专题1.4 全等三角形中辅助线的添法（三大模型）（压轴题专项讲练）-2024-2025学年八年级数学上册压轴题专项讲练系列（苏科版）

专题1.4 全等三角形中辅助线的添法（三大模型） 【模型一：倍长中线模型】 1．（23-24八年级上·江苏·期末）如图，在中．是边上的中线，交于点． （1）如下图，延长到点，使，连接． 求证：． （2）如下图，若，试探究与有何数量关系，并说明理由． （3）如下图，若是边上的中线，且交于点． 请你猜想线段与之间的数量关系，并说明理由． 【思路点拨】 （1）利用可得； （2）延长到点，使，连接，先根据证得，，进而得到，；再证得利用全等三角形全等的性质即可； （3）延长到点，使，连接．延长到点，使，连接，，，证得可得，进而得到， 本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的中线，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 【解题过程】 （1）证明：在和中， ∴； （2）解：，理由如下： 延长到点，使，连接，如图 由（）得， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ 在和中 ∴ ∴， ∴； （3），理由如下： 延长到点，使，连接．延长到点，使，连接，，，如图， 由（）得，， ∴，，， ∴，， ∴ ， 在和中， ， ∴ ∴， ∴． 2．（23-24八年级上·广西北海·期末）八年级数学课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图，中，若，，求边上的中线的取值范围小红在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到点，使，请根据小红的方法思考作答： （1）由已知和作图能得到的理由是______； A．    B．    C．    D． （2）求得的取值范围是______； A．      B．       C．        D． （3）归纳总结：题目中出现“中点”“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中完成上题之后，小红善于探究，她又提出了如下的问题，请你解答． 如图，在中，点在上，且，过作，且求证：平分． 【思路点拨】 本题是三角形综合题，考查了倍长中线法解题，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握倍长中线法，灵活进行三角形全等的证明，是解题的关键． （1）根据三角形全等的判定定理去选择即可； （2）根据三角形全等的性质和三角形三边关系定理计算即可； （3）由“”可证，可得，，由平行线的性质和等腰三角形的性质可证，可得平分． 【解题过程】 （1）解：延长到点，使， ， 在和中， ， ， 故选：B． （2）解：， ， ，，， ， ， 故选：C； （3）证明：如图，延长至，使，连接， ，，， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， 平分． 3．（23-24八年级上·安徽安庆·期末）（1）如图①，在中，若，，为边上的中线，求的取值范围； （2）如图②，在中，点D是的中点，，交于点E，交于点F，连接，判断与的大小关系并证明； （3）如图③，在四边形中，，与的延长线交于点F，点E是的中点，若是的角平分线．试探究线段，，之间的数量关系，并加以证明． 【思路点拨】 （1）由已知得出，即为的一半，即可得出答案； （2）延长至点M，使，连接，可得，得出，由线段垂直平分线的性质得出，在中，由三角形的三边关系得出即可得出结论； （3）延长交于点G，根据平行和角平分线可证，也可证得，从而可得，即可得到结论． 【解题过程】 解：（1）如图①，延长到点E，使，连接， ∵D是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2），理由如下： 延长至点M，使，连接，如图②所示． 同（1）得：， ∴， ∵， ∴， 在中，由三角形的三边关系得： ， ∴； （3），理由如下： 如图③，延长交于点G， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵是的平分线， ∴ ∴， ∴， ∵， ∴ ． 4．（23-24八年级上·江苏南通·期中）课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，中，若，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：如图1所示，延长到点，使，连接．