）先乘方，再乘除，最后算加减． 【详解】（1）解：原式 ； （2）原式 ； （3）原式 ． 2．（23-24七年级上·辽宁沈阳·期中）计算题： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了有理数混合运算，解题的关键是熟练掌握含乘方的有理数混合运算． （1）根据有理数乘除混合运算顺序，同一级运算按从左到右的顺序依次计算即可； （2）先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号的先算括号里面的，依次计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 3．（23-24七年级上·辽宁沈阳·期中）计算题 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的混合运算． （1）根据有理数的乘法分配律进行计算即可求解； （2）根据有理数的混合运算进行计算即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 4．（23-24七年级上·辽宁抚顺·期中）（1）     （2） （3）     （4） 【答案】（1）；（2）；（3）；（4） 【分析】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解题关键． （1）根据有理数的加减运算法则计算即可； （2）根据有理数的除法运算及乘法运算律计算即可； （3）根据有理数的混合运算法则计算即可； （4）根据有理数的混合运算法则计算即可． 【详解】解：（1） ； （2） ； （3） ； （4） ． 5．（23-24七年级上·辽宁大连·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查有理数的混合运算， （1）先把减法转化为加法，再根据加法法则计算即可； （2）先算乘方，再算乘除法，最后算加减法即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 6．（23-24七年级上·辽宁沈阳·期中）计算下列各题： (1)； (2)． 【答案】(1)2； (2) 【分析】本题主要考查有理数的混合运算， （1）利用乘法的分配律进行运算即可； （2）先算乘方，再算乘法与除法，最后算加减即可，解答的关键是对相应的运算法则的掌握． 【详解】（1）解：（1） ； （2） ． 7．（23-24七年级上·辽宁沈阳·期中）计算； (1)； (2)． 【答案】(1)4 (2) 【分析】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键，注意乘法分配律的应用． （1）先算乘方，再算乘除法，最后算加法即可； （2）先算乘方和括号内的式子，再算乘除法，最后算加减法即可． 【详解】（1） ； （2） ． 8．（23-24七年级上·辽宁本溪·期中）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)18 (2) (3)31 (4) 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，解题的关键是： （1）先将减法化为加法，再依次计算； （2）将除法转化为乘法，再约分计算； （3）利用乘法的分配律； （4）先算乘方和绝对值，再算乘除，最后计算加减． 【详解】（1）解：原式 ； （2）原式 ； （3）原式 ； （4）原式 ． 9．（23-24七年级上·辽宁沈阳·期中）计算 (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4)20 【详解】（1） （2） （3） （4） ． 【点睛】此题考查了有理数的计算，正确掌握有理数的运算法则及运算律是解题的关键． 10．（23-24七年级上·辽宁盘锦·期中）计算： (1) (2) (3) (4) (5) 【答案】(1)2； (2)； (3)3； (4)； (5)0． 【分析】()根据有理数的加减运算法则进行即可得解； ()根据有理数的除法运算法则把除法运算转化为乘法运算，利用乘法的分配律进行运算即可得解； ()利用乘法的分配律展开算式，再根据有理数的加减运算法则进行运算即可得解； ()根据有理数的乘除运算法则进行即可得解； ()根据有理数的加减乘除运算法则进行即可得解． 【详解】（1）原式， ； （2）原式 ， ， ； （3）原式， ， ， ； （4）原式， ； （5）原式， ， ． 【点睛】此题考查了有理数的运算，掌握有理数的运算法则和运算律是解题的关键． 11．（23-24七年级上·辽宁丹东·期中）计算： (1) ； (2) ； (3) ； (4) ． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）去括号后进行加减运算即可； （2）先计算除法，然后进行乘法运算即可； （3）利用乘法运算律计算求解即可； （4）先计算乘方，括号，然后进行乘法运算，最后进行加减运算即可． 【详解】（1） ； （2） ； （3） ； （4）解： ． 【点睛】本题考查了有理数的加减混合运算，有理数的乘除混合运算，乘法运算律，含乘方的有理数的混合运算．熟练掌握先乘方，然后乘除，最后加减，有括号先算括号是解题的关键． 12．（23-24七年级上·辽宁大连·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)22 (2) 【分析】本题考查有理数的混合运算．根据有理数的混合运算法则，先乘方，再乘除，最后算加减，有括号的先算括号，进行计算即可． 【详解】（1）原式 ； （2）原式 ． 13．（23-24七年级上·辽宁鞍山·期中）计算： (1)； (2)； 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）先把除法转化为乘法，再根据乘法法则计算即可； （2）先算乘方，再算乘除法，然后算加减法即可． 【详解】（1） ； （2） ． 【点睛】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 14．（23-24七年级上·辽宁营口·期中）计算 (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)14 (2)13 (3) (4) 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算． （1）根据有理数的加减法可以解答本题； （2）根据乘法分配律计算； （3）先算乘除法，最后算加减；如果有括号，要先做括号内的运算； （4）先算乘方，再算乘法，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 15．（23-24七年级上·辽宁鞍山·期中）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)1 (2) (3) (4) 【分析】（1）根据有理数加减运算法则求解即可； （2）先进行有理数乘除运算，再相加减即可； （3）先进行乘方运算，再进行乘法运算，然后进行加减运算即可； （4）首先进行乘方运算，再根据乘法分配律进行运算，括号内相加减后，然后计算有理数除法运算，即可获得答案． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 【点睛】本题主要考查了有理数加减运算、有理数四则混合运算、含乘方的有理数混合运算以及乘法运算律等知识，熟练掌握相关运算法则是解题关键． 16．（23-24七年级上·辽宁沈阳·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，要熟练掌握，注意明确有理数混合运算顺序． （1）先算乘除法，最后算加减；如果有括号，要先做括号内的运算； （2）先算乘方，再算乘法，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 17．（23-24七年级上·辽宁朝阳·期中）计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了有理数的加减计算，含乘方的有理数混合计算，熟知相关计算法则是解题的关键． （1）（2）根据有理数的加减计算法则求解即可； （3）（4）按照先计算乘方，再计算乘除法，最后计算加减法，有括号先计算括号的运算顺序求解即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 18．（23-24七年级上·辽宁丹东·期中）计算题 (1) (2)用简便方法计算： (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了有理数的混合运算，解题关键熟练掌握有理数混合运算的运算法则， （1）根据有理数的加减法法则计算即可； （2）先算小括号，再算分数，最后算负数相加； （3）先把公因数提取出来，再算小括号，最后算乘法； （4）根据有理数的混合运算法则计算即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解： ． （4）解： ． 19．