精品解析：江苏省南京市南京外国语学校2024-2025学年八年级上学期9月月考数学试题

南京外国语学校八年级数学 满分：100分 时长：70分钟 一、单选题（本题共6小题，每小题3分，共18分） 1. 如图，点在同一条直线上，与相交于点，，下列结论不正确是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，在中，、分别足边、上点，是的一条角平分线．再添加一个条件仍不能证明的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，在的网格中，每一个小正方形的边长都是1，点，，，都在格点上，连接，相交于，那么的大小是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，已知长方形ABCD的边长AB=20cm，BC=16cm，点E在边AB上，AE=6cm，如果点P从点B出发在线段BC上以2cm/s的速度向点C向运动，同时，点Q在线段CD上从点C到点D运动．则当时间t为（ ）s时，能够使△BPE与△CQP全等． A. 1 B. 1或4 C. 1或2 D. 3 5. 如图，中，为中点，点为延长线上一点，交射线于点，连接，则与的大小关系为　　 A. B. C. D. 以上都有可能 6. 如图，在中，以为腰作等腰直角三角形和等腰直角三角形，连接为边上的高线，延长交于点，下列结论①；②；③；④，其中正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（本题共10小题，每小题4分，共40分．） 7. 如图，某人将一块三角形玻璃打碎成三块，带第___块（填序号）能到玻璃店配一块完全一样的玻璃，用到的数学道理是____． 8. 如图，在中，与相交于点F，且，则之间的数量关系是_____________． 9. 如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，BE是AC边上的高，且AD、BE的交于点F，若BF＝AC，CD=6，BD＝8，则线段AF的长度为___． 10. 如图，四边形中，，，，则面积为______． 11. 如图所示，在ΔABC中， AD平分∠BAC，点E在DA的延长线上，且EF⊥BC，且交BC延长线于点F，H为DC上的一点，且BH=EF， AH=DF， AB=DE，若∠DAC+n∠ACB＝90°，则__________． 12. 如图所示，为中线，D为中点，，，连接，．若的面积为3，则的面积为______． 13. 如图，，，，P、Q两点分别在线段和射线上运动，且．若与全等，则的长度为_____． 14. 如图，，均为等边三角形，点，，在同一条直线上，连接，，与相交于点，与相交于点，连接，下列结论正确的有______． ①；②；③；④；⑤平分 15. 如图，在同一平面内，直线l同侧有三个正方形A，B，C，若A，C的面积分别为16和9，则阴影部分的总面积为________． 16. 如图，等边三角形△ABC的边长为6，l是AC边上的高BF所在的直线，点D为直线l上的一动点，连接AD，并将AD绕点A逆时针旋转60°至AE，连接EF，则EF的最小值为_____． 三、简答题（本题共4小题，共42分．） 17. 如图，点E在△ABC外部，点D在边BC上，DE交AC于点F，若，． （1）求证：； （2）若，，求∠E的度数． 18. 如图，已知线段，，，用直尺和圆规求作，使得的两边分别为，，一内角等于． 19. 问题背景】 如图，在中，，和的平分线和相交于点 G． 【问题探究】 （1）的度数为 ； （2）过G作交的延长线于点 F，交于点 H，判断与的数量关系，并说明理由； （3）在（2）的条件下，若，求的长． 20. （1）如图，在四边形中，，，、分别是边、上的点，且．求证：； （2）如图，在四边形中，，，、分别是边、延长线上的点，且．（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 南京外国语学校八年级数学 满分：100分 时长：70分钟 一、单选题（本题共6小题，每小题3分，共18分） 1. 如图，点在同一条直线上，与相交于点，，下列结论不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】直接根据全等三角形的性质进行逐项分析即可得到答案． 【详解】解：A.， ，故A选项正确，不符合题意； B.， ， ，故B选项正确，不符合题意； C.由不能得出，故C选项错误，符合题意； D.， ， ， 即，故D选项正确，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题主要考查了三角形全等的性质，全等三角形的对应角相等、对应边相等、对应边上的高对应相等、对应角的角平分线相等、对应边上的中线相等，全等三角形面积和周长相等，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键． 