请根据小明的思路继续思考： （1）由已知和作图能证得，得到，在中求得的取值范围，从而求得的取值范围是______________． 方法总结：上述方法我们称为“倍长中线法”．“倍长中线法”多用于构造全等三角形和证明边之间的关系； （2）如图2，是的中线，，试判断线段与的数量关系，并加以证明； （3）如图3，在中，是的三等分点．求证：． 【思路点拨】 本题考查了三角形三边关系，三角形全等的性质与判定，利用倍长中线辅助线方法是解题的关键． （1）延长到点，使，连接，根据题意证明，可知，在中，根据，即可； （2）延长到，使得，连接，由（1）的结论以及已知条件证明，进而可得，由，即可求得与的数量关系； （3），取中点，连接并延长至点，使得，连接和，通过“倍长中线”思想全等证明，进而得到然后结合三角形的三边关系建立不等式证明即可得出结论． 【解题过程】 （1）解：如图1所示，延长到点，使，连接． ∵是的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在中，， ∴，即， ∴， 故答案为：． （2），理由： 如图2，延长到，使得，连接， 由（1）知，， ∴， ∵， ∴， ∵，即， 又∵， ∴ ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． （3）证明：如图所示，取中点，连接并延长至点，使得，连接和， ∵为中点， 为三等分点， ∴， ∴， 在和中， ， ∴, 同理可得: , ∴， 此时, 延长交于 点， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 5．（23-24七年级下·广东佛山·期中）【阅读理解】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图，中，，，求边上的中线的取值范围，经过组内合作交流．小明得到了如下的解决方法：延长到点，使 请根据小明的方法思考：    （1）求得的取值范围是___________； 【问题解决】请利用上述方法（倍长中线）解决下列三个问题 如图，已知，，，为的中点．    （2）如图1，若，，共线，求证：平分 ； （3）如图2，若，，不共线，求证：； （4）如图3，若点在上，记锐角，且，则的度数是___________（用含的代数式表示）． 【思路点拨】 （1）根据三角形三边之间的关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，即可进行解答； （2）延长交延长线于点，证即可； （3）延长至点，使得，连接、、，证即可； （4）过点作交于点，由（3）可得，证，用含的代数式表示出即可． 【解题过程】 （1）为边上的中线， ， 在和中     ， ， ， ， 即， ， ， ， 故答案为： （2）如下图，交延长线于点    ， （同旁内角互补，两直线平行）， ，， 为的中点 ， ， ，， 又， ，即， 在和中 ， （全等三角形的对应角相等），即平分 （3）延长至点，使得，连接、、    由（1）同理易知， ，， ，且， ， ，， ， ， ， ， （4）过点作交于点，由（3）可得，，，，    ， ， 和互余，， ， ， ， ， 又， ， 故答案为： 【模型二：旋转模型（截长补短）】 6．（23-24八年级上·湖北武汉·期末）如图，在五边形中，，，，且，，则五边形的面积为（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 【思路点拨】 本题考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质、三点共线，解题的关键是利用全等的性质将面积进行转化． 将绕点A逆时针旋转至，首先证明点D，E，F三点共线，证明，得到，，再将所求面积转化为进行计算即可． 【解题过程】 解：如图，将绕点A逆时针旋转至， ，， 则，， ，即点D，E，F三点共线， ， ， 即， 在和中 ， ， ， ， 五边形的面积为： ， ， ． 故选：D． 7．（23-24八年级上·上海·期中）如图所示，已知AC平分∠BAD，，于点E，判断AB、AD与BE之间有怎样的等量关系，并证明． 【思路点拨】 在AB上截取EF，使EF=BE，联结CF．证明，得到，又证明，得到，最后结论可证了． 【解题过程】 证明：在AB上截取EF，使EF=BE，联结CF．    在 和                     AC平分∠BAD 在 和中 8．（23-24八年级上·山东临沂·期中）【基本模型】 （1）如图1，是正方形，，当在边上，在边上时，请你探究、与之间的数量关系，并证明你的结论． 