（23-24七年级上·辽宁锦州·期中）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1)10 (2)0 (3) (4)1 (5) (6) 【分析】本题主要考查有理数的混合运算，解题的关键是掌握有理数的混合运算顺序和运算法则及运算律． （1）先去括号，再进一步计算即可； （2）先将同分母的分数进行加减，再进一步计算即可； （3）利用乘法分配律展开，继而进一步计算即可； （4）先化除法为乘法，再计算乘法即可； （5）先计算乘方，乘除运算，再利用乘法分配律展开，继而进一步计算即可； （6）先计算乘方，乘除运算，再利用乘法分配律展开，继而进一步计算即可． 【详解】（1） ； （2） ； （3） ； （4） ； （5） ； （6） ． 20．（23-24七年级上·辽宁沈阳·期中）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2)8 【分析】本题考查了有理数的混合运算， （1）根据有理数的加减混合运算法则求解即可； （2）根据有理数的乘除混合运算法则求解即可； 解题的关键是掌握运算法则和运算顺序． 【详解】（1） ； （2） ． 21．（23-24七年级上·辽宁葫芦岛·期中）计算： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了含乘方的有理数混合计算，有理数四则混合计算，熟知相关计算法则是解题的关键． （1）先计算绝对值，再计算乘法，最后计算加法即可； （2）按照先计算乘方，再计算乘除法，最后计算加减法，有括号先计算括号的运算顺序求解即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 22．（23-24七年级上·辽宁鞍山·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，熟练掌握有理数的混合运算法则以及运算顺序是解此题的关键． （1）根据有理数的加减混合运算法则计算即可得出答案； （2）先计算有理数的乘方以及乘法运算律，再计算乘除，最后计算加减即可． 【详解】（1）解：； （2）解： ． 23．（23-24七年级上·辽宁沈阳·期中）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3)4 【分析】（1）直接运用有理数加减混合运算法则计算即可； （2）先化除为乘、然后运用乘法分配律进行简便运算即可解答； （3）运用含乘方的混合运算法则计算即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解： ． 【点睛】本题主要考查了有理数加减混合运算、有理数混合运算、有理数乘法运算律、含乘方的有理数混合运算等知识点，灵活运用相关运算法则成为解题的关键． 24．（23-24七年级上·辽宁沈阳·期中）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查有理数的混合运算．掌握有理数的混合运算法则，正确的计算，是解题的关键． （1）按照加减运算法则，进行计算即可； （2）根据混合运算法则，进行计算即可； （3）根据混合运算法则，进行计算即可； （4）根据混合运算法则，进行计算即可． 【详解】（1）解：原式； （2）原式； （3）原式； （4）原式． 25．（23-24七年级上·辽宁葫芦岛·期中）（1）计算：； （2）计算：； （3）计算：． （4）先化简，再求值：，其中，． 【答案】（1），（2），（3），（4）， 【分析】本题考查的是含乘方的有理数的混合运算，整式的加减运算，掌握运算法则与运算顺序是解本题的关键； （1）先计算括号内的运算，乘方运算，再计算乘除运算，最后计算加减运算即可； （2）先计算括号内的运算，乘方运算，再计算乘除运算，最后计算加减运算即可； （3）直接合并同类项即可； （4）先去括号，再合并同类项，得到化简的结果，再把，代入计算即可； 【详解】解：（1） ； （2） ； （3） （4） ； 当，时，原式. 26．（23-24七年级上·辽宁丹东·期中）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，按照有理数的混合运算法则求解即可． （1）根据有理数的四则混合运算，先算乘除，最后算加减即可． （2）根据含乘方的有理数混合运算，先算乘方，再算乘除，最后算加减即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 27．（23-24七年级上·辽宁鞍山·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了有理数的混合运算，注意计算的准确性即可． （1）打开括号，即可求解； （2）利用有理数的混合运算法则即可求解； 【详解】（1）解：原式 （2）解：原式 28．（23-24七年级上·辽宁·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查有理数的混合运算； （1）利用加法交换律和结合律进行计算即可； （2）根据有理数的混合运算法则，进行计算即可； 掌握相关运算法则，正确的计算，是解题的关键． 