精品解析：广东省肇庆市封开县江口中学2024-2025学年高三上学期8月月考数学试题

封开县江口中学2025届高三8月调研试题数学 本试卷共4页，19小题，满分150分 考试用时120分钟 注意事项： 1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 2. 已知集合，则集合的真子集的个数为（ ） A. 3 B. 4 C. 7 D. 8 3. 如果，那么下列不等式中成立的是（ ） A. ； B. ； C. ； D. . 4. 已知复数，则（ ） A. B. C. 2 D. 5. 若，则的最小值为（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 无最小值 6. “”是“”成立的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 在中，，，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知集合，，则（ ）． A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分. 9. 关于复数，下列说法正确的是（ ） A. B. 若，则的最小值为 C. D. 若是关于的方程：的根，则 10. 已知不等式的解集为，则下列结论正确的是（　　） A. B. C. D. 11. 已知，且，则下列结论中正确的是（ ） A. 有最大值 B. 有最小值3 C. 有最小值 D. 有最大值4 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量a＝(m，3)，b＝(1，m＋1).若a⊥b，则m＝________． 13. 实数满足，则的取值范围是______. 14. 已知集合，，且，则实数m的取值范围是______． 四、解答题：本题共5小题，共77分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 设，复数. （1）求m为何值时，z为纯虚数； （2）若复数z在复平面内对应的点位于第四象限，求m的取值范围. 16. 已知函数 （1）当时，求曲线在点处曲线的切线方程； （2）求函数的单调区间. 17. 已知不等式. （1）当时，解此不等式； （2）若此不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围． 18. 某校地势较低，一遇到雨水天气校园内会有大量积水，不但不方便师生出行，还存在严重安全问题.为此学校决定利用原水池改建一个深3米，底面面积16平方米的长方体蓄水池.不但能解决积水问题，同时还可以利用蓄水灌溉学校植被.改建及蓄水池盖儿固定费用800元，由招标公司承担.现对水池内部地面及四周墙面铺设公开招标.甲工程队给出的报价如下：四周墙面每平方米150元，地面每平方米400元.设泳池宽为米. （1）当宽为多少时，甲工程队报价最低，并求出最低报价. （2）现有乙工程队也要参与竞标，其给出的整体报价为元（整体报价中含固定费用）.若无论宽为多少米，乙工程队都能竞标成功，试求的取值范围. 19. 已知常数，函数. （1）若，求的取值范围; （2）若、是的零点，且，证明:. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 封开县江口中学2025届高三8月调研试题数学 本试卷共4页，19小题，满分150分 考试用时120分钟 注意事项： 1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】存在量词命题的否定是全称量词命题，把存在改为任意，把结论否定. 【详解】“”的否定是“”. 故选：D 2. 已知集合，则集合的真子集的个数为（ ） A. 3 B. 4 C. 7 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】利用列举法表示集合A，即可求得真子集个数. 【详解】集合， 其真子集有：，，，，，，，共7个. 故选：C 3. 如果，那么下列不等式中成立的是（ ） A. ； B. ； C. ； D. . 【答案】B 【解析】 【分析】利用不等式的性质比较大小逐一判断即可. 【详解】对于A：由得，错误； 对于B：由，则有，即，正确； 对于C：由得，则根据不等式的性质有，即， 由可得，错误； 对于D：由得，则，即，错误. 故选：B 4. 已知复数，则（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用复数模的运算性质来计算即可. 【详解】由，可得， 故选：A. 5. 若，则的最小值为（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 无最小值 【答案】C 【解析】 【分析】将式子配凑成，然后利用基本不等式求解即可. 【详解】若，则， 当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为8． 故选：C． 6. “”是“”成立的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】利用充分性与必要性的定义，结合对数函数性质可得结果. 【详解】利用对数函数性质可知：， 则，即，故必要性成立； ，当不全大于0时，或无意义， 故不能推出，故充分性不成立， 所以“”是“”的必要而不充分条件. 故选：B． 7. 在中，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量线性运算的运算法则求解即可. 【详解】由题意知，， 所以. 故选：B. 8. 已知集合，，则（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先化简集合A，B，再利用并集的运算求解. 【详解】解：因为， ， 所以． 故选：B． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分. 9. 关于复数，下列说法正确的是（ ） A. B. 若，则的最小值为 C. D. 若是关于的方程：的根，则 【答案】BD 【解析】 【分析】根据虚数单位乘方的周期性可判断A选项，设根据复数的四则运算及模长公式可判断BC选项，再根据复数范围内二次方程的解互为共轭复数且满足根于系数关系，判断D选项. 【详解】A选项：由虚数单位的定义，，则，A选项错误； 设， B选项：由，则，且， 则，， 又，所以当时取最小值为，B选项正确； C选项：，，， 所以，C选项错误； D选项：由已知复数范围内二次方程的两根满足， 且与互为共轭复数，由可知， 则，即，D选项正确； 故选：BD. 10. 