【模型运用】 （2）如图2，是正方形，，当在的延长线上，在的延长线上时，请你探究、与之间的数量关系，并证明你的结论． 【思路点拨】 本题主要考查全等三角形的判定和性质．本题蕴含半角模型，遇到半角经常要通过旋转构造全等三角形． （1）结论：．将绕点顺时针旋转，使与重合，得到，然后求出，利用“边角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，从而得解； （2）结论：，证明方法同法（1）． 【解题过程】 解：（1）结论：． 理由：如图1，将绕点顺时针旋转，使与重合，得到，    则：，，， ∴，即：三点共线， ， ∴， ∴， ， 在和中， ， ， ， 又， ． （2）结论：． 理由：如图2，将绕点顺时针旋转，使与重合，得到，    则：， 同法（1）可得：， ， 又， ． 9．（23-24八年级上·湖北武汉·周测）（1）如图，在四边形中，，，、分别是边、上的点，且．求证：； （2）如图，在四边形中，，，、分别是边、延长线上的点，且．（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明． 【思路点拨】 （1）延长CB至M，使BM＝DF，连接AM．先证明△ABM≌△ADF，得到AF＝AM，∠2＝∠3，再证明△AME≌△AFE，得到EF＝ME，进行线段代换，问题得证； （2）在BE上截取BG，使BG＝DF，连接AG．先证明△ABG≌△ADF，得到AG＝AF，再证明△AEG≌△AEF，得到EG＝EF，进行线段代换即可证明EF＝BE﹣FD． 【解题过程】 解：（1）证明：如图，延长CB至M，使BM＝DF，连接AM． ∵∠ABC+∠D＝180°，∠1+∠ABC＝180°， ∴∠1＝∠D， 在△ABM与△ADF中， ， ∴△ABM≌△ADF（SAS）． ∴AF＝AM，∠2＝∠3． ∵∠EAF∠BAD， ∴∠2+∠4∠BAD＝∠EAF． ∴∠3+∠4＝∠EAF，即∠MAE＝∠EAF． 在△AME与△AFE中， ， ∴△AME≌△AFE（SAS）． ∴EF＝ME，即EF＝BE+BM， ∴EF＝BE+DF； （2）结论EF＝BE+FD不成立，应当是EF＝BE﹣FD． 证明：如图，在BE上截取BG，使BG＝DF，连接AG． ∵∠B+∠ADC＝180°，∠ADF+∠ADC＝180°， ∴∠B＝∠ADF． ∵在△ABG与△ADF中， ， ∴△ABG≌△ADF（SAS）， ∴∠BAG＝∠DAF，AG＝AF， ∴∠BAG+∠EAD＝∠DAF+∠EAD＝∠EAF∠BAD， ∴∠GAE＝∠EAF． 在△AGE与△AFE中， ， ∴△AEG≌△AEF， ∴EG＝EF， ∵EG＝BE﹣BG， ∴EF＝BE﹣FD． 10．（23-24八年级上·贵州黔东南·期末）【初步探索】（1）如图1，在四边形中，，，，、分别是、上的点，且，探究图中、、之间的数量关系．小芮同学探究此问题的方法是：延长到点，使，连接，先证明：，再证明，可得出结论，他的结论应是 ； 【灵活运用】（2）如图2，若在四边形中，，，，、分别是、上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立，说明理由． 【拓展延伸】（3）如图3，在四边形中，，，若点在的延长线上，点在的延长线上，满足，请判断与的数量关系．并证明你的结论． 【思路点拨】 本题属于四边形综合题，主要考查了全等三角形的判定以及全等三角形的性质的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，根据全等三角形的对应角相等进行推导变形．解题时注意：同角的补角相等． （1）根据可判定，进而得出，，再根据判定，可得出，据此得出结论； （2）延长到点，使，连接，先根据判定，进而得出，，再根据判定，可得出； （3）在延长线上取一点，使得，连接，先根据判定，再根据判定，得出，最后根据，推导得到，即可得出结论． 【解题过程】 解：（1）．理由如下： 如图1，延长到点，使，连接， ， ， 又， ， 在与中， ， ， ，， ，， ， ， 即， ； 在与中， ， ， ， ， ， 故答案为：； （2）（1）中的结论仍成立，理由如下： 如图2，延长到点，使，连接， ，， ， 又， ， ，， ，， ， ， ， 又， ， ； （3）． 证明：如图3，延长到点，使，连接， ，， ， 在与中， ， ， ，， ， ， ， 在与中， ， ， ， ， ， ， 即， ． 【模型三：“K子”型（一线三垂直）】 11．（23-24八年级上·广东江门·阶段练习）已知，中，，，直线m过点A，且于D，于E，当直线m绕点A旋转至图1位置时，我们可以发现． （1）当直线m绕点A旋转至图2位置时，问：与、的关系如何？