【详解】（1）解：原式 ； （2）原式 ． 29．（23-24七年级上·辽宁鞍山·期中）计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了有理数的混合计算，熟知相关计算法则是解题的关键． （1）根据有理数的加减计算法则求解即可； （2）先把除法变成乘法，再根据有理数乘法计算法则求解即可； （3）根据有理数乘法分配律求解即可； （4）先计算乘方和绝对值，再计算乘法，最后计算加减法即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 30．（23-24七年级上·辽宁丹东·期中）计算 (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)5 (2) (3)35 (4) 【分析】本题考查了有理数的混合运算，能正确根据有理数的运算法则进行计算是解此题的关键，注意运算顺序． （1）先算乘方与绝对值，再算乘除，最后算加减即可； （2）根据有理数的加减法法则进行计算即可； （3）先根据乘法的分配律进行变形，再算乘法，最后算加减即可； （4）先变形，同时把除法变成乘法，再根据乘法的分配律进行计算，再算减法即可． 【详解】（1）原式 ； （2）原式 （3）原式 （4）原式 31．（23-24七年级上·辽宁沈阳·期中）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，熟练掌握乘方运算、绝对值、有理数的四则运算法则是解本题的关键，做题时需细心运算，综合性较强，难度适中． （1）先去括号，再按加减法计算即可； （2）先算平方和乘方，再进行混合运算即可； （3）先算乘方，用分配律计算括号内的值，再混合运算即可； （4）分数与小数分别计算，再进行混合运算即可． 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： ． （4）解： 32．（23-24七年级上·辽宁沈阳·期中）计算题： (1)； (2)； (3)（简便运算）； (4)（简便运算）； (5)； (6)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【分析】本题主要考查有理数的混合运算，绝对值的计算，解题的关键是掌握有理数的混合运算顺序和运算法则． （1）减法转化为加法，再进一步计算即可； （2）减法转化为加法，再进一步计算即可； （3）利用乘法分配律展开，再进一步计算即可； （4）原式变形为，利用乘法分配律展开，再进一步计算即可； （5）先计算乘方和绝对值，再进一步计算即可； （6）根据有理数混合运算顺序和运算法则计算即可． 【详解】（1）解： ； （2） ； （3） ； （4） ； （5） ； （6） ． 题型二 绝对值的应用 33．（23-24七年级上·辽宁沈阳·期中）已知， (1)若，求的值； (2)若，求的值． 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）根据绝对值的定义确定，可能的取值，再根据讨论确定，的值即可得到答案． （2）根据绝对值的定义确定，可能的取值，再根据讨论确定，的值即可得到答案． 【详解】（1）解：，， ， ， ， ， 或． （2）解：，， ， ， 故，异号， 当时，， 此时， 当时，， 此时， 综上． 【点睛】本题主要考查绝对值的定义，熟练掌握绝对值的定义，由已知条件确定，的值是解题关键． 34．（23-24七年级上·辽宁大连·期中）已知，． (1)求，的值； (2)若，求的值． 【答案】(1)或，或 (2)或 【分析】（1）根据绝对值的性质求出a、b， （2）根据题意得出或，，然后相加即可得解． 【详解】（1）， 或， ， 或； （2）， ，即， 或，， 当，时，则， 当，时，则． 综上，值为或． 【点睛】此题考查了有理数的加法，以及绝对值，熟练掌握绝对值的代数意义是解本题的关键． 题型三 拆项与消项计算 35．（23-24七年级上·辽宁葫芦岛·期中）阅读并解答后面的问题． ，； ，； ，；… (1)等于吗？请验证． (2)计算：． (3)用含（是正整数）的式子表示你发现的规律． 【答案】(1)等于，见解析 (2) (3) 【分析】本题考查的是数字类规律探究，有理数的混合运算，总结规律并利用规律进行裂项计算是解本题的关键． （1）直接计算与，从而可得结论； （2）先把裂项，再计算即可； （3）根据（1），（2）再总结归纳即可． 【详解】（1）解：等于，理由如下： ，，． （2）原式． （3）∵，； ，； ，；… ∴． 36．（23-24七年级上·辽宁大连·期中）请你观察： ；；；… ； ； 以上方法称为“裂项相消求和法”． 请类比完成： (1)求的值； (2)计算：的值． (3)求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了有理数混合运算； （1）根据裂项相消可得结果； （2）仿照解析（1）采用裂项的方法进行解答即可； （3）根据裂项相消可得结果； 解题的关键是熟练掌握裂项的方法，准确计算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 37．（2012·广东汕头·中考真题）观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； … 请解答下列问题： （1）按以上规律列出第5个等式：a5=　　=　　； （2）用含有n的代数式表示第n个等式：an=　　=　　（n为正整数）； （3）求a1+a2+a3+a4+…+a100的值． 【答案】（1）（2）（3） 【分析】（1）（2）观察知，找等号后面的式子规律是关键：分子不变，为1；分母是两个连续奇数的乘积，它们与式子序号之间的关系为：序号的2倍减1和序号的2倍加1． （3）运用变化规律计算即可. 【详解】解：（1）a5=； （2）an=； （3）a1+a2+a3+a4+…+a100 . 38．（23-24七年级上·辽宁鞍山·期中）观察下列各式： …… (1)按照上述规律，第4个等式是：________________________________ (2)第个等式是：________________________ (3)运用你发现的规律计算： (4)________ 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）按照上面计算方法计算即可得出答案； （2）根据题目规律可发现，； （3）按（2）的公式运算即可得出答案； （4）由规律式子变形，中间部分互相抵消，只剩首项和尾项，即可算出答案． 【详解】（1）； （2）； （3）； （4）原式． 【点睛】本题考查找规律，抽象概括出规律并能计算是解题的关键． 题型四 定义新运算 39．（23-24七年级上·辽宁大连·期中）材料阅读：传说夏禹治水时，在黄河支流洛水中浮现出一只大乌龟，背上有一个奇怪的图案.这个图案被后人称为“洛书”，即现在的三阶幻方.三阶幻方即为九宫格，它是由数字组成的一个三行三列的矩阵，其对角线、横向、纵向的数字之和均相等，这个和叫做幻和. (1)图1是一个“幻方”，则________；________；________；请直接写出图1中所有数的和与其“幻和”之间的倍数关系； (2)小明要将，，，0，2，4，6，8，10这9个数填入如图2所示的“幻方”中，他经过研究，发现在“幻方”中，正中间那个数叫中心数，且“幻和”恰好等于中心数的3倍，并且图2中的中心数是上述9个数的平均数. ①求中心数的值； ②请你帮小明将图2所示的“幻方”的空白方格填满.    【答案】(1)，图1中所有数和为其“幻和”的3倍 (2)①2；②见解析 【分析】（1）根据“幻和”的定义可一次求出，，；再求出所有数字之和即可得出其“幻和”之间的倍数关系； （2）①求，，，0，2，4，6，8，10这9个数的平均数即可； ②平均每个方格的值为2和“幻和”的定义即可求得每个数． 【详解】（1）斜对角线上的三个数字之和为， 该方格的“幻和”为9， ，，， 故答案为：1，，5； 每行数字之和为9，共3行， 图1中所有数字之和为， 图1中所有数的和为其“幻和”的3倍； （2）①， 中间数的值为2； ②由①可知，平均每个方格的值为2， 则3个方格之和为6， 幻和为6， 填方格如图：    【点睛】本题考查了有理数的混合运算，根据表格，先求出三个数的和是解题的关键，也是本题的突破口． 40．（23-24七年级上·辽宁沈阳·期中）阅读：给定一列数，我们把这列数中的第一个数记为，第二数记为，第三个数记为，依此类推，第n个数记为（n为正整数）．规定运算，即从这列数的第一个数开始依次加到第n个数． (1)已知一列数，则_______，_______． (2)已知一列有规律的数：按照规律，这列数可以无限的写下去． ①直接写出的值； ②若正整数n满足等式，请直接写出_______． 【答案】(1)，5 (2)①；367 【分析】本题考查有理数的混合运算、数字的变化类，解答本题的关键是明确有理数混合运算的计算方法，发现题目中数字的变化规律． （1）根据题意和题目中的数据可以解答本题； （2）①根据题意和题目中的数据可以解答本题； ②根据题意和数字的变化规律，判断n为奇数，然后解答即可． 【详解】（1）解：由题意可得：， ， 故答案为：，5； （2）①，按照规律， ； ②， 为奇数， ， 解得：， 故答案为：367 ． 题型五 乘方相关计算 41．（23-24七年级上·辽宁朝阳·期中）探索规律，观察下面算式，解答问题． ；；；；…… (1)请猜想________ (2)请猜想________：（n是整数且） (3)试计算： 【答案】(1)100 (2) (3) 【分析】本题是对数字变化规律的考查，解题的关键是： （1）（2）观察数据可知，从1开始的连续奇数的和等于首尾两个奇数的和的一半的平方，然后计算即可得解； （3）用从1开始到2023的和减去从1开始到99的和，列式计算即可得解． 【详解】（1）解：； （2）； （3） ． 42．（22-23七年级上·陕西西安·期中）观察算式，找规律： ； ； ； ； …… (1)由以上算式可知：__________ ； (2)计算：． 【答案】(1)225 (2) 【分析】本题考查数字的变化规律． （1）仿照前面的算式即可得出结果． （2）根据数据可分析出规律为：从开始，连续个数的立方和等于，根据计算即可． 【详解】（1）解：通过观察： ， ， ， ， ∴， 故答案为：225； （2）解：通过观察，可得：从开始，连续个数的立方和等于， 即， 据此可得：， ， ∴． 43．（2021·安徽蚌埠·二模）观察下列等式： 第1个等式：12＝13； 第2个等式：（1+2）2＝13+23； 第3个等式：（1+2+3）2＝13+23+33； 第4个等式：（1+2+3+4）2＝13+23+33+43 …… 按照以上规律，解决下列问题： （1）写出第5个等式：　 　； （2）写出第n（n为正整数）个等式：　 　（用含n的等式表示）； （3）利用你发现的规律求113+123+133+…+1003值． 【答案】（1）；（2）；（3）25499475． 【分析】（1）根据题干即可直接写出第5个等式． （2）利用前几个等式可总结出规律：从1开始连续几个整数的和的平方等于这些数的立方的和”即可写出第n（n为正整数）个等式． （3）根据，结合（2）总结的规律，可得：，即可求出结果． 【详解】（1）根据题干可知第5个等式为：． （2）根据前面等式即可总结出规律，第n（n为正整数）个等式为： （3） ， ． 【点睛】本题考查多项式乘法中的规律性问题．根据题干总结出等式的规律是解答本题的关键． 44．（23-24七年级上·辽宁阜新·期中）已知，按照这个规律完成下列问题： (1)__________________． (2)猜想：______． (3)利用（2）中的结论计算：（写出计算过程）． 【答案】(1)225，5，6 (2) (3)41075 【分析】本题考查了数字的变化类问题，仔细的观察题目提供的算式并找到规律是解决此题的关键． （1）根据题目提供的三个算式利用类比法可以得到的结果； （2）根据上面的四个算式总结得到规律； （3）转化为后利用总结的规律即可求得答案． 【详解】（1）解： 故答案为：225，5，6； （2）猜想： 故答案为： （3）解：原式 45．（23-24七年级上·辽宁大连·期中）【概念探究】在学习了有理数的乘方运算后．小芳对类似于这样几个相同有理数（均不等于0）的除地运算产生了兴趣，决定通行探究学习．经过查阅资料，类比有道数的乘方运算，小芳知道达种除法运据叫做除方，并把记作，读作的4次商． 【概念归纳】（1）一般地，我们把n个a（a≠0）相除记作a，读作_______的 _______次商”． 【概念理解】（2）直接写出结果：＝_______． （3）关于除方，下列说法正确的是：_______（填序号）． ①任何非零数的2次商都等于1 ②对于任何正整数n， ③ ④负数的奇数次商结果是负数，负数的偶数次商结果是正数 【概念运用】（4）结过探究，小芳发现有理数的除方运算可转化为乘方运算，例：，仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成乘方（幂）的形式＝_______；＝_______． （5）计算：． 【答案】（1）a，n；（2）；（3）①④；（4），；（5） 【分析】本题主要考查有理数的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握． （1）根据所给的例子进行作答即可； （2）根据除方的定义进行运算即可； （3）结合除方的定义进行分析即可； （4）根据除方的运算方式进行求解即可； （5）结合除方的运算方式运算即可． 【详解】解：（1）一般地，我们把n个a（a≠0）相除记作a，，读作“a的n次商”； 故答案为：a，n； （2）， 故答案为：； （3）①任何非零数的2次商都等于1，故①说法正确； ②对于任何正整数n，当n为偶数时，；当n为奇数时，，故②说法错误； ③，，故③说法错误； ④负数的奇数次商结果是负数，负数的偶数次商结果是正数，故④说法正确． 故答案为：①④； （4）； ， 故答案为：；； （5） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$