已知不等式的解集为，则下列结论正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】由二次不等式的解集可知，相应的二次函数图像开口向下，由相应的一元二次方程的两根结合起韦达定理可求的符号，将代入即可得解. 【详解】因为不等式的解集为， 故相应的二次函数的图像开口向下，所以，故A错误； 易知2和是方程的两个根，则有，， 又，故，，故BC正确； 因为，所以，故D正确． 故选：BCD 11. 已知，且，则下列结论中正确的是（ ） A. 有最大值 B. 有最小值3 C. 有最小值 D. 有最大值4 【答案】BD 【解析】 【分析】对于A,直接由基本不等式求得，即可判断A；对于B，将代入中，结合二次函数性质即可判断；对于C,将变形为，展开后，利用基本不等式即可判断；对于D,构造函数，利用导数求得最大值，即可判断. 【详解】对于A选项，因为，且，所以由可得， 当且仅当时等号成立，.故A错误； 对于B选项，由，当且仅当时等号成立，故B正确； 对于C选项，因为 所以，当且仅当即时等号成立，故C错误 对于D选项，因为， 令，解得或（舍）， 令，解得，令，解得， 故，此时，故D正确 故选：BD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量a＝(m，3)，b＝(1，m＋1).若a⊥b，则m＝________． 【答案】－ 【解析】 【详解】由题意，知a·b＝m＋3(m＋1)＝0，解得m＝－. 【考查意图】考查两个向量垂直． 13. 实数满足，则的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】利用待定系数法可得，即可根据不等式的性质求解. 【详解】设， 则解得,所以 因为，所以 ， 可得，即的取值范围为. 故答案为：. 14. 已知集合，，且，则实数m的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】分析可知，分、两种情况讨论，根据可得出关于实数的不等式（组），综合可得出实数的取值范围. 【详解】因为，则. 当时，即当时，，满足题意； 当时，即当时，， 由可得，解得，此时. 综上所述，. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 设，复数. （1）求m为何值时，z为纯虚数； （2）若复数z在复平面内对应的点位于第四象限，求m的取值范围. 【答案】（1）2 （2） 【解析】 【分析】（1）根据纯虚数的概念即可列出方程，进而求解即可； （2）复平面内的点位于第四象限，则横坐标大于0，同时纵坐标小于0，据此列出不等式求解即可. 【小问1详解】 由解得或； 当时，是纯虚数， 当时，为实数， 所以. 【小问2详解】 因为在复平面内对应的点位于第四象限， 所以，解得. 16. 已知函数 （1）当时，求曲线在点处曲线的切线方程； （2）求函数的单调区间. 【答案】（1） （2） 当时，在上单调递增， 当时，在单调递增，单调递减. 【解析】 【分析】(1)利用导数的几何意义求解;(2)利用导函数研究函数的单调性. 【小问1详解】 当时，，定义域为， ，所以切点为， 又因为，所以，即切线的斜率等于2， 根据点斜式得，整理得. 【小问2详解】 , 当时，恒成立，所以在上单调递增， 当时，令即解得， 令即解得， 所以在单调递增，单调递减. 综上， 当时，在上单调递增， 当时，在单调递增，单调递减. 17. 已知不等式. （1）当时，解此不等式； （2）若此不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）先将代入不等式中,再根据根的判别式 ,与轴无交点,则解集为. （2）把已知的不等式变形为二次不等式的一般形式,然后讨论二次项系,当二次项系数不等于时,需开口向上且判别式小于. 【详解】（1）当时,不等式为. ∵的, 可知不等式的解集为, 所以当时,不等式的解集为. （2）已知不等式可整理成, 当,即时,不符合题意． 当,即时,也不符合题意． 当,即时,要使恒成立, 则有,解得. 综上所述：使不等式对一切实数恒成立的实数的取值范围是. 【点睛】本题考查了一元二次不等式的解法,把已知的不等式变形为二次不等式的一般形式,然后讨论二次项系数,考查了分类讨论思想和数形结合思想,解答此题的关键是三个二次的结合,是常考题型. 18. 某校地势较低，一遇到雨水天气校园内会有大量积水，不但不方便师生出行，还存在严重安全问题.为此学校决定利用原水池改建一个深3米，底面面积16平方米的长方体蓄水池.不但能解决积水问题，同时还可以利用蓄水灌溉学校植被.改建及蓄水池盖儿固定费用800元，由招标公司承担.现对水池内部地面及四周墙面铺设公开招标.甲工程队给出的报价如下：四周墙面每平方米150元，地面每平方米400元.设泳池宽为米. （1）当宽为多少时，甲工程队报价最低，并求出最低报价. （2）现有乙工程队也要参与竞标，其给出的整体报价为元（整体报价中含固定费用）.若无论宽为多少米，乙工程队都能竞标成功，试求的取值范围. 【答案】（1）4m，14400元 （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，列出函数关系式，结合基本不等式代入计算，即可得到结果； （2）根据题意，列出不等式，分离参数，再结合基本不等式代入计算，即可得到结果. 【小问1详解】 设甲工程队的总造价为元，则 当且仅当时，即时等号成立. 即当宽为时，甲工程队的报价最低，最低为14400元. 【小问2详解】 由题意可得.对恒成立. 即 令 . 令， 则在上单调递增. 且时，. . 即的取值范围为. 19. 已知常数，函数. （1）若，求的取值范围; （2）若、是的零点，且，证明:. 【答案】（1） （2） 由（1）知，的定义域为， 在上单调递减，在上单调递增，且是的极小值点. 、是的零点，且， 、分别在、上，不妨设， 设， 则 当时，，即在上单调递减. ， ，即， ， ， ， ， 又，在上单调递增， ，即. 【解析】 【分析】（1）求出函数的定义域与导函数，即可得到函数的单调性，求出函数的最小值，依题意，即可求出的取值范围； （2）由（1）不妨设，设，利用导数说明函数的单调性，即可得到，结合及的单调性，即可证明. 【小问1详解】 由已知得的定义域为， 且 ， 当时，，即在上单调递减； 当时，，即在上单调递增. 所以在处取得极小值即最小值， ， ， ，即的取值范围为. 【小问2详解】 略 【点睛】方法点睛：（1）给定函数比较大小的问题，需判断函数单调性，根据单调性以及需要比较的数值构造函数，利用函数的单调性可比较大小； （2）极值点偏移法证明不等式，先求函数的导数，找到极值点，分析两根相等时两根的范围，根据范围以及函数值相等构造新的函数，研究新函数的单调性及最值，判断新函数小于或大于零恒成立，即可证明不等式. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $