专题1.8 双角平分线模型（压轴题专项讲练）-2024-2025学年八年级数学上册压轴题专项讲练系列（浙教版）

专题1.8 双角平分线模型 1．（23-24七年级下·四川宜宾·期末）如图，在中，与的角平分线交于点D，且、，则与的数量关系可表示为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级下·山东烟台·期末）如图，在中，，，分别平分和，且相交于，，于点G，则下列结论：①；②；③：④；⑤是等腰直角三角形，其中正确的结论是（     ） A．①③④⑤ B．①②③④ C．①②③ D．①③④ 3．（23-24七年级下·广东广州·阶段练习）如图，四边形中，的平分线交于点，的平分线交于点，下列结论：①；②；③；④若，则．其中正确的结论有（    ）． A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④ 4．（23-24七年级上·河南洛阳·期末）如图，， 分别平分、、，有下列结论：①；②；③；④与互余．其中，结论正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 5．（23-24七年级下·黑龙江鸡西·期末）如图，，平分交于点，，，，分别是，延长线上的点，和的平分线交于点．下列结论：①；②；③平分；④为定值．其中结论正确的有（　　） A．①③④ B．①②④ C．①②③ D．①②③④ 6．（23-24七年级下·江苏无锡·阶段练习）如图，的角平分线交于点P，若，，则的度数为 ． 7．（23-24七年级下·江西景德镇·期末）已知，，和的平分线交于点，过点作的平行线分别交于点．则与的度数和为 ． 8．（23-24七年级下·四川宜宾·期末）如图，中，点是延长线上的一点，于点的平分线与的平分线交于点．当时，则的度数为 ．    9．（23-24七年级下·湖北孝感·期中）如图，直线，点A，B分别是，上的动点，点G在上，，和的角平分线交于点D，若，则m的值为 ．    10．（23-24七年级下·广东河源·期末）如图，在中，，是角平分线，它们相交于点 O．    （1）若，则的度数为_______； （2）猜想的度数与的度数存在的数量关系，并说明理由． 11．（24-25八年级上·全国·课后作业）已知，点分别在射线上移动（不与点重合），平分，平分，（或其反向延长线）与交于点． （1）如图，若，试猜想的度数，并直接写出结果； （2）如图，若，问：当点在射线上运动的过程中，的度数是否改变？若不改变，求出其值（用含的式子表示）；若改变，请说明理由． 12．（23-24八年级上·吉林四平·阶段练习）【感知】（1）如图①，线段相交于点O，连接．求证：； 【探究】（2）如图②，分别作图①中和的平分线和相交于点P，且与分别相交于点．若，求的度数； 【应用】（3）如图③，分别作图①中和的内部作射线和相交于点P，与分别相交于点M、N，且使．若，则的大小为 度． 13．（23-24八年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，在中．    （1）的角平分线相交于点，求的度数； （2）的三等分线分别相交于点，求的度数； （3）的等分线分别相交于点，则________（结果用含的式子表示）， （，为整数，结果用含和的式子表示） 14．（23-24八年级上·河南郑州·期末）如图，在中，与的平分线相交于点．    （1）若，则的度数是　 　； （2）如图，作外角，的角平分线交于点，试探索，之间的数量关系； （3）如图，延长线段，交于点，在中，存在一个内角等于另一个内角的倍，求的度数． 15．（2024七年级下·江苏·专题练习）如图，点、分别在的边、上运动（不与点重合），是的平分线，的反向延长线交的平分线于点． （1）如图（1）当，时，　　． （2）如图（2）当时，　　． （3）在解题过程中，你认为与是否有数量关系，如有请写出关系式并说明理由． 16．（23-24七年级上·江苏盐城·期中）已知于点O，直线交于点B，点A在射线上． （1）如图1，若于点B，平分，交于点E，交于点F，求证：； （2）如图2，若平分，平分交于点E，，则的度数为________． （3）如图3，若平分，平分交于点E，平分交反向延长线于点F，在中，如果一个角是另一个角的3倍，请求出的度数． 17．（23-24七年级下·江苏无锡·阶段练习）已知，点、分别在、上运动（不与点重合）． （1）如图1，、分别是和的平分线，随着点、的运动，__________． （2）如图2，已知不平行于，、分别是和的平分线，、分别是和的平分线，点、在运动的过程中，的度数将不发生变化， ． （3）如图3，延长至，已知、的平分线与的平分线及其延长线相交于、，在中，如果有一个角是另一个角的倍，试求的度数． 18．（23-24七年级下·四川成都·期中）如图，在中，平分，平分，连接、，且． （1）证明：； （2）若，，求的度数； （3）作与的角平分线交于点，探究、的数量关系，并证明你的结论． 19．（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）已知：如图，在中，P为内一点，平分，平分．    （1）如图1，当时，则的度数为__________． （2）如图2，过C作，交延长线于点Q，求证：． （3）如图3，在（2）的条件下，过C作，延长与延长线交于点N，若，且，求的度数． 20．（23-24七年级下·辽宁大连·阶段练习）（1）如图1，在中，点M在延长线上，点N在线段上，连接交于点D，和的平分线交于点P． ①若，，请你测量的度数为______；猜想出、和之间的数量关系为______； ②请写出求度数的过程． （2）如图2，在中，点M在线段上，点N在延长线上，连接交于点D，和的平分线交于点P，求、和之间的数量关系． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1.8 双角平分线模型 1．（23-24七年级下·四川宜宾·期末）如图，在中，与的角平分线交于点D，且、，则与的数量关系可表示为（    ） A． B． C． D． 【思路点拨】 本题考查了角平分线定义，三角形内角和，掌握这两个知识点是关键；由角平分线定义及三角形内角和得．再由、及三角形内角和即可求得与的数量关系． 【解题过程】 解：分别是与的角平分线， ， ， ． 、 ， ； ， ， ， 整理得：． 故选：D． 2．（23-24七年级下·山东烟台·期末）如图，在中，，，分别平分和，且相交于，，于点G，则下列结论：①；②；③：④；⑤是等腰直角三角形，其中正确的结论是（     ） A．①③④⑤ B．①②③④ C．①②③ D．①③④ 【思路点拨】 本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义，三角形内角和定理，熟知平行线的性质，角平分线的定义是解题的关键． 根据平行线的性质与角平分线的定义即可判断①；只需要证明，，即可判断④；根据角平分线的定义和三角形内角和定理先推出，即可判断②③；根据现有条件无法推出⑤． 【解题过程】 解：平分， ， ， ，故①正确； ，，， ，，即， ， 又， ，故④正确； ， ， ，分别平分，， ， ， ， ∵ ∴， ，故③正确； ， ，故②错误； ∵ ∴是直角三角形， 根据现有条件，无法推出，即无法得到是等腰直角三角形，故⑤错误； ∴正确的有①③④， 故选：D． 3．（23-24七年级下·广东广州·阶段练习）如图，四边形中，的平分线交于点，的平分线交于点，下列结论：①；②；③；④若，则．其中正确的结论有（    ）． A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④ 【思路点拨】 本题考查的是角平分线的定义，平行线的性质，三角形的内角和定理的应用，熟练的利用以上知识解决问题是关键；先证明，，可判断①，由，可判断②，由可得，可判断③，再结合平行线的性质证明可判断④，从而可得答案． 【解题过程】 解：∵， ∴， ∵的平分线交于点， ∴， ∴，故①符合题意； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，故②符合题意； ∵， ∴， 若， ∴，而， ∴，与题干条件不符，故③不符合题意； 由③可得：当， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故④符合题意； 故选C 4．（23-24七年级上·河南洛阳·期末）如图，， 分别平分、、，有下列结论：①；②；③；④与互余．其中，结论正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【思路点拨】 由两直线平行，同旁内角互补，及角平分线的定义，可得，根据三角形内角和定理，即可判断①正确， 由角平分线的定义，和平角的定义，即可判断②正确， 由①②的结论，根据同旁内角互补，两直线平行，即可判断③正确， 由②的结论，，根据两直线平行同位角相等，得到，根据等角的余角相等，即可判断④正确， 本题考查了，平行线的性质与判定，交平分线的定义，等角的余角相等，三角形内角和定理，解题的关键是：熟练掌握相关性质定理． 【解题过程】 解：∵， ∴， ∵分别平分、， ∴，， ∴， ∴，故①正确， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴，故②正确， ∵， ∴， ∴,故③正确， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴与互余，故④正确， 综上所述，其中正确的个数是4个， 故选：． 5．（23-24七年级下·黑龙江鸡西·期末）如图，，平分交于点，，，，分别是，延长线上的点，和的平分线交于点．下列结论：①；②；③平分；④为定值．其中结论正确的有（　　） A．①③④ B．①②④ C．①②③ D．①②③④ 【思路点拨】 本题考查了角平分线的定义、平行线的判定与性质、三角形内角和定理，求出，即可判断①；求出即可判断②；求出，即可判断③；求出，从而得出，即可判断④；熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【解题过程】 解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，故①正确； ∴， ∵， ∴，故②错误； ∵平分交于， ∴， ∵，， ∴， ∴平分，故③正确； ∵和的平分线交于点， ∴，， ∵，，， ∴， ∴， ∴，为定值，故④正确； 综上所述，正确的有①③④， 故选：A． 6．（23-24七年级下·江苏无锡·阶段练习）如图，的角平分线交于点P，若，，则的度数为 ． 【思路点拨】 本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的性质．根据角平分线的定义可得，，再根据三角形的内角和定理可得，根据，可推出，又因为，即可求出． 【解题过程】 解：如图， ，的角平分线交于点， ，， 由三角形的内角和定理得，， ， 即， ， ， ， 故答案为：． 7．（23-24七年级下·江西景德镇·期末）已知，，和的平分线交于点，过点作的平行线分别交于点．则与的度数和为 ． 【思路点拨】 本题考查了三角形内角和定理，三角形角平分线的性质，平行的性质，由可得，，再根据角平分线的性质可得，，进而得， ，由平行线的性质可得，，两角相加即可求解，掌握三角形角平分线的性质是解题的关键． 【解题过程】 解：∵， ∴， ∵分别是和的平分线， ∴，， ∴， ∵， ∴，， ∴，， ∴， 故答案为：． 8．（23-24七年级下·四川宜宾·期末）如图，中，点是延长线上的一点，于点的平分线与的平分线交于点．当时，则的度数为 ．    【思路点拨】 如图所示，设交于点，根据可求出的关系，根据角平分线的性质可得的关系，由此可得，根据三角形内角和定理即可求解． 【解题过程】 解：如图所示，设交于点，    ∵， ∴，， ∵平分， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 9．（23-24七年级下·湖北孝感·期中）如图，直线，点A，B分别是，上的动点，点G在上，，和的角平分线交于点D，若，则m的值为 ．    【思路点拨】 先由平行线的性质得到，再根据三角形内角和定理和角平分线的定义求出m的值． 【解题过程】 解：过点C作， ， ，， ， ， ， ， 由题意可得为的角平分线，为的角平分线， ，， ，， ， ， ， ． 故答案为：76． 10．（23-24七年级下·广东河源·期末）如图，在中，，是角平分线，它们相交于点 O．    （1）若，则的度数为_______； （2）猜想的度数与的度数存在的数量关系，并说明理由． 【思路点拨】 本题主要考查了角平分线的定义，三角形内角和定理，熟知三角形内角和为180度是解题的关键． （1）先由三角形内角和为180度求出，再由角平分线的定义推出，则由三角形内角和定理可得． （2）根据角平分线的定义得出，求出，然后根据三角形内角和定理求出结果即可． 【解题过程】 （1）解：∵在中，， ∴， ∵是角平分线，它们相交于点O， ∴， ∴， ∴； （2）解：在中， ， ∵是角平分线，它们相交于点O， ∴， ∴ ， ∴ ． 11．（24-25八年级上·全国·课后作业）已知，点分别在射线上移动（不与点重合），平分，平分，（或其反向延长线）与交于点． （1）如图，若，试猜想的度数，并直接写出结果； （2）如图，若，问：当点在射线上运动的过程中，的度数是否改变？若不改变，求出其值（用含的式子表示）；若改变，请说明理由． 【思路点拨】 本题考查了与角平分线有关的三角形内角和问题，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由角平分线的定义得出，，求出，再求出，即可得出答案； （2）由角平分线的定义得出，，求出，再求出，即可得解． 【解题过程】 （1）解： 平分，平分， ∴，， ∵， ∴， ∴． （2）解：的度数不改变． ∵平分，平分， ∴，． ∵， ∴， ∴． 12．（23-24八年级上·吉林四平·阶段练习）【感知】（1）如图①，线段相交于点O，连接．求证：； 【探究】（2）如图②，分别作图①中和的平分线和相交于点P，且与分别相交于点．若，求的度数； 【应用】（3）如图③，分别作图①中和的内部作射线和相交于点P，与分别相交于点M、N，且使．若，则的大小为 度． 【思路点拨】 本题考查了三角形内角和、有关角平分线的计算，解题的关键是灵活运用“8字形”求解． （1）利用三角形内角和定理和对顶角相等即可证明； （2）根据角平分线的定义得到，，再根据“8字形”得到，两等式相减得到，即，即可求解； （3）根据，可得，，再由三角形内角和定理和对顶角相等，可得，即可求解． 【解题过程】 （1）证明：在中，， 在中，， ∵， ∴； （2）解：∵和的平分线和相交于点P， ∴， ∵①，②， 由，得：， 即， ∵， ∴； （3）∵， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ， ． 13．（23-24八年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，在中．    （1）的角平分线相交于点，求的度数； （2）的三等分线分别相交于点，求的度数； （3）的等分线分别相交于点，则________（结果用含的式子表示）， （，为整数，结果用含和的式子表示） 【思路点拨】 （1）根据三角形的内角和定理即可求出∠ABC+∠ABC，然后根据角平分线的定义即可求出∠PBC+∠PCB，再根据三角形的内角和定理即可求出结论； （2）根据三角形的内角和定理即可求出∠ABC+∠ABC，然后根据三等分线的定义即可求出，再根据三角形的内角和定理即可求出结论； （3）根据三角形的内角和定理即可求出∠ABC+∠ABC，然后根据n等分线的定义即可求出，再根据三角形的内角和定理即可求出结论； 【解题过程】 （1）解：在中，， ， 和的角平分线交于点， ， ， ， 故答案为：． （2）在中，， ， 和的三等分线分别对应交于点，， ， ， 和的三等分线分别对应交于点，， ， ， （3）在中，， 和的等分线分别对应交于点，，， ， 故答案为：， 14．（23-24八年级上·河南郑州·期末）如图，在中，与的平分线相交于点．    （1）若，则的度数是　 　； （2）如图，作外角，的角平分线交于点，试探索，之间的数量关系； （3）如图，延长线段，交于点，在中，存在一个内角等于另一个内角的倍，求的度数． 【思路点拨】 （）根据角平分线定义及三角形内角和定理得，则，再根据可得的度数； （）由三角形的外角定理及三角形三角形内角和定理得，再由角平分线定义得，由此得，之间的数量关系； （）先求出，根据得，然后分四种情况讨论即可； 此题主要考查了三角形的内角和定理，三角形的外角定理，角平分线定义，熟练掌握三角形的内角和定理，三角形的外角定理，理解角平分线定义是解题的关键． 【解题过程】 （1）在中，， ∵与 的平分线相交于点， ∴，， ∴ ， ∴ ∵， ∴， 故答案为：； （2），之间的数量关系是，理由如下： ∵，，， ∴， ∵点是和的角平分线的交点， ∴， ∴， ∴， ∴，之间的数量关系是； （3）∵平分,平分，， ∴，， ∴ ， 即， ∴， 由（）可知: ， ∴， ∴， 如果在中，存在一个内角等于另一个内角的倍，那么有以下四种情况： 当时, 则， ∴， 此时， 当时，则， ∴，则， 此时， 当时，则， ∴， 此时， 当时，则， ∴， ∴， 此时， 综上所述，的度数是或或或． 15．（2024七年级下·江苏·专题练习）如图，点、分别在的边、上运动（不与点重合），是的平分线，的反向延长线交的平分线于点． （1）如图（1）当，时，　　． （2）如图（2）当时，　　． （3）在解题过程中，你认为与是否有数量关系，如有请写出关系式并说明理由． 【思路点拨】 本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，熟练掌握三角形的内角和定理是解题的关键． （1）根据三角形的内角和定理和角平分线的定义即可得到结论； （2）根据三角形的内角和定理和角平分线的定义即可得到结论； （3）由（2）的思路可得结论． 【解题过程】 （1）解： ，， ， ， 是的平分线， ， 平分， ， ， （2）设，， 平分， ， ， 平分， ， ， ， ． （3），理由如下： 设， 平分， ， 设， ， 平分， ， ， ． 16．（23-24七年级上·江苏盐城·期中）已知于点O，直线交于点B，点A在射线上． （1）如图1，若于点B，平分，交于点E，交于点F，求证：； （2）如图2，若平分，平分交于点E，，则的度数为________． （3）如图3，若平分，平分交于点E，平分交反向延长线于点F，在中，如果一个角是另一个角的3倍，请求出的度数． 【思路点拨】 （1）根据，，可得，再结合角平分线的定义可得，然后根据对顶角相等，即可求证； （2）根据直角三角形两锐角互余可得，再由邻补角可得，从而得到，进而得到，再求出，然后根据三角形内角和定理，即可求解； （3）根据题意可得，从而得到，再由三角形内角和定理，可得，从而得到，，然后分两种情况：当时，当时， 即可求解． 【解题过程】 （1）证明：∵，， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∵平分， ∴， ∴； 故答案为： （3）解：∵平分，平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 当时，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 当时， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ 17．（23-24七年级下·江苏无锡·阶段练习）已知，点、分别在、上运动（不与点重合）． （1）如图1，、分别是和的平分线，随着点、的运动，__________． （2）如图2，已知不平行于，、分别是和的平分线，、分别是和的平分线，点、在运动的过程中，的度数将不发生变化， ． （3）如图3，延长至，已知、的平分线与的平分线及其延长线相交于、，在中，如果有一个角是另一个角的倍，试求的度数． 【思路点拨】 （1）根据角平分线的定义，可得，，在中应用三角形内角和定理，可得，在中应用三角形内角和定理，可得， 将代入，即可求解， （2）根据四边形内角和，角平分线定义，可得，在中应用三角形内角和定理，结合平角的定义，可得，代入，即可求解， （3）由的平分线与的角平分线，可得，，结合三角形外角定理，得出，由、分别是、的角平分线，可得，在中，分情况讨论，即可求解， 本题考查了，与角平分线有关的三角形内角和问题，解题的关键是：熟练掌握相关定理． 【解题过程】 （1）解：∵、分别是和的平分线， ∴，， ∵， ∴，即：， ∵，即：， ∴， ∵， ∴， 故答案为：， （2）解：∵、分别是和的平分线，、分别是和的平分线， ∴，，，， ∵， ∴，即：， ∵， ∴， ∵，， ∴，即：， ∴， 故答案为：， （3）解：∵的平分线与的角平分线相交于， ∴，， ∴， ∵、分别是、的角平分线， ∴， 当时，，， 当时，，，（舍）， 当时， ，， 当时， ，（舍）， ∴，或， 故答案为：或． 18．（23-24七年级下·四川成都·期中）如图，在中，平分，平分，连接、，且． （1）证明：； （2）若，，求的度数； （3）作与的角平分线交于点，探究、的数量关系，并证明你的结论． 【思路点拨】 （1）如图，过点作，根据平行线的性质和判定，平行公理可得结论； （2）设，，根据三角形的内角和定理可得：，从而可得结论； （3）如图2，设，，根据角平分线的定义可得，，根据8字形可得①，②，由①②可得结论． 本题考查了角平分线的定义，三角形的内角和定理，平行线的性质，解题的关键是利用8字形和三角形的内角和定理解决问题． 【解题过程】 （1）证明：如图1，过点作， ， ， ， ， ； （2）解：设，， 平分，平分， ，， ， ， ， ， 在和中，， ，， ， ， ， ； （3）解：如图2，，理由如下： 设，， 平分，平分， ，， ， ，即①， ， ，即②， 由（1）知：， 由（2）知：， 得：， ． 19．（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）已知：如图，在中，P为内一点，平分，平分．    （1）如图1，当时，则的度数为__________． （2）如图2，过C作，交延长线于点Q，求证：． （3）如图3，在（2）的条件下，过C作，延长与延长线交于点N，若，且，求的度数． 【思路点拨】 本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，解题的关键是掌握三角形的内角和是180度，以及角平分线的定义． （1）根据三角形的内角和得出，则，即可求解； （2）由图可知，推出，根据角平分线的定义得出，则，再根据三角形的内角和可得，即可求证； （3）设， 推出，，则，根据，得出，在中，，列出方程求出x，即可解答． 【解题过程】 （1）解：∵， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：由图可知， ∵， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：∵， ∴设， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， 即， 解得：， ∴，， ∴． 20．（23-24七年级下·辽宁大连·阶段练习）（1）如图1，在中，点M在延长线上，点N在线段上，连接交于点D，和的平分线交于点P． ①若，，请你测量的度数为______；猜想出、和之间的数量关系为______； ②请写出求度数的过程． （2）如图2，在中，点M在线段上，点N在延长线上，连接交于点D，和的平分线交于点P，求、和之间的数量关系． 【思路点拨】 本题主要考查了三角形内角和定理，角平分线的定义： （1）①直接的度数，即可；②连接，根据三角形内角和定理可得，再由角平分线的定义，可得，从而得到，然后根据三角形内角和定理，即可求解； （2）连接，根据三角形内角和定理可得，再由角平分线的定义，可得，然后根据三角形内角和定理，即可求解． 【解题过程】 解：（1）①； 猜想：； 连接， 在，中，， ∴， ∵和的平分线交于点P， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：； ②如图，连接， ∵，， ∴， ∴， ∵和的平分线交于点P， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）如图，连接， 在中，， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∵和的平分线交于点P， ∴， ∴， ∴ ∴． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 6 学科网（北京）股份有限公司 $$