请予证明； （2）直线m在绕点A旋转一周的过程中，、、存在哪几种不同的数量关系？（直接写出，不必证明） 【思路点拨】 （1）利用条件证明， 再结合线段的和差可得出结论； （2）根据图，可得、、存在3种不同的数量关系； 【解题过程】 （1）证明：如图2， ∵，， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． 在和中， ， ∴（AAS）， ∴， ∵， ∴． （2）直线m在绕点A旋转一周的过程中，、、存在3种不同的数量关系：，，． 如图1时，， 如图2时，， 如图3时，，（证明同理） 12．（23-24八年级上·贵州铜仁·阶段练习）（1）如图1，已知中，90°，，直线经过点直线，直线，垂足分别为点．求证：． （2）如图2，将（1）中的条件改为：在中，三点都在直线上，并且有．请写出三条线段的数量关系，并说明理由． 【思路点拨】 （1）利用已知得出∠CAE=∠ABD，进而利用AAS得出则△ABD≌△CAE，即可得出DE=BD+CE； （2）根据∠BDA=∠AEC=∠BAC，得出∠CAE=∠ABD，在△ADB和△CEA中，根据AAS证出△ADB≌△CEA，从而得出AE=BD，AD=CE，即可证出DE=BD+CE； 【解题过程】 （1）DE=BD+CE．理由如下： ∵BD⊥，CE⊥， ∴∠BDA=∠AEC=90° 又∵∠BAC=90°， ∴∠BAD+∠CAE=90°，∠BAD+∠ABD=90°， ∴∠CAE=∠ABD 在△ABD和△CAE中， ， ∴△ABD≌△CAE（AAS） ∴BD=AE，AD=CE， ∵DE=AD+AE， ∴DE=CE+BD； （2），理由如下： ∵∠BDA=∠AEC=∠BAC， ∴∠DBA+∠BAD=∠BAD+∠CAE， ∴∠CAE=∠ABD， 在△ADB和△CEA中， ， ∴△ADB≌△CEA（AAS）， ∴AE=BD，AD=CE， ∴BD+CE=AE+AD=DE． 13．（23-24八年级上·山西大同·阶段练习）某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形． （1）如图1．已知：在中，，，直线l经过点A，直线l，直线l，垂足分别为点D、E．证明：． （2）组员小明对图2进行了探究，若，，直线l经过点A．直线l，直线l，垂足分别为点D、E．他发现线段、、之间也存在着一定的数量关系，请你直接写出段、、之间的数量关系， （3）数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用这个知识来解决问题： 如图3，过的边、向外作正方形和正方形（正方形的4条边都相等，4个角都是直角），是边上的高，延长交于点，若，，求的长． 【思路点拨】 （1）根据直线l，直线l，，可得，利用可证明，根据即可得到； （2）同（1）利用可证明，根据即可得到； （3）过作于，的延长线于，可构造两组一线三直角全等模型，即：，，从而可以得到，，再根据可得，即可确定的长度； 【解题过程】 （1）证明：∵直线l，直线l， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴ ∴，， ∴； （2）∵直线l，直线l， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴ ∴，， ∴； （3）如图，过作于，的延长线于， ∴ ∵，， ∴ 在和中， ， ∴ ∴，， 同理可得： ∴，， 即：，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 14．（23-24八年级上·河北石家庄·阶段练习）通过对如图数学模型的研究学习，解决下列问题：    （1）如图1，，，过点B作于点C，过点D作于点E．由，得．又，可以推理得到．进而得到________，．我们把这个数学模型称为“K字”模型或“一线三等角”模型； （2）如图2，，，，连接，且于点F，与直线交于点G．求证：点G是的中点； （3）如图3，已知四边形和为正方形，的面积为，的面积为，．求出的值． 【思路点拨】 （1）由即可求解； （2）作，利用“K字模型”的结论可得，故可推出，再证即可； （3）作，利用“K字模型”的结论可得，进一步可证，即可求解． 【解题过程】 （1）解：∵ ∴ 故答案为：； （2）证明：作    由“K字模型”可得： ∴ 即：点G是的中点 （3）解：作，如图：    ∵四边形和四边形均为正方形 ∴ 由“K字模型”可得： 即： ∵ ∴ 15．（23-24七年级下·广东深圳·期末）【材料阅读】小明在学习完全等三角形后，为了进一步探究，他尝试用三种不同方式摆放一副三角板（在中，，；中，，），并提出了相应的问题． 【发现】（1）如图1，将两个三角板互不重叠地摆放在一起，当顶点摆放在线段上时，过点作，垂足为点，过点作，垂足为点， ①请在图1找出一对全等三角形，在横线上填出推理所得结论； ， ， ∵，， ，， ， ， ∵ ， __________； ②，，则__________； 【类比】（2）如图2，将两个三角板叠放在一起，当顶点B在线段上且顶点A在线段上时，过点作，垂足为点P，猜想，，的数量关系，并说明理由； 【拓展】（3）如图3，将两个三角板叠放在一起，当顶点A在线段上且顶点B在线段上时，若，，连接CE，则的面积为__________． 【思路点拨】 本题综合考查了全等三角形的判定与性质，熟记相关定理内容进行几何推理是解题关键． （1）①根据两个三角形全等的判定定理，结合已知求证即可得到答案； ②由①中，利用两个三角形全等的性质，得到，，即可得到； （2）根据两个三角形全等的判定定理，得到，利用两个三角形全等的性质，得到，，由图中，即可得到三者的数量关系； （3）延长，过点作于，如图所示，由两个三角形全等的判定定理得到，从而，，则可求得，延长，过点作于，如图所示，由平行线间的平行线段相等可得，代入面积公式得，即可得到答案． 【解题过程】 解：（1）①， ， ∵，， ，， ， ， ∵，，， ∴； 故答案为： ②由①知， ， ∵，， ∴； 故答案为：； （2）结论：．理由如下： ， ， ， ， ， ， ， ∵， ， ， ， ； （3）延长，过点作于，如图所示： ，， ， ，， ∴， ，， ， 延长，过点作于，如图所示： ， ， ， ， 由平行线间的平行线段相等可得， ． 故答案为：． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1.4 全等三角形中辅助线的添法（三大模型） 【模型一：倍长中线模型】 1．（23-24八年级上·江苏·期末）如图，在中．是边上的中线，交于点． （1）如下图，延长到点，使，连接． 求证：． （2）如下图，若，试探究与有何数量关系，并说明理由． （3）如下图，若是边上的中线，且交于点． 请你猜想线段与之间的数量关系，并说明理由． 2．（23-24八年级上·广西北海·期末）八年级数学课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图，中，若，，求边上的中线的取值范围小红在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到点，使，请根据小红的方法思考作答： （1）由已知和作图能得到的理由是______； A．    B．    C．    D． （2）求得的取值范围是______； A．      B．       C．        D． （3）归纳总结：题目中出现“中点”“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中完成上题之后，小红善于探究，她又提出了如下的问题，请你解答． 如图，在中，点在上，且，过作，且求证：平分． 3．（23-24八年级上·安徽安庆·期末）（1）如图①，在中，若，，为边上的中线，求的取值范围； （2）如图②，在中，点D是的中点，，交于点E，交于点F，连接，判断与的大小关系并证明； （3）如图③，在四边形中，，与的延长线交于点F，点E是的中点，若是的角平分线．试探究线段，，之间的数量关系，并加以证明． 4．（23-24八年级上·江苏南通·期中）课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，中，若，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：如图1所示，延长到点，使，连接．请根据小明的思路继续思考： （1）由已知和作图能证得，得到，在中求得的取值范围，从而求得的取值范围是______________． 方法总结：上述方法我们称为“倍长中线法”．“倍长中线法”多用于构造全等三角形和证明边之间的关系； （2）如图2，是的中线，，试判断线段与的数量关系，并加以证明； （3）如图3，在中，是的三等分点．求证：． 5．（23-24七年级下·广东佛山·期中）【阅读理解】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图，中，，，求边上的中线的取值范围，经过组内合作交流．小明得到了如下的解决方法：延长到点，使 请根据小明的方法思考：    （1）求得的取值范围是___________； 【问题解决】请利用上述方法（倍长中线）解决下列三个问题 如图，已知，，，为的中点．    （2）如图1，若，，共线，求证：平分 ； （3）如图2，若，，不共线，求证：； （4）如图3，若点在上，记锐角，且，则的度数是___________（用含的代数式表示）． 【模型二：旋转模型（截长补短）】 6．（23-24八年级上·湖北武汉·期末）如图，在五边形中，，，，且，，则五边形的面积为（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 7．（23-24八年级上·上海·期中）如图所示，已知AC平分∠BAD，，于点E，判断AB、AD与BE之间有怎样的等量关系，并证明． 8．（23-24八年级上·山东临沂·期中）【基本模型】 （1）如图1，是正方形，，当在边上，在边上时，请你探究、与之间的数量关系，并证明你的结论． 【模型运用】 （2）如图2，是正方形，，当在的延长线上，在的延长线上时，请你探究、与之间的数量关系，并证明你的结论． 9．（23-24八年级上·湖北武汉·周测）（1）如图，在四边形中，，，、分别是边、上的点，且．求证：； （2）如图，在四边形中，，，、分别是边、延长线上的点，且．（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明． 10．（23-24八年级上·贵州黔东南·期末）【初步探索】（1）如图1，在四边形中，，，，、分别是、上的点，且，探究图中、、之间的数量关系．小芮同学探究此问题的方法是：延长到点，使，连接，先证明：，再证明，可得出结论，他的结论应是 ； 【灵活运用】（2）如图2，若在四边形中，，，，、分别是、上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立，说明理由． 【拓展延伸】（3）如图3，在四边形中，，，若点在的延长线上，点在的延长线上，满足，请判断与的数量关系．并证明你的结论． 【模型三：“K子”型（一线三垂直）】 11．（23-24八年级上·广东江门·阶段练习）已知，中，，，直线m过点A，且于D，于E，当直线m绕点A旋转至图1位置时，我们可以发现． （1）当直线m绕点A旋转至图2位置时，问：与、的关系如何？请予证明； （2）直线m在绕点A旋转一周的过程中，、、存在哪几种不同的数量关系？（直接写出，不必证明） 12．（23-24八年级上·贵州铜仁·阶段练习）（1）如图1，已知中，90°，，直线经过点直线，直线，垂足分别为点．求证：． （2）如图2，将（1）中的条件改为：在中，三点都在直线上，并且有．请写出三条线段的数量关系，并说明理由． 13．（23-24八年级上·山西大同·阶段练习）某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形． （1）如图1．已知：在中，，，直线l经过点A，直线l，直线l，垂足分别为点D、E．证明：． （2）组员小明对图2进行了探究，若，，直线l经过点A．直线l，直线l，垂足分别为点D、E．他发现线段、、之间也存在着一定的数量关系，请你直接写出段、、之间的数量关系， （3）数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用这个知识来解决问题： 如图3，过的边、向外作正方形和正方形（正方形的4条边都相等，4个角都是直角），是边上的高，延长交于点，若，，求的长． 14．（23-24八年级上·河北石家庄·阶段练习）通过对如图数学模型的研究学习，解决下列问题：    （1）如图1，，，过点B作于点C，过点D作于点E．由，得．又，可以推理得到．进而得到________，．我们把这个数学模型称为“K字”模型或“一线三等角”模型； （2）如图2，，，，连接，且于点F，与直线交于点G．求证：点G是的中点； （3）如图3，已知四边形和为正方形，的面积为，的面积为，．求出的值． 15．（23-24七年级下·广东深圳·期末）【材料阅读】小明在学习完全等三角形后，为了进一步探究，他尝试用三种不同方式摆放一副三角板（在中，，；中，，），并提出了相应的问题． 【发现】（1）如图1，将两个三角板互不重叠地摆放在一起，当顶点摆放在线段上时，过点作，垂足为点，过点作，垂足为点， ①请在图1找出一对全等三角形，在横线上填出推理所得结论； ， ， ∵，， ，， ， ， ∵ ， __________； ②，，则__________； 【类比】（2）如图2，将两个三角板叠放在一起，当顶点B在线段上且顶点A在线段上时，过点作，垂足为点P，猜想，，的数量关系，并说明理由； 【拓展】（3）如图3，将两个三角板叠放在一起，当顶点A在线段上且顶点B在线段上时，若，，连接CE，则的面积为__________． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 6 学科网（北京）股份有限公司 $$