2. 如图，在中，、分别足边、上的点，是的一条角平分线．再添加一个条件仍不能证明的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据全等三角形的判定方法逐项分析即可． 【详解】解：∵是的一条角平分线， ∴∠ABD=∠EBD， A.在△ADB和△EDB中 ， ∴△ADB≌△EDB，故A不符合题意； B.在△ADB和△EDB中 ， ∴△ADB≌△EDB，故不符合题意； C.在△ADB和△EDB中 ， ∴△ADB≌△EDB，故不符合题意； D.在△ADB和△EDB中，若添加，符合“SSA”，此方法不能判断△ADB≌△EDB，故符合题意； 故选D． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法（即SSS、SAS、ASA、AAS和HL）是解题的关键．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角相等时，角必须是两边的夹角． 3. 如图，在的网格中，每一个小正方形的边长都是1，点，，，都在格点上，连接，相交于，那么的大小是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】取格点，连接，先证明，得出，再证明得出，最后证明是等腰直角三角形，得出，从而得出即可． 【详解】解：取格点，连接， 由已知条件可知：， ∴， ∴， 同理可得：， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴, ∴, ∴是等腰直角三角形， ∴, 即， 故选：． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，平行线的判定与性质，所求角转换成容易求出度数的角，合理的添加辅助线是解决本题的关键． 4. 如图，已知长方形ABCD的边长AB=20cm，BC=16cm，点E在边AB上，AE=6cm，如果点P从点B出发在线段BC上以2cm/s的速度向点C向运动，同时，点Q在线段CD上从点C到点D运动．则当时间t为（ ）s时，能够使△BPE与△CQP全等． A. 1 B. 1或4 C. 1或2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意用时间t表示出线段BP和线段PC的长度，再分类讨论两个三角形全等的不同情况，或，利用全等的性质列式求出t的值． 【详解】解：∵，，， ∴，，， 当时，有，则，解得， 当时，有，则，解得． 故选：B． 【点睛】本题考查全等三角形的动点问题，解题的关键是对全等三角形进行分类讨论，再利用全等三角形的性质求出动点运动的时间． 5. 如图，中，为的中点，点为延长线上一点，交射线于点，连接，则与的大小关系为　　 A. B. C. D. 以上都有可能 【答案】C 【解析】 【分析】如图，延长到，使得，连接，，证明，推出，由，可得． 【详解】解：如图，延长到，使得，连接，． ，， ， 在和中， ， ， ， ， ， 故选：C． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，三角形的三边关系等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 6. 如图，在中，以为腰作等腰直角三角形和等腰直角三角形，连接为边上的高线，延长交于点，下列结论①；②；③；④，其中正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】根据∠EAN与∠BAD互余，∠ABC与∠BAD互余，利用同角的余角相等即可判断①；过E作EH⊥DN于点H，过F作FG⊥DN于点G，利用K字型全等，易证△AEH≌△BAD，从而判断②；同理可证△AFG≌△CAD，可得GF=AD=EH，再证△EHN≌△FGN，即可判断④；最后根据S△AEF=S△AEH+S△EHN+S△AFN，结合全等三角形即可判断③． 【详解】∵AD为BC边上的高，EAB=90° ∴∠EAN+∠BAD=90°，∠ABC+∠BAD=90° ∴∠EAN=∠ABC 故①正确； 如图所示，过E作EH⊥DN于点H，过F作FG⊥DN，交DN的延长线于点G， ∵△ABE为等腰直角三角形 ∴AE=AB 在△AEH与△BAD中， ∵∠AHE=∠BDA=90°，∠EAH=∠ABD，AE=AB ∴△AEH≌△BAD（AAS） 显然△EAN与△BAD不全等， 故②错误； 同理可证△AFG≌△CAD（AAS） ∴FG=AD， 又∵△AEH≌△BAD ∴EH=AD ∴FG=EH 在△EHN和△FGN中， ∵∠ENH=∠FNG，∠EHN=∠FGN=90°，EH=FG ∴△EHN≌△FGN（AAS） ∴EN=FN 故④正确； ∵△AEH≌△BAD，△AFG≌△CAD，△EHN≌△FGN ∴S△AEF=S△AEH+S△EHN+S△AFN =S△ABD+S△FGN+S△AFN = S△ABD+S△AFG =S△ABD+S△CAD =S△ABC， 故③正确； 正确的有①③④共3个． 故选C． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，熟练掌握K字型全等，作出辅助线是解题的关键． 二、填空题（本题共10小题，每小题4分，共40分．） 7. 如图，某人将一块三角形玻璃打碎成三块，带第___块（填序号）能到玻璃店配一块完全一样的玻璃，用到的数学道理是____． 【答案】 ①. ③ ②. ASA 【解析】 【分析】已知三角形破损部分的边角，得到原来三角形的边角，根据三角形全等的判定方法，即可求解． 【详解】解：第①块和第②块只保留了原三角形的一个角和部分边，根据这两块中的任一块不能配一块与原来完全一样的； 第③块不仅保留了原来三角形的两个角还保留了一边，则可以根据ASA来配一块一样的玻璃．应带③去． 故答案为：③，ASA． 【点睛】此题主要考查学生对全等三角形的判定方法的灵活运用，要求对常用的几种方法熟练掌握． 8. 如图，在中，与相交于点F，且，则之间数量关系是_____________． 【答案】 【解析】 【分析】先利用同角的余角相等得到=，再通过证，得到即，再 利用三角形内角和得可得，最后利用角的和差即可得到答案，=． 【详解】证明：∵， ∴， ∴= 又∵， ∴ ∴即 ∵ ∴即 ∴= 故答案为：． 【点睛】本题考查了直角三角形的性质、内角和定理以及全等三角形的判定和性质，能通过性质找到角与角之间的关系是解答此题的关键． 9. 如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，BE是AC边上的高，且AD、BE的交于点F，若BF＝AC，CD=6，BD＝8，则线段AF的长度为___． 【答案】2 【解析】 【分析】首先证明△BDF≌△ADC，再根据全等三角形的性质可得FD=CD，AD=BD，根据AD=8，DF=6，即可算出AF的长． 【详解】解：∵AD是BC边上的高，BE是AC边上的高， ∴∠ADC=∠FDB=90°，∠AEB=90°， ∴∠1+∠C=90°，∠1+∠2=90°， ∴∠2=∠C， ∵∠2=∠3， ∴∠3=∠C， 在△ADC和△BDF中， ， ∴△BDF≌△ADC（AAS）， ∴FD=CD，AD=BD， ∵CD=6，BD=8， ∴AD=8，DF=6， ∴AF=8-6=2， 故答案为：2． 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定及性质，熟练掌握性质定理是解题的关键． 10. 如图，四边形中，，，，则的面积为______． 【答案】50 【解析】 【分析】过点B作BE⊥DC交DC的延长线于点E，先证明∠CBE=∠ACD，从而证明∆ ACD≅∆ CBE，进而即可求解． 【详解】过点B作BE⊥DC交DC的延长线于点E， ∵BE⊥CE， ∴∠BEC=∠CDA=90°， ∴∠CBE+∠BCE=90°， 又∵∠ACB=90°， ∴∠BCE+∠ACD=90°， ∴∠CBE=∠ACD， 在∆ ACD与∆ CBE中， ∵， ∴∆ ACD≅∆ CBE（AAS）， ∴BE=CD=10， ∴的面积=CD∙BE=×10×10=50， 故答案是50． 【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，添加辅助线，构造“一线三垂直”模型，是解题的关键． 11. 如图所示，在ΔABC中， AD平分∠BAC，点E在DA的延长线上，且EF⊥BC，且交BC延长线于点F，H为DC上的一点，且BH=EF， AH=DF， AB=DE，若∠DAC+n∠ACB＝90°，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】由“HL”可证Rt△ABH≌Rt△DEF，可得∠EDF=∠BAH，由角的数量关系可求解． 【详解】解：在Rt△ABH和Rt△DEF中， ， ∴Rt△ABH≌Rt△DEF(HL）， ∴∠EDF=∠BAH， ∴∠EDF-∠BAD=∠BAH-∠BAD， ∴∠B=∠DAH， ∵AD平分∠BAC， ∴∠BAD=∠DAC， 设∠B=∠DAH=y，∠BAD=∠DAC=x， ∴2y+x=90°，∠CAH=∠DAC-∠DAH=x-y， ∴∠ACB=90°-∠CAH =3y， ∵∠DAC+n∠ACB=90°， ∴x+3ny=90°， ∴3n=2， ∴n=， 故答案为：． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的定义，直角三角形的性质，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键． 12. 如图所示，为中线，D为中点，，，连接，．若的面积为3，则的面积为______． 【答案】1.5 【解析】 【分析】延长AD到G使DG=AD，连结BG，由D为中点，可得BD=CD，可证△ACD≌△GBD（SAS），可得AC=BG，∠DAC=∠G，可证△AEF≌△BAG（SSS），可得S△AEF=S△BAG=2S△ADC=3，可求S△ADC=1.5． 【详解】解：延长AD到G使DG=AD，连结BG， ∵D为中点， ∴BD=CD，S△ADC=S△ABD 在△ACD和△GBD中 ∴△ACD≌△GBD（SAS） ∴AC=BG，∠DAC=∠G，S△ADC=S△GBD+， 在△AEF和△BAG中， ， ∴△AEF≌△BAG（SSS）， ∴S△AEF=S△BAG=2S△ADC=3， ∴S△ADC=1.5， 故答案为：1.5． 【点睛】本题考查三角形全等判定与性质，线段中点，中线性质，掌握三角形全等判定与性质，线段中点，利用辅助线中线加倍构造全等是解题关键． 13. 如图，，，，P、Q两点分别在线段和射线上运动，且．若与全等，则的长度为_____． 【答案】8或4 【解析】 【分析】分和两种情况，根据全等三角形的性质解答即可． 【详解】解：当时，， 当时，， 故答案为：8或4． 【点睛】本题考查的是全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等是解题的关键，注意分情况讨论思想的应用． 14. 如图，，均为等边三角形，点，，在同一条直线上，连接，，与相交于点，与相交于点，连接，下列结论正确的有______． ①；②；③；④；⑤平分 【答案】①②③⑤ 【解析】 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，角平分线的判定，解题的关键是可先证明，可判断①；再证明，可判断②；可证明为等边三角形，可判断③；利用等边三角形的三线合一可判断④，最后根据全等的性质得到，，再利用角平分线的判定可求得答案． 【详解】解：，均为等边三角形， ，，， ， 在和中， ， ， ，故①正确； ， 又由上可知， ， 在和中， ， ， ，故②正确； 为等边三角形， ， ，故③正确； 若，则平分， 则，而由条件无法得出这一条件， 故④不正确； ∵， ∴，， ∴点B到、的距离相等， ∴B点在的平分线上， 即平分； ∴⑤正确； 综上可知正确的有①②③⑤， 故答案为：①②③⑤． 15. 如图，在同一平面内，直线l同侧有三个正方形A，B，C，若A，C面积分别为16和9，则阴影部分的总面积为________． 【答案】12 【解析】 【分析】如图，先标注各顶点，作垂足分别为P，N，E，于交于点D，则 证明可得：同理利用三角形全等的性质可得： 从而可得答案. 【详解】如图，先标注各顶点，作垂足分别为P，N，E，于交于点D，则 A，C的面积分别为16和9， 正方形A，B，C， 同理可得： 故答案为：12． 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，作出适当的辅助线构建全等三角形是解题的关键. 16. 如图，等边三角形△ABC的边长为6，l是AC边上的高BF所在的直线，点D为直线l上的一动点，连接AD，并将AD绕点A逆时针旋转60°至AE，连接EF，则EF的最小值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】取AB的中点H，连接DH，由“SAS”可证△ADH≌△AEF，可得EF＝DH，由垂线段最短，可得当DH⊥BF时，DH的长最短，即EF有最小值，即可求解． 【详解】解：如图，取AB的中点H，连接DH， ∵△ABC是等边三角形，BF是高， ∴AF＝CF＝3，∠ABF＝30°， ∵点H是AB中点， ∴BH＝AH＝3， ∴AH＝AF， ∵将AD绕点A逆时针旋转60°至AE， ∴AE＝AD，∠DAE＝60°＝∠BAC， ∴∠DAH＝∠FAE，且AF＝AH，AD＝AE， ∴△ADH≌△AEF（SAS） ∴EF＝DH， ∴当DH⊥BF时，DH的长最短，即EF有最小值， ∴DH的最小值为BH＝， ∴EF的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了全等三角形的最值问题，掌握旋转的性质、全等三角形的性质以及判定定理是解题的关键． 三、简答题（本题共4小题，共42分．） 17. 如图，点E在△ABC外部，点D在边BC上，DE交AC于点F，若，． （1）求证：； （2）若，，求∠E的度数． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）证，，再由证明即可； （2）由全等三角形的性质得，再由三角形的外角性质得，即可得到结论． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， 即， ∵，， ∴， 在与中， ， ∴； 【小问2详解】 解：由（1）可知，， ∴， ∵，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查三角形全等的判定和性质，熟练利用三角形外角的性质是解题的关键． 18. 如图，已知线段，，，用直尺和圆规求作，使得两边分别为，，一内角等于． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了尺规作图，作一个角等于已知角及作一条线段等于已知线段，熟练掌握尺规作图的步骤是解题的关键． 作法：作，在，上分别取，，连接，则所求； 作法：作，在上分别取，以为原心，的长为半径作弧交于点，连接，则为所求； 作法3：作，在上分别取，以为原心，的长为半径作弧与没有交点，不能得三角形． 【详解】解∶ 作法，如图，为所求， 作法，如图，为所求， 作法3，如图，为所求. 19. 问题背景】 如图，在中，，和的平分线和相交于点 G． 【问题探究】 （1）的度数为 ； （2）过G作交的延长线于点 F，交于点 H，判断与的数量关系，并说明理由； （3）在（2）的条件下，若，求的长． 【答案】（1） （2），理由见解析 （3）4 【解析】 【分析】（1）利用三角形内角和定理得到，再由角平分线的定义得到，由此即可利用三角形内角和定理求出答案； （2）利用三角形内角和定理证明，进而证明，由此可证明得到； （3）由全等三角形的性质得到，则，再证明，即可得到． 【小问1详解】 解：∵在中，， ∴， ∵和的平分线和相交于点 G， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； 【小问2详解】 解：，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∵和的平分线和相交于点 G， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形内角和定理，角平分线的定义，熟知全等三角形的性质与判定条件是解题的关键． 20. （1）如图，在四边形中，，，、分别是边、上的点，且．求证：； （2）如图，在四边形中，，，、分别是边、延长线上的点，且．（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明． 【答案】（1）见证明；（2）结论EF＝BE+FD不成立，应当是EF＝BE﹣FD，证明见详解． 【解析】 【分析】（1）延长CB至M，使BM＝DF，连接AM．先证明△ABM≌△ADF，得到AF＝AM，∠2＝∠3，再证明△AME≌△AFE，得到EF＝ME，进行线段代换，问题得证； （2）在BE上截取BG，使BG＝DF，连接AG．先证明△ABG≌△ADF，得到AG＝AF，再证明△AEG≌△AEF，得到EG＝EF，进行线段代换即可证明EF＝BE﹣FD． 【详解】解：（1）证明：如图，延长CB至M，使BM＝DF，连接AM． ∵∠ABC+∠D＝180°，∠1+∠ABC＝180°， ∴∠1＝∠D， 在△ABM与△ADF中， ， ∴△ABM≌△ADF（SAS）． ∴AF＝AM，∠2＝∠3． ∵∠EAF∠BAD， ∴∠2+∠4∠BAD＝∠EAF． ∴∠3+∠4＝∠EAF，即∠MAE＝∠EAF． 在△AME与△AFE中， ， ∴△AME≌△AFE（SAS）． ∴EF＝ME，即EF＝BE+BM， ∴EF＝BE+DF； （2）结论EF＝BE+FD不成立，应当是EF＝BE﹣FD． 证明：如图，在BE上截取BG，使BG＝DF，连接AG． ∵∠B+∠ADC＝180°，∠ADF+∠ADC＝180°， ∴∠B＝∠ADF． ∵在△ABG与△ADF中， ， ∴△ABG≌△ADF（SAS）， ∴∠BAG＝∠DAF，AG＝AF， ∴∠BAG+∠EAD＝∠DAF+∠EAD＝∠EAF∠BAD， ∴∠GAE＝∠EAF． 在△AGE与△AFE中， ， ∴△AEG≌△AEF， ∴EG＝EF， ∵EG＝BE﹣BG， ∴EF＝BE﹣FD． 【点睛】本题属于三角形综合题，考查了三角形全等的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用旋转变换的思想添加辅助线，构造全等三角形解决问题，解题时注意一些题目虽然图形发生变化，但是证明思路和方法是类似的，属于中